نمایش مبدأ برای عدد صحیح

[[پرونده:Latex integers.svg|بندانگشتی|120px|نماد '''''زاهلِن'''''، اغلب برای نمایش مجموعهٔ اعداد صحیح استفاده می‌شود. ([[فهرست نمادهای ریاضی]] را ببینید)]]
'''عدد صحیح''' یا '''عدد درست'''، [[عدد|عددی]] است که می‌تواند بدون [[کسر|جزء کسری]] نوشته شود. برای مثال، ۲۱، ۴، ۰، و ۴− عدد صحیح هستند، در حالی که ۹٫۷۵، و {{math|{{sqrt|۲}}}} عدد صحیح نیستند؛
[[مجموعه (ریاضی)|مجموعه]] اعداد صحیح از صفر (۰)، [[اعداد طبیعی]] مثبت ([[۱ (عدد)|۱]]، [[۲ (عدد)|۲]]، [[۳ (عدد)|۳]]، ...)، که همچنین ''اعداد شمارشی'' نیز گفته می‌شوند، و [[وارون جمعی|وارون جمعیشان]] ('''اعداد صحیح منفی،''' یعنی، [[۱− (عدد)|۱−]]، ۲−، ۳−، ...) تشکیل شده‌است.

این مجموعه شامل اعداد '''مثبت''' و '''صفر''' و اعداد '''منفی''' است. در [[ریاضیات]]، معمولاً این [[مجموعه (ریاضی)|مجموعه]] را با Z یا <math>\mathbb{Z}</math> ([[یونی کد]] U+2124 ℤ) (ابتدای کلمهٔ آلمانی Zahlen ({{IPA-de|ˈtsa:lən|}} به معنی اعداد) نشان می‌دهند.
.<ref name=":0">{{Cite web|date=2020-03-01|title=Compendium of Mathematical Symbols|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/|access-date=2020-08-11|website=Math Vault|language=en-US}}</ref><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Integer|url=https://mathworld.wolfram.com/Integer.html|access-date=2020-08-11|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref><ref>{{cite web |url=http://jeff560.tripod.com/nth.html |title=Earliest Uses of Symbols of Number Theory |accessdate=2010-09-20 |date=2010-08-29 |first=Jeff |last=Miller |archive-url=https://web.archive.org/web/20100131022510/http://jeff560.tripod.com/nth.html |archive-date=2010-01-31 |url-status=dead}}</ref><ref name="Cameron1998">{{cite book |author=Peter Jephson Cameron |title=Introduction to Algebra |url=https://books.google.com/books?id=syYYl-NVM5IC&pg=PA4 |year=1998 |publisher=Oxford University Press |isbn=978-0-19-850195-4 |page=4 |access-date=2016-02-15 |archive-url=https://web.archive.org/web/20161208142220/https://books.google.com/books?id=syYYl-NVM5IC&pg=PA4 |archive-date=2016-12-08 |url-status=live}}</ref>
همانند مجموعهٔ اعداد طبیعی، مجموعهٔ اعداد صحیح نیز یک [[مجموعهٔ نامتناهی]]‌ست.

شاخه‌ای از [[ریاضیات]] که به مطالعهٔ اعداد صحیح می‌پردازد، [[نظریه اعداد|نظریهٔ اعداد]] نام دارد.
در واقع می‌توان گفت اعداد طبیعی و حسابی زیر مجموعه اعداد صحیح هستند؛ و اعداد صحیح هم زیر مجموعه اعداد گویا هستند.

== خواص جبری ==
همانند اعداد طبیعی، <math>\mathbb{Z}</math> نیز نسبت به دو عمل [[جمع]] و [[ضرب]] بسته‌است. این بدان معناست که [[حاصل جمع]] و [[حاصل ضرب]] دو عدد صحیح، خود، یک عدد صحیح است. برخلاف مجموعهٔ اعداد طبیعی، از آنجا که اعداد صحیح منفی، و به ویژه، عدد صفر هم به <math>\mathbb{Z}</math> تعلق دارند، این مجموعه، نسبت به عمل [[تفریق]] نیز بسته‌است. اما <math>\mathbb{Z}</math> تحت عمل تقسیم بسته نیست، زیرا [[خارج قسمت]] تقسیم دو عدد صحیح، لزوماً عددی صحیح نخواهد بود و به کسرهایی که از تقسیم دو عدد صحیح حاصل آمده باشد، [[اعداد گویا]] گفته می‌شود.

برخی از خواصّ اساسی مربوط به عملیّات جمع و ضرب در جدول زیر گنجانیده شده‌است (در اینجا b ,a، و c اعداد صحیح دل‌خواه هستند):

{| class="wikitable"
| || جمع || ضرب
|-
| [[بستار (ریاضی)|بسته بودن]]: || ''a'' + ''b'' یک عدد صحیح است || ''a'' × ''b'' یک عدد صحیح است
|-
| [[شرکت‌پذیری]]: || ''a'' + (''b'' + ''c'')  = (''a'' + ''b'') + ''c'' || ''a'' × (''b'' × ''c'')  = (''a'' × ''b'') × ''c''
|-
| [[خاصیت جابه‌جایی|تعویض‌پذیری]]: || ''a'' + ''b''  = ''b'' + ''a'' || ''a'' × ''b''  = ''b'' × ''a''
|-
| وجود یک [[عنصر همانی|عنصر واحد]]: || ''a'' + 0  = ''a'' || ''a'' × ۱  = ''a''
|-
| وجود یک [[عنصر وارون|عنصر عکس]]: || ''a'' + (−''a'')  = ۰ ||
|-
| [[توزیع‌پذیری]]: || colspan=2 align=center| ''a'' × (''b'' + ''c'')  = (''a'' × ''b'') + (''a'' × ''c'')
|-
| نبود [[مقسوم علیه‌های صفر]]: || || اگر ''ab'' = ۰، آنگاه ''a'' = ۰ یا ''b'' = ۰
|}

مطابق جدول بالا، خواصّ [[بستار (ریاضی)|بسته بودن]]، [[شرکت‌پذیری]] و [[جابه‌جایی]] (یا تعویض‌پذیری) نسبت به هر دو عمل ضرب و جمع، وجود [[عضو همانی]] (واحد، یا یکّه) نسبت به جمع و ضرب، وجود عضو معکوس فقط نسبت به عمل جمع، و خاصیّت [[توزیع‌پذیری]] ضرب نسبت به جمع از اهمیت برخوردارند.

در مبحث [[جبر مجرد]]، پنج خاصیّت اوّل در مورد جمع، نشان می‌دهد که مجموعهٔ <math>\mathbb{Z}</math> به همراه عمل جمع یک [[گروه آبلی]] است. امّا، از آن جا که <math>\mathbb{Z}</math> نسبت به ضرب [[عضو وارون]] (یا معکوس) ندارد، مجموعهٔ اعداد صحیح، به همراه عمل ضرب، [[گروه]] نمی‌سازد.

مجموعهٔ ویژگی‌های ذکر شده حاکی از این است که <math>\mathbb{Z}</math>، به همراه عملیّات ضرب و جمع، یک [[حلقه (ریاضی)|حلقه]] است. امّا به دلیل نداشتن وارون ضربی، [[میدان (ریاضی)|میدان]] نیست. مجموعهٔ [[اعداد گویا]] را باید کوچک‌ترین میدانی دانست که اعداد صحیح را در بر می‌گیرد.

اگرچه تقسیم معمولی در اعداد صحیح تعریف شده نیست، خاصیّت مهمّی در مورد تقسیم وجود دارد که به [[الگوریتم تقسیم]] مشهور است؛ یعنی به ازاء هر دو عدد صحیح و دل‌خواه a و b) b مخالف صفر)، q و r منحصر به فردی متعلق به مجموعهٔ اعداد صحیح وجود دارد، به طوری که: a = q × b + r که در این‌جا، q خارج قسمت و r باقی‌مانده تقسیم a بر b است. این کار اساس [[الگوریتم اقلیدس]] برای محاسبهٔ [[بزرگ‌ترین مقسوم علیه مشترک]] را تشکیل می‌دهد.

همچنین در [[جبر مجرد]]، بر اساس خواصی که در بالا ذکر شد، <math>\mathbb{Z}</math> یک [[دامنه اقلیدسی]] است و در نتیجه <math>\mathbb{Z}</math> [[دامنه ایده‌آل اصلی]] می‌باشد و هر عدد طبیعی بزرگ‌تر از یک را می‌توان به‌طور یکتا به حاصل‌ضرب [[اعداد اول|اعداد اوّل]] تجزیه کرد ([[قضیه اساسی علم حساب]]).

== کاردینال <math>\mathbb{Z}</math> ==
[[عدد اصلی|کاردینال]] (تعداد از اعضای مجموعه) مجموعهٔ <math>\mathbb{Z}</math>، برابر [[الف-صفر]] است. این یعنی که تعداد اعضای این مجموعه با تعداد اعضای مجموعه‌های <math>\mathbb{N}</math> ،<math>\mathbb{W}</math> و <math>\mathbb{Q}</math> برابر است.

== جستارهای وابسته ==
* [[۰٫۹۹۹‎…‎]]
* [[توابع جزء صحیح و سقف]]
* [[فهرست نمادهای ریاضی]]
* [[اعداد گویا]]
{{طبقه‌بندی اعداد}}

== منابع ==
{{ویکی‌انبار-رده|Integers}}
{{پانویس}}
* [[اریک تمپل بل]]، ''[[ریاضی‌دانان نامی]].'' New York: Simon & Schuster, 1986. (Hardcover; {{شابک|0-671-46400-0}})/(Paperback; {{شابک|۰-۶۷۱-۶۲۸۱۸-۶}})
* Herstein, I.N. , ''Topics in Algebra'', Wiley; 2 edition (۲۰ ژوئن ۱۹۷۵), {{شابک|۰-۴۷۱-۰۱۰۹۰-۱}}.
* [[ساندرز مک لین]]، and [[Garrett Birkhoff]]; ''Algebra'', American Mathematical Society; 3rd edition (1999). {{شابک|۰-۸۲۱۸-۱۶۴۶-۲}}.
* [http://mathworld.wolfram.com/Integer.html Mathworld]


{{دستگاه اعداد}}
{{اعداد گویا}}
{{داده‌های کتابخانه‌ای}}

[[رده:اعداد صحیح]]
[[رده:ریاضیات مقدماتی]]
[[رده:نظریه حلقه‌ها]]
[[رده:نظریه عدد مقدماتی]]
[[رده:نظریه جبری اعداد]]