نمایش مبدأ برای ضرب داخلی

{{Short description|عمل جبری که از دو دنباله با طول برابر، عدد معینی را بر می گرداند}}
{{تغییرمسیر|ضرب داخلی|ضرب اسکالر مجرد|فضای ضرب داخلی|ضرب یک اسکالر در یک بردار|ضرب نرده‌ای}}
در [[هندسه تحلیلی|هندسهٔ تحلیلی]]، '''ضرب داخلی''' {{انگلیسی|Inner Product}} یا '''ضرب اسکالر''' {{به انگلیسی|scalar product}} یک [[عمل دوتایی]] بین دو [[بردار اقلیدسی|بردار]] [[فضای اقلیدسی|اقلیدسی]] است که نتیجهٔ آن یک [[عدد حقیقی]] است. به عبارتی دیگر، نتیجهٔ ضرب داخلیِ دو [[کمیت برداری]]، یک [[کمیت نرده‌ای|کمیت اسکالر]] است.

ضرب داخلی با نماد نقطه در وسط «'''·'''» نمایش داده می‌شود که با نقطه «.» تفاوت دارد، ازاین‌رو در انگلیسی به آن ضرب نقطه‌ای {{به انگلیسی|dot product}} هم گفته می‌شود.<ref name=":0">{{Cite web|date=2020-03-25|title=Comprehensive List of Algebra Symbols|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/algebra-symbols/|access-date=2020-09-06|website=Math Vault|language=en-US}}</ref>

== تعریف ==

=== بیان ریاضی ===
ضرب داخلی دو بردار <math>\vec{a} = (a_1, a_2, \dots, a_\mathrm{n})</math> و <math>\vec{b} = (b_1, b_2, \dots, b_\mathrm{n})</math> در فضای <math>\mathbb{R}^\mathrm{n}</math> به صورت زیر تعریف می‌شود:<ref name="Lipschutz2009">{{cite book|author1=S. Lipschutz|author2=M. Lipson|title=Linear Algebra (Schaum's Outlines)|url=https://archive.org/details/linearalgebra0000lips_a2h3|edition=4th|year=2009|publisher=McGraw Hill|isbn=978-0-07-154352-1}}</ref>
{{وسط‌چین}}
<math>\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_{i=1}^\mathrm{n} a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_\mathrm{n}b_\mathrm{n} </math>
{{پایان}}
==== مثال ====
{{چپ‌چین}}
<math>
\begin{align}
(1, 3, -5) \cdot (4, -2, -1) &= 1 \times 4 + 3\times-2 + -5\times-1 \\
&= 4 \qquad - 6 \qquad\  + 5 \\
&= 3
\end{align}
</math>
{{پایان}}

=== بیان ماتریسی ===
اگر بردارها را [[ماتریس]] سطری فرض کنیم ضرب داخلی را می‌توان از رابطهٔ زیر نیز محاسبه کرد (<math>b^\mathsf T</math> یعنی [[ترانهاده|ماتریس ترانهادهٔ]] <math>b</math>):

{{وسط‌چین}}
<math>\vec{a} \cdot \vec{b} = ab^\mathsf T</math>
{{پایان}}

==== مثال ====
{{چپ‌چین}}
<math>
  \begin{bmatrix}
   1 & 3 & -5
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
   4 \\ -2 \\ -1
\end{bmatrix}
 = 3
</math>
{{پایان}}
[[پرونده:Inner-product-angle.svg|بندانگشتی]]

=== بیان هندسی ===
اگر <math> \theta</math> زاویهٔ بین دو بردار باشد:<ref name=":02">{{یادکرد کتاب|عنوان=Thomas' Calculus (14th Edition)|شناسه=978-0134438986|فصل=12.3}}</ref>
{{وسط‌چین}}
<math> \vec{a} \cdot \vec{b} = \left\vert \vec{a} \right\vert \left\vert \vec{b} \right\vert \cos \theta</math>
{{پایان}}

که در آن <math> \left\vert \vec{a} \right\vert </math> و <math> \left\vert \vec{b} \right\vert </math>  به‌ترتیب اندازه‌های بردارهای  <math> \vec{a} </math> و <math> \vec{b} </math>اند.

در نتیجه:<ref name=":02"/>
* اگر <math> \vec{a}</math> و <math> \vec{b}</math> بر هم عمود باشند، نتیجهٔ ضرب صفر خواهد شد و برعکس: <math> \theta = 90^\circ \Rightarrow \cos \theta = 0 \Longleftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0</math>
* اگر <math> \vec{a}</math> و <math> \vec{b}</math> با هم موازی باشند، نتیجهٔ ضرب برابر ضرب طول بردارها خواهد شد و برعکس: <math> \theta = 0 \Rightarrow \cos \theta = 1 \Longleftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = \left\vert \vec{a} \right\vert \left\vert \vec{b} \right\vert</math>
* ضرب داخلی یک بردار در خودش برابر مقدار طول آن به توان ۲ است:<math> \vec{a} \cdot \vec{a} = \left\vert \vec{a} \right\vert^2</math>

=== حجم متوازی‌السطوح به‌کمک ضرب‌داخلی بردارها<ref>{{یادکرد کتاب|عنوان=هندسه‌ ۳ پایه دوازدهم|زبان=فارسی}}</ref> ===
{{اصلی|متوازی‌السطوح}}
متوازی‌السطوح از احجام‌برداری است که دارای حجم و مساحت است.
 
برای‌تشکیل متوازی‌السطوح احتیاج به [[ضرب خارجی|ضرب‌خارجی]] سه‌بردار به‌نام (a,b,c) نیاز است. ویرایش پیداکردن حجم آن احتیاج به '''ضرب‌داخلی''' است.
 
ضرب‌داخلی بردارهای a,b,c به‌ترتیب این‌گونه است.
 
<math> \vec{a}=(a_1,a_2,a_3),
\vec{b}=(b_1,b_2,b_3),
\vec{c}=(c_1,c_2,c_3)</math>
 
حجم ‌متوازی‌السطوح به این صورت است.
 
<math> V=|(\vec{a}.\vec{b}).\vec{c}|=a_1 b_1 c_1+a_2 b_2 c_2+a_3 b_3c_3</math>

== خواص ==
# [[خاصیت جابه‌جایی|جابه‌جایی]]: <math> \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}</math><ref name=":02"/>
# [[توزیع‌پذیری|پخش‌پذیری]]: <math> \vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}</math><ref name=":02"/>
# ضرب در عدد: <math> ( c_1 \vec{a} ) \cdot ( c_2 \vec{b} ) = c_1 c_2 ( \vec{a} \cdot \vec{b} )</math><ref name=":02"/>
* [[شرکت‌پذیری]] ممکن نیست.<ref>Weisstein, Eric W. "Dot Product." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/DotProduct.html</ref>
* خط زدن ممکن نیست: اگر <math> \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}</math>، نمی‌توان نتیجه گرفت که <math> \vec{b} = \vec{c}</math> بلکه <math> \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c} \Longrightarrow \vec{a} \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = 0 \Longrightarrow \theta = 90^\circ</math>
* [[نابرابری مثلثی]]: 
** <math>\|\mathbf{v}+\mathbf{w}\| \leq\|\mathbf{v}\|+\|\mathbf{w}\|</math>
** <math>
\|\mathbf{v}-\mathbf{w}\| \geq \| \mathbf{v} \| - \| \mathbf{w} \|
</math>

* [[نابرابری کوشی–شوارتز|نابرابری کوشی-شوارتز]] (از بیان هندسی نتیجه می‌شود): <math> \vec{a} \cdot \vec{b} \leq \left\vert \vec{a} \right\vert \left\vert \vec{b} \right\vert</math>

== تعمیم بردارهای مختلط ==
برای دو بردار [[عدد مختلط|مختلط]]، ضرب داخلی به صورت زیر تعریف می‌شود<ref name="Lipschutz2009"/>:

<math>\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n{a_i \overline{b_i}} </math>

که در اینجا، <math>\overline{b_i} </math>، [[مزدوج مختلط]] بردار '''<math>b_i</math>''' است.

== جستارهای وابسته ==
* [[ضرب خارجی]]
*[[تصویر (بردار)|تصویر بردار]]

== منابع ==
{{پانویس}}{{عملیات دوتایی}}
{{جبر خطی}}
{{جبر}}

[[رده:اسکالرها]]
[[رده:بردارها]]
[[رده:تنسورها]]
[[رده:جبر خطی]]
[[رده:حساب برداری]]
[[رده:عملیات دوتایی]]
[[رده:عملیات روی بردارها]]
[[رده:فرم‌های دوخطی]]
[[رده:هندسه تحلیلی]]