نمایش مبدأ برای زیرگروه جابه‌جاگر

در [[ریاضیات]]، به‌خصوص در [[جبر مجرد]]، '''زیرگروه جابه‌جاگر''' {{انگلیسی|Commutator Subgroup}} یا '''زیرگروه مشتق‌شده''' {{انگلیسی|Derived Subgroup}} (یا '''زیرگروه مشتق''') از یک [[گروه (ریاضیات)|گروه]]، [[زیرگروه]] تولیدشده توسط تمام [[جابه‌جاگر (ریاضیات)|جابه‌جاگران]] آن گروه است.<ref>{{harvtxt|Dummit|Foote|2004}}</ref><ref>{{harvtxt|Lang|2002}}</ref>

[[زیرگروه جابه‌جاگر]] مهم است، چرا که کوچکترین [[زیرگروه نرمال|زیرگروه نرمالی]] است که [[گروه خارج قسمتی|گروه خارج‌قسمتی]] گروه اصلی (گروه والد) بر روی این زیر گروه، [[گروه آبلی|آبلی]] می‌باشد. به بیان دیگر، <math>G/N</math> آبلی است اگر و تنها اگر <math>N</math> شامل زیرگروه جابه‌جاگر <math>G</math> باشد؛ بنابراین از یک منظر، این زیرگروه، میزان دور بودن گروه از آبلی‌بودن را می‌سنجد؛ به گونه‌ای که هرچه زیرگروه جابه‌جاگر بزرگتر باشد، گرو اصلی «کمتر آبلی» است.

= جابه‌جاگر =
برای دو عضو g و h از یک گروه G، جابه‌جاگر آن دو عضو را به شکل <math>[g,h] = g^{-1}h^{-1}gh</math> تعریف می‌کنیم. این عضو جابه‌جاگر <math>[g,h]</math> برابر با [[عنصر همانی]] e گروه خواهد بود اگر و فقط اگر g و h با هم جابه‌جا شوند. به طور کلی‌تر <math>gh = hg[g,h]</math> اگر و فقط اگر <math>gh = hg</math>.

به یک عنصر گروه جابه‌جاگر می‌گوییم اگر بتوان آن را به فرم <math>[g,h]</math> برای دو عضو دیگر گروه همانند g و h نوشت. عضو همانی همیشه یک جابه‌جاگر از زیرا ''e'' = [''e'',''e'']، در واقع این عضو تنها جابه‌جاگر گروه است اگر و فقط اگر گروه G آبلی باشد.

در اینجا چند قاعده ساده اما کاربردی برای جابه‌جاگرها معرفی می‌کنیم؛ فرض کنید g، h و s اعضای دلخواه گروه G باشند، آنگاه داریم:

* <math>[g,h]^{-1} = [h,g]</math>
* <math>s[g,h]s^{-1} = [sgs^{-1},shs^{-1}]</math>
* اگر <math>f: G \to H </math> یک همریختی باشد، آنگاه <math>f([g, h]) = [f(g), f(h)]</math>.

عبارت اول و دوم نشان می‌دهد که مجموعه جابه‌جاگرها در G تحت معکوس و تزویج بسته است. اگر در عبارت سوم H = G بگیریم، به این نتیجه می‌رسیم که مجموعه جابه‌جاگرها تحت هر خودریختی G پایا است. این در واقع تعمیم عبارت دوم است، زیرا برای بدست آوردن عبارت دوم می توانیم f را خودریختی تزویج s در G (<math>x\mapsto x^{s}</math>) در نظر بگیریم.

با این حال، حاصلضرب دو یا چند جابه‌جاگرها نیازی به جابه‌جاگرها بودن ندارد. یک مثال عمومی [a,b][c,d] در [[گروه آزاد]] روی a,b,c,d است. مشخص شده است که کمترین رتبه یک [[گروه متناهی]] که شامل دو جابه‌جاگر باشد که حاصلضرب آنها جابه‌جاگر نیست، ۹۶ است. در واقع دو گروه غیر یکریخت از مرتبه ۹۶ با این ویژگی وجود دارد.<ref>{{harvtxt|Suárez-Alvarez}}</ref>

== مراجع ==
{{پانویس|چپ‌چین=بله}}
* {{یادکرد-ویکی|پیوند=https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Commutator_subgroup&oldid=1024354956|عنوان=Commutator Subgroup|زبان=انگلیسی|بازیابی=۸ ژوئن ۲۰۲۱}}

== منابع ==
{{چپ‌چین}}
* {{Citation|last1=Dummit|first1=David S.|last2=Foote|first2=Richard M.|title=Abstract Algebra|publisher=[[جان وایلی و پسران|John Wiley & Sons]]|year=2004|edition=3rd|isbn=0-471-43334-9}}
* {{Citation|first1=John B.|last1=Fraleigh|year=1976|isbn=0-201-01984-1|title=A First Course In Abstract Algebra|edition=2nd|publisher=[[ادیسون-وزلی|Addison-Wesley]]|location=Reading}}
* {{Citation|last=Lang|first=Serge|author-link=سرج لانگ|title=Algebra|publisher=[[اشپرینگر ساینس+بیزینس مدیا|Springer]]|series=[[Graduate Texts in Mathematics]]|year=2002|isbn=0-387-95385-X}}
* {{cite web|url=https://math.stackexchange.com/q/7811|first=Mariano|last=Suárez-Alvarez|title=Derived Subgroups and Commutators}}
{{پایان چپ‌چین}}
{{پانویس}}
{{جعبه ناوبری گروه}}

{{جبر مجرد-خرد}}

[[رده:خواص زیرگروه‌ها]]
[[رده:زیرگروه‌های تابعی]]
[[رده:مقاله‌های دربردارنده برهان]]
[[رده:نظریه گروه‌ها]]