نمایش مبدأ برای عدد گویا

{{اشتباه نشود|عدد گنگ}}
[[پرونده:U%2B211A.svg|thumb|120px|نماد مجموعه اعداد گویا]]
[[پرونده:Number-systems.svg|بندانگشتی|ا'''عداد گویا''' (<math>\mathbb{Q}</math>) زیرمجموعهٔ اعداد حقیقی (<math>\mathbb{R}</math>) هستند. از سوی دیگر؛ آن‌ها [[عدد صحیح|اعداد غیرصحیح]] (<math>\mathbb{Z}</math>) را زیر مجموعهٔ خود دارند، که آن‌هم به‌نوبهٔ خود [[عدد طبیعی|اعداد طبیعی]] (<math>\mathbb{N}</math>) را زیر مجموعهٔ خود دارد.]]
'''عدد گویا''' یا '''عدد کسری''' {{به انگلیسی|Rational number}} در علم [[ریاضیات]]، [[عدد|عددی]] است که می‌تواند به صورت [[کسر]] <math>\tfrac{p}{q}</math> (یا <math>p/q</math>) از دو [[عدد صحیح]] <math>p</math> و <math>q</math> ( به طوری که <math>p</math> صورت کسر و <math>q</math> مخرج کسر باشد.)  بیان شود.<ref name="Rosen2">{{cite book|last=Rosen|first=Kenneth|year=|title=Discrete Mathematics and its Applications|edition=6th|publisher=McGraw-Hill|location=New York, NY|isbn=978-0-07-288008-3|pages=105, 158–160}}</ref> به عبارت دیگر، اعداد گویا کسرهایی هستند که از تقسیم عدد صحیح بر عدد صحیح دیگر (به جز صفر) پدید آمده باشد.<ref name="Rosen">{{cite book|title=Discrete Mathematics and its Applications|url=https://archive.org/details/discretemathemat00rose_164|last=Rosen|first=Kenneth|publisher=McGraw-Hill|year=2007|isbn=978-0-07-288008-3|edition=6th|location=New York, NY|pages=[https://archive.org/details/discretemathemat00rose_164/page/n128 105], 158–160}}</ref> از آن‌جایی که <math>q</math> می‌تواند برابر با عدد یک باشد؛ پس تمامی اعداد صحیح، طبیعی و حسابی، عدد گویا نیز هستند.

== نماد ریاضی اعداد گویا ==
[[مجموعه (ریاضی)|مجموعه]]  اعداد گویا معمولاً با حرف <math>\mathbb{Q}</math> نمایش داده می‌شوند که به انتخابِ [[جوزپه پئانو]] از ابتدای کلمهٔ ایتالیاییِ [[wikt:quoziente|quoziente]]، به‌معنای [[خارج قسمت|خارج‌قسمت]]، اخذ شده‌است.<ref>{{cite web|url=http://searchdatacenter.techtarget.com/definition/Mathematical-Symbols|title=Mathematical Symbols|accessdate=1 April 2015|last1=Rouse|first1=Margaret}}</ref>

== تعریف ==
به‌طور کلی می‌توان مجموعه اعداد گویا را بدین صورت تعریف کرد: اگر ما یک عدد طبیعی داشته باشیم و آن را (مثلا <math> {x} </math>) بر دیگری (مثلا <math> {y} </math>) تقسیم کنیم؛ به طوری که (یا به شرطی که) هم <math> {x} </math> (صورت) و هم <math> {y} </math> (مخرج) عضو مجموعه اعداد صحیح (<math>\mathbb{Z}</math>) باشند؛ و <math> {y} </math> (مخرج) برابر با صفر '''نباشد'''؛ آنگاه نسبت <math> {x} </math> به <math> {y} </math> (کسر مورد نظر) عددی گویا خواهد بود.<ref>[http://www.chap.sch.ir/sites/default/files/books/91-92/104/001-028-C211-1.pdf chap.sch.ir] صفحهٔ ۸.</ref> 
<math>\mathbb{Q}=\{\frac{x}{y} \mid x,y \in \Z  ,y\neq0 \}</math>

== نکات مهم ==

* اجتماع مجموعه اعداد گویا <math>\mathbb{Q}</math> و اعداد گنگ <math>\mathbb{Q}^c</math> (یعنی متمم اعداد گویا) برابر با مجموعه اعداد حقیقی است؛ و همچنین اشتراک این دو مجموعه برابر با <math>\emptyset</math> (تهی) می‌‌باشد:
{{وسط‌چین}}
<math>\mathbb{Q}\cup\mathbb{Q}^c=\mathbb{R}</math>{{سخ}}<math>\mathbb{Q}\cap\mathbb{Q}^c=\emptyset</math>
{{پایان وسط‌چین}}
* تمامی [[عدد حقیقی|اعداد حقیقی]] که گویا نباشند؛ [[عدد گنگ|گنگ]] هستند.  


* نسبت <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> با اینکه یک کسر است؛ اما یکی از شروط اعداد گویا این است که صورت و مخرج، عددی صحیح باشند؛ در صورتی که صورت یا مخرج، عددی رادیکالی باشد و جذر آن کامل نباشد؛ حاصل رادیکال عددی گنگ خواهد بود. پس این کسر، یک [[عدد گنگ]] است. اما نسبت <math>\frac{\sqrt{4}}{2}</math> یک عدد گویا می‌باشد؛ زیرا حاصل صورت این کسر جذر کامل می‌باشد.


* [[اعداد صحیح]]، [[اعداد طبیعی|طبیعی]] و  [[اعداد حسابی|حسابی]] ، [[زیرمجموعه|زیر مجموعه‌ای]] از اعداد گویا هستند. زیرا مخرج تمامی آنها برابر با یک است. (به عبارت ساده‌تر همانطور که می‌دانیم مخرج ۱ هیچ تاثیری در ماهیت عدد ندارد؛ یعنی اگر ما یک عدد دلخواه مانند <math> {x} </math> را داشته باشیم و به مخرج آن ۱ بدهیم؛ کسر با صورت <math> {x} </math> و مخرج ۱، هیچ تفاوتی با خود عدد <math> {x} </math> نخواهد داشت. که به صورت ریاضی <math> \frac{x}{1}={x} </math> می‌شود.) بنابراین می‌توانیم با دادن عدد یک به مخرج هر یک از آنها کسری داشته باشیم که تمامی شرایط یک عدد گویا را دارد؛


* اعداد اعشاری را می‌توان جزو اعداد گویا به حساب آورد؛ زیرا هر عدد اعشاری را می‌توان به صورت کسری نوشت که مخرج آن یکی از توان‌های مثبت ۱۰ و صورت آن یک عدد صحیح باشد. برای نمایش آنان روی محور می‌توان آنان را به کسر تبدیل نمود :
<math>  \frac{x}{10^n} \in \Q </math> <math> \Rightarrow </math>  <math>  x \in \Z </math> , <math>  n \in \N </math>


* بین دو عدد گویا بی‌نهایت عدد گویا وجود دارد. اعداد گویا از منفی بی‌نهایت تا مثبت بی‌نهایت ادامه دارند.


* بین دو عدد گنگ بی شمار عدد گنگ وجود دارد.

== مقایسه ==
برای مقایسه اعداد گویای مثبت، پس از هم مخرج کردن، صورت‌هایشان مورد مقایسه قرار می‌گیرد؛ صورت هر کدام که بزرگتر بود، آن عدد بزرگتر است. برای هم مخرج کردن، صورت و مخرج هر یک از اعداد گویا در مخرج دیگری ضرب می‌شود.

* '''نکته''': بین دو عدد گویای مثبت که صورتشان برابر است، عددی که مخرجش کوچکتر باشد، از عدد دیگر بزرگتر است.

برای مقایسه دو عدد گویای <math>\frac{a}{b}</math> و <math> \frac{c}{d}</math> به‌صورت زیر مخرج‌ها یکی می‌شوند:
{{وسط‌چین}}
<math>\frac{a}{b} = \frac{a \times d}{b \times d}, \frac{c}{d} = \frac{c \times b}{d \times b} </math>
{{پایان وسط‌چین}}

سپس صورت دو کسر به‌دست‌آمده مورد مقایسه قرار می‌گیرند: <math>a \times d \; ? \; c \times b</math>

=== مثال ===
دو عدد <math>\frac{5}{11}</math> و <math>\frac{3}{7}</math> به‌صورت زیر مقایسه می‌شوند:

{{وسط‌چین}}
<math>\frac{3}{7} = \frac{3 \times 11}{7 \times 11} = \frac{33}{77}\; , \; \frac{5}{11} = \frac{5 \times 7}{11 \times 7} = \frac{35}{77} \Rightarrow 33 < 35 \Rightarrow \frac{3}{7} < \frac{5}{11}</math>
{{پایان وسط‌چین}}

== اعمال اصلی ریاضی ==
=== جمع و تفریق ===
برای جمع و [[تفریق]] اعداد گویا ابتدا مخرج کسرها یکسان شده، سپس صورت‌ها با هم جمع یا تفریق می‌شوند:

{{وسط‌چین}}
<math>\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{ad \pm bc}{bd}</math>
{{پایان وسط‌چین}}

==== مثال ====
{{وسط‌چین}}
<math>\frac{4}{3} + \frac{2}{5} = \frac{20+6}{15} = \frac{26}{15}</math>

<math>\frac{5}{6} - \frac{5}{4} = \frac{20-30}{24} =\frac{-10}{24}</math>
{{پایان وسط‌چین}}

=== ضرب ===
برای ضرب اعداد گویا، صورت‌ها را در هم و مخرج‌ها نیز در هم ضرب می‌شوند.
{{وسط‌چین}}
<math>\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}</math>
{{پایان وسط‌چین}}

==== مثال ====
{{وسط‌چین}}<math>\frac{2}{5} \cdot \frac{14}{35} = \frac{2 \times 14 }{5 \times 35} = \frac{28}{175}</math>{{پایان وسط‌چین}}

=== تقسیم ===
برای تقسیم دو عدد گویا، [[عدد اول]] را در معکوس عدد دوم ضرب می‌شود.
{{وسط‌چین}}
<math>\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} . \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}</math>
{{پایان وسط‌چین}}

==== مثال ====
{{وسط‌چین}}
<math>\frac{5}{7} \div \frac{3}{5} = \frac{5}{7} \cdot \frac{5}{3} = \frac{5 \times 5 }{7 \times 3} = \frac{25}{21}</math>
{{پایان وسط‌چین}}

=== توزیع پذیری منفی و قرینه کسر ===
برای توزیع پذیری علامت منفی پشت پرانتز به کسر داخل پرانتز، کافی است؛ که پرانتز را حذف کنیم؛ و صورت '''یا''' مخرج کسر را قرینه نماییم.
{{وسط‌چین}}
<math> {\displaystyle -\left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {-a} {b}}={\frac {a} {-b}}} </math>
{{پایان وسط‌چین}}

=== مثال ===
{{وسط‌چین}}
<math> {\displaystyle -\left({\frac {7}{12}}\right)={\frac {-7} {12}}={\frac {7} {-12}}} </math>
{{پایان وسط‌چین}}

=== توان منفی کسر ===
اگر کسری را به توان عددی منفی برسانیم؛ برای اینکه بتوانیم توانی مثبت داشته باشیم؛ فقط کافی است که، کسر مذکور را معکوس نموده و خود توان را قرینه نماییم.
{{وسط‌چین}}
<math> {\displaystyle \left({\frac {x}{y}}\right)^{-n}=({\frac {y}{x}})^{n}} </math>
{{پایان وسط‌چین}}

=== مثال ===
{{وسط‌چین}}
<math> {\displaystyle \left({\frac {3}{5}}\right)^{-2}=({\frac {5}{3}})^{2}} </math>
{{پایان وسط‌چین}}

=== توزیع پذیری توان نسبت به صورت و مخرج در کسر ===
اگر ما کسری داشته داشته باشیم و '''کل کسر''' را به توان عددی طبیعی برسانیم؛ برای توزیع پذیری توان به صورت جداگانه نسبت به صورت و مخرج، فقط کافی است؛ که به طور جداگانه هم صورت و هم مخرج کسر را به توان همان عدد برسانیم.
{{وسط‌چین}}
<math> {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}} </math> 
{{پایان وسط‌چین}}

=== مثال ===
{{وسط‌چین}}
<math> {\displaystyle \left({\frac {10}{17}}\right)^{3}={\frac {10^{3}}{17^{3}}}} </math>
{{پایان وسط‌چین}}

=== توان صفر ===
اگر عدد یا کسری '''به غیر از صفر''' به توان صفر برسد؛ آنگاه حاصل برابر با ۱ خواهد شد.( 0 ≠ <math> {x} </math> ) 
{{وسط‌چین}}
<math> {\displaystyle \left({\frac {x}{y}}\right)^{0}=1} </math>
{{پایان وسط‌چین}}

=== مثال ===
{{وسط‌چین}}
<math> {\displaystyle \left({\frac {13}{-5}}\right)^{0}=1} </math>
{{پایان وسط‌چین}}

== جستارهای وابسته ==
{{طبقه‌بندی اعداد}}

== منابع ==
{{پانویس}}

{{نظریه اعداد}}
{{دستگاه اعداد}}
{{اعداد جبری}}
{{اعداد حقیقی}}

[[رده:اعداد حقیقی]]
[[رده:اعداد گویا|اعداد گویا]]
[[رده:ریاضیات مقدماتی]]
[[رده:کسر (ریاضی)]]
[[رده:نظریه مجموعه‌ها]]
[[رده:میدان (ریاضیات)]]