نمایش مبدأ برای شبه گروه

{{ساختارهای جبری|گروه}}
[[پرونده:Magma to group4.svg|بندانگشتی|ساختارهای جبری بین ماگماها و گروه‌ها: یک ''نیم-گروه'' ماگمایی است که خاصیت شرکت‌پذیری دارد .  و یک تکوار (مونوئید) ''نیم‌گروه''ی است که عضو یکسانی  داشته باشد.]]
در [[ریاضیات]]، به‌خصوص در [[جبر مجرد]]، '''شبه-گروه''' (Quasigroup)، ساختاری جبری مشابه با [[گروه (ریاضیات)|گروه‌ها]] است، چرا که همیشه «[[تقسیم]]» امکان‌پذیر می‌باشد. تفاوت عمده شبه-گروه‌ها با گروه‌ها در این است که شبه-گروه‌ها لزوماً [[خاصیت شرکت‌پذیری|شرکت‌پذیر]] نیستند.

شبه-گروهی که [[عنصر همانی|همانی]] داشته باشد را '''لوپ''' (Loop) گویند.
== تعاریف ==
حداقل دو تعریف صوری معادل برای شبه-گروه‌ها وجود دارند. یکی از این تعاریف شبه-گروه‌ها را به عنوان مجموعه‌ای مجهز به [[عمل دوتایی]] تعریف کرده و دیگری از [[جبر جهانی]] کمک گرفته و شبه‌گروه را به عنوان ساختاری با سه عملگر دوتایی در نظر می‌گیرد. تصویر [[همریختی|هم‌ریختی]] شبه-گروهی که فقط با یک عملگر دوتایی تعریف شده باشد لزوماً شبه-گروه نخواهد بود.<ref>{{cite book|last1=Smith|first1=Jonathan D. H.|title=An introduction to quasigroups and their representations|url=https://archive.org/details/introductiontoqu00smit_223|url-access=limited|date=2007|publisher=Chapman & Hall/CRC|location=Boca Raton, Fla. [u.a.]|isbn=978-1-58488-537-5|pages=[https://archive.org/details/introductiontoqu00smit_223/page/n14 3], 26–27}}</ref>

=== جبر ===
'''شبه-گروه''' <math>(Q, *)</math>، [[مجموعه تهی|مجموعه ناتهی]] <math>Q</math> است که مجهز به یک عملگر دوتایی <math>*</math> (یعنی [[ماگما (جبر)|ماگما]]) باشد به گونه‌ای که در '''خاصیت مربع لاتین''' صدق کند. این خاصیت بیان می‌دارد که برای هر <math>a, b\in Q</math>، عناصری چون <math>x, y\in Q</math> وجود دارند به طوری که در اتحادهای زیر صدق کنند:
{{وسط‌چین}}
<math>
\begin{align}
a*x=b\\
y*a=b\\
\end{align}
</math>
{{پایان وسط‌چین}}
به بیان دیگر هر عنصر مجموعه دقیقاً در هر سطر و هر ستون از جدول ضرب [[جدول کیلی|کیلی]] شبه-گروه پدیدار شود. این خاصیت تضمین می‌کند که جدول کیلی یک شبه-گروه متناهی، به‌خصوص یک گروه متناهی، [[مربع لاتین]] خواهد بود. الزام به یکتا بودن را می‌توان با شرط حذف‌پذیر بودن ماگما (یعنی ماگما خاصیت حذف شدن را داشته باشد) جایگزین کرد.<ref>{{cite book|author1=H. Rubin |author2=J. E. Rubin |author2-link= Jean E. Rubin |year=1985 |title=Equivalents of the Axiom of Choice, II |title-link= Equivalents of the Axiom of Choice |publisher=Elsevier |page=[https://archive.org/details/equivalentsofaxi0000rubi/page/109 109]}}</ref>

جواب یکتای این معادلات به صورت <math>x=a\backslash b</math> و <math>y=b/a</math> نوشته می‌شوند. عملیات <math>\backslash</math> و <math>/</math> را به ترتیب '''تقسیم چپ''' و '''تقسیم راست''' می‌نامند.

مجموعه تهی که مجهز به عمل دوتایی تهی باشد، در این تعریف از شبه-گروه صدق می‌کند. برخی از مؤلفان شبه-گروه‌های تهی را به رسمیت می‌شناسند، ولی سایر مؤلفان به‌طور صریح آن‌ها را مستثنا می‌کنند.<ref>{{harvnb|Pflugfelder|1990|page=2}}</ref><ref>{{harvnb|Bruck|1971|p=1}}</ref>

== ارجاعات ==
{{پانویس|چپ‌چین=بله}}

== منابع ==
{{چپ‌چین}}
{{آغاز پانویس|2}}
* {{Cite journal|last=Akivis|first=M. A.|last2=Goldberg|first2=Vladislav V.|year=2001|title=Solution of Belousov's problem|journal=Discussiones Mathematicae. General Algebra and Applications|volume=21|issue=1|pages=93–103|arxiv=math/0010175|doi=10.7151/dmgaa.1030}}
* {{Cite book|first=R.H.|last=Bruck|authorlink=Richard Bruck|title=A Survey of Binary Systems|publisher=Springer-Verlag|origyear=1958|url=https://books.google.com/books?id=MXTmCAAAQBAJ&lpg=PP1&pg=PA1|year=1971|isbn=978-0-387-03497-3|ref=harv}}
* {{Cite book|editor-first=O.|editor-last=Chein|editor2-first=H. O.|editor2-last=Pflugfelder|editor3-first=J.D.H.|editor3-last=Smith|title=Quasigroups and Loops: Theory and Applications|publisher=Heldermann|location=Berlin|year=1990|isbn=978-3-88538-008-5}}
* {{Citation|last=Colbourn|first=Charles J.|last2=Dinitz|first2=Jeffrey H.|title=Handbook of Combinatorial Designs|year=2007|publisher=Chapman & Hall/ CRC|place=Boca Raton|isbn=978-1-58488-506-1|edition=2nd|url=https://archive.org/details/handbookofcombin0000unse}}
* {{Cite journal|last=Dudek|first=W.A.|last2=Glazek|first2=K.|year=2008|title=Around the Hosszu-Gluskin Theorem for n-ary groups|url=https://archive.org/details/sim_discrete-mathematics_2008-11-06_308_21/page/n32|journal=Discrete Math|volume=308|issue=21|pages=4861–76|arxiv=math/0510185|doi=10.1016/j.disc.2007.09.005}}
* {{Cite book|first=H.O.|last=Pflugfelder|title=Quasigroups and Loops: Introduction|publisher=Heldermann|location=Berlin|year=1990|isbn=978-3-88538-007-8|ref=harv}}
* {{Cite book|first=J.D.H.|last=Smith|title=An Introduction to Quasigroups and their Representations|publisher=Chapman & Hall/CRC Press|year=2007|isbn=978-1-58488-537-5}}
* {{Cite book|first=V.A.|last=Shcherbacov|title=Elements of Quasigroup Theory and Applications|publisher=Chapman & Hall/CRC Press|year=2017|isbn=978-1-4987-2155-4}}
* {{Cite book|first=J.D.H.|last=Smith|first2=Anna B.|last2=Romanowska|title=Post-Modern Algebra|url=https://archive.org/details/postmodernalgebr0000smit|publisher=Wiley-Interscience|year=1999|isbn=978-0-471-12738-3}}
{{پایان پانویس}}
{{پایان چپ‌چین}}
{{جبر مجرد-خرد}}

[[رده:جبر غیرشرکت‌پذیر]]
[[رده:مربع‌های لاتین]]
[[رده:نظریه گروه‌ها]]