نمایش مبدأ برای عدد پی

{{Short description|نسبت محیط دایره به قطرش است}}
{{جعبه عدد پی}}

'''عدد پی''' (<math>\pi</math>)، یک [[ثابت (ریاضیات)|ثابت ریاضیاتی]] است. این ثابت به صورت نسبت [[محیط دایره]] به [[قطر (دایره)|قطرش]] تعریف شده و تعاریف معادل مختلفی نیز دارد. این عدد در بسیاری از فرمول‌های ریاضیاتی، در تمام زمینه‌های ریاضیات و [[فیزیک]] ظاهر می‌شود. قدیمی‌ترین استفاده از [[الفبای یونانی|حرف یونانی]] <math>\pi</math> جهت نمایش نسبت [[محیط منحنی|محیط]] دایره به قطرش، توسط [[ریاضیدان]] [[مردم ویلزی|ویلزی]] به نام [[ویلیام جونز (ریاضی‌دان)|ویلیام جونز]] در ۱۷۰۶ میلادی بر می‌گردد.<ref>{{Cite book |url=https://archive.org/stream/SynopsisPalmariorumMatheseosOrANewIntroductionToTheMathematics/Synopsis_Palmariorum_Matheseos#page/n261/mode/1up |title=Synopsis Palmariorum Matheseos: or, a New Introduction to the Mathematics |last=Jones |first=William |year=1706 |pages=243, 263 |language=en|access-date=15 October 2017|archive-url=https://archive.org/details/SynopsisPalmariorumMatheseosOrANewIntroductionToTheMathematics/page/n283/mode/1up|archive-date=25 March 2012|url-status=live}}</ref> این ثابت تقریباً برابر با ۳٫۱۴۱۵۹ بوده و برخی مواقع به آن '''ثابت [[ارشمیدس]]''' هم گفته می‌شود.<ref>{{Cite web|date=2020-03-01|title=Compendium of Mathematical Symbols|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/|access-date=2020-08-10|website=Math Vault|language=en-US}}</ref><ref name=":2">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Pi|url=https://mathworld.wolfram.com/Pi.html|access-date=2020-08-10|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref><ref>{{Cite web|last=Bogart|first=Steven|title=What Is Pi, and How Did It Originate?|url=https://www.scientificamerican.com/article/what-is-pi-and-how-did-it-originate/|access-date=2020-08-10|website=Scientific American|language=en}}</ref>

از آنجا که <math>\pi</math> یک عدد گنگ است، نمی‌توان آن را به صورت کسر متعارفی بیان کرد، گرچه که کسرهایی چون <small><math>\frac{22}{7}</math></small> را اغلب جهت تخمین آن به کار می‌برند. [[عدد گنگ|گنگ]] بودن آن را می‌توان به‌طور معادل اینگونه بیان کرد: نمایش [[ده‌دهی|مبنای ده]] (دسیمال) آن پایان ناپذیر بوده و هیچگاه الگوی تا ابد تکرار شونده ای نخواهد داشت. ارقام مبنای ده (و [[مبنا|مبناهای]] دیگر) آن ظاهراً تصادفی بوده و [[حدس]] زده می‌شود که در [[عدد نرمال|نوع خاصی از تصادفی بودن آماری]] صدق می‌کند.

مشخص شده که <math>\pi</math> یک [[اعداد متعالی|عدد متعالی]] است:<ref name=":2"/> یعنی [[ریشه تابع|ریشه]] هیچ [[چندجمله‌ای]] با ضرایب گویا نیست. متعالی بودن <math>\pi</math> ایجاب می‌کند که حل چالش باستانی [[تربیع دایره]] با [[ساخت با خط‌کش و پرگار|خط‌کش و پرگار]] غیرممکن باشد. این عدد در محیط و مساحت دایره و در سطح و حجم استوانه، کره، مخروط استفاده می‌گردد.

تمدن‌های باستانی شامل [[مصر باستان|مصریان]] و [[ریاضیات بابلیان|بابلیان]]، نیاز به تخمین‌های نسبتاً دقیقی از <math>\pi</math> برای محاسبات عملی داشتند. حدود ۲۵۰ قبل از میلاد بود که ریاضیدان یونانی به نام [[ارشمیدس]]، الگوریتمی را جهت تخمین <math>\pi</math> با دقت دلخواه ایجاد کرد. در قرن پنجم بعد از میلاد، ریاضیدانان چینی عدد <math>\pi</math> را تا هفت رقم اعشار تخمین زدند، در حالی که ریاضیدانان هندی به تخمین پنج رقمی دست یافته و هردو نیز از فنون هندسی در این تخمین‌ها بهره جستند. اولین فرمول دقیق برای <math>\pi</math>، بر اساس [[سری (ریاضیات)|سری‌های نامتناهی]] بود که هزار سال بعد کشف شد. این کشف در ریاضیات هند و طی کشف سری ماداوا-لایبنیتس (Madhava-Leibniz) حاصل شد.{{sfn|Andrews|Askey|Roy|1999|p=59}}{{sfn|Gupta|1992|pp=۶۸–۷۱}}
(عدد پی برابر با ۳.۱۴ است)
به زودی، ابداع [[حسابان]] منجر به محاسبه صدها رقم از <math>\pi</math> شد که جهت استفاده در تمامی انواع محاسبات علمی کفایت می‌کرد. با این حال، در قرن ۲۰م و ۲۱م میلادی، ریاضیدانان و [[علوم کامپیوتر|دانشمندان کامپیوتری]] به دنبال رهیافت‌های تازه ای رفته‌اند که در ترکیب با افزایش قدرت محاسباتی، نمایش ارقام <math>\pi</math> را به چندین تریلیون رقم توسعه داده‌اند.<ref>{{cite web |url=http://www.pi2e.ch/ |title=π<sup>e</sup> trillion digits of π |archive-url=https://web.archive.org/web/20161206063441/http://www.pi2e.ch/ |website=pi2e.ch |archive-date=6 December 2016 |url-status=live}} <!-- – the exact number of digits increases periodically – it should not be included in this article by citing only a [[WP:PRIMARY|primary reference source]]. --></ref><ref>{{Cite web |last=Haruka Iwao |first=Emma |author-link=Emma Haruka Iwao |url=https://cloud.google.com/blog/products/compute/calculating-31-4-trillion-digits-of-archimedes-constant-on-google-cloud |title=Pi in the sky: Calculating a record-breaking 31.4 trillion digits of Archimedes' constant on Google Cloud |website=[[Google Cloud Platform]] |date=14 March 2019 |access-date=12 April 2019 |archive-url=https://web.archive.org/web/20191019023120/https://cloud.google.com/blog/products/compute/calculating-31-4-trillion-digits-of-archimedes-constant-on-google-cloud |archive-date=19 October 2019 |url-status=live}}</ref> در حقیقت انگیزه اولیه و اصلی محاسبات جهت یافتن ارقام عدد <math>\pi</math>، تبدیل این فرایند به نمونه آزمایشی جهت توسعه الگوریتم‌های کارا برای محاسبه سری‌های عددی، و همچنین عطش شکستن رکوردهاست.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=17}}{{sfn|Bailey|Plouffe|Borwein|Borwein|1997|pp=۵۰–۵۶}} چنین محاسبات گسترده‌ای که در این فرایند به کار می‌رود، جهت آزمودن [[سوپر کامپیوتر|سوپرکامپیوترها]] و [[الگوریتم|الگوریتم‌های]] ضرب با دقت بالا نیز به کار رفته‌اند.

از آنجا که مقدماتی‌ترین تعریف عدد <math>\pi</math>، مربوط به دایره است، انبوهی از فرمول‌های [[مثلثات|مثلثاتی]] و [[هندسه|هندسی]] دیگری نیز که برای آن یافته شده، فرمول‌هایی اند که با [[دایره|دایره‌ها]]، [[بیضی|بیضی‌ها]] و [[کره (هندسه)|کره‌ها]] در ارتباط اند. در [[آنالیز ریاضی]] مدرن تر، این عدد با استفاده از خواص [[نظریه طیفی|طیفی]] دستگاه [[اعداد حقیقی]]، به صورت [[مقدارویژه و بردارویژه|مقدارویژه]] یا [[تابع متناوب|تناوب توابع]] تعریف می‌گردد، بدون ارجاعی به هندسه. بنابر این در حوزه‌هایی از ریاضیات و علوم که در ظاهر ارتباط کمی با هندسه و دایره دارند، همچون [[نظریه اعداد]] و [[آمار]] و همچنین تقریباً در تمامی شاخه‌های فیزیک، عدد <math>\pi</math> ظهور پیدا می‌کند. حضور <math>\pi</math> در همه جا، هم در داخل جامه علمی و هم خارج آن، باعث شده که این عدد تبدیل به یکی از معروف‌ترین ثوابت ریاضیاتی گردد.

== مقدمات ==
=== نام ===
نمادی که ریاضیدانان برای نمایش نسبت محیط دایره به قطر آن به کار می‌برند [[پی (حرف)|حرف کوچک یونانی <math>\pi</math>]] است که «پی» تلفظ می‌شود و حرف اول کلمهٔ [[زبان یونانی|یونانی]] «پریمتروس»{{یادچپ|περίμετρος (perímetros)}} (به معنی محیط) است.<ref>{{cite journal |last=Boeing |first=Niels |date=14 March 2016 |url=http://www.zeit.de/zeit-wissen/2016/02/pi-tag-mathematik-pi-kreiszahl |title=Die Welt ist Pi |trans-title=The World is Pi |language=de |journal=Zeit Online |quote=''Die Ludolphsche Zahl oder Kreiszahl erhielt nun auch das Symbol, unter dem wir es heute kennen: William Jones schlug 1706 den griechischen Buchstaben π vor, in Anlehnung an perimetros, griechisch für Umfang. Leonhard Euler etablierte π schließlich in seinen mathematischen Schriften.'' [The Ludolphian number or circle number now also received the symbol under which we know it today: William Jones proposed in 1706 the Greek letter π, based on perimetros [περίμετρος], Greek for perimeter. Leonhard Euler firmly established π in his mathematical writings.] |deadurl=no |archiveurl=https://web.archive.org/web/20160317050313/http://www.zeit.de/zeit-wissen/2016/02/pi-tag-mathematik-pi-kreiszahl |archivedate=17 March 2016 |df=dmy-all}}</ref>
کاربرد ریاضیاتی حرف کوچک پی {{پی}} (یا π در قلم‌های [[سنزسریف]]) با کاربرد حرف بزرگ پی (یعنی {{ریاضی|∏}}) فرق دارد. حرف بزرگ پی برای نمایش [[ضرب (ریاضی)|ضرب دو دنباله]] استفاده می‌شود و کاربرد آن مشابه کاربرد {{ریاضی|∑}} در [[مجموع‌یابی]] است.

=== تعریف ===
<!--عدد پی عدد گنگی است که در بسیاری از محاسبات ریاضی به نحوی حضور دارد و از مهم‌ترین اعداد کاربردی در ریاضیات می‌باشد. آن را با <math>\pi</math> نمایش می‌دهند. در [[هندسه اقلیدسی]] دو بعدی، این عدد را نسبت محیط دایره به قطر دایره یا مساحت دایره‌ای به مجذور شعاع واحد تعریف می‌کنند. در ریاضیات مدرن این عدد را در [[آنالیز ریاضی]] و با استفاده از [[توابع مثلثاتی]]، به صورت دقیق ریاضی تعریف می‌کنند. به عنوان نمونه عدد پی را دو برابر کوچکترین مقدار مثبت <math>x</math>، که به ازای آن <math>cos(x)=0</math> می‌شود تعریف می‌کنند.

{{چپ‌چین}}

{| class="infobox" style="width:۴۲em;"
|-
|-style="text-align:center;"

| <small>۳٫۱۴۱۵۹۲۶۵۳۵ ۸۹۷۹۳۲۳۸۴۶ ۲۶۴۳۳۸۳۲۷۹ ۵۰۲۸۸۴۱۹۷۱ ۶۹۳۹۹۳۷۵۱۰
۵۸۲۰۹۷۴۹۴۴ ۵۹۲۳۰۷۸۱۶۴ ۰۶۲۸۶۲۰۸۹۹ ۸۶۲۸۰۳۴۸۲۵ ۳۴۲۱۱۷۰۶۷۹
۸۲۱۴۸۰۸۶۵۱ ۳۲۸۲۳۰۶۶۴۷ ۰۹۳۸۴۴۶۰۹۵ ۵۰۵۸۲۲۳۱۷۲ ۵۳۵۹۴۰۸۱۲۸
۴۸۱۱۱۷۴۵۰۲ ۸۴۱۰۲۷۰۱۹۳ ۸۵۲۱۱۰۵۵۵۹ ۶۴۴۶۲۲۹۴۸۹ ۵۴۹۳۰۳۸۱۹۶
۴۴۲۸۸۱۰۹۷۵ ۶۶۵۹۳۳۴۴۶۱ ۲۸۴۷۵۶۴۸۲۳ ۳۷۸۶۷۸۳۱۶۵ ۲۷۱۲۰۱۹۰۹۱
۴۵۶۴۸۵۶۶۹۲ ۳۴۶۰۳۴۸۶۱۰ ۴۵۴۳۲۶۶۴۸۲ ۱۳۳۹۳۶۰۷۲۶ ۰۲۴۹۱۴۱۲۷۳
۷۲۴۵۸۷۰۰۶۶ ۰۶۳۱۵۵۸۸۱۷ ۴۸۸۱۵۲۰۹۲۰ ۹۶۲۸۲۹۲۵۴۰ ۹۱۷۱۵۳۶۴۳۶
۷۸۹۲۵۹۰۳۶۰ ۰۱۱۳۳۰۵۳۰۵ ۴۸۸۲۰۴۶۶۵۲ ۱۳۸۴۱۴۶۹۵۱ ۹۴۱۵۱۱۶۰۹۴
۳۳۰۵۷۲۷۰۳۶ ۵۷۵۹۵۹۱۹۵۳ ۰۹۲۱۸۶۱۱۷۳ ۸۱۹۳۲۶۱۱۷۹ ۳۱۰۵۱۱۸۵۴۸
۰۷۴۴۶۲۳۷۹۹ ۶۲۷۴۹۵۶۷۳۵ ۱۸۸۵۷۵۲۷۲۴ ۸۹۱۲۲۷۹۳۸۱ ۸۳۰۱۱۹۴۹۱۲
۹۸۳۳۶۷۳۳۶۲ ۴۴۰۶۵۶۶۴۳۰ ۸۶۰۲۱۳۹۴۹۴ ۶۳۹۵۲۲۴۷۳۷ ۱۹۰۷۰۲۱۷۹۸
۶۰۹۴۳۷۰۲۷۷ ۰۵۳۹۲۱۷۱۷۶ ۲۹۳۱۷۶۷۵۲۳ ۸۴۶۷۴۸۱۸۴۶ ۷۶۶۹۴۰۵۱۳۲
۰۰۰۵۶۸۱۲۷۱ ۴۵۲۶۳۵۶۰۸۲ ۷۷۸۵۷۷۱۳۴۲ ۷۵۷۷۸۹۶۰۹۱ ۷۳۶۳۷۱۷۸۷۲
۱۴۶۸۴۴۰۹۰۱ ۲۲۴۹۵۳۴۳۰۱ ۴۶۵۴۹۵۸۵۳۷ ۱۰۵۰۷۹۲۲۷۹ ۶۸۹۲۵۸۹۲۳۵
۴۲۰۱۹۹۵۶۱۱ ۲۱۲۹۰۲۱۹۶۰ ۸۶۴۰۳۴۴۱۸۱ ۵۹۸۱۳۶۲۹۷۷ ۴۷۷۱۳۰۹۹۶۰
۵۱۸۷۰۷۲۱۱۳ ۴[[نقطه فاینمن|۹۹۹۹۹۹]]۸۳۷ ۲۹۷۸۰۴۹۹۵۱ ۰۵۹۷۳۱۷۳۲۸ ۱۶۰۹۶۳۱۸۵۹
۵۰۲۴۴۵۹۴۵۵ ۳۴۶۹۰۸۳۰۲۶ ۴۲۵۲۲۳۰۸۲۵ ۳۳۴۴۶۸۵۰۳۵ ۲۶۱۹۳۱۱۸۸۱
۷۱۰۱۰۰۰۳۱۳ ۷۸۳۸۷۵۲۸۸۶ ۵۸۷۵۳۳۲۰۸۳ ۸۱۴۲۰۶۱۷۱۷ ۷۶۶۹۱۴۷۳۰۳
۵۹۸۲۵۳۴۹۰۴ ۲۸۷۵۵۴۶۸۷۳ ۱۱۵۹۵۶۲۸۶۳ ۸۸۲۳۵۳۷۸۷۵ ۹۳۷۵۱۹۵۷۷۸
۱۸۵۷۷۸۰۵۳۲ ۱۷۱۲۲۶۸۰۶۶ ۱۳۰۰۱۹۲۷۸۷ ۶۶۱۱۱۹۵۹۰۹ ۲۱۶۴۲۰۱۹۸۹
۳۸۰۹۵۲۵۷۲۰ ۱۰۶۵۴۸۵۸۶۳ ۲۷۸۸۶۵۹۳۶۱ ۵۳۳۸۱۸۲۷۹۶ ۸۲۳۰۳۰۱۹۵۲
۰۳۵۳۰۱۸۵۲۹ ۶۸۹۹۵۷۷۳۶۲ ۲۵۹۹۴۱۳۸۹۱ ۲۴۹۷۲۱۷۷۵۲ ۸۳۴۷۹۱۳۱۵۱
۵۵۷۴۸۵۷۲۴۲ ۴۵۴۱۵۰۶۹۵۹</small>

|}
{{پایان چپ‌چین}}-->
[[پرونده:Pi eq C over d.svg|بندانگشتی|نسبت محیط [[دایره]] به قطر آن دقیقاً برابر {{پی}} است.]]
{{پی}} غالباً به‌عنوان [[نسبت (بین دو مقدار)|نسبت]] [[محیط منحنی|محیط]] یک [[دایره]] <math>(C)</math> به [[قطر (دایره)|قطر]] <math>(d)</math> تعریف می‌شود. یعنی:<ref name="Arndt">{{Harvard citation no brackets|Arndt|Haenel|2006|p=8}}</ref>
:{{وسط|<math> \pi = \frac{C}{d}</math>}}
نسبت <math>\tfrac{C}{d}</math> صرف‌نظر از اندازهٔ دایره ثابت است. مثلاً اگر قطر دایره دو برابر شود، محیط آن هم دو برابر خواهد شد و نسبت <math>\tfrac{C}{d}</math> ثابت خواهد ماند. این تعریف {{پی}} به‌شکل ضمنی از [[هندسه اقلیدسی]] (مسطح) استفاده می‌کند؛ یعنی بااین‌که مفهوم دایره را می‌توان به [[هندسه نااقلیدسی]] تعمیم داد، این «دایره»ها دیگر لزوماً در معادلهٔ <math> \pi = \tfrac{C}{d}</math> صدق نخواهند کرد.<ref name="Arndt"/>

مقدار محیط دایره برابر است با [[طول قوس]]ی که پیرامون دایره قرار دارد و این کمیت را می‌توان مستقل از هندسه و با استفاده از مفهوم [[حد (ریاضی)|حد]] در [[حساب دیفرانسیل و انتگرال]] محاسبه کرد.<ref>{{cite book|first=Tom |last=Apostol |authorlink=Tom Apostol |title=Calculus, volume 1 |publisher=Wiley |edition=2nd |year=1967}}. p. 102: "From a logical point of view, this is unsatisfactory at the present stage because we have not yet discussed the concept of arc length." Arc length is introduced on p. 529.</ref>
برای مثال، می‌توان طول قوس نیمهٔ بالایی دایرهٔ واحد، که معادلهٔ آن در [[دستگاه مختصات دکارتی]] برابر با {{ریاضی|''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> {{=}} ۱}}است، را مستقیماً به شکل [[انتگرال]] زیر حساب کرد:<ref name="Reinhold Remmert 1991 129">{{Citation|first=Reinhold|last=Remmert|chapter=What is {{پی}}?|title=Numbers|publisher=Springer|year=1991|page=129}}</ref>
:{{وسط|<math>\pi = \int_{-1}^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}.</math>}}

این تعریف {{پی}} با استفاده از انتگرال را نخستین بار [[کارل وایرشتراس]] در ۱۸۴۱ به کار برد.<ref>{{Harvard citation text|Remmert|1991}}. انتگرال دقیق وایرشتراس عبارت است از <math>\pi=\int_{-\infty}^\infty\frac{dx}{1+x^2}.</math></ref>

تعریف دیگری از عدد پی:

<math display="block">\frac\pi2=\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2} dx</math>

این گونه تعاریف پی {{پی}} که به مفهوم محیط و به‌شکلی ضمنی به [[انتگرال]] وابسته‌اند امروزه در ادبیات علمی رایج نیستند. به گفتهٔ [[راینهولد رمرت]] دلیل آن این است که در آموزش حسابان در مدارس [[حساب دیفرانسیل]] معمولاً پیش از حساب انتگرال قرار می‌گیرد و از این رو به تعریفی از {{پی}} نیاز است که به دومی وابسته نباشد.{{Sfn|Remmert|1991}}
یکی از این تعریف‌ها، که به ریچارد بالتزر{{یادچپ|Richard Baltzer}} منسوب است<ref>{{Citation|first=Richard |last=Baltzer |authorlink=Richard Baltzer |title=Die Elemente der Mathematik |language=de |trans-title=The Elements of Mathematics |year=1870 |page=195 |url=https://archive.org/details/dieelementederm02baltgoog |publisher=Hirzel |deadurl=no |archiveurl=https://web.archive.org/web/20160914204826/https://archive.org/details/dieelementederm02baltgoog |archivedate=14 September 2016 |df=dmy-all}}</ref> و [[ادموند لانداو]]آن را مشهور کرده‌است،<ref>{{Citation|first=Edmund |last=Landau |authorlink=Edmund Landau |title=Einführung in die Differentialrechnung und Integralrechnung |language=de |publisher=Noordoff |year=1934 |page=193}}</ref> از این عبارت است: {{پی}} دو برابر کوچکترین عددی است که در آن [[توابع مثلثاتی|تابع کسینوس]] برابر ۰ است.<ref name="Arndt"/><ref name="Reinhold Remmert 1991 129"/><ref name="Rudin 1976">{{cite book|last=Rudin|first=Walter|title=Principles of Mathematical Analysis|url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi|publisher=McGraw-Hill|year=1976|isbn=978-0-07-054235-8|ref=harv}}, p. 183.</ref> کسینوس را می‌توان مستقل از هندسه به عنوان یک [[سری توانی]],<ref>{{cite book|last=Rudin|first=Walter|title=Real and complex analysis|publisher=McGraw-Hill|year=1986|ref=harv}}, p. 2.</ref> یا به‌عنوان ریشهٔ یک [[معادله دیفرانسیل]] تعریف کرد.<ref name="Rudin 1976"/>

به همین ترتیب، , {{پی}} را می‌توان با استفاده از ویژگی‌های [[فرمول اویلر|تابع نمایی مختلط]]، {{ریاضی|exp(''z'')}}, ار متغیر [[عدد مختلط|مختلط]] {{ریاضی|''z''}} تعریف کرد. مانند کسینوس، تابع نمایی مختلط را می‌تواند به چند شکل تعریف کرد. ازین‌رو مجموعهٔ اعداد مختلطی که در آن {{ریاضی|exp(''z'')}} برابر یک است عبارت خواهد بود از یک [[تصاعد حسابی]] (موهومی) به صورت:

:{{وسط|<math>\{\dots,-2\pi i, 0, 2\pi i, 4\pi i,\dots\} = \{2\pi ki\mid k\in\mathbb Z\}</math>}}

و فقط یک عدد حقیقی {{پی}} با این ویژگی وجود دارد.<ref name="Reinhold Remmert 1991 129"/><ref>{{Citation|first=Lars |last=Ahlfors |authorlink=Lars Ahlfors |title=Complex analysis |publisher=McGraw-Hill |year=1966 |p=46}}</ref>
گونه‌ای انتزاعی‌تر از همین ایده، که از مفاهیم پیچیدهٔ ریاضیاتی [[توپولوژی]] و[[جبر]] استفاده می‌کند، قضیهٔ ذیل است:<ref>{{Citation|last=Bourbaki |first=Nicolas |authorlink=Nicolas Bourbaki |title=Topologie generale |publisher=Springer |year=1981}}, §VIII.2.</ref> تنها یک ([[به تقریب]] [[خودریختی]]) [[تابع پیوسته]] [[یک‌ریختی]] وجود دارد که دامنه‌اش [[گروه (ریاضی)|گروه]] '''R'''/'''Z''' از اعداد حقیقی تحت اعداد صحیح {{پم|گروه دایره|Circle group}} و [[برد (ریاضی)|برد]]ش گروه ضربی [[عدد مختلط|اعداد مختلط]] [[قدر مطلق (ریاضی)|قدر مطلق]] یک باشد و عدد {{پی}} برابر نصف بزرگی مشتق این هم‌ریختی است.<ref name="Nicolas Bourbaki">{{Citation|last=Bourbaki |first=Nicolas |authorlink=Nicolas Bourbaki |title=Fonctions d'une variable réelle |language=fr |publisher=Springer |year=1979}}, §II.3.</ref>

=== گنگ بودن و نرمال بودن ===
{{پی}} [[عدد گنگ|عددی گنگ]] است؛ یعنی نمی‌توان آن را به صورت یک [[عدد گویا]] (نسبت دو عدد صحیح) نوشت. گاه از [[کسر]]هایی مثل <math>\tfrac{22}{7}</math> برای تقریب {{پی}} استفاده می‌شود، ولی هیچ [[کسر]]ی  برابر مقدار دقیق {{پی}} نیست.<ref name="Arndt_i">{{Harvard citation no brackets|Arndt|Haenel|2006|p=5}}</ref> از آن‌جا که {{پی}} گنگ است، [[نمایش ده‌دهی]] آن تعداد نامتناهی رقم دارد و به شکل مختوم یا [[ده‌دهی متناوب]] نیست. اثبات‌های مختلفی برای گنگ بودن {{پی}} وجود دارد که غالباً مبتنی بر استفاده از حسابان و روش‌های [[تعلیق به محال]]ند. هنوز معلوم نیست که {{پی}} را تا به چه اندازه‌ای می‌توان با استفاده از [[عدد گویا]] تقریب کرد ([[عدد لیوویل|مقیاس گنگی]] آن محاسبه نشده‌است)؛ ولی بنابر تخمین‌ها مقیاس گنگی آن از مقیاس گنگی <math>e</math> یا <math>\ln{2}</math> بزرگتر ولی از مقیاس گنگی [[عدد لیوویل|اعداد لیوویل]] کوچک‌تر است.<ref>{{cite journal|last1=Salikhov|first1=V.|year=2008|title=On the Irrationality Measure of pi|journal=Russian Mathematical Surveys|volume=53|issue=3|pages=570–572|ref=harv|doi=10.1070/RM2008v063n03ABEH004543|bibcode = 2008RuMaS..63..570S| issn = 0036-0279 }}</ref>

ارقام اعشار {{پی}} هیچ الگوی مشخصی ندارند و شرایط [[تصادف آماری]] و [[عدد نرمال|اعداد نرمال]] را احراز می‌کنند.<ref name="random"/> با این حال نرمال بودن {{پی}} ثابت نشده‌است.<ref name="random">{{Harvard citation no brackets|Arndt|Haenel|2006|pp=22–23}}{{سخ}}{{cite news|url=http://www.lbl.gov/Science-Articles/Archive/pi-random.html|title=Are The Digits of Pi Random? Lab Researcher May Hold The Key|first=Paul|last=Preuss|authorlink=Paul Preuss (author)|publisher=[[آزمایشگاه ملی لارنس برکلی]]|date=23 July 2001|accessdate=10 November 2007|deadurl=no|archiveurl=https://web.archive.org/web/20071020010208/http://lbl.gov/Science-Articles/Archive/pi-random.html|archivedate=20 October 2007|df=dmy-all}}</ref>
با ابداع کامپیوتر، تعداد انبوهی از ارقام {{پی}} برای تحلیل‌های آماری در دسترس ریاضی‌دانان قرار گرفت. [[یاسوماسا کانادا]] با انجام تحلیل‌های آماری روی ارقام {{پی}} آن‌ها را با شرایط نرمال هماهنگ دانست و نشانی از وجود الگو در آن‌ها نیافت.<ref>{{Harvard citation no brackets|Arndt|Haenel|2006|pp=22, 28–30}}</ref> بنابر [[قضیه میمون نامتناهی]]، هر وقت دنباله‌ای تصادفی از ارقام به اندازه کافی بزرگ باشد، بخشی از آن شامل دنباله‌هایی است که به نظر غیر تصادفی می‌رسند. یک نمونهٔ دنباله‌های تصادفی در دنبالهٔ ارقام {{پی}} که به نظر غیرتصادفی می‌رسند از رقم ۷۶۲م در نمایش اعشاری {{پی}} آغاز می‌شود و در [[فولکلور ریاضی]] به [[نقطه فاینمن]] موسوم است.<ref>{{Harvard citation no brackets|Arndt|Haenel|2006|p=3}}</ref>

=== تعالی ===
[[پرونده:Squaring the circle.svg|بندانگشتی|از آنجا که {{پی}} جزء مجموعهٔ[[اعداد متعالی]] است، [[تربیع دایره]] با استفاده از ابزارهای سنتی [[ترسیم با خط‌کش و پرگار|خط‌کش و پرگار]] ممکن نیست.]]
می‌توان ثابت کرد که {{پی}} یکی از [[اعداد متعالی|عددی متعالی]]است، به این معنی که هیچ [[معادله جبری]] غیرثابت با ضرایب [[عدد گویا|گویا]] (مثلاً{{ریاضی|{{sfrac|''x''<sup>5</sup>|120}} − {{Sfrac|''x''<sup>3</sup>|6}} + ''x'' {{=}} ۰}}) وجود ندارد که جوابش پی باشد.<ref name="ttop">{{cite web|first=Steve|last=Mayer |url=http://dialspace.dial.pipex.com/town/way/po28/maths/docs/pi.html |archive-url=https://web.archive.org/web/20000929033317/http://dialspace.dial.pipex.com/town/way/po28/maths/docs/pi.html |archive-date=2000-09-29 |title=The Transcendence of {{پی}}|accessdate=4 November 2007}}</ref>{{یاد|این چندجمله‌ای عبارت‌های اول [[بسط تیلور]] از تابع [[سینوس (ریاضیات)|سینوس]] است.}}

از تعالی {{پی}} دو نتیجهٔ مهم می‌شود گرفت: یکی اینکه {{پی}} را نمی‌توان با استفاده از ترکیب متناهی اعداد گویا و [[ریشه عدد|ریشهٔ دوم]] (مانند{{ریاضی|{{radic|31|3}}}} یا {{ریاضی|{{sqrt|10}}}}) بیان کرد. ثانیاً از آنجا که اعداد متعالی [[عدد ترسیم‌پذیر|ترسیم‌پذیر]] نیستند، [[تربیع دایره]] با استفاده از [[ترسیم با خط‌کش و پرگار|خط‌کش و پرگار]] غیرممکن است، یعنی نمی‌توان تنها با استفاده از خط‌کش و پرگار مربعی رسم کرد که مساحت آن برابر مساحت دایره‌ای معین باشد.<ref>{{Harvard citation no brackets|Posamentier|Lehmann|2004|p=25}}</ref> تربیع مربع یکی از مهمترین مسائل هندسی در گذر تاریخ بوده‌است<ref>{{Harvard citation no brackets|Eymard|Lafon|1999|p=129}}</ref> و با اینکه در ۱۸۸۲ [[فردیناند فون لیندمن]] نشان داد که پی عددی متعالی است و تربیع دایره غیرممکن است، هنوز برخی ریاضی‌دانان آماتور تلاش می‌کنند آن را حل کنند و گاه ادعا می‌کنند آن را حل کرده‌اند.<ref>{{Harvard citation no brackets|Beckmann|1989|p=37}}{{سخ}}{{cite book|last=Schlager|first=Neil|last2=Lauer|first2=Josh|title=Science and Its Times: Understanding the Social Significance of Scientific Discovery|publisher=Gale Group|year=2001|isbn=978-0-7876-3933-4|ref=harv}}, p. 185.</ref>

=== کسرهای مسلسل ===
[[پرونده:Matheon2.jpg|بندانگشتی|ثابت {{پی}} با استفاده از [[موزائیک]] در محوطهٔ ساختمان ریاضیات [[دانشگاه فنی برلین]]]]
مانند همهٔ اعداد گنگ، ثابت {{پی}} نمی‌توان به صورت یک [[کسر]] متعارفی ساده (کسر معمولی، که صورت و مخرج آن اعداد صحیح هستند) نمایش داد. بااین‌حال همهٔ اعداد گنگ، از جمله {{پی}} را می‌توان با استفاده از سلسله‌ای نامتناهی از کسرهای تودرتو، موسوم به [[کسر مسلسل]]، نشان داد:

:{{وسط|<math>
\pi=3+\textstyle \cfrac{1}{7+\textstyle \cfrac{1}{15+\textstyle \cfrac{1}{1+\textstyle \cfrac{1}{292+\textstyle \cfrac{1}{1+\textstyle \cfrac{1}{1+\textstyle \cfrac{1}{1+\ddots}}}}}}}</math>}}

با قطع کردن این کسر مسلسل در هر مرحله، می‌توان تقریبی گویا از {{پی}} به‌دست‌آورد؛ چهار انقطاع و تقریب گویای اول این کسر مسلسل عبارتند از ۳، ۲۲/۷، ۳۳۳/۱۰۶، و ۳۵۵/۱۱۳. این اعداد شناخته‌شده‌ترین و پراستفاده‌ترین تقریب‌های عدد پی هستند. هر تقریبی که به این شکل به‌دست بیاید «بهترین تقریب گویا» در آن مخرج است، به این مفهوم که از هر عدد گویا با مخرج برابر یا کمتر به {{پی}} نزدیک‌تر است.<ref name="Eymard 1999 78">{{Harvard citation no brackets|Eymard|Lafon|1999|p=78}}</ref> از آن‌جا که {{پی}} عددی متعالی است، بنابر تعریف [[عدد جبری]] نیست و نمی‌تواند [[عدد گنگ درجه دو]] باشد. ازین‌رو {{پی}} [[کسر مسلسل دوره‌ای]] ندارد. بااین‌که در کسر مسلسل معمولی {{پی}} (که در بالا آمده‌است) هیچ الگوی مشخصی نیست،<ref name="ReferenceA">{{Cite OEIS|sequencenumber=A001203|name=Continued fraction for Pi}} Retrieved 12 April 2012.</ref> ریاضی‌دانان چند [[کسر مسلسل عام]] (کسر مسلسلی با صورت یا مخرج مختلط) برای آن کشف کرده‌اند که الگوی مشخصی دارند، ازآن‌جمله:<ref>{{cite journal|title=An Elegant Continued Fraction for {{پی}}|url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1999-05_106_5/page/456|first=L.J.|last=Lange|journal=[[The American Mathematical Monthly]]|volume=106|issue=5| date=May 1999 |pages=456–458|jstor=2589152|doi=10.2307/2589152|ref=harv}}</ref>

:{{وسط| <math>
\begin{align}
\pi & = \textstyle \cfrac{4}{1+\textstyle \cfrac{1^2}{2+\textstyle \cfrac{3^2}{2+\textstyle \cfrac{5^2}{2+\textstyle \cfrac{7^2}{2+\textstyle \cfrac{9^2}{2+\ddots}}}}}}
=3+\textstyle \cfrac{1^2}{6+\textstyle \cfrac{3^2}{6+\textstyle \cfrac{5^2}{6+\textstyle \cfrac{7^2}{6+\textstyle \cfrac{9^2}{6+\ddots}}}}} \\[8pt]
& =\textstyle \cfrac{4}{1+\textstyle \cfrac{1^2}{3+\textstyle \cfrac{2^2}{5+\textstyle \cfrac{3^2}{7+\textstyle \cfrac{4^2}{9+\ddots}}}}}
\end{align}
</math>}}

=== تقریب و ارقام ===
{{اصلی|تقریب‌های عدد پی}}
برخی از تقریب‌های {{پی}} عبارتند از:
* '''عدد صحیح''': [[۳ (عدد)|۳]]
* '''کسرها''': کسرهای تقریبی {{پی}} (به ترتیب دقت) عبارتند از {{Sfrac|22|7}}، {{Sfrac|333|106}}، {{Sfrac|355|113}}، {{Sfrac|52163|16604}}، {{Sfrac|103993|33102}}، و {{Sfrac|245850922|78256779}}.<ref name="Eymard 1999 78"/>
* '''ارقام''': ۵۰ رقم اعشاری اول {{پی}} عبارتند از {{Gaps|3.14159|26535|89793|23846|26433|83279|50288|41971|69399|37510}}<ref>{{Harvard citation no brackets|Arndt|Haenel|2006|p=240}}</ref> (see {{OEIS2C|id=A000796}})

==== ارقام در دستگاه‌های اعداد دیگر ====
* ۴۸ رقم اعشاری {{پی}} در [[دستگاه اعداد دودویی]] ([[مبنا]]ی ۲) عبارتند از: {{Gaps|11.0010|0100|0011|1111|0110|1010|1000|1000|1000|0101|1010|0011...}}
* ۲۰ رقم اول اعشاری {{پی}} در [[دستگاه اعداد پایه ۱۶|دستگاه اعداد هِگزادِسیمال]] (مبنای ۱۶) عبارتند از{{Gaps|3.243F|6A88|85A3|08D3|1319...}}<ref>{{Harvard citation no brackets|Arndt|Haenel|2006|p=242}}</ref>
* پنج رقم اول {{پی}} در [[دستگاه اعداد پایه ۶۰|دستگاه اعداد شصت‌شصتی]] (مبنای ۶۰) عبارتند از {{ریاضی|۳;۸٬۲۹٬۴۴٬۰٬۴۷}}<ref>{{Citation|title=Abu-r-Raihan al-Biruni, 973–1048|last=Kennedy|first=E.S.|journal=Journal for the History of Astronomy|volume=9|page=65|bibcode=1978JHA.....9...65K|doi=10.1177/002182867800900106|year=1978}}. [[بطلمیوس|Ptolemy]] used a three-sexagesimal-digit approximation, and [[غیاث‌الدین جمشید کاشانی|Jamshīd al-Kāshī]] expanded this to nine digits; see {{Citation|last= Aaboe |first= Asger |authorlink= Asger Aaboe |year= 1964 |title= Episodes from the Early History of Mathematics |series= New Mathematical Library |volume= 13 |publisher= Random House |location= New York |page= 125 |url= https://books.google.com/books?id=5wGzF0wPFYgC&pg=PA125 |deadurl= no |archiveurl= https://web.archive.org/web/20161129205051/https://books.google.com/books?id=5wGzF0wPFYgC&pg=PA125 |archivedate= 29 November 2016 |df= dmy-all |isbn= 978-0-88385-613-0}}</ref>

=== اعداد مختلط و اتحاد اویلر ===
[[پرونده:Euler's formula.svg|بندانگشتی|رابطهٔ بین توان‌های موهومی عدد {{ریاضی|''e''}} and [[نقطه (هندسه)]] روی محیط [[دایره واحد]] به مرکزیت [[مبدأ (ریاضیات)|مبدأ مختصاتی]] در [[صفحه مختلط]] را می‌توان با استفاده از [[فرمول اویلر]] به‌دست‌آورد.]]
هر [[عدد مختلط]] {{ریاضی|''z''}} می‌توان با استفاده از دو [[عدد حقیقی]] نمایش داد. در [[دستگاه مختصات قطبی]]، یک ([[شعاع]] یا ''r'') برای نمایش فاصلهٔ {{ریاضی|''z''}} از [[مبدأ (ریاضیات)|مبدأ مختصاتی]] [[صفحه مختلط]] و عدد دیگر (زاویه یا {{ریاضی|φ}}) برای نمایش [[چرخش]]ی در خلاف جهت عقربه‌های ساخت از [[خط حقیقی]] مثبت به شکل زیر استفاده می‌شود:<ref>{{Harvard citation no brackets|Ayers|1964|p=100}}</ref>
:{{وسط|<math>z = r\cdot(\cos\varphi + i\sin\varphi),</math>}}
که در آن {{ریاضی|''i''}} [[یکه موهومی]]‌ای است که در {{ریاضی|''i''<sup>2</sup> {{=}} −۱}} صدق می‌کند. حضور مداوم {{پی}} در [[آنالیز مختلط]] را می‌توان با رفتار [[تابع نمایی]] متغیر مختلط مرتبط دانست، که به‌شکل زیر با [[فرمول اویلر]] توصیف می‌شود:<ref name="EF">{{Harvard citation no brackets|Bronshteĭn|Semendiaev|1971|p=592}}</ref>

:{{وسط|<math>e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi,</math>}}

که در آن [[عدد e]] پایهٔ [[لگاریتم طبیعی]] است. این فرمول رابطه‌ای بین توان‌های موهومی {{ریاضی|''e''}} و نقاط روی محیط [[دایره واحد]] که مرکز در مبدأ مختصاتی صفحهٔ مختلط قرار دارد برقرار می‌کند. با قرار دادن {{ریاضی|''φ''}} = {{پی}} در فرمول اویلر می‌توان [[اتحاد اویلر]] را به‌دست‌آورد. سرشناسی این اتحاد نزد ریاضی‌دانان از آن رو است که پنج تا از مهم‌ترین ثابت‌های ریاضی را در خود دارد:<ref name="EF"/><ref>Maor, Eli, ''E: The Story of a Number'', Princeton University Press, 2009, p. 160, {{شابک۲|978-0-691-14134-3}} ("five most important" constants).</ref>
:{{وسط|<math>e^{i \pi} + 1 = 0.</math>}}

{{ریاضی|''n''}} تا [[عدد مختلط]] {{ریاضی|''z''}} وجود دارد که در رابطهٔ {{ریاضی|1=''z''<sup>''n''</sup> = ۱}} صدق کند، و این‌ها به «[[ریشه واحد]] {{ریاضی|''n''}}م» موسومند<ref>{{MathWorld|RootofUnity|Roots of Unity}}</ref> و از طریق فرمول:
:{{وسط|<math>e^{2 \pi i k/n} \qquad (k = 0, 1, 2, \dots, n - 1).</math>}}
محاسبه می‌شوند.

== تاریخچه ==
در [[عموری‌ها|بابل کهن]] بین ۱۶۰۰ تا ۱۹۰۰ سال پیش از میلاد عدد پی را به صورت {{sfrac|۲۵|۸}} = ۳٫۱۲۵ تخمین زدند. در [[مصر باستان]] نیز بین ۱۶۰۰ تا ۱۸۵۰ سال پیش از میلاد {{چر}}({{sfrac|۱۶|۹}})<sup>۲</sup>{{چر}} ≈ ۳٫۱۶۰۵ برآورد کردند.<ref name="Arndt_d">{{harvnb|Arndt|Haenel|۲۰۰۶|p=۱۶۷}}</ref>

عدد پی حدود چهار هزار سال پیش نیز کشف شده بود، ولی نام خاصی برای آن تعیین نشده بود و در آن زمان نمی‌دانستند که عدد پی، عددی گنگ است. یکی از نظریه‌ها راجع به مساحت [[دایره]] بوده‌است که نمایان گر آن است عدد پی را به صورت نامحسوسی کشف کرده بودند؛ این نظریهٔ [[پاپیروس]] است که می‌گفت: اگر قطر دایره ای را به نه قسمت مساوی تقسیم کنیم و یک قسمت از آن را حذف کنیم، مربعی به ضلع آن، مساحتی برابر با مساحت آن دایره دارد. با این حساب عدد پی به صورت یک عبارت گویا و به صورت اعشاری تقریباً برابر است با "۳٫۱۶" که این عدد خیلی به عدد پی نزدیک است و دقتی تا این حد در آن زمان بسیار جالب توجه است. البته این قبل از آن است که مشخص شود عدد پی گنگ است.<ref name="JM">[http://just-mathematic.ir/post/2#ex-his JM فقط ریاضی] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150621165518/http://just-mathematic.ir/post/2#ex-his |date=21 ژوئن 2015 }} عدد پی</ref>

تقریب اعشاری عدد پی[[پرونده:cir.jpg|left]]

پس از آن که مشخص شد که عدد پی، عددی گنگ است؛ اولین نظریه در مورد مقدار تقریبی عدد پی توسط [[ارشمیدس]] بیان شد. این نظریه بر پایه تقریب زدن مساحت دایره به وسیلهٔ یک شش ضلعی منتظم محیطی و یک شش ضلعی منظم محاطی استوار است.<ref name="JM"/>

ریاضیدانان اروپایی در قرن هفدهم به مقدار واقعی عدد پی نزدیک‌تر شدند. از جمله این دانشمندان [[جیمز گریگوری (ریاضی‌دان)|جیمز گریگوری]] بود که برای پیدا کردن مقدار عدد پی از فرمول زیر استفاده کرد:
<math>\frac11 - \frac13 + \frac15 - \frac17 + \frac19 - \ldots = \frac{\pi}{4}</math>

یکی از مشکلاتی که در این روش وجود دارد این است که برای پیدا کردن مقدار عدد پی تا ۶ رقم اعشار باید پنج میلیون جمله از سری فوق را با هم جمع کنیم.

طبق محاسبهٔ کامپیوتری سری فوق، تعداد سری و اعشار محاسبه شده مطابق زیر است:
* ۱۰۰ میلیون جمله: ۷ رقم اعشار
* یک میلیارد جمله: ۸ رقم اعشار

ارقام بالا نشان می‌دهد که این الگوریتم [[رشد نمایی]] شدیدی دارد که زمان زیادی را می‌تواند برای محاسبهٔ ارقام بسیار بالا صرف نماید.

در سال ۱۷۶۱ [[یوهان هاینریش لامبرت|لامبرت]] ریاضیدان سوئیسی ثابت کرد که عدد پی گنگ است و نمی‌توان آن را به صورت نسبت دو [[عدد صحیح]] نوشت. همچنین در سال ۱۸۸۲ [[فردیناند فون لیندمان]] ثابت کرد که عدد پی یک عدد جبری نیست و نمی‌تواند ریشه یک [[معادله جبری]] باشد که ضرایب آن گویا هستند (همانند [[عدد e]]). کشف گنگ بودن عدد پی، به سال‌ها تلاش ریاضی‌دانان برای [[تربیع دایره]] پایان داد.

در اوایل قرن هجدهم ریاضیدان دیگری به نام جان ماشین فرمول گریگوری را اصلاح کرد که این فرمول امروزه نیز در برنامه‌های رایانه‌ای برای محاسبه عدد پی مورد استفاده قرار می‌گیرد.
این فرمول به صورت زیر است:

<math>\frac{\pi}{4} = 4 \arctan \frac15 - \arctan \frac1{239}</math>

با استفاده از این [[فرمول یک]] انگلیسی به نام [[ویلیام شانکس]] مقدار عدد پی را تا ۷۰۷ رقم اعشار محاسبه کرد، در حالیکه فقط ۵۲۷ رقم آن درست بود.

با آن که همه ریاضیدانان می‌دانند که عدد پی گنگ است و هرگز نمی‌توان آن را به طور دقیق محاسبه کرد اما ارائه فرمول‌ها و مدل‌های محاسبه عدد پی همواره برای آنها از جذابیت برخوردار بوده است. بسیاری از آنها همه عمر خود را صرف محاسبه ارقام این عدد کردند اما هرگز نتوانستند تا پیش از ساخته شدن کامپیوتر این عدد را بیش از هزار رقم اعشار محاسبه کنند.

امروزه مقدار عدد پی با استفاده از پیشرفته‌ترین رایانه‌ها تا میلیون‌ها رقم محاسبه شده‌است و تعداد این ارقام هنوز در حال افزایش است. اولین محاسبه کامپیوتری در سال ۱۹۴۹ انجام گرفت و این عدد را تا ۲۰۰۰ رقم محاسبه کرد و در اواخر سال ۱۹۹۹ یکی از [[سوپر کامپیوتر]]های [[دانشگاه توکیو]] این عدد را تا ۲۰۶٬۱۵۸٬۴۳۰٬۰۰۰ رقم اعشار محاسبه کرد.

از سال ۱۹۸۸ روز ۱۴ مارس را در آمریکا [[روز عدد پی]] نام نهاده‌اند و جشن می‌گیرند. روزهای دیگری نیز برای عدد پی در دیگر کشورها تعیین شده و مراسمی برای معرفی عدد پی و اهمیت آن برگزار می‌شود.

لازم به ذکر است، ماجراجویی برای دستیابی برای تقریب‌های دقیق‌تر برای این عدد مرموز، همچنان ادامه دارد و در سال‌های اخیر توفیقاتی نیز در این خصوص حاصل شده است. با شروع قرن بیستم، حدود ۵۰۰ رقم پی محاسبه شده بود. با پیشرفت تکنولوژی و به‌لطف محاسبات کامپیوتری، اکنون ما تا ده‌ها تریلیون رقم اول این عدد را می‌دانیم. در سال ۲۰۱۹، ''اِما هاروکا''، مشاور توسعه فضای ابری در گوگل، موفق شد با استفاده از ۱۷۰ ترابایت داده و برنامه چندرشته‌ای موسوم به y-cruncher، دقیق‌ترین مقدار عدد پی در جهان را تا آن زمان محاسبه کند که شامل ۳۱٫۴ تریلیون رقم اعشار می‌شد. محاسبه این ارقام ۱۲۱ روز طول کشید. ناگفته نماند سال ۲۰۲۰ رکورد محاسبه بیشترین ارقام پی به ۵۰ تریلیون رسید. آخرین دستاورد در این حوزه، مربوط به محققان دانشگاه [[علوم کاربردی]] گروبندن (Graubuenden) [[سوئیس]] است که با استفاده از یک ابررایانه موفق به محاسبه عدد "پی" تا ۶۲.۸ تریلیون رقم شدند. به گفته‌ی مرکز تجزیه و تحلیل داده‌های این دانشگاه، محاسبه این عدد ۱۰۸ روز و ۹ ساعت به طول انجامیدو دستیابی به آن دوبرابر سریع‌تر از رکورد کارمند گوگل در سال ۲۰۱۹ و سه و نیم برابر سریع‌تر از آخرین رکورد ثبت شده در سال ۲۰۲۰ بود.

== عدد پی در ایران ==
در [[قرن نهم هجری]]، [[غیاث‌الدین جمشید کاشانی]]، ریاضی‌دان دانشمند ایرانی، در ''[[رسالة المحیطیه]]'' که دربارهٔ دایره نوشت، عدد پی را با ۱۶ رقم درست پس از ممیز یافت که تا ۱۸۰ سال بعد کسی نتوانست آن را گسترش دهد.

{{-}}
{| class="infobox" style ="width: 370px;"
| colspan="2" align="center" | {{اعداد گنگ}}
|-
|[[دستگاه اعداد دودویی|دودویی]]
| ۱۱٫۰۰۱۰۰۱۰۰۰۰۱۱۱۱۱۱۰۱۱۰…
|-
| [[دستگاه اعداد دهدهی|دهدهی]]
| ۳٫۱۴۱۵۹۲۶۵۳۵۸۹۷۹۳۲۳۸۴۶…
|-
| [[دستگاه اعداد دوازده‌دوازدهی|دوازده‌دوازدهی]]
| ۳٬۱۸۴۸۰۹۴۹۳B۹۱۸۶۴…
|-
| [[دستگاه اعداد شانزده‌شانزدهی|شانزده‌شانزدهی]]
| ۳٫۲۴۳F6A8885A308D۳۱۳۱۹…
|-
| [[کسر متناوب]]
| <math>3 + \cfrac{1}{7 + \cfrac{1}{15 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{292 + \ddots}}}}</math>{{سخ}}<small>Note that this continued fraction is not periodic.</small>
|}

== در رسانه ==
* در سال ۱۹۹۸ فیلمی به همین نام یعنی [[پی (فیلم)|پی]] ساخته شد.
* [https://article.tebyan.net/Article/AmpShow/155001 ستون های تخت جمشید بر اساس عدد پی ساخته شده]
* [http://www.tebyan.net/index.aspx?pid=38683&KEYWORD=+عدد+پی سریالی به نام «نردبام آسمان» درباره زندگی کاشف ایرانی عدد پی]

== کاربرد ==
''مرتبط: {{پم|List of formulae involving π|فهرست فرمول‌های شامل عدد پی}}''
از آن‌جا که {{پی}} ارتباط نزدیکی با [[دایره]] دارد، می‌توان در بسیاری از فرمول‌های هندسه و مثلثات، به ویژه فرمول‌هایی که مربوط به دایره، [[کره (هندسه)|کره]]، یا [[بیضی]] می‌شوند رد پای آن را دید. {{پی}} همچنین در فرمول‌های دیگر علوم از جمله ریاضیات تحلیلی، نظریه اعداد، فیزیک، آمار، احتمالات، مهندسی، و زمین‌شناسی دیده می‌شود.

== جستارهای وابسته ==
* [[مسئله سوزن بوفون]]

== یادداشت‌ها ==
{{یادداشت}}

== ارجاعات ==
{{پانویس|۲|چپ‌چین=بله}}

== منابع ==
{{چپ‌چین}}
{{refbegin|30em}}
*{{cite book |last1=Andrews |first1=George E. |last2=Askey |first2=Richard |last3=Roy |first3=Ranjan |title=Special Functions |url=https://books.google.com/books?id=kGshpCa3eYwC&pg=PA59 |year=1999 |publisher=University Press |location=Cambridge |isbn=978-0-521-78988-2}}
* {{cite book |last1=Arndt |first1=Jörg |last2=Haenel |first2=Christoph |title=Pi Unleashed |publisher=Springer-Verlag |year=2006 |isbn=978-3-540-66572-4 <!--isbn only volume 1--> |url=https://books.google.com/books?id=QwwcmweJCDQC |access-date=5 June 2013}} English translation by Catriona and David Lischka.
* {{cite book |last=Ayers |first=Frank |title=Calculus |publisher=McGraw-Hill |year=1964 |isbn=978-0-07-002653-7 }}
*{{cite journal |last1=Bailey |first1=David H. |last2=Plouffe |first2=Simon M. |last3=Borwein |first3=Peter B. |last4=Borwein |first4=Jonathan M. |title=The quest for PI |url=https://archive.org/details/sim_mathematical-intelligencer_winter-1997_19_1/page/50 |journal=The Mathematical Intelligencer |volume=19 |issue=1 |year=1997 |pages=50–56 |issn=0343-6993 |doi=10.1007/BF03024340 |citeseerx=10.1.1.138.7085|s2cid=14318695 }}
* {{cite book |last=Beckmann |first=Peter |title=History of Pi |url=https://archive.org/details/historyofpisymbo00beck |publisher=St. Martin's Press |year=1989 |orig-year=1974 |isbn=978-0-88029-418-8 }}
* {{cite book |last1=Berggren |first1=Lennart |last2=Borwein |first2=Jonathan|author2-link=Jonathan Borwein |last3=Borwein |first3=Peter|author3-link=Peter Borwein |title=Pi: a Source Book |publisher=Springer-Verlag |year=1997 |isbn=978-0-387-20571-7 }}
*{{cite journal |last=Boeing |first=Niels |date=14 March 2016 |url=http://www.zeit.de/zeit-wissen/2016/02/pi-tag-mathematik-pi-kreiszahl |title=Die Welt ist Pi |trans-title=The World is Pi |language=de |journal=Zeit Online |quote=''Die Ludolphsche Zahl oder Kreiszahl erhielt nun auch das Symbol, unter dem wir es heute kennen: William Jones schlug 1706 den griechischen Buchstaben π vor, in Anlehnung an perimetros, griechisch für Umfang. Leonhard Euler etablierte π schließlich in seinen mathematischen Schriften.'' [The Ludolphian number or circle number now also received the symbol under which we know it today: William Jones proposed in 1706 the Greek letter π, based on perimetros [περίμετρος], Greek for perimeter. Leonhard Euler firmly established π in his mathematical writings.] |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20160317050313/http://www.zeit.de/zeit-wissen/2016/02/pi-tag-mathematik-pi-kreiszahl |archive-date=17 March 2016}}
* {{cite book |last1=Borwein |first1=Jonathan|last2=Borwein |first2=Peter|title=Pi and the AGM: a Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity |publisher=Wiley |year=1987 |isbn=978-0-471-31515-5 }}
* {{cite book |last1=Boyer |first1=Carl B. |last2=Merzbach |first2=Uta C.|author2-link= Uta Merzbach |year=1991 |title=A History of Mathematics |url=https://archive.org/details/historyofmathema00boye|url-access=registration |edition=2 |publisher=Wiley |isbn=978-0-471-54397-8 }}<!-- Year from ISBN. Original citatation was just to Boyer. Possible that edition is wrong and therefore page is wrong. Editions: Boyer 1968, Boyer/Merzbach 1989, Boyer/Merzbach 1991, Merzbach/Boyer 2010, Merzbach/Boyer 2011. Verify second: Hui and 3072-sided polygon is on cited p. 202 of 1991 edition; p. 228 of 1968 edition. Google snippet has a hit for 3.1456 on p. 168 for 1991, but does not show the number. -->
* {{cite book |last1=Bronshteĭn |first1=Ilia |last2=Semendiaev |first2=K.A. |title=A Guide Book to Mathematics |publisher=[[Verlag Harri Deutsch]] |year=1971 |isbn=978-3-87144-095-3 |title-link=A Guide Book to Mathematics}}
* {{cite book |last1=Eymard |first1=Pierre |last2=Lafon |first2=Jean Pierre |title=The Number Pi |publisher=American Mathematical Society |year=1999 |isbn=978-0-8218-3246-2 }}, English translation by Stephen Wilson.
*{{Cite journal |first=R.C. |last=Gupta |title=On the remainder term in the Madhava–Leibniz's series |journal=Ganita Bharati |volume=14 |issue=1–4 |year=1992 |pages=68–71}}
* {{citation |first=Roger |last=Howe |title=On the role of the Heisenberg group in harmonic analysis |journal=[[Bulletin of the American Mathematical Society]] |volume=3 |pages=821–844 |number=2 |year=1980 |doi=10.1090/S0273-0979-1980-14825-9 |mr=578375|doi-access=free}}.
* {{cite book |last=Joseph |first=George Gheverghese |title=The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics |publisher=Princeton University Press |year=1991 |isbn=978-0-691-13526-7 |url=https://books.google.com/books?id=c-xT0KNJp0cC |access-date=5 June 2013}}<!-- This ISBN is for the third edition from 2011! -->
* {{cite book |last1=Posamentier |first1=Alfred S. |last2=Lehmann |first2=Ingmar |title=Pi: A Biography of the World's Most Mysterious Number |url=https://archive.org/details/pi00alfr_0|url-access=registration |publisher=Prometheus Books |year=2004 |isbn=978-1-59102-200-8 }}
* {{cite journal |last=Reitwiesner |first=George |title=An ENIAC Determination of pi and e to 2000 Decimal Places |journal=Mathematical Tables and Other Aids to Computation |year=1950 |volume=4 |issue=29 |pages=11–15 |doi=10.2307/2002695 |jstor=2002695}}
*{{cite book |last=Remmert |first=Reinhold |editor1=Heinz-Dieter Ebbinghaus |editor2=Hans Hermes |editor3=Friedrich Hirzebruch |editor4=Max Koecher |editor5=Klaus Mainzer |editor6=Jürgen Neukirch |editor7=Alexander Prestel |editor8=Reinhold Remmert |title=Numbers|chapter-url=https://books.google.com/books?id=Z53SBwAAQBAJ&pg=PA123 |chapter=Ch. 5 What is π? |date=2012 |publisher=Springer |isbn=978-1-4612-1005-4}}
*{{cite book |last=Rossi |first=Corinna |title=Architecture and Mathematics in Ancient Egypt |url=https://books.google.com/books?id=248ZBgAAQBAJ |year=2004 |publisher=University Press |location=Cambridge |isbn=978-1-107-32051-2}}
* {{cite journal |last=Roy |first=Ranjan |title=The Discovery of the Series Formula for pi by Leibniz, Gregory, and Nilakantha |url=https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_1990-12_63_5/page/291 |journal=Mathematics Magazine |volume=63 |issue=5 |year=1990 |pages=291–306 |doi=10.2307/2690896 |jstor=2690896}}
* {{cite journal |last=Schepler |first=H.C. |title=The Chronology of Pi |journal=Mathematics Magazine |year=1950 |volume=23 |issue=3 |pages=165–170 (Jan/Feb), 216–228 (Mar/Apr), and 279–283 (May/Jun) |doi=10.2307/3029284 |jstor=3029284}}. [<!-- https://www.jstor.org/stable/3029284 -->https://www.jstor.org/discover/10.2307/3029284?sid=21105295462031&uid=2&uid=4 issue 3 Jan/Feb], [https://www.jstor.org/discover/10.2307/3029832?sid=21105295462031&uid=2&uid=4 issue 4 Mar/Apr], [https://www.jstor.org/stable/3029000 issue 5 May/Jun]
* {{citation |first=William |last=Thompson |author-link=Lord Kelvin |title=Isoperimetrical problems |year=1894 |journal=Nature Series: Popular Lectures and Addresses |volume=II |pages=571–592}}
{{refend}}
{{پایان چپ‌چین}}

== برای مطالعه بیشتر ==
{{چپ‌چین}}
{{refbegin|30em}}
* {{cite book |last=Blatner |first=David |title=The Joy of Pi |publisher=Walker & Company |year=1999 |isbn=978-0-8027-7562-7 }}
* {{cite journal |last1=Borwein |first1=Jonathan |author-link=Jonathan Borwein |author-link2=Peter Borwein |last2=Borwein |first2=Peter |year=1984 |title=The Arithmetic-Geometric Mean and Fast Computation of Elementary Functions |url=http://www.cecm.sfu.ca/personal/pborwein/PAPERS/P26.pdf |journal=SIAM Review |volume=26 |issue=3 |pages=351–365 |doi=10.1137/1026073 |citeseerx=10.1.1.218.8260}}
* {{cite journal |last1=Borwein |first1=Jonathan |author-link3=David H. Bailey (mathematician) |last2=Borwein |first2=Peter |last3=Bailey |first3=David H. |year=1989 |title=Ramanujan, Modular Equations, and Approximations to Pi or How to Compute One Billion Digits of Pi |url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1989-03_96_3/page/201 |journal=The American Mathematical Monthly |volume=96 |issue=3 |pages=201–219 |doi=10.2307/2325206 |jstor=2325206 |type=Submitted manuscript}}
* [[Chudnovsky brothers|Chudnovsky, David V.]] and [[Chudnovsky brothers|Chudnovsky, Gregory V.]], "Approximations and Complex Multiplication According to Ramanujan", in ''Ramanujan Revisited'' (G.E. Andrews et al. Eds), Academic Press, 1988, pp.&nbsp;375–396, 468–472
* {{cite journal |last=Cox |first=David A. |title=The Arithmetic-Geometric Mean of Gauss |journal=L'Enseignement Mathématique |volume=30 |date=1984 |pages=275–330}}
* {{cite book |author-link=Jean-Paul Delahaye |last=Delahaye |first=Jean-Paul |title=Le Fascinant Nombre Pi |location=Paris |publisher=Bibliothèque Pour la Science |date=1997 |isbn=2-902918-25-9}}
* {{cite journal |last1=Engels |first1=Hermann |year=1977 |title=Quadrature of the Circle in Ancient Egypt |journal=Historia Mathematica |volume=4 |issue=2 |pages=137–140 |doi=10.1016/0315-0860(77)90104-5| doi-access = free}}
* [[Leonhard Euler|Euler, Leonhard]], "On the Use of the Discovered Fractions to Sum Infinite Series", in ''Introduction to Analysis of the Infinite. Book I'', translated from the Latin by J.D. Blanton, Springer-Verlag, 1964, pp.&nbsp;137–153
* {{cite book |last1=Hardy |first1=G. H. |last2=Wright |first2=E. M. |title=An Introduction to the Theory of Numbers |edition=fifth |date=2000 |publisher=Clarendon Press |location=Oxford, UK}}
* Heath, T.L., ''The Works of Archimedes'', Cambridge, 1897; reprinted in ''The Works of Archimedes with The Method of Archimedes'', Dover, 1953, pp.&nbsp;91–98
* [[Christiaan Huygens|Huygens, Christiaan]], "De Circuli Magnitudine Inventa", ''Christiani Hugenii Opera Varia I'', Leiden 1724, pp.&nbsp;384–388
* {{cite journal |last1=Lay-Yong |first1=Lam |author-link=Lam Lay Yong |last2=Tian-Se |first2=Ang |year=1986 |title=Circle Measurements in Ancient China |journal=Historia Mathematica |volume=13 |issue=4 |pages=325–340 |doi=10.1016/0315-0860(86)90055-8| doi-access = free}}
* {{cite journal |last1=Lindemann |first1=Ferdinand |author-link=Ferdinand von Lindemann |year=1882 |title=Ueber die Zahl pi |url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0020&DMDID=DMDLOG_0031&L=1 |journal=Mathematische Annalen |volume=20 |issue=2 |pages=213–225 |doi=10.1007/bf01446522 |s2cid=120469397 | url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20150122054610/http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0020&DMDID=DMDLOG_0031&L=1 |archive-date=22 January 2015 |df=dmy-all}}
* {{cite journal |last1=Matar |first1=K. Mukunda |last2=Rajagonal |first2=C. |year=1944 |title=On the Hindu Quadrature of the Circle" (Appendix by K. Balagangadharan) |journal=Journal of the Bombay Branch of the Royal Asiatic Society |volume=20 |pages=77–82}}
* {{cite journal |author-link=Ivan M. Niven |last=Niven |first=Ivan |title=A Simple Proof that pi Is Irrational |journal=Bulletin of the American Mathematical Society |volume=53 |issue=7 |date=July 1947 |page=507 |doi=10.1090/S0002-9904-1947-08821-2 |doi-access=free}}
* {{cite journal |author-link=Srinivasa Ramanujan |last=Ramanujan |first=Srinivasa |title=Modular Equations and Approximations to π |journal=Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics |volume=XLV |date=1914 |pages=350–372}} Reprinted in {{cite book |author-link=Srinivasa Ramanujan |last=Ramanujan |first=Srinivasa |editor1-first=G. H. |editor1-last=Hardy |editor2-first=P. V. |editor2-last=Seshu Aiyar |editor3-first=B. M. |editor3-last=Wilson |title=Srinivasa Ramanujan: Collected Papers |publisher=Cambridge University Press |date=2015 |orig-year=1927 |pages=23–29 |isbn=978-1-107-53651-7}}
* [[William Shanks|Shanks, William]], ''Contributions to Mathematics {{sic|Comprising|hide=y}} Chiefly of the Rectification of the Circle to 607 Places of Decimals'', 1853, pp. i–xvi, 10
* {{cite journal |last1=Shanks |first1=Daniel |author-link=Daniel Shanks |author-link2=John Wrench |last2=Wrench |first2=John William |year=1962 |title=Calculation of pi to 100,000 Decimals |url=https://archive.org/details/sim_mathematics-of-computation_1962-01_16_77/page/76 |journal=Mathematics of Computation |volume=16 |issue=77 |pages=76–99 |doi=10.1090/s0025-5718-1962-0136051-9| doi-access = free}}
* {{cite book |author-link=Johannes Tropfke |last=Tropfke |first=Johannes |title=Geschichte Der Elementar-Mathematik in Systematischer Darstellung |trans-title=The history of elementary mathematics |language=de |location=Leipzig |publisher=Verlag Von Veit |date=1906 |url=https://archive.org/details/geschichtederel01tropgoog/page/n6}}
* [[François Viète|Viete, Francois]], ''Variorum de Rebus Mathematicis Reponsorum Liber VII. F. Viete, Opera Mathematica'' (reprint), Georg Olms Verlag, 1970, pp.&nbsp;398–401, 436–446
* {{cite journal |author-link=Stan Wagon |last=Wagon |first=Stan |title=Is Pi Normal? |url=https://archive.org/details/sim_mathematical-intelligencer_1985_7_3/page/65 |journal=The Mathematical Intelligencer |volume=7 |issue=3 |date=1985 |pages=65–67 |doi=10.1007/BF03025811|s2cid=189884448 }}
* {{cite book |author-link=John Wallis |last=Wallis |first=John |title=Arithmetica Infinitorum, sive Nova Methodus Inquirendi in Curvilineorum Quadratum, aliaque difficiliora Matheseos Problemata |language=la |location=Oxford |date=1655–1656}} Reprinted in {{cite book |volume=1 |pages=357–478 |title=Opera Mathematica |location=Oxford |publisher=E Theatro Sheldoniano |date=1695 |url=https://books.google.com/books?id=VzQtvCZ4AukC}}
* {{cite book |last=Zebrowski |first=Ernest |title=A History of the Circle: Mathematical Reasoning and the Physical Universe |url=https://archive.org/details/historyofcirclem0000zebr |url-access=registration |publisher=Rutgers University Press |date=1999 |isbn=978-0-8135-2898-4}}
{{refend}}
{{پایان چپ‌چین}}

== پیوند به بیرون ==
{{چپ‌چین}}
* [https://introcs.cs.princeton.edu/java/data/pi-10million.txt 10 million decimal places]
* [http://mathworld.wolfram.com/Pi.html "Pi"] at Wolfram Mathworld
* [http://www.wolframalpha.com/input/?i=Representations+of+Pi Representations of Pi] at [[ولفرم آلفا|Wolfram Alpha]]
* Demonstration by Lambert (1761) of irrationality of {{پی}}, [https://www.bibnum.education.fr/mathematiques/theorie-des-nombres/lambert-et-l-irrationalite-de-p-1761 online] and analysed ''[https://www.bibnum.education.fr/sites/default/files/24-lambert-analysis.pdf BibNum]'' (PDF).
* [http://pisearch.org/pi {{پی}} Search Engine] 2 billion searchable digits of {{پی}}, {{Mvar|e}} and {{رادیکال|2}}
{{پایان چپ‌چین}}

{{عدد گنگ}}

{{داده‌های کتابخانه‌ای}}

[[رده:پی]]
[[رده:آنالیز مختلط]]
[[رده:سری‌های ریاضی]]
[[رده:اعداد ترافرازنده حقیقی]]