نمایش مبدأ برای زیرمجموعه

{{Short description|مجموعه ریاضیاتی که در مجموعه دیگری گنجانده شده}}
[[File:Venn A subset B.svg|200px|thumb|[[دیاگرام اویلر]]، مجموعه A را به عنوان زیرمجموعه محضی از B نشان داده (<math>A\subset B</math>) و برعکس، B ابر مجموعه محضی از A است.]]
در [[ریاضیات و معماری|ریاضیات]]، [[مجموعه (ریاضیات)|مجموعه]] ای چون A را '''زیرمجموعه''' B نامند هرگاه تمام [[عنصر (ریاضیات)|اعضای]] A، اعضایی از B نیز باشند؛ در این حالت می‌گویند A '''زیر مجموعه''' B است. ممکن است هردوی A و B برابر باشند؛ در صورت نابرابریشان، گویند A '''زیرمجموعه سره''' ای از B است. رابطه زیرمجموعه بودن را '''شمول''' می‌نامند. «A زیرمجموعه B» را می‌توان به صورت «B شامل A» یا «B مجموعه A را در بر می‌گیرد» یا «A مشمول در B است» نیز بیان کرد.

روابط زیرمجموعگی روی مجموعه‌ها، [[مجموعه مرتب جزئی|رابطه ترتیب جزئی]] را رویشان تعریف می‌کند. در حقیقت، زیرمجموعه‌های یک مجموعه دلخواه، تحت رابطه زیرمجموعگی تشکیل [[جبر بولی]] می‌دهند که در آن [[جوین و میت]] همان [[اشتراک (مجموعه)|اشتراک]] و [[اجتماع (مجموعه)|اجتماع]] اند و خود رابطه زیرمجموعه بودن را رابطه شمول بولی می‌نامند.

== تعریف ==
اگر <math>A</math> و <math>B</math> دو مجموعه باشند و تمام اعضای <math>A</math> در <math>B</math> نیز باشد، آنگاه:
* می‌توان گفت که <math>A</math> زیرمجموعهٔ <math>B</math> است. و آن را به صورت <math>A \subseteq B</math> می‌توانیم بنویسیم.
همچنین از سوی دیگر می‌توان گفت:
* B زیرمجموعهٔ A است.

به عنوان مثال، اگر داشته باشیم <math>B =\{ 1,2,3,7\}</math>
:آنگاه <math>A =\{ 1,7\}</math> که با حذف عضوهای ۲ و ۳ به‌دست آمده است را زیرمجموعهٔ B می‌گویند.

اگر مجموعهٔ A زیرمجموعهٔ B باشد و هم‌زمان مجموعهٔ B نیز زیرمجموعهٔ A، مجموعه‌های A و B با یکدیگر برابرند.

== زیر مجموعه محض (سره) ==
اگرA <math>\subset</math>B، ولی {{درشت|A≠ B}} آنگاه {{درشت|A}} زیر مجموعه محض یا سره {{درشت|B}}نامیده می‌شود

همه زیر مجموعه‌های یک مجموعه به جز خود مجموعه را زیر مجموعه‌های محض یا سره می‌گویند.

به عنوان مثال ، <math>A =\{ 1,2,3\}</math> و <math>B =\{ 1,2,3,7\}</math> باشد آنگاه {{درشت|A}} زیر مجموعه محض (سره) مجموعه B می‌باشد.

توجه داشته باشید هر مجموعه <math>\phi</math> (تهی) را به عنوان زیر مجموعه سره خود دارد اما خود <math>\phi</math> (تهی) زیر مجموعه سره ندارد.

== تعداد زیر مجموعه‌های یک مجموعه ==
تعداد زیر مجموعه‌های یک مجموعه n عضوی برابر است با   <math>2^{n}</math> .

تعداد زیر مجموعه‌های محض (سره) یک مجموعه n عضوی برابر است با   <math>2^{n}-1</math>.

== منابع ==
{{پانویس|چپ‌چین=بله}}
* {{یادکرد-ویکی|پیوند=https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Subset&oldid=1013442940|عنوان=Subset|زبان=انگلیسی|بازیابی=۲۴ آوریل ۲۰۲۱}}

== کتابشناسی ==
{{چپ‌چین}}
* {{cite book|author-link=Thomas Jech|author=Jech, Thomas|title=Set Theory|publisher=Springer-Verlag|year=2002|isbn=3-540-44085-2}}
{{پایان چپ‌چین}}

== پیوند به بیرون ==
{{چپ‌چین}}
* {{MathWorld|title=Subset |id=Subset}}
{{پایان چپ‌چین}}

{{منطق ریاضی}}
{{نظریه مجموعه‌ها}}
{{نمادهای منطقی رایج}}

[[رده:مفاهیم پایه در نظریه مجموعه‌ها]]