نمایش مبدأ برای عدد جبری

یک '''عدد جبری''' (طبق اصطلاحی که [[کرونکر]] ریاضی‌دان آلمانی بکار برد <ref>لگاریتم، نوشتهٔ گ. ک. استاپو، ترجمهٔ [[پرویز شهریاری]]، [[انتشارات خوارزمی]]، چاپ اول، ص 83.</ref>)، یک [[عدد مختلط]] است که [[پاسخ معادله|پاسخ معادله‌ای]] به شکل زیر باشد:

<center>
''a''<sub>n</sub>''x''<sup>n</sup> + ''a''<sub>n−۱</sub>''x''<sup>n−۱</sup> + ··· + ''a''<sub>۱</sub>''x'' + ''a''<sub>۰</sub> = ۰
</center>

که ضریب‌های ''a''<sub>''۰''</sub> تا ''a''<sub>''n''</sub> در این [[معادله چندجمله‌ای]]، [[اعداد گویا|عددهایی گویا]] باشند.

اگر a<sub>n</sub> = ۱، به ریشه‌های معادلهٔ بالا عدد جبری صحیح گویند.

در حالت کلی اگر ضریب‌های معادلهٔ چندجمله‌ای‌مان از یک میدان دیگری به غیر از اعداد گویا آمده باشند، فرض کنید میدان 
<math> k </math>،
ریشه‌های آن را عددهایی جبری روی میدان
<math> k </math>
گوئیم و قید نکردن نام میدان در حالتی که در متن اشاره‌ای به میدان خاصی نشده باشد به معنای این است که میدان را اعداد گویا گرفته‌ایم و ریشه‌ها نیز در میدان شکافندهٔ این میدان در نظر گرفته شده‌اند که الزامی ندارد حتماً اعداد مختلط باشد، برای نمونه اگر ضریب‌ها از میدانی با [[سرشت‌نما|سرشت‌نمای]] ناصفر بیایند دیگر هیچ گونه رابطهٔ شمولی بین میدان در بردارندهٔ ریشه‌ها و میدان اعداد مختلط وجود ندارد.

به عدد مختلطی که جبری نباشد، یعنی هیچ معادلهٔ چندجمله‌ای با ضریب‌های گویا که ریشه‌اش شود نتوان یافت، یک [[اعداد متعالی|عدد متعالی]] گوئیم. از عددهای متعالی مشهور می‌توان [[عدد e|عدد نپر]] و [[عدد پی]] را نام برد. اولین عدد متعالی را ریاضی‌دان فرانسوی [[ژوزف لیوویل|جوزف لیوویل]] در سال ۱۸۴۴ میلادی با اثبات معرفی کرد<ref>David Angell, Irrationality and Transcendence, page 34</ref>
که گسترش آن اثبات خانوادهٔ بزرگی از اعداد متعالی را آشکار ساخت و به احترام او آن‌ها را اعداد لیوویل می‌گویند.

به روش مشابه اعدادی را که جبری روی میدان
<math> k </math>
نباشند را ۰ متعالی روی
<math> k </math>
می‌نامند.

اعداد جبری تعریف دقیقی ندارند

== نمونه‌ها ==
* تمامی [[اعداد گویا]] جبری هم هستند، چرا که، [[خارج قسمت]] دو [[عدد صحیح]] <math> p \!</math> و <math> q \!</math> که <math> q </math> ناصفر باشد، یعنی، <math> \frac{p}{q} \!</math> ریشهٔ معادلهٔ <math> qx - p = 0 \!</math> است.
* ریشهٔ <math> n </math>اُم یک عدد گویا عددی جبری است. یک عدد گویا مانند <math> q\in\mathbb{Q} </math> بردارید و ریشهٔ <math> n </math> آن یعنی <math> \sqrt[n]{q} </math> را در نظر بگیرید. ممکن است در عددهای حقیقی موجود نباشد ولی در عددهای مختلط برای [[اعداد منفی]] نیز ریشهٔ زوج تعریف می‌شود و اعداد جبری عددهای مختلط هستند پس اگر برای نمونه با جذر منهای یک روبرو هستیم مشکلی وجود ندارد. این عدد یک ریشه از چندجمله‌ای <math> x^n-q </math> است.

== ویژگی‌ها ==
* اعداد جبری [[شمارش پذیر]] هستند.<ref>David Angell, Irrationality and Transcendence, page 35</ref>
* عددهای جبری نسبت به جمع و ضرب و قرینه و واورن (وارون عدد جبری ناصفر) بسته هستند بنابراین با دو عمل جمع و ضرب معمولی اعداد تشکیل یک [[میدان (ریاضی)|میدان]] می‌دهند.<ref>david Angell, Irrationality and Transcendence, Theorem at page 32 and Corollary at page 33</ref>

== منابع ==
{{پانویس}}
{{چپ‌چین}}
* David Angell, (Pure Mathematics IV) Irrationality and Transcendence, revised version of 2007
{{پایان چپ‌چین}}
* [http://mathworld.wolfram.com/AlgebraicNumber.html Algebraic Number] from Mathworld (بازبینی ۲ ژوئیه ۲۰۰۶)

{{نظریه اعداد}}
{{دستگاه اعداد}}
[[رده:اعداد جبری]]
[[رده:جبر]]
[[رده:جبر مجرد]]
[[رده:نظریه اعداد]]