نمایش مبدأ برای عدد ترتیبی

[[پرونده:Omega-exp-omega-labeled.svg|بندانگشتی|نمایش اعداد ترتیبی تا <math>\omega^\omega</math>. هر دور از این مارپیچ مایشگر یک توان از <math>\omega</math> است.]]
در [[نظریه مجموعه‌ها]]، '''عدد ترتیبی'''<ref>{{یادکرد فرهنگستان|مصوب=عدد ترتیبی|بیگانه=ordinal number|بیگانه در فارسی=|حوزه=ریاضی|دفتر=ششم|بخش=فارسی|سرواژه=عدد ترتیبی}}</ref> {{به انگلیسی|Ordinal Number}} تعمیم مفهوم [[عدد طبیعی|اعداد طبیعی]] است که برای توصیف راهی برای مرتب‌سازی گردایه ای از اشیاء به کار می‌رود. هر گردایه متناهی از اعداد را می‌توان صرفاً با فرایند شمردن مرتب کرد، یعنی برچسب زنی اشیاء با اعداد طبیعی متمایز؛ لذا اعداد ترتیبی «برچسب» های مورد نیاز برای مرتب کردن گردایه ای از اشیاء به کار می‌رود.

یک عدد ترتیبی برای توصیف نوع ترتیب یک مجموعه [[خوش‌ترتیب|خوش-ترتیب]] به کار می‌رود (گرچه که این تعریف برای کلاس‌های محض خوش ترتیب کار نمی‌کند). یک مجموعه خوش ترتیب مجموعه ای با رابطه> است چنان‌که:
* ([[تثلیث]]) برای هر دو عنصر x و y دقیقاً یکی از این گزاره‌ها درست باشد:
** x>y
** x=y
** y>x
* ([[رابطه ترایا|تعدی]]) برای هر سه عنصر x, y, z اگر x>y و y>z باشد آنگاه x>z.
* (خوش-بنیانی) هر زیر مجموعه ناتهی دارای کوچک‌ترین عنصر است، یعنی عنصری چون x دارد چنان‌که هیچ عنصر دیگری چون y در زیر مجموعه وجود ندارد که x>y.

دو مجموعه خوش-ترتیب دارای یک سنخ ترتیبی است [[اگر و تنها اگر]] تناظر دو سویه از یک مجموعه به دیگری وجود داشته باشد که رابطه اولین مجموعه را به رابطه مجموعه دوم تبدیل کند.

در حالی که اعداد ترتیبی برای ''مرتب‌سازی'' اشیاء یک گردایه مفید اسند، آن‌ها متمایز از [[عدد اصلی|اعداد اصلی]] (کاردینال) اند. اعداد اصلی برای گزارش تعداد اشیاء یک گردایه به کار می‌روند. گرچه که تمایز بین اعداد ترتیبی و اصلی در مجموعه‌های متناهی همیشه مشهود نیست، اعداد ترتیبی نامتناهی مختلفی را می‌توان برای توصیف مجموعه ای با یک عدد اصلی به کار برد. اعداد ترتیبی هم مثل انواع دیگر اعداد می‌توان جمع، ضرب کرد یا به توان رسانید، گرچه که هیچ‌کدام از این عملیات برای اعداد ترتیبی جابجاپذیر نیستند.

اعداد ترتیبی توسط [[گئورگ کانتور|جورج کانتور]] در ۱۸۸۳،<ref>Thorough introductions are given by {{harv|Levy|1979}} and {{harv|Jech|2003}}.</ref> برای تطبیق با دنباله‌های متناهی و همچنین دسته‌بندی مجموعه‌های مشتق شده، که قبلاً در ۱۸۷۲ هنگام مطالعه یکتایی دنباله‌های مثلثاتی معرفی شده بودند، معرفی گشت.<ref>{{citation
 | last = Hallett | first = Michael
 | doi = 10.1093/bjps/30.1.1
 | issue = 1
 | journal = The British Journal for the Philosophy of Science
 | mr = 532548
 | pages = 1–25
 | title = Towards a theory of mathematical research programmes. I
 | volume = 30
 | year = 1979}}. See the footnote on p. &nbsp;12.</ref>

== یادداشت‌ها ==
{{پانویس|چپ‌چین=بله}}

== منابع ==
{{چپ‌چین}}
{{refbegin}}
* {{Citation | last = Cantor | first = Georg | authorlink = Georg Cantor | title = Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten. 5. | url = http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN235181684_0021&DMDID=DMDLOG_0051 | journal = [[Mathematische Annalen]] | volume = 21 | number = 4 | pages = 545&ndash;591 | year = 1883 | doi = 10.1007/bf01446819}}. Published separately as: ''Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre''.
* {{Citation |last=Cantor |first=Georg |year=1897 |title=Beitrage zur Begrundung der transfiniten Mengenlehre. II |journal=Mathematische Annalen |volume=49 |issue=2 |pages=207–246 |doi=10.1007/BF01444205 |url=http://www.springerlink.com/content/n3797702v6422612/}}{{پیوند مرده|date=فوریه ۲۰۲۰ |bot=InternetArchiveBot}} [https://archive.org/details/117770262 English translation: Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers II].
* {{citation |authorlink=John Horton Conway |first=John H. |last=Conway |author2link=Richard K. Guy |first2=Richard |last2=Guy |chapter=Cantor's Ordinal Numbers |title=The Book of Numbers |chapterurl=https://books.google.com/books?id=rfLSBwAAQBAJ&pg=PA266 |date=2012 |origyear=1996 |publisher=Springer |isbn=978-1-4612-4072-3 |pages=266–7, 274}}
* {{Citation | last = Dauben | first = Joseph | authorlink = Joseph Dauben | title = Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite | publisher = [[Harvard University Press]] | year = 1979 | isbn = 0-674-34871-0 |ref=harv}}.
* {{Citation |editor-last = Ewald |editor-first = William B. | title = From [[Immanuel Kant]] to [[David Hilbert]]: A Source Book in the Foundations of Mathematics, Volume 2 | publisher = [[Oxford University Press]] | year = 1996 | isbn = 0-19-850536-1}}.
* {{Citation | last = Ferreirós | first = José | title = 'What fermented in me for years': Cantor's discovery of transfinite numbers | url = | journal = [[Historia Mathematica]] | volume = 22 | pages = 33&ndash;42 | year = 1995 | doi = 10.1006/hmat.1995.1003 |ref=harv}}.
* {{Citation | last = Ferreirós | first = José | title = Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Mathematical Thought | publisher = [[Birkhäuser]] | year = 2007 | edition = 2nd revised | isbn = 3-7643-8349-6 |ref=harv}}.
* {{Citation | last = Hallett | first = Michael | title = Cantorian Set Theory and Limitation of Size | publisher = Oxford University Press | year = 1986 | isbn = 0-19-853283-0}}.
* {{Citation | last = Hamilton | first = A. G. | title = Numbers, Sets, and Axioms: the Apparatus of Mathematics | year = 1982 | location = New York | publisher = Cambridge University Press | isbn = 0-521-24509-5 |chapter=6. Ordinal and cardinal numbers}}.
* {{Citation |authorlink=Akihiro Kanamori |last=Kanamori |first=Akihiro |chapter=Set Theory from Cantor to Cohen |chapter-url=http://math.bu.edu/people/aki/16.pdf |editor-first=Dov M. |editor-last=Gabbay |editor2-first=Akihiro |editor2-last=Kanamori |editor3-first=John H. |editor3-last=Woods |title=Sets and Extensions in the Twentieth Century |publisher=Cambridge University Press |publication-date=2012 |pages=1–71 |isbn=978-0-444-51621-3}}.
* {{Citation | last1=Levy | first1=A. | title=Basic Set Theory | publisher= Springer-Verlag  |origyear=1979 |year=2002 |isbn=0-486-42079-5 |ref={{harvid|Levy|1979}}}}.
* {{citation |first=Thomas |last=Jech |title=Set Theory |url=https://books.google.com/books?id=GHjmCAAAQBAJ |date=2013 |publisher=Springer |edition=2nd |isbn=978-3-662-22400-7 |ref={{harvid|Jech|2003}}}}.
* {{Citation | last1=Sierpiński |first1=W. |year=1965 |title=Cardinal and Ordinal Numbers |edition=2nd |location=Warszawa |publisher=Państwowe Wydawnictwo Naukowe}} Also defines ordinal operations in terms of the Cantor Normal Form.
* {{Citation |authorlink=Patrick Suppes |last1=Suppes |first=Patrick |year=1960 |title=Axiomatic Set Theory |publisher=D.Van Nostrand |isbn=0-486-61630-4 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/axiomaticsettheo00supp_0}}.
* {{Citation | last = Tait | first = William W. | authorlink = William W. Tait | contribution = Frege versus Cantor and Dedekind: On the Concept of Number | contribution-url = http://home.uchicago.edu/wwtx/frege.cantor.dedekind.pdf | editor = William W. Tait | title = Early Analytic Philosophy: Frege, Russell, Wittgenstein | publisher = Open Court | publication-date = 1997 | pages = 213&ndash;248 | isbn = 0-8126-9344-2}}.
* {{Citation|last=von Neumann|first=John|author-link=John von Neumann|year=1923|title=Zur Einführung der transfiniten Zahlen|journal=Acta litterarum ac scientiarum Ragiae Universitatis Hungaricae Francisco-Josephinae, Sectio scientiarum mathematicarum|publisher=|pages=199–208|volume=1|url=http://acta.fyx.hu/acta/showCustomerArticle.action?id=4981&dataObjectType=article&returnAction=showCustomerVolume&sessionDataSetId=39716d660ae98d02&style=|ref=harv|accessdate=12 نوامبر 2019|archiveurl=https://web.archive.org/web/20141218090535/http://acta.fyx.hu/acta/showCustomerArticle.action?id=4981&dataObjectType=article&returnAction=showCustomerVolume&sessionDataSetId=39716d660ae98d02&style=|archivedate=18 دسامبر 2014|dead-url=yes}}
* {{Citation |last=von Neumann |first=John |author-link=John von Neumann |editor=Jean van Heijenoort |origyear=1923 |date=January 2002 |title=From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931 |chapter=On the introduction of transfinite numbers |edition=3rd |publisher=Harvard University Press |pages=346–354 |isbn=0-674-32449-8 |url=http://www.hup.harvard.edu/catalog.php?isbn=9780674324497}} - English translation of {{Harvnb |von Neumann |1923}}.
{{refend}}
{{پایان چپ‌چین}}
* {{یادکرد-ویکی
|پیوند = https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Ordinal_number&oldid=925662145
|عنوان = Ordinal Number
|زبان = انگلیسی
|بازیابی = 11 نوامبر 2019}}

{{نظریه مجموعه‌ها}}
{{دستگاه اعداد}}
{{بی‌نهایت}}
[[رده:اعداد ترتیبی]]
[[رده:خوش بنیانی]]