نمایش مبدأ برای ستاره‌گون

[[File:Astroid.svg|thumb|ستاره‌گون]]
[[File:HypotrochoidOn4.gif|thumb|ساخت زیرچرخ‌زاد ستاره‌گون.]]
[[File:Astroid created with Elipses with a plus b const.svg|thumb|ستاره‌گون {{ریاضی|1= ''x''{{بالانویس|{{frac|2|3}}}} + ''y''{{بالانویس|{{frac|2|3}}}} = ''r''{{بالانویس|{{frac|2|3}}}}}} به عنوان [[منحنی محاطی]] مشترک یک خانواده از [[بیضی]]‌ها با معادله {{ریاضی|1= ({{تقسیم|''x''|''a''}}){{بالانویس|۲}} + ({{تقسیم|''y''|''b''}}){{بالانویس|۲}} = ''r''{{بالانویس|۲}}}}, که در آن {{ریاضی|1= ''a'' + ''b'' = ۱}} است.]]
[[File:sliding_ladder_in_astroid.svg|thumb|link={{filepath:sliding_ladder_in_astroid.svg}}|پوشش یک نردبان (خطوط رنگی در ربع بالا-راست) که از یک دیوار عمودی به پایین می‌لغزد و بازتاب‌های آن (ربع‌های دیگر) یک ستاره‌گون است. نقاط میانی یک دایره را ردیابی می‌کنند در حالی که سایر نقاط بیضی‌های مشابه شکل قبلی را ردیابی می‌کنند. [{{filepath:sliding_ladder_in_astroid.svg}} {{Nowrap|در فایل SVG،}}] موش‌واره را روی یک نردبان ببرید تا آن را برجسته کنید.]]
[[File:Normal lines to the ellipse.svg|thumb|چپ|ستاره‌گون به عنوان گسترنده یک بیضی]]

در [[ریاضیات]]، '''ستاره‌گون''' ({{lang-en|Astroid}}) نوع خاصی از منحنی [[غلتان]] است: یک [[درون‌چرخ‌زاد]] با چهار [[نقطه بازگشت]] (تیزه). به‌طور خاص، این [[مکان هندسی]] یک نقطه روی یک دایره است که در داخل یک دایره ثابت با چهار برابر [[شعاع]] [[غلتش]] می‌کند.<ref>Yates</ref> با تولید مضاعف، این منحنی همچنین مکان هندسی یک نقطه روی یک دایره است که در داخل یک دایره ثابت با شعاع ۴/۳ برابر می‌غلتد. همچنین می‌توان آن را به عنوان [[منحنی محاطی]] یک پاره خط با طول ثابت تعریف کرد که در حالی که یک نقطه انتهایی را روی هر یک از محورها نگه می‌دارد، حرکت می‌کند؛ بنابراین [[منحنی محاطی]] میله متحرک در [[خاگار]] است.

نام آستروئید از سوی [[یوزف یوهان فون لیترو]] در سال ۱۸۳۸ پیشنهاد شد.<ref>{{cite book|author=J. J. v. Littrow|title=Kurze Anleitung zur gesammten Mathematik|chapter=§99. Die Astrois|year=1838|location=Wien|pages=299|chapter-url=[https://books.google.com/books?id=AERmAAAAcAAJ&pg=PA299](https://books.google.com/books?id=AERmAAAAcAAJ&pg=PA299)}}</ref><ref>{{cite book|author=Loria, Gino|title=Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte|url=[https://archive.org/details/speziellealgebr00lorigoog](https://archive.org/details/speziellealgebr00lorigoog)|year=1902|location=Leipzig|pages=[https://archive.org/details/speziellealgebr00lorigoog/page/n250](https://archive.org/details/speziellealgebr00lorigoog/page/n250) 224]}}</ref> این منحنی نام‌های متنوعی از جمله '''چهارتیزه‌ای''' (tetracuspid) (که هنوز هم استفاده می‌شود)، '''مکعبی‌چرخ‌زادی''' (cubocycloid) و '''پاراسیکل''' (paracycle) داشت. شکل آن تقریباً با گسترنده یک بیضی یکسان است.

== معادلات ==
اگر شعاع دایره ثابت a باشد، معادله به صورت زیر داده می‌شود:<ref name="Yates, for section">Yates, for section</ref>
<math display="block">x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}. </math>
این بدان معناست که یک ستاره‌گون نیز یک [[ابربیضی]] است.

[[معادله پارامتری]]‌ها عبارتند از:
<math display="block">
\begin{align}
 x = a\cos^3 t &= \frac{a}{4} \left( 3\cos \left(t\right) + \cos \left(3t\right)\right), \\[2ex]
 y = a\sin^3 t &= \frac{a}{4} \left( 3\sin \left(t\right) - \sin \left(3t\right) \right).
\end{align}
</math>

[[معادله پدال]] نسبت به مبدأ به صورت زیر است:
<math display="block">r^2 = a^2 - 3p^2,</math>

[[معادله وهول]] به صورت زیر است:
<math display="block">s = {3a \over 4} \cos 2\varphi,</math>
و [[معادله چسارو]] به صورت زیر است:
<math display="block">R^2 + 4s^2 = \frac{9a^2}{4}.</math>

[[دستگاه مختصات قطبی]] به صورت زیر است:<ref>{{MathWorld| urlname=Astroid | title=Astroid}}</ref>
<math display="block">r = \frac{a}{\left(\cos^{2/3}\theta + \sin^{2/3}\theta\right)^{3/2}}.</math>

ستاره‌گون یک مکان هندسی حقیقی از یک [[منحنی جبری|منحنی جبری مسطح]] با [[گونا (ریاضیات)|گونای]] صفر است. این معادله را دارد:<ref>A derivation of this equation is given on p. 3 of [http://xahlee.info/SpecialPlaneCurves_dir/Astroid_dir/astroid.pdf](http://xahlee.info/SpecialPlaneCurves_dir/Astroid_dir/astroid.pdf)</ref>
<math display="block">\left(x^2 + y^2 - a^2\right)^3 + 27 a^2 x^2 y^2 = 0. </math>

بنابراین، ستاره‌گون یک منحنی جبری حقیقی از درجه شش است.

==استخراج معادله چند جمله‌ای==
معادله چند جمله‌ای را می‌توان از معادله لایبنیتس با جبر مقدماتی به دست آورد:
<math display="block">x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}. </math>

هر دو طرف را به توان سه برسانید:
<math display="block">\begin{align}
x^{6/3} + 3x^{4/3}y^{2/3} + 3x^{2/3}y^{4/3} + y^{6/3} &= a^{6/3} \\[1.5ex]
x^2 + 3x^{2/3}y^{2/3} \left(x^{2/3} + y^{2/3}\right) + y^2 &= a^2 \\[1ex]
x^2 + y^2 - a^2 &= -3x^{2/3}y^{2/3} \left(x^{2/3} + y^{2/3}\right)
 \end{align}</math>

دوباره هر دو طرف را به توان سه برسانید:
<math display="block">\left(x^2 + y^2 - a^2\right)^3 = -27 x^2 y^2 \left(x^{2/3} + y^{2/3}\right)^3</math>

اما از آنجایی که:
<math display="block">x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3} \, </math>

نتیجه می‌شود:
<math display="block">\left(x^{2/3} + y^{2/3}\right)^3 = a^2.</math>

بنابراین:
<math display="block">\left(x^2 + y^2 - a^2\right)^3 = -27 x^2 y^2 a^2</math>
یا
<math display="block">\left(x^2 + y^2 - a^2\right)^3 + 27 x^2 y^2 a^2 = 0. </math>

==خواص متریکی==
;مساحت محصور شده<ref name="Yates, for section"/> :<math>\frac{3}{8} \pi a^2</math>
;طول منحنی :<math>6a</math>
;حجم سطح حاصل از دوران مساحت محصور شده حول محور x :<math>\frac{32}{105}\pi a^3</math>
;مساحت سطح حاصل از دوران حول محور x :<math>\frac{12}{5}\pi a^2</math>

== ویژگی‌ها ==

ستاره‌گون دارای چهار تکینگی تیزه‌ای در صفحه حقیقی است که نقاط روی ستاره هستند. این منحنی دو تکینگی تیزه‌ای مختلط دیگر در بی‌نهایت و چهار نقطه دوتایی مختلط دارد که در مجموع ده تکینگی را تشکیل می‌دهند.

[[منحنی دوگان]] ستاره‌گون، [[منحنی چارکی]] با معادله <math display="inline"> x^2 y^2 = x^2 + y^2</math> است.
[[گسترنده]] یک ستاره‌گون یک ستاره‌گون با دو برابر اندازه است.

ستاره‌گون تنها یک خط مماس در هر جهت جهت‌دار دارد، و آن را به یک نمونه از [[خارپشت (هندسه)|خارپشت]] تبدیل می‌کند.<ref>{{cite journal
 | last1 = Nishimura | first1 = Takashi
 | last2 = Sakemi | first2 = Yu
 | doi = 10.14492/hokmj/1319595861
 | issue = 3
 | journal = Hokkaido Mathematical Journal
 | mr = 2883496
 | pages = 361–373
 | title = View from inside
 | volume = 40
 | year = 2011| doi-access = free
 }}</ref>

== جستارهای وابسته ==
* [[دل‌گون]]
* [[دلتاگون]]
* [[گرده‌گون]]
* [[اسپیروگراف]]

== منابع ==
{{چپ‌چین}}{{پانویس}}
* {{Cite book | author=J. Dennis Lawrence | title=A catalog of special plane curves | url=[https://archive.org/details/catalogspecialpl00lawr](https://archive.org/details/catalogspecialpl00lawr) | url-access=limited | publisher=Dover Publications | year=1972 | isbn=0-486-60288-5 | pages=4–5,34–35,173–174 }}
* {{Cite book | author = Wells D | year = 1991 | title = The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry | publisher = Penguin Books | location = New York | isbn = 0-14-011813-6 | pages = 10&ndash;11}}
* {{Cite book | author=R.C. Yates | title=A Handbook on Curves and Their Properties | location=Ann Arbor, MI | publisher=J. W. Edwards | pages=1 ff|chapter=Astroid| year=1952 }}
{{پایان چپ‌چین}}
* {{یادکرد-ویکی|پیوند =//en.wikipedia.org/w/index.php?title=Astroid&oldid=1200628413|عنوان = Astroid|زبان =انگلیسی|بازیابی =۱۹ ژوئیه ۲۰۲۴}}

{{-}}

== پیوند به بیرون ==
{{رده انبار}}

[[رده:غلتان‌ها]]