نمایش مبدأ برای عدد چرخش

در [[ریاضیات]]، '''عدد چرخش''' [[خاصیت توپولوژیکی|ناوردایی]] از [[هومئومورفیسم|همومورفیسم]]‌های [[دایره]] است.

== پیشینه ==
اولین بار توسط [[آنری پوانکاره]] درسال ۱۸۸۵ در رابطه با [[حرکت تقدیمی|تقدم]] [[اوج و حضیض|حضیض]] یک [[مدار (سیاره)|مدار سیاره‌ای]] تعریف شد. پوانکاره بعداً قضیه‌ای را اثبات کرد که وجود [[نقطه متناوب|مدارهای متناوب]] را از نظر [[عدد گویا|گویابودنِ]] عدد چرخش مشخص می‌کند.

== تعریف ==
فرض کنید که ''f'': ''S''<sup>1</sup> → ''S''<sup>1</sup> یک [[هومئومورفیسم|همومورفیسم]] جهت-نگهدار [[دایره]] ''S''<sup>1</sup> = '''R'''/'''Z''' است. سپس ''f'' را می‌توان به یک [[هومئومورفیسم|همومورفیسم]] ''F'': '''R''' → '''R''' از خط حقیقی [[لیفت (ریاضیات)|لیفت]] شود که ارضا می‌کند

: <math display="block"> F(x + m) = F(x) +m </math>

برای هر عدد حقیقی ''x'' و هر عدد صحیح ''m''.

'''عدد چرخش''' ''f'' برحسب [[تابع تکرار|تکرارهای]] ''F'' تعریف می‌شود:

: <math display="block">\omega(f)=\lim_{n\to\infty} \frac{F^n(x)-x}{n}.</math>

[[آنری پوانکاره|هانری پوانکاره]] ثابت کرد که این حد وجود دارد و مستقل از انتخاب نقطه شروع ''x'' است. بالابر ''F'' اعداد صحیح مدول منحصر به فرد است، بنابراین عدد چرخش یک عنصر کاملاً تعریف شده از '''R'''/'''Z''' است. به‌طور شهودی، میانگین زاویه چرخش در امتداد [[مدار (دینامیک)|مدارهای]] ''f'' را اندازه‌گیری می‌کند.

== مثال ==
اگر ''f'' چرخشی با <math>2\pi\theta</math> ''باشد'' (که <math display="inline">0\leqslant\theta<1</math>) باشد، پس

: <math display="block"> F(x)=x+\theta, </math>

سپس عدد چرخش آن ''θ'' است (ر.ک. [[چرخش ناگویا]]).

== جستارهای وابسته ==
* [[زبانه آرنولد|نگاشت دایره‌ای]]
* [[قضیه دانژوا بر عدد چرخش|وابرریختی دانژوا]]
* [[نگاشت پوانکاره|بخش پوانکاره]]
* [[قضیه بازگشتی پوانکاره|بازگشتی پوانکاره]]
* [[قضیه پوانکاره-بندیکسون]]

== منابع ==
{{چپ‌چین}}
* {{Cite journal|last=Herman|first=Michael Robert|date=December 1979|title=Sur la conjugaison différentiable des difféomorphismes du cercle à des rotations|trans-title=On the Differentiable Conjugation of Diffeomorphisms from the Circle to Rotations|url=http://www.numdam.org/item/PMIHES_1979__49__5_0|journal=[[Publications Mathématiques de l'IHÉS]]|language=fr|volume=49|pages=5–233|doi=10.1007/BF02684798}}, also ''SciSpace'' for smaller file size in [https://scispace.com/papers/sur-la-conjugaison-differentiable-des-diffeomorphismes-du-2klxn4vqsv pdf ver 1.3]
* Sebastian van Strien, ''[http://www.maths.warwick.ac.uk/~strien/MA424/HTMLversion/node6.html Rotation Numbers and Poincaré's Theorem]'' (2001)
{{پایان چپ‌چین}}

== پیوند به بیرون ==
{{چپ‌چین}}
* {{Scholarpedia|title=Rotation theory|urlname=Rotation_theory|curator=Michał Misiurewicz}}
* Weisstein, Eric W. [http://mathworld.wolfram.com/MapWindingNumber.html "Map Winding Number"]. From MathWorld--A Wolfram Web Resource
{{پایان چپ‌چین}}.
[[رده:سامانه‌های دینامیکی]]
[[رده:نقاط ثابت]]
[[رده:چرخش]]