نمایش مبدأ برای عدد طبیعی

[[پرونده:U+2115 (large).svg|چپ|بندانگشتی|upright|مجموعۀ اعداد طبیعی را با نماد N نشان می‌دهند. ([[فهرست نمادهای ریاضی]] را ببینید).]]
[[پرونده:Three apples(1).svg|بندانگشتی|اعداد طبیعی برای شمارش استفاده شوند (یک سیب، دو سیب، سه سیب، ...)]]
'''اعداد طبیعی''' یا '''اعداد صحیح مثبت'''<ref>[http://www.chap.sch.ir/sites/default/files/books/91-92/104/001-028-C211-1.pdf chap.sch.ir] صفحهٔ ۷.</ref> اعدادی هستند که از <u>یک</u> ( <u>۱</u> ) شروع می‌شوند و تا بینهایت (عدد n) ادامه دارند. و شامل صفر نمی‌شود (عدد صفر مرز میان اعداد مثبت ومنفی است) و برای شمارش (به‌طور مثال در «شش سکه روی میز است») و برای ترتیب (به‌طور مثال در «این سومین شهر بزرگ در کشور است») به کار می‌روند. در اصطلاح‌شناسی ریاضیات، لغت مورد استفاده برای شمارش اشیاء واقعی «[[اعداد ترتیبی (زبان‌شناسی)|اعداد ترتیبی]]» است. مجموعهٔ اعداد طبیعی همان مجموعهٔ [[عدد صحیح|اعداد صحیح]] مثبت یعنی {... و۱٬۲٬۳} است. این اعداد شامل [[عدد مرکب|اعداد مرکب]]، [[عدد اول|اعداد اول]] و یک است.

به بیان ساده، عدد طبیعی، عددی است که در طبیعت وجود دارد و برای شمردن عناصر طبیعی استفاده می‌شوند، برای مثال عدد صفر یا [[اعداد منفی]] در طبیعت وجود ندارند و در مجموعه اعداد طبیعی نیستند.

برای بودن یا نبودن عدد صفر در مجموعه اعداد طبیعی سه تعریف موجود می‌باشد. در تعریف اول طبق استاندارد [[ISO 80000-2]] عدد صفر با عنوان اعداد صحیح غیر منفی پذیرفته شده‌است.<ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Natural_number</ref> اما در تعریف دیگر صفر به عنوان یک عضو شناخته نمی‌شود و با اضافه کردن آن، مجموعه [[اعداد حسابی]] به وجود می‌آید. این مجموعه یک [[مجموعه نامتناهی]] است. پس تنها تفاوت بین اعداد طبیعی و اعداد حسابی وجود صفر در اعداد حسابی است.
در [[ریاضیات]] اعداد صحیح و حسابی را نیز به ترتیب با حروف '''Z و W''' نمایش می‌دهند. '''N''' از حرف آغاز واژه انگلیسی Natural، به معنای نهادی (طبیعی)، گرفته شده‌است. باور فعلی علم بر آن است که صفر یک عدد بی‌علامت است که جزء اعداد صحیح و حسابی می‌باشد. مجموعۀ اعداد طبیعی، یک مجموعۀ نامتناهی است و زیر مجموعه ی اعداد حسابی، اعداد صحیح، [[عدد گویا|اعداد گویا]] و [[عدد حقیقی|اعداد حقیقی]] می‌باشد.

== اصل استقرای ریاضی ==
بنیادی‌ترین ویژگی اعداد طبیعی اصل [[استقرای ریاضی]] است.
استقرار ریاضی بیان می‌کند که اگر <math>P(x)</math> به معنای صدق ویژگی P برای عدد x باشد، برای اینکه <math>P(x)</math> برای همهٔ اعداد طبیعی صدق کند باید:<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Spivak | 2006 | p=21}}</ref>

:# <math>P(1)</math> صدق کند، 
:# با فرض اینکه <math>P(k)</math> صدق می‌کند بتوان ثابت کرد <math>P(k + 1)</math> نیز صادق است.
به‌این‌ترتیب با ترکیب شرط ۱ و ۲ (در حالت خاص <math>k=1</math>) می‌توان گفت که <math>P(2)</math> هم صادق است، در نتیجه بنابر شرط ۲ (در حالت خاص <math>k=2</math>)، <math>P(3)</math> هم صادق است. واضح است که با تکرار چندبارهٔ این عملیات می‌توان ویژگی P را برای هر عددی ثابت کرد، ازین‌رو <math>P(k)</math> برای همهٔ اعداد k صادق است.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Spivak | 2006 | p=21}}</ref>

فرمول ساده و کاربردی‌ای که برای محاسبۀ جمعِ اعدادِ (طبیعیِ) <math>1</math> تا <math>n</math> وجود دارد را می‌توان با [[استقرای ریاضی]] ثابت کرد؛ بنابراین فرمول:
<math>1+2+3+...+n = \frac{n(n+1)}{2}.</math>
برای اثبات این فرمول، نخست باید توجه کرد که فرمول برای ۱ صادق است (<math>\frac{1(1+1)}{2}=1</math>). سپس فرض می‌شود که فرمول برای k عدد طبیعی اول صادق باشد:<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Spivak | 2006 | p=22}}</ref>
<math>1+2+3+...+k = \frac{k(k+1)}{2}.</math>{{سخ}}
آن‌گاه:{{سخ}}
<math>1+2+3+...+k+(k+1) = \frac{k(k+1)}{2}+(k+1),</math>{{سخ}}
<math> = \frac{k(k+1)+5(k+1)}{2},</math>{{سخ}}
<math> = \frac{k^2+3k+2}{2},</math>{{سخ}}
<math> = \frac{(k+1)(k+2)}{2},</math>([[اتحاد و تجزیه|تجزیهٔ دوجمله‌ای]] صورت){{سخ}}
بنابراین فرمول برای <math>k+1</math> صدق می‌کند. بنابر استقرای ریاضی، این امر نشان‌دهندهٔ این است که فرمول فوق برای هر کدام از اعداد طبیعی صادق است.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Spivak | 2006 | p=22}}</ref>

روش [[علوم صوری|صوری‌تر]] برای بیان استقرای ریاضی (بدون استفاده از «ویژگی» های عدد) این است که A یک مجموعۀ ناتهی در نظر گرفته شود و شرط گذاشته شود که
:# عدد ۱ عضوی از مجموعهٔ A باشد، و
:# با فرض اینکه k عضوی از مجموعهٔ A باشد بتوان ثابت کرد که <math>k + 1</math> عضوی از مجموعهٔ A است.
به‌این‌ترتیب ثابت می‌شود که A مجموعهٔ همهٔ اعداد طبیعی است.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Spivak | 2006 | p=22}}</ref>

شرط ناتهی بودن مجموعهٔ A به این دلیل است که [[مجموعه تهی]] «کوچک‌ترین عضو» ندارد و هر مجموعهٔ ناتهی «کوچک‌ترین عضو» دارد. این اصل را، که به [[اصل خوش‌ترتیبی]] موسوم است، می‌توان با [[استقرای ریاضی]] ثابت کرد. فرض شود A «کوچک‌ترین عضو» نداشته باشد و B مجموعهٔ همهٔ اعداد طبیعی‌ای باشد که عضو A نیستند. مشخص است که عدد ۱ عضو A نیست (چرا که اگر ۱ عضو A بود A «کوچک‌ترین عضو» داشت)، و علاوه‌براین اگر ۱ تا k عضو A نباشند، k+1 هم عضو A نیست (درغیراین‌صورت k+1 کوچک‌ترین عضو A می‌بود)، پس ۱ تا k+1 در A نیستند. ازین امر نتیجه می‌شود که ۱ تا n برای هر عدد طبیعی n عضو A نیستند و ثابت می‌شود که <math>A=\emptyset</math>.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Spivak | 2006 | p=23}}</ref>

همچنین می‌توان اصل [[استقرای ریاضی]] را با استفاده از [[اصل خوش‌ترتیبی]] ثابت کرد.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Spivak | 2006 | p=23}}</ref>
«اصل استقرای ریاضی کامل» را هم می‌توان به عنوان نتیجهٔ اصل استقرای ریاضی به دست آورد. این اصل زمانی به کار می‌آید که برای اثبات <math>P(k+1)</math> علاوه بر <math>P(k)</math> باید <math>P(l)</math> نیز برای همهٔ اعداد طبیعی <math>l \leq k</math> مفروض باشد. در این حالت بر اساس «اصل استقرای ریاضی کامل»، اگر A مجموعه‌ای از اعداد طبیعی باشد،
:# عدد ۱ عضوی از مجموعهٔ A باشد، و
:# با فرض اینکه <math>1,\ldots,k</math> اعضای مجموعهٔ A باشند بتوان ثابت کرد که <math>k + 1</math> عضوی از مجموعهٔ A است،
آنگاه A مجموعهٔ همهٔ اعداد طبیعی است.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Spivak | 2006 | p=23}}</ref>

=== تعریف بازگشتی ===
بازگشتی در برنامه نویسی نیز کاربرد دارد ؛ [[تعریف بازگشتی]] مفهومی نزدیک به اصل استقرای ریاضی است. برای نمونه، عدد <math>n!</math> (که «اِن [[فاکتوریل]]» خوانده می‌شود) به عنوان حاصل‌ضرب همهٔ اعداد طبیعی کوچکتر یا برابر با n تعریف می‌شود:<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Spivak | 2006 | p=23}}</ref>

<math>n!=1\cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (n-1) \cdot n</math>

مفهوم فاکتوریل را می‌توان به شکل دقیق‌تر زیر بیان کرد:<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Spivak | 2006 | p=23}}</ref>
:# <math>1!=1</math>
:# '''1=!0'''
:# <math>n!=(n-1)! \cdot n</math>
حاصل‌جمع همهٔ اعداد طبیعی کوچکتر از یا برابر با n نیز (که با نماد <math>\sum_{i=1}^n k</math> نشان داده می‌شود) نیز تعریفی بازگشتی است و می‌توان آن را به شکل زیر بیان کرد:<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Spivak | 2006 | p=24}}</ref>
:# <math>\sum_{i=1}^1 a_i=1</math>
:# <math>\sum_{i=1}^n a_i=a_n + \sum_{i=1}^{n-1}a_i</math>

== تعریف صوری ==
=== اصول موضوعهٔ پئانو ===
{{اصلی|اصول موضوعه پئانو}}
اصول پئانو خواص حسابی ''اعداد طبیعی'' که با یک [[مجموعه (ریاضی)|مجموعه]] '''N''' یا <math>\mathbb{N}.</math> [[نمادهای غیر منطقی]] برای اصول، شامل یک نماد ثابت ۰ و یک نماد تابعی تک متغیره ''S ''می‌شود.

اصل نخست می‌گوید که ثابت ۰ یک عدد طبیعی است:
# ۰ یک عدد طبیعی است.{{Ordered list}}چهار اصل بعدی، [[رابطه دوتایی|رابطه]] [[تساوی (ریاضیات)|تساوی]] را توصیف می‌کنند. از آن جایی که آن‌ها در منطق مرتبه اول دارای تساوی از نظر منطقی معتبرند، در ملاحظات مدرن، آن‌ها به عنوان بخشی از «اصول پئانو» در نظر گرفته نمی‌شود.{{Ordered list}}
# برای هر عدد طبیعی ''x''، داریم ''x = x''. یعنی تساوی [[رابطه بازتابی|بازتابی]] است.
# برای اعداد طبیعی ''x ''و ''y''، اگر ''x = y''، آنگاه'' y = x.'' یعنی تساوی، [[رابطه متقارن|تقارتی]] است.
# برای اعداد طبیعی ''y'' ,''x'' و ''z''، اگر ''x = y'' و ''y = z''، آنگاه ''x = z''. یعنی تساوی، [[رابطه متعدی|متعدی]] است.
# برای هر ''a'' و ''b''، اگر ''b'' یک عدد طبیعی بوده و ''a = b''، در آن صورت ''a'' نیز یک عدد طبیعی است؛ یعنی اعداد طبیعی تحت تساوی بسته‌اند.
باقی اصول موضوعه، خواص حسابی اعداد طبیعی را تعریف می‌کنند. اعداد طبیعی، مفروض اند بر اینکه تحت یک تابع «تالی» تک متغیره ''S'' بسته‌اند.
# برای هر عدد طبیعی ''S(n)'' ,''n'' یک عدد طبیعی است.
# برای اعداد طبیعی ''m'' و ''n''، داریم ''m = n'' اگر و تنها اگر ''{{رچ}}S(m) = S(n){{چر}}''. یعنی، ''S'' تابعی [[یک به یک|یک‌به‌یک]] است.
# برای هر عدد طبیعی ''n''، گزاره ''S(n) = ۰'' نادرست است؛ یعنی هیچ عدد طبیعی وجود ندارد که تالیش صفر باشد.

=== ساخت بر اساس نظریهٔ مجموعه‌ها ===
{{گسترش بخش}}

== تاریخچه ==
=== ریشه‌های باستانی ===
ابتدایی‌ترین روش برای نمایش یک عدد طبیعی قرار دادن علامت برای هر شی است. پس از آن، یک مجموعه از اشیا را می‌توان برای برابری، کمبود یا کمبود آزمایش کرد - با زدن یک علامت و برداشتن یک شی از مجموعه.

نخستین پیشرفت عمده در انتزاع، استفاده از اعداد برای نشان دادن تعداد بود. که اجازه می‌دهد تا سیستم‌هایی برای ثبت تعداد زیاد ساخته شوند. [[مصر باستان|مصریان باستان]] سیستم قدرتمندی از اعداد را با [[هیروگلیف]] مشخص برای ۱، ۱۰ و قدرت ۱۰ تا بیش از ۱ میلیون ایجاد کردند. یک سنگ تراشیده شده در [[کارناک]]، که از حدود ۱۵۰۰ سال قبل از میلاد قدمت دارد و اکنون در [[موزه لوور]] پاریس نگه داری می‌شود، ۲۷۶ را ۲ صدها، ۷ ده و ۶ مورد نشان می‌دهد. و به همین ترتیب برای عدد ۴۶۲۲. [[تمدن بابل|بابلی]]‌ها دارای یک سیستم ارزش مکانی بودند که اساساً بر اساس اعداد ۱ و ۱۰ استفاده می‌شود، با استفاده از پایه شصت، به طوری که نماد برای شصت همان نماد برای یک بود - مقدار آن از زمینه تعیین می‌شد.<ref>{{یادکرد کتاب|عنوان=Ifrah, Georges (2000). The Universal History of Numbers. Wiley}}</ref>

پیشرفت بعدی توسعه این ایده بود که ۰ را می‌توان به عنوان یک عدد در نظر گرفت. استفاده از یک رقم ۰ در ارزش گذاری مکان (در سایر اعداد) از ۷۰۰ قبل از میلاد توسط بابلی‌ها آغاز شد، آنها وقتی این رقم آخرین نماد این عدد بود، چنین رقمی را حذف کردند.

تمدن [[اولمک]] و [[مایا]] از اوایل قرن اول قبل از میلاد صفر را به عنوان یک عدد جداگانه به کار بردند، اما این کاربرد فراتر از Mesoamerica گسترش نیافت.<ref>{{یادکرد وب|نویسنده=|کد زبان=|تاریخ=|وبگاه=|نشانی=https://books.google.com/books?id=Jw2TE_UNHJYC&pg=PA19|عنوان=Mann, Charles C. (2005). 1491: New Revelations of the Americas before Columbus.}}</ref><ref>{{یادکرد وب|نویسنده=|کد زبان=|تاریخ=|وبگاه=|نشانی=https://books.google.com/books?id=3CPwAgAAQBAJ&pg=PT73|عنوان=Evans, Brian (2014). "Chapter 10. Pre-Columbian Mathematics: The Olmec, Maya, and Inca Civilizations". The Development of Mathematics Throughout the Centuries: A brief history in a cultural context. John Wiley & Sons.}}</ref> استفاده از عدد صفر در دوران معاصر با ریاضیدان هندی Brahmagupta در سال ۶۲۸ میلادی آغاز شد. با این حال، صفر به عنوان یک عدد در محاسبه [[قرون وسطی|قرون وسطایی]] (محاسبه تاریخ [[عید پاک]]) استفاده شده‌است، که با Dionysius Exiguus در ۵۲۵ میلادی شروع می‌شود، بدون اینکه با یک عدد مشخص شود (اعداد استاندارد رومی برای ۰ نمادی ندارند). در عوض، nulla (یا فرم جنایی nullae) از nullus، کلمه لاتین «هیچ»، برای نشان دادن مقدار ۰ استفاده شد.<ref>{{یادکرد وب|نویسنده=|کد زبان=|تاریخ=|وبگاه=|نشانی=http://hbar.phys.msu.ru/gorm/chrono/paschata.htm|عنوان=Deckers, Michael (25 August 2003). "Cyclus Decemnovennalis Dionysii – Nineteen year cycle of Dionysius".}}</ref>

اولین مطالعه سیستماتیک اعداد به عنوان انتزاع معمولاً به فیلسوفان یونانی [[فیثاغورس]] و [[ارشمیدس]] نسبت داده می‌شود. برخی از ریاضی دانان یونانی با عدد ۱ متفاوت از اعداد بزرگتر برخورد می‌کنند، حتی گاهی اوقات اصلاً به عنوان یک عدد نیستند. برای نمونه، [[اقلیدس]] ابتدا یک واحد و سپس یک عدد را به عنوان کثرت واحدها تعریف کرد، بنابراین طبق تعریف وی، یک واحد یک عدد نیست و هیچ عدد منحصر به فردی وجود ندارد (به عنوان مثال، هر دو واحد از نامحدود بسیاری از واحدها است a 2)

مطالعات مستقل در مورد اعداد نیز تقریباً در همان زمان در هند، چین و آمریکای میانه رخ داده‌است.<ref>{{یادکرد کتاب|عنوان=Kline, Morris (1990) [1972]. Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Oxford University Press.}}</ref>

=== تعاریف مدرن ===
در قرن نوزدهم اروپا بحث ریاضی و فلسفی دربارهٔ ماهیت دقیق اعداد طبیعی وجود داشت. مکتبی از [[ناتورالیسم]] اظهار داشت که اعداد طبیعی نتیجه مستقیم روان انسان است. [[هنری پوانکاره|هنری پوانکره]] یکی از طرفداران آن بود، و همچنین [[لئوپولد کرونکر]]، که عقیده خود را چنین خلاصه کرد: «خداوند اعداد صحیح را ایجاد کرد، چیزهای دیگر کار انسان است».

در مخالفت با طبیعت گرایان، سازه گرایان نیاز به بهبود دقت منطقی در مبانی ریاضیات داشتند. در دهه ۱۸۶۰، [[هرمان گراسمان|هرمان گراسمن]] تعریف بازگشتی را برای اعداد طبیعی پیشنهاد کرد، بنابراین اظهار داشت که آنها واقعاً طبیعی نیستند - اما یک نتیجه تعاریف. پی آن، دو کلاس از این تعاریف رسمی ساخته شد. بعداً هنوز نشان داده شد که در اکثر کاربردهای کاربردی برابر هستند.

تعاریف نظری مجموعه ای از اعداد طبیعی توسط [[گوتلوب فرگه|فرگه]] آغاز شد. وی در ابتدا یک عدد طبیعی را به عنوان کلاس تمام مجموعه‌هایی تعریف می‌کند که با یک مجموعه خاص مطابقت یک به یک دارند. با این حال، این تعریف منجر به ایجاد پارادوکسهایی از جمله [[پارادوکس راسل]] شد. برای اجتناب از چنین تناقضاتی، فرم گرایی به گونه ای اصلاح شد که یک عدد طبیعی به عنوان یک مجموعه خاص تعریف شود و گفته می‌شود که هر مجموعه ای که می‌تواند با آن مجموعه مکاتبه یک به یک کند، آن تعداد عنصر را دارد.<ref>{{یادکرد وب|نویسنده=|کد زبان=|تاریخ=|وبگاه=|نشانی=https://en.wikipedia.org/wiki/Natural_number#CITEREFEves1990|عنوان=Eves 1990, Chapter 15}}</ref>

دسته دوم تعاریف توسط [[چارلز سندرز پیرس]] معرفی شد، توسط [[ریچارد ددکیند]] پالایش شد و توسط [[جوزپه پئانو|جوزپه پینو]] بیشتر مورد کاوش قرار گرفت. این رویکرد اکنون حساب Peano نامیده می‌شود. این بر اساس بدیهی سازی خصوصیات اعداد ترتیبی است: هر عدد طبیعی یک جانشین دارد و هر عدد طبیعی غیر صفر یک سلف منحصر به فرد دارد. حساب Peano با چندین سیستم ضعیف نظریه مجموعه مطابقت دارد. یکی از این سیستم‌ها ZFC است که بدیهی بودن آن با نفی جایگزین شده‌است. قضایایی که می‌توانند در ZFC اثبات شوند اما با استفاده از Peano Axioms قابل اثبات نیستند، شامل [[قضیه گودشتاین]] است.<ref>{{یادکرد کتاب|عنوان=L. Kirby; J. Paris, Accessible Independence Results for Peano Arithmetic, Bulletin of the London Mathematical Society}}</ref>

با تمام این تعاریف، مناسب است که صفر (مربوط به مجموعه خالی) به عنوان یک عدد طبیعی باشد. درج صفر اکنون در بین نظریه پردازان مجموعه و منطق دانان رایج است.<ref>{{یادکرد وب|نویسنده=|کد زبان=|تاریخ=|وبگاه=|نشانی=https://archive.org/details/classicsettheory00gold|عنوان=Goldrei, Derek (1998). "3". Classic Set Theory: A guided independent study}}</ref> زبان‌های رایانه ای هنگام برشمردن مواردی مانند شمارنده‌های حلقه و عناصر رشته‌ای یا آرایه ای، اغلب از صفر شروع می‌شوند.<ref>{{یادکرد کتاب|عنوان=Brown, Jim (1978). "In defense of index origin 0".}}</ref><ref>{{یادکرد وب|نویسنده=|کد زبان=|تاریخ=|وبگاه=|نشانی=http://www.jsoftware.com/papers/indexorigin.htm|عنوان=Hui, Roger. "Is index origin 0 a hindrance?".}}</ref>از طرف دیگر، بسیاری از ریاضیدانان سنت قدیمی را برای گرفتن عدد ۱ به عنوان اولین عدد طبیعی حفظ کرده‌اند.

== جستارهای وابسته ==
{{طبقه‌بندی اعداد}}

== منابع ==
{{پانویس|۲}}
* دکتر ابراهیم اسرافیلیان، دکتر عبدالله شیدفر. ''ریاضی عمومی ۱''. دالفک، ۱۳۸۲

=== فهرست منابع ===
{{چپ‌چین}}
* {{cite book | last=Spivak | first=M. | title=Calculus | publisher=Cambridge University Press | series=Calculus | year=2006 | isbn=978-0-521-86744-3 | url=https://books.google.com/books?id=7JKVu_9InRUC&pg=PP1 | ref=harv |edition=3rd| access-date=2018-12-01}}
{{پایان چپ‌چین}}
{{نظریه اعداد}}
{{دستگاه اعداد}}
[[رده:اعداد صحیح]]
[[رده:اعداد کاردینال]]
[[رده:اعداد گویا]]
[[رده:اعداد]]
[[رده:ریاضیات مقدماتی]]
[[رده:نظریه اعداد]]