نمایش مبدأ برای ریشه عدد


[[پرونده:Egyptian A'h-mosè or Rhind Papyrus (1065x1330).png|بندانگشتی|ریشه عدد]]
در [[ریاضیات]]، '''ریشه''' یا '''جذر''' ''n''ام یک عدد (مانند ''b'')، عددی (مانند ''a'') است که از به توان رساندن عددی دیگر به دست آمده‌است: <math>a = b^n \;</math> و آن را با نماد <math>b = \sqrt[n]{a}</math> نمایش می‌دهند.

بنابراین <math>\sqrt[4]{81} = 3</math> چرا که <math>3^4=81 \;</math>. به‌طور خاص [[ریشه دوم|ریشه‌های دوم]] و [[ریشه سوم|سوم]] کاربردهای وسیع‌تری نسبت به بقیه ریشه‌ها دارند.

هر [[عدد مختلط]] ناصفر n ریشه متفاوت مختلط nام از جمله ریشه‌های حقیقی (حداکثر دو ریشه حقیقی) دارد. ریشهٔ nام صفر به ازای هر [[عدد حقیقی]] مثبت n صفر می‌باشد، زیرا <math>0^n=0</math>. به صورت کلی اگر n زوج و x عددی حقیقی و مثبت باشد، یکی از ریشه‌های nام آن عددی مثبت و حقیقی، یکی منفی، و بقیه ریشه‌ها (اگر <math>n>2</math>) اعداد مختلط غیر حقیقی خواهند بود؛ اگر n زوج و x عددی حقیقی و منفی باشد، هیچ‌یک از ریشه‌های آن حقیقی نیستند. اگر n فرد و x حقیقی باشد، یک ریشه nام آن حقیقی و هم علامت با x است، در حالی که بقیه <math>(n-1)</math> ریشهٔ آن حقیقی نیستند. در نهایت، اگر x حقیقی نباشد، هیچ‌یک از ریشه‌های nام آن حقیقی نیستند.

== عملیات ریاضی ==
عملیات ریشه‌گیری از عدد دارای خواص عمومی چند است که در محاسبات به کار می‌آید:
:<math display="block">
\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \qquad a \ge 0, b \ge 0
</math>

:<math>\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \qquad a \ge 0, b > 0</math>
بیان کردن درجهٔ ریشهٔ nام به صورت توانی، کار با توان‌ها و ریشه‌ها رو آسان‌تر می‌سازد:
:<math>
\sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \left(a^{\frac{1}{n}}\right)^m = a^{\frac{m}{n}},
</math>

بنابر این به‌طور مثال خواهیم داشت:
:<math>\sqrt[3]{a^5}\sqrt[5]{a^4} = a^\frac{5}{3} a^\frac{4}{5} = a^\frac{25 + 12}{15} = a^\frac{37}{15}</math>

و نیز:
:<math>\sqrt[3]{a^5} = \sqrt[3]{aaaaa} = \sqrt[3]{a^3a^2} = a\sqrt[3]{a^2}</math>
برای گرفتن ریشه nام [[اعداد منفی]] یا مختلط باید به نکاتی توجه کنیم. برای مثال:

<math>
\sqrt{-1}\times\sqrt{-1} \neq \sqrt{-1 \times -1} = 1
</math>، بلکه <math>
\quad\sqrt{-1}\times\sqrt{-1} = i \times i = i^2 = -1
</math>

چون قانون <math> \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} 
</math> فقط برای اعداد حقیقی نا منفی صدق می‌کند استفاده از آن برای اعداد مختلط می‌تواند باعث نامساوی در مرحله اول بالا بشود.

{{ریاضی-خرد}}

[[رده:جبر مقدماتی]]
[[رده:عملیات روی اعداد]]