نمایش مبدأ برای سهمی

[[پرونده:Parabola.svg|چپ|بندانگشتی|260px|یک سهمی]]
{{مقاطع مخروطی}}
[[پرونده:Conicas2.PNG|چپ|بندانگشتی|100px|یک سهمی از تقاطع یک صفحه و یک مخروط به دست می‌آید.]]
در ریاضیات '''سَهمی''' {{به انگلیسی|Parabola}} [[مکان هندسی]] نقاطی از صفحه است که از یک خط و از یک نقطه هم فاصله هستند. این منحنی که '''شَلجَمی''' یا '''شَلغَمی'''<ref>"معنی شلغمی | لغت‌نامه دهخدا" 

شکلی مانند شلغم، سهمی، عربی آن را شلجم خوانند.

<nowiki>http://www.vajehyab.com/dehkhoda/%D8%B4%D9%84%D8%BA%D9%85%DB%8C</nowiki></ref> هم نامیده می‌شود یکی از [[مقطع مخروطی|مقاطع مخروطی]] می‌باشد، زیرا از تقاطع یک صفحه و یک مخروط می‌تواند به وجود بیاید.<ref name="parabola">Encyclopædia Britannica, ''parabola (mathematics)''</ref>
سهمی و [[هذلولی]] دو مقطع مخروطی باز هستند و [[بیضی]] و [[دایره]] دو مقطع مخروطی بسته.

== تاریخچه ==
=== یونان باستان ===
بنابر [[تقریظ]]ی از [[اراتوستن]]، سهمی را نخستین‌بار [[منایخموس]] (۳۸۰ {{--}} ۳۲۰ پ. م)، دوست نزدیک [[افلاطون]]، در تلاش برای حل [[تضعیف مکعب]] (ساختن مکعبی که حجم آن دو برابر حجم یک مکعب مفروض است فقط با استفاده از [[خط‌کش]] و [[پرگار]]) کشف کرد.
[[آپولونیوس]] برای اولین بار نام «پارابول» ({{lang-gr|παραβολή}}، به معنای «کاربرد»){{یاد|بر خلاف نامی که آپولونیوس بر بیضی (الیپسیس، به معنای کمتر بودن) و هذلولی (هایپربول، به معنای بیشتر بودن) گذاشت و به کمتر یا بیشتر بودن [[برون‌مرکزی (هندسه)|برون‌مرکزی]] این منحنی‌ها از عدد ۱ اشاره دارد، دلیل انتخاب پارابول برای سهمی واضح نیست.}} را بر روی سهمی گذاشت<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Coolidge | 1945 | p=4}}</ref> و [[اقلیدس]] (حدود ۳۶۵–۲۷۵ پ. م) بررسی دقیقی از ویژگی‌های سهمی ارائه کرد.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Wolfram MathWorld | 2002}}</ref>
[[پاپوس اسکندرانی]] (حدود ۳۵۰ {{--}} ۲۹۰ پ. م) مفهوم خط‌های هادی را برای نخستین بار بررسی کرد و نشان داد که هر منحنی نسبت ثابتی (که بعدها به [[برون‌مرکزی (هندسه)|برون‌مرکزی]] معروف شد) دارد و این نسبت ثابت برای همهٔ سهمی‌ها برابر ۱ است.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Coolidge | 1945 | p=10}}</ref>
<!-- ارشمیدس-->

<!-- آپولونیوس-->
نام [[آپولونیوس]] (اواخر قرن سوم {{--}} اوایل قرن دوم [[پیش از میلاد]]) برای قرن‌ها پس از مرگ او با مطالعهٔ مقاطع مخروطی گره خورده بود. آپولونیوس اثر مهمش «''مخروطات''» را، که مشتمل بر هشت مقاله است،<ref name="ReferenceA">{{پکه| هوخندایک | امینی | ۱۳۹۲ | pp=۸۶–۹۸}}</ref> با مطالعهٔ [[مخروط]] آغاز می‌کند و پس از تعریف سه مقطع مخروطی (سهمی، [[هذلولی]]، و بیضی)، به تعریف [[خط مماس]] آن‌ها می‌پردازد و سپس ثابت می‌کند که فاصلهٔ کانونی برای همهٔ نقاط روی یک بیضی ثابت است.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Coolidge | 1945 | pp=14-25}}</ref>

=== قرون وسطی ===
همزمان با حکومت [[مأمون]] در خراسان (در قرن سوم هجری)، [[بنوموسی|اخوان ثلاثهٔ بنوموسی]] دست به ترجمهٔ ''مخروطات'' آپولونیوس از [[زبان یونانی|یونانی]] به [[زبان عربی|عربی]] زدند. بنوموسی فقط نسخه‌ای ناقص از ''مخروطات'' را در اختیار داشتند و مقاطع مخروطی در زمان ایشان به دست فراموشی سپرده شده بود، بنابراین در فهم متن دچار مشکل بودند. اندکی بعد، یکی از اخوان ثلاثه به نام حسن نظریهٔ مقاطع استوانه‌ای را ابداع کرد که می‌توان آن را مقدمه‌ای ساده بر مقاطع مخروطی دانست. پس از درگذشت حسن، برادرش احمد در [[شام (سرزمین)|شام]] نسخه‌ای کامل‌تر از چهار فصل اول ''مخروطات'' را با شرح [[اوتوکیوس]] پیدا کرد و به کمک برادر دیگرش، محمد، و با استفاده از دو نسخهٔ موجود و نظریهٔ حسن، موفق شد نظریات آپولونیوس را دریابد. احمد و محمد ترجمهٔ مقالهٔ اول تا چهارم ''مخروطات'' را به [[هلال حمصی]] و مقالهٔ پنجم تا هفتم آن را به [[ثابت بن قره]] سپردند و خود بازنگری نهایی ترجمه را عهده‌دار شدند. ترجمهٔ برادران بنوموسی از مقالات پنجم تا هفتم ''مخروطات'' تنها نسخهٔ باقی ماندهٔ این اثر است.<ref name="ReferenceA">{{پکه| هوخندایک | امینی | ۱۳۹۲ | pp=۸۶–۹۸}}</ref>
ترجمهٔ آثار علمی به عربی اغلب نیازمند ابداع اصطلاحات فنی تازه بود و مترجمان آن‌ها، بر خلاف مترجمان [[زبان لاتین|لاتین]]، به [[ترانویسی]] عبارات یونانی اکتفا نکردند{{یاد|شاید به این دلیل که اصطلاحات بیگانه به‌سادگی در ساختار
زبان عربی پذیرفته نمی‌شود.}} و برای واژهٔ «پارابولی» اصطلاح «{{عبارت عربی|مکافی}}» را در نظر گرفتند که معنای آن را حفظ می‌کند{{یاد|در معادلهٔ آپولونیوس برای بیضی <math>(y^2=px^2-\frac{px}{d})</math> مقدار <math>\frac{px}{d}</math> کاسته می‌شود و «ناقص» در «قطع ناقص» به همین امر اشاره دارد. معادلهٔ آپولونیوس برای هذلولی مشابه معادلهٔ بیضی است با این تفاوت که مقدار <math>\frac{px}{d}</math> به مقدار <math>px^2</math> اضافه می‌شود، ازین‌رو مترجمان عربی آن، هذلولی را «قطع زائد» نامیدند. معادلهٔ آپولونیوس برای سهمی هم  <math>y^2=px^2</math> است و چون در آن بخش ناقص و زائدی نیست مترجمان عربی برای آن معادل «مُکافی» (به معنی هم‌کفو و برابر) را برگزیدند.<ref name="ReferenceA">{{پکه| هوخندایک | امینی | ۱۳۹۲ | pp=۸۶–۹۸}}</ref>}} و هنوز در زبان عربی به بیضی «{{عبارت عربی|قطع ناقص}}» گفته می‌شود.<ref name="ReferenceA">{{پکه| هوخندایک | امینی | ۱۳۹۲ | pp=۸۶–۹۸}}</ref>

=== رنسانس و قرون جدید ===
[[اسحاق نیوتن]] در کتاب «[[اصول ریاضی فلسفه طبیعی]]»<ref>Principia</ref> نشان داد که اگر نیروی کشش میان اجسام آسمانی متناسب با معکوس مجذور فاصله بین آن دو باشد، اجرامی که به دور یک جرم بزرگ می‌گرداند، یا باید حرکت دایره‌ای، بیضوی، سهموی یا هذلولوی داشته باشند. نیوتن از سهمی برای محاسبه مدار شهاب سنگ‌ها استفاده کرد.<ref>Encyclopædia Britannica, ''comet (astronomy): The impact of Newton’s work''</ref> امروزه می‌دانیم که اگر چه سهمی مدل خوبی برای حرکت شهاب سنگ‌ها می‌باشد ولی این مدل از دقت بالایی برخوردار نیست و به ندرت مدار شهاب سنگ‌ها با دقت بسیار بالایی سهموی می‌باشند.<ref>Roger R. Bate, Donald D. Mueller, Jerry E. White, ''Fundamentals of astrodynamics'', Dover Publications, 1971, p. 24</ref>

[[گالیله]] نشان داد که وقتی جسمی را در هوا پرتاب می‌کنیم، مسیر حرکت آن سهموی می‌باشد.<ref name="Wolfram">Weisstein, Eric W. «Parabola" From MathWorld--A Wolfram Web Resource</ref> این موضوع زمانی صحت دارد که از مقاومت هوا و آثار چرخشی چشم پوشی شود.<ref name="parabola"/>

[[نیوتون]] و گرگوری نشان دادند که هنگامی که نور به صورت موازی به یک آینه سهموی تابانده شود، پس از انعکاس در کانون آن جمع می‌شود.<ref name="Wolfram"/>

[[بلز پاسکال|پاسکال]] سهمی را تصویر یک دایره در نظر گرفت.<ref name="Wolfram"/>

[[رنه دکارت]] خود<!--در آثاری که با [[آیزاک بکمان]]--> مقاطع مخروطی آپولونیوس، به‌ویژه بیضی و سهمی، را در آثارش در باب [[هندسه تحلیلی]] بررسی کرده بود.<ref dir=ltr>{{harvcolnb | Mazer | 2011 | p=39}}</ref>

=== پس از نیوتن ===
== کاربرد ==
اقتصادی‌ترین شکل پل کمانی در اغلب شرایط عملی سهمی می‌باشد.<ref>John Thomas Rule, Steven A. Coons, "Graphics", McGraw-Hill (New York), 1961, p. 137</ref>

== تعریف سهمی ==
=== سهمی به عنوان مقطع مخروطی ===
سهمی [[منحنی|خم]]ی باز است که از برخورد [[مخروط]]ی قائم با قاعدهٔ دایره‌ای و صفحه‌ای حاصل می‌شود که با یکی از وترهای مخروط موازی باشد ولی با ارتفاع مخروط موازی ''نباشد''.<ref dir=ltr>{{harvcolnb|Encyclopedia Britannica}}</ref>
اگر این صفحه با قاعدهٔ مخروط موازی باشد حاصل [[دایره]]، اگر با ارتفاع مخروط موازی باشد حاصل [[هذلولی]]، و اگر با هیچ‌یک از وترهای مخروط یا ارتفاع آن موازی نباشد حاصل [[بیضی]] خواهد بود.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| University of Denver | 2002}}</ref>

=== تعریف سهمی به صورت مکان هندسی نقاط ===
در صفحهٔ اقلیدسی سهمی را می‌توان به صورت مجموعه ای از نقاط ([[مکان هندسی]]) تعریف کرد.

سهمی مکان هندسی نقاطی است که فاصلهٔ آن‌ها از نقطه ای ثابت به نام ''کانون'' با فاصلهٔ آن از خط ثابتی به نام ''خط هادی'' برابر باشد.

<sup><math>\{P : |PF| = |Pl|\}</math></sup>

== معادله ==
معادله ساده سهمی:<math>y = x^2\,</math> می‌باشد. شکل کلی معادله سهمی در [[دستگاه مختصات دکارتی]]، به شکل زیر است:
:<math>A x^2 + B xy + C y^2 + D x + E y + F = 0 \,</math>
که ضرایب <math>A</math> تا <math>F</math> همگی ثابت و [[عدد حقیقی|حقیقی]] بوده، <math>A</math> یا <math>C</math> غیر صفر هستند، و همچنین <math>B^{2} = 4 AC \,</math>.

=== مختصات قطبی ===
[[File:Kegelschnittschar-polar-e.svg|thumb|مقاطع مخروطی با کانون مشترک]]
اگر {{ریاضی|''p'' > 0}} سهمی ای با معادلهٔ دکارتی <math>y^2 = 2px</math> (سهمی به سمت راست باز می‌شود) دارای معادلهٔ قطبی زیر است:

: <math>r = 2p \frac{\cos\varphi}{\sin^2\varphi}, \quad \varphi \in \left[-\tfrac{\pi}{2} , \tfrac{\pi}{2} \right] \setminus \{0\}</math>
: (<math>r^2 = x^2 + y^2,\ x = r\cos\varphi</math>).

محور سهمی <math>V = (0, 0)</math> و کانون آن <math>F = \left(\tfrac{p}{2}, 0\right)</math> است.

اگر مبدأ را به سمت کانون جابه جا کنیم یعنی <math>F = (0, 0)</math> معادله ی قطبی زیر را خواهیم داشت:


: <math>r = \frac{p}{1 - \cos\varphi}, \quad \varphi \ne 2\pi k.</math>

=== روش انتقال ===
<math>y=a(x-h)^2 + k \,</math>
* a بیانگر باز و بسته شدن دهانه تابع است.
* h بیانگر جابجا شدن نمودار در جهت افقی. (برخلاف علامت h حرکت می‌کند)
* k بیانگر جابجا شدن نمودار در جهت عمودی. (برجهت علامت k حرکت می‌کند)

در معادله بالا h باعث انتقال افقی و k باعث انتقال عمودی می‌شود. کافیست نمودار <math>y=x^2</math> رسم کرده و با توجه به علامت h و k آن را منتقل می‌کنیم.
[[پرونده:انتقال سهمی.png|جایگزین=انتقال سهمی|وسط|بندانگشتی|251x251پیکسل|انتقال سهمی]]

== مساحت زیر سطح سهمی ==
مساحت زیر سطح سهمی که منحنی و تابعی است براساس این روش بیان می گردد

<math>S:{f(x)=\frac{x^2}{4}+2}</math>

مساحت زیر سطح سهمی بر اساس و رابطه مختصات دوبعدی قطبی بدست می آید. و چون در مختصات واحد مختصات سهمی2واحد بیشتر است به علاوه دو می کنیم

== خاصیت بازتاب نور ==
[[File:Parabel 2.svg|thumb|right|نورهایی که موازی با خط قرینه سهمی وارد سهمی می‌شوند، به کانون بازتاب می‌کنند.]]

خاصیت بازتاب سهمی بیان می‌دارد که اگر یک سهمی آیینه ای باشد و بتواند نور را بازتاب کند، آنگاه نورهایی که موازی با خط تقارن سهمی به آن وارد می‌شوند، به سمت کانون آن بازتاب می‌کنند.

=== اثبات ===
[[File:Parábola y tangente-prueba.svg|thumb|left|200px]]

در شکل مقابل F نقطه کانون سهمی، P نقطه ای دلخواه روی سهمی،
{{overline|PT}} عمودی بر خط هادی سهمی و
{{overline|MP}} نیم ساز زاویه FPT∠ است.
Q نقطه ای دیگر روی سهمی است و {{overline|QU}} نیز عمود بر خط هادی است. ما می‌دانیم
{{overline|FP}} = {{overline|PT}} و {{overline|FQ}} = {{overline|QU}}. به وضوح،
{{overline|QT}} > {{overline|QU}}, پس {{overline|QT}} > {{overline|FQ}}.
اما از طرفی تمام نقاط روی {{overline|MP}} از F و T به یک فاصله هستند. یعنی هیچ نقطه ای روی سهمی نیست که روی {{overline|MP}} باشد؛ که یعنی خط مماس به سهمی که از نقطه T می‌گذرد، نیمساز {{overline|FP}} و {{overline|PT}} است. با توجه به این که [[زاویه تابش]] نور از خط مماس به منحنی با زاویه بازتاب برابر است، می‌توان دریافت که پرتو بازتاب در راستای همان خطی است که به F می‌رود.

== ویژگی‌ها ==
* معادلهٔ سهمی در یک سیستم مختصات تخصیص‌یافته عبارت است از <math>x^2 -2py = 0 </math>. رأس این سهمی در <math> O (0, 0)</math> قرار دارد و محور <math>y</math>ها [[محور تقارن]] آن است.<ref dir=ltr>{{harvcolnb|Pottmann | Asperl | Hofer | Kilian | 2007 | p=235}}</ref>
* نقطه تمرکز  <math> F (0, p/2)</math> سهمی بر روی محور تقارن قرار دارد و {{پم|گسترنده|evolute}}ٔ سهمی (منحنی مکان هندسی مرکز انحناهای آن) تنها یک نوک تیز دارد.<ref dir=ltr>{{harvcolnb|Pottmann | Asperl | Hofer | Kilian | 2007 | p=235}}</ref>
* خط تمرکز معادل <math> f: y=-p/2</math> است که عمود بر محور <math>x</math>ها است و فاصله‌اش از نقطهٔ تمرکز (<math>F</math>) برابر <math>p</math> است.<ref dir=ltr>{{harvcolnb|Pottmann | Asperl | Hofer | Kilian | 2007 | p=235}}</ref>
* برای هر نقطهٔ <math>q</math> روی سهمی، فاصلهٔ <math>q</math> از نقطهٔ تمرکز <math>F</math> فاصلهٔ آن از خط تمرکز <math>f</math> است.<ref dir=ltr>{{harvcolnb|Pottmann | Asperl | Hofer | Kilian | 2007 | p=235}}</ref>
* همهٔ سهمی‌ها با هم [[تشابه (هندسه)|متشابه]]‌اند.<ref dir=ltr>{{harvcolnb|Pottmann | Asperl | Hofer | Kilian | 2007 | p=235}}</ref>
* سهمی‌هایی با <math>p</math> برابر با یکدیگر [[هم‌نهشتی (هندسه)|همنهشت]]ند.<ref dir=ltr>{{harvcolnb|Pottmann | Asperl | Hofer | Kilian | 2007 | p=235}}</ref>
* فرمول پارامتریک سهمی: نمونهٔ آن می‌تواند <math>c(t)=(t,t^2 /2p)</math> باشد.<ref dir=ltr>{{harvcolnb|Pottmann | Asperl | Hofer | Kilian | 2007 | p=235}}</ref>

== رسم سهمی ==
معادلهٔ درجه دو  <math>y=ax^2 + bx + c \,</math> را در نظر می‌گیریم. برای رسم سهمی کافیست که رأس آن را پیدا کنیم.

فرمول رأس سهمی برابر است با:

<math>(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}) \,</math>

بعد از پیدا کردن رأس سهمی دو نقطهٔ دیگری را با جایگذاری در فرمول پیدا کرده و نمودار را رسم می‌کنیم.

'''نکته:''' اگر در معادله درجه دو a '''مثبت''' باشد دهانه سهمی رو به '''بالا''' و اگر '''منفی''' باشد دهانه سهمی رو به '''پایین''' است.
[[پرونده:تعیین علامت a.png|جایگزین=تعیین علامت a|وسط|بندانگشتی|269x269پیکسل|تعیین علامت a]]

== نگارخانه ==
<gallery mode="packed" heights="200px" style="text-align:rirht">
پرونده:Bouncing ball strobe edit.jpg|یک توپ جهنده که مسیر آن با استروبسکوپ ۲۵ تصویر بر ثانیه نشان داده شده‌است.توپ پس از هر جهش به طور قابل توجهی غیر کروی می‌شود مخصوصا بعد از جهش اول که همراه با گردش توپ به دور خودش و [[مقاومت هوا]]،  باعث می‌شود مسیر حرکت توپ با سهمی فرق کند.
پرونده:ParabolicWaterTrajectory.jpg|مسیر حرکت سهموی آب در یک آب‌نما.
پرونده:Laxmanjhula.jpg|کابل‌های تکیه گاه یک [[پل معلق]] منحنی ای ایجاد کرده‌است که شکلی بین سهمی و [[زنجیری (هندسه)|زنجیری]] دارد.
پرونده:Rainbow Bridge(2).jpg|پل رینبو {{به انگلیسی|Rainbow Bridge}} که بر روی [[رودخانه نیاگارا|رودخانهٔ نیاگارا]] قرار دارد و کانادا (در سمت چپ) را به آمریکا (در سمت راست) متصل می‌کند. قوس سهموی زیر پل وزن جاده را تحمل می‌کند.
پرونده:Parabola shape in rotating layers of fluid.jpg|شکل سهمی وار که بر اثر چرخش به وجود آمده‌است.دو مایع با چگالی‌های متفاوت فضای باریک بین دو صفحهٔ شفاف پلاستیکی را پر می‌کنند.فضای خالی بین صفحه‌ها از بالا پایین و کناره‌ها بسته شده‌است کل مجموعه حول محوری عمودی که از مرکز می‌گذرد در گردش است.
پرونده:ALSOL.jpg|اجاق خورشیدی ساخته شده با [[بازتاب دهنده سهموی|آینهٔ سهموی]].
پرونده:Antenna 03.JPG|[[آنتن سهموی]]
پرونده:ParabolicMicrophone.jpg|[[میکروفون سهمی‌وار]] با بازتاب دهندهٔ پلاستیکی شفاف، که به منظور گوش دادن به گفت و گوی داور در یک بازی فوتبال کالجی آمریکایی استفاده شده‌است.
پرونده:Ed d21m.jpg|نورافکن [[توماس ادیسون|ادیسون]] که به ارابه ای متصل شده‌است و دارای آینه ای سهموی است.
پرونده:Physicist Stephen Hawking in Zero Gravity NASA.jpg|[[استیفن هاوکینگ]] در یک [[هواگرد]] که بر مسیری سهموی پرواز می‌کند تا جاذبهٔ صفر را شبیه سازی کند.
پرونده:Comet Kohoutek orbit p391.svg|مسیر دنباله دار Kohoutek (به رنگ قرمز) هنگامی که از منظومهٔ شمسی داخلی می‌گذرد. این مسیر شکلی نزدیک به سهمی دارد .دایرهٔ آبی مدار زمین را نشان می‌دهد.
پرونده:Celler de Sant Cugat lateral.JPG|استفاده از قوس‌های سهموی در معماری
</gallery>

== یادداشت ==
{{یادداشت}}

== پانویس ==
[https://riazica.com/parabola/ آموزش رسم سهمی] «سیده فاطمه موسوی نطنزی»

== منابع ==
=== پانویس ===
{{پانویس|۲}}

=== فهرست منابع ===
* {{cite book | last=Pottmann | first=Helmut | last2=Asperl | first2=Andreas | last3=Hofer | first3=Michael | last4=Kilian | first4=Axel | last5=Bentley | first5=Daril | title=Architectural geometry | url=https://archive.org/details/architecturalgeo0000unse | publisher=Bentley Institute Press | year=2007 | isbn=1-934493-04-X | oclc=180177477 | ref=harv}}

[[رده:سهمی‌ها]]
[[رده:مقاطع مخروطی]]
[[رده:منحنی‌ها]]