نمایش مبدأ برای شکل سطری پلکانی

در یک [[ماتریس]]، '''درایهٔ پیشرو''' درایه‌ای ناصفر است که تمام درایه‌های هم‌سطر قبل از آن صفر باشند. مثال: گلوله‌ها <math>
\bullet
</math> در ماتریس زیر

<math>
\begin{bmatrix}
\bullet & \star & \star & \star & \star \\
0 & \bullet & \star & \star & \star \\
0 & 0 & 0 & \bullet & \star \\
0 & 0 & \bullet & \star & \star \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
</math>

اگر تمام درایه‌های یک سطر صفر باشند به آن سطرِ صفر می‌گوییم و در آن صورت هیچ درایهٔ پیشرویی نخواهد داشت (مثل سطر آخر در مثال).

در [[جبر خطی]]، '''ماتریس پلکانی''' ماتریسی است که خصوصیات زیر را داشته باشد:<ref name=":0">{{یادکرد کتاب|عنوان=Linear Algebra and Its Applications|جلدها=sixth edition|کوشش=David C. Lay, Steven R. Lay, Judi J. McDonald|شناسه=978-1-292-35121-6}}</ref>

* تمام سطرهای صفر زیر سطرهای ناصفر قرار داشته باشند.
* هر درایهٔ پیشرو اکیداً سمت راست درایه‌های پیشرو در سطرهای بالاییش باشد. در مثال بالا این شرط در سطر چهارم برقرار نیست.
* بعضی منابع خاصیت سومی اضافه می‌کنند که درایه‌های پیشرو باید ۱ باشند.

با داشتن این دو (یا سه) خاصیت می‌گوییم آن ماتریس فرم پلکانی دارد. مثال: (گلوله‌ها و ستاره‌ها می‌توانند هر مقداری باشند. گلوله‌ها ناصفر)

<math>
\begin{bmatrix}
\bullet & \star & \star & \star & \star \\
0 & \bullet & \star & \star & \star \\
0 & 0 & 0 & \bullet & \star \\
0 & 0 & 0 & 0 & \bullet \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
</math>

می‌توان از تعریف نتیجه گرفت که ماتریس پلکانی یک [[ماتریس مثلثی|ماتریس بالامثلثی]] است. همچنین در یک ماتریس پلکانی، درایه‌های هم‌ستون زیر هر درایهٔ پیشرو حتماً صفر اند.<ref name=":0" />

به ماتریس <math>
A
</math> پلکانی ستونی می‌گوییم اگر [[ترانهاده|ترانهادهٔ]] آن <math>
A^T
</math> یک ماتریس پلکانی باشد. گاهی برای تأکید، به ماتریس پلکانی ماتریس پلکانی سطری هم گفته می‌شود.

هر ماتریسی مثل <math>
A
</math> را می‌توان با دنباله‌ای از چند [[عمل سطری مقدماتی]] به یک ماتریس پلکانی تبدیل کرد. با این که چنین ماتریسی یکتا نیست، مکان پیشروهای آن یکتا است. یک مکان محور <math>
i, j
</math> در یک ماتریس مکانی است که بعد از تبدیل ماتریس به پلکانی <math>
A'_{i, j}
</math> پیشرو باشد.<ref name=":0" /> برای پیدا کردن چنین ماتریسی می‌توان از روش [[حذف گاوسی]] استفاده کرد.

== ماتریس پلکانی کاهش یافته ==
اگر یک ماتریس پلکانی دو خاصیت دیگر نیز داشته باشد به آن '''ماتریس پلکانی کاهش‌یافته''' یا کاهشی {{به انگلیسی|reduced echelon matrix}} می‌گوییم:<ref name=":0" />

* هر درایهٔ پیشرو تنها درایهٔ ناصفر در ستون خود باشد. به عبارتی دیگر درایه‌های هم‌ستون هر درایهٔ پیشرو حتماً صفر اند.
* مقدار درایه‌های پیشرو باید ۱ باشند (همان طور که گفته شد، این خاصیت تنها در بعضی کتاب‌ها خاصیت ماتریس پلکانی غیرکاهشی است).

مثالی از ماتریسی با فرم پلکانی کاهش‌‌یافته {{به انگلیسی|RREF}}:

<math>
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & \star & 0 & \star \\
0 & 0 & 1 & \star & 0 & \star \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \star \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
</math>

هر ماتریسی مثل <math>
A
</math> را می‌توان با دنباله‌ای از چند [[عمل سطری مقدماتی]] به یک ماتریس پلکانی کاهش‌‌یافته تبدیل کرد. به آن ماتریس، ماتریس پلکانی کاهش‌‌یافتهٔ متناظر با ماتریس <math>
A
</math> می‌گوییم. برخلاف ماتریس پلکانی، ماتریس پلکانی کاهش‌‌یافتهٔ متناظر با هر ماتریس یکتا است.<ref name=":0" /> برای پیدا کردن چنین ماتریسی می‌توان از روش [[حذف گاوسی|حذف گاوس-جردن]] استفاده کرد.
:

== منابع ==
{{پانویس}}
{{ماتریس‌ها}}
[[رده:جبر خطی عددی]]