نمایش مبدأ برای ریاضیات

{{فهرست محتویات موضوعات ریاضی}}
[[پرونده:Muž s turbanom.png|بندانگشتی|[[خوارزمی]] ریاضی‌دان [[ایران بزرگ|ایرانی]] نویسنده کتاب ''[[الجبر والمقابله]]'']]
[[پرونده:Euclid.jpg|جایگزین=اقلیدس|بندانگشتی|[[اقلیدس]] (در حالی که [[پرگار]] در دست دارد){{سخ}}ریاضیدان [[یونان|یونانی]] سده سوم قبل از میلاد{{سخ}}این حد از جزئیات بر اساس تصور [[رافائل]] از ''[[مکتب آتن (نقاشی)|مکتب آتن]]'' است.]]
'''ریاضیات''' {{به پارسی سره|انگارش یا رایش یا مزداهیک}}<ref>{{یادکرد وب|عنوان=پارسی گویی و پارسی سره برابر پارسی واژه ریاضی|نشانی=https://www.beparsi.com/q/ریاضی#results/|بازبینی=2022-12-03|کد زبان=fa}}</ref>  فن محاسبهٔ اعداد بوده و نیز به مطالعهٔ مباحثی چون [[کمیت]] ([[نظریه اعداد]])،<ref name="OED">{{cite web |url=http://oed.com/view/Entry/114974 |title=mathematics, ''n.'' |publisher=Oxford University Press |website=Oxford English Dictionary |year=2012 |accessdate=June 16, 2012 |quote=The science of space, number, quantity, and arrangement, whose methods involve logical reasoning and usually the use of symbolic notation, and which includes geometry, arithmetic, algebra, and analysis.}}</ref> ساختار ([[جبر]])،<ref name="Kneebone">{{cite book |title=Mathematical Logic and the Foundations of Mathematics: An Introductory Survey |publisher=Dover |author=Kneebone, G.T. |year=1963 |page=[https://books.google.com/books?id=tCXxf4vbXCcC&pg=PA4 4] |isbn=978-0-486-41712-7 |quote=Mathematics&nbsp;... is simply the study of abstract structures, or formal patterns of connectedness.}}</ref> [[فضا]] [[هندسه|(هندسه]])،<ref name="OED"/> و [[حسابان|تغییرات]] ([[آنالیز ریاضی|آنالیز ریاضیات]])<ref>{{یادکرد کتاب|عنوان=ریاضیات}}</ref> می‌پردازد.<ref name="LaTorre">{{cite book |title=Calculus Concepts: An Informal Approach to the Mathematics of Change |publisher=Cengage Learning |first1=Donald R. |last1=LaTorre |first2=John W. |last2=Kenelly |first3=Sherry S. |last3=Biggers |first4=Laurel R. |last4=Carpenter |first5=Iris B. |last5=Reed |first6=Cynthia R. |last6=Harris |year=2011 |page=[https://books.google.com/books?id=1Ebu2Tij4QsC&pg=PA2 2] |isbn=978-1-4390-4957-0 |quote=Calculus is the study of change—how things change, and how quickly they change.}}</ref><ref name="Ramana">{{cite book |title=Applied Mathematics |publisher=Tata McGraw–Hill Education |author=Ramana |year=2007 |page=[https://books.google.com/books?id=XCRC6BeKhIIC&pg=SA2–PA10 2.10] |isbn=978-0-07-066753-2 |quote=The mathematical study of change, motion, growth or decay is calculus.}}</ref><ref name="Ziegler">{{cite book |title=An Invitation to Mathematics: From Competitions to Research |publisher=Springer |author=Ziegler, Günter M. |authorlink=Günter M. Ziegler |year=2011 |page=[https://books.google.com/books?id=9TATfteVeVYC&pg=PR7 vii] |isbn=978-3-642-19532-7 |chapter=What Is Mathematics?}}</ref> در حقیقت، تعریفی جهانی که همه بر سر آن توافق داشته باشند، برای ریاضیات وجود ندارد.

[[استدلال‌های منطقی|استدلال‌های استوار]] ابتدا در ریاضیات [[یونان باستان]] ظاهر شدند؛ به‌خصوص در اثر ''عناصر'' [[اقلیدس]]. از زمان کارهای تحقیقاتی [[جوزپه پئانو]] (۱۸۵۸–۱۹۳۲)، [[داویت هیلبرت]] (۱۸۶۲–۱۹۴۳) و دیگران بر روی دستگاه اصول موضوعه‌ای در پایان سدهٔ نوزدهم میلادی، روش تحقیقاتی ریاضیدانان به این شکل درآمده که آن‌ها حقایق را با [[استدلال ریاضی]] از مجموعهٔ منتخبی از اصول موضوعی و تعاریف به دست می‌آورند. روند پیشرفت ریاضیات تا زمان [[رنسانس]] سرعت نسبتاً آرامی داشت، تا زمانی که نوآوری‌های ریاضیاتی با کشفیات علمی برهم‌کنش کرده و منجر به افزایش سریع نرخ اکتشافات ریاضی گشت و تا به امروز نیز ادامه دارد.<ref>Eves, p. 306</ref>

ریاضیات در بسیاری از زمینه‌ها مثل [[علوم طبیعی]]، [[مهندسی]]، [[پزشکی]]، [[اقتصاد]] و [[علوم اجتماعی]] یک علم ضروری است. شاخه‌های کاملاً جدیدی در ریاضیات به‌وجود آمده‌اند؛ مثل [[نظریه بازی|نظریهٔ بازی‌ها]]. ریاضی‌دانان در [[ریاضیات محض]] (مطالعهٔ ریاضی به هدف کشف هرچه بیشتر رازهای خود آن) بدون اینکه هیچ‌گونه هدف کاربردی در ذهن داشته باشند به تحقیقات می‌پردازند؛ در حالی که کاربردهای عملی یافته‌های آن‌ها معمولاً بعدها کشف می‌شود.<ref>Peterson, p. 12</ref> مادر علوم جهان ریاضیات است.

== تاریخچه ==
{{اصلی|تاریخ ریاضیات}}[[پرونده:Plimpton 322.jpg|جایگزین=لوح ریاضیاتی بابلی|بندانگشتی|لوح ریاضیاتی بابلیان، [[پلیمپتن ۳۲۲|پلیمپتون ۳۲۲،]] مربوط به ۱۸۰۰ قبل از میلاد است.]]
[[پرونده:Archimedes pi.svg|جایگزین=روش افنا در تقریب عدد پی توسط ارشمیدس|بندانگشتی|[[ارشمیدس]] از [[روش افنا]] برای تقریب مقدار [[عدد پی]] استفاده کرد.]]
[[پرونده:Bakhshali numerals 2.jpg|جایگزین=سیستم عددی استفاده شده در دستنویس بخشالی|بندانگشتی|سیستم عددی استفاده شده در دستنویس بخشالی (مربوط به ریاضیات هند) که بر می‌گردد به سده دوم قبل از میلاد و سده دوم پس از میلاد.]]

[[تاریخ ریاضیات]] را می‌توان به عنوان دنباله‌ای از تجریدسازی‌های فزاینده دید. اولین قابلیت تجریدسازی که در بسیاری از حیوانات مشترک است،<ref>{{cite journal |title=Abstract representations of numbers in the animal and human brain |url=https://archive.org/details/sim_trends-in-neurosciences_1998-08_21_8/page/355 |journal=Trends in Neurosciences |volume=21 |issue=8 |date=Aug 1998 |pages=355–61 |doi=10.1016/S0166-2236(98)01263-6 |pmid=9720604 |ref=harv |last1=Dehaene |first1=Stanislas |last2=Dehaene-Lambertz |first2=Ghislaine |last3=Cohen |first3=Laurent| issn = 0166-2236 }}</ref> احتمالاً مفهوم [[عدد]] است؛ فهم این مطلب که [[مجموعه (ریاضیات)|مجموعهٔ]] دو سیب و مجموعهٔ دو پرتقال (به‌عنوان مثال) با هم اشتراکی دارند، و آن کمیت تعدادشان است.

همان‌طور که [[شواهد تجربی|شواهد]] بر روی [[چوب‌خط]] نشان می‌دهد، مردم [[پیشاتاریخ]] می‌توانستند اشیاء فیزیکی را بشمرند و توانایی شمردن اشیاء تجریدی مثل روز، فصل و سال را نیز داشتند.<ref>{{یادکرد وب|عنوان=ریاضی تجربی مهروماه|نشانی=https://daneshland.com/product/683/comprehensive-experimental-mathematics-book-for-the-first-volume-mehromah/|وبگاه=daneshland|بازبینی=2023-07-08|کد زبان=fa-IR|نویسنده=A study on the history of mathematics|تاریخ=2022-04-11}}</ref><ref>See, for example, Raymond L. Wilder, ''Evolution of Mathematical Concepts; an Elementary Study'', ''passim''</ref>

شواهد مربوط به ریاضیات پیچیده‌تر تا ۳۰۰۰ قبل میلاد مشاهده نشده، زمانی که [[تمدن بابل|بابلی‌ها]] و [[مصری‌ها]] شروع به استفاده از [[حساب]]، [[جبر]] و [[هندسه]] برای محاسبات مربوط به [[مالیات]] و دیگر مفاهیم اقتصادی، و [[ساخت‌وساز|ساخت و ساز]] یا [[نجوم]] کردند.<ref>Kline 1990, Chapter 1.</ref> قدیمی‌ترین [[متن|متون]] ریاضیاتی مربوط به [[بین‌النهرین]] و [[مصر]] می‌شود که به ۲۰۰۰–۱۸۰۰ قبل از میلاد بازمی‌گردد. بسیاری از متون اولیه سه تایی‌های [[مکتب فیثاغوری|فیثاغوری]] را ذکر کرده و لذا به نظر می‌رسد که [[قضیه فیثاغورس]] کهن‌ترین و گسترده‌ترین توسعه ریاضیاتی بعد از حساب مقدماتی و هندسه باشد. در [[مدرک|اسناد]] تاریخی، در ریاضیات بابلی‌ها بود که [[چهار عمل اصلی|حساب مقدماتی]] (جمع، تفریق، ضرب و تقسیم) ابتدا پدیدار گشت. بابلی‌ها همچنین از یک دستگاه مکان-ارزشی بهره می‌جستند که در آن [[دستگاه اعداد پایه ۶۰]] پیاده‌سازی شده بود، ازین دستگاه عددی هنوز هم برای اندازه‌گیری [[زاویه]] و [[زمان]] استفاده می‌شود.{{sfn|Boyer|1991|loc="Mesopotamia" p. 24–27}}

با آغاز [[سده ششم (میلادی)|سده ششم]] قبل از میلاد مسیح، ریاضیات [[یونانی‌ها]] با [[مکتب فیثاغوری|فیثاغورسی‌ها]] مطالعهٔ نظام مندی را در ریاضیات، به هدف شناخت بیشتر خود ریاضیات آغاز نمودند که سرآغاز ریاضیات [[یونانی‌ها]] بود.<ref>{{cite book |last=Heath |first=Thomas Little |url=https://books.google.com/?id=drnY3Vjix3kC&pg=PA1&dq#v=onepage&q=&f=false |title=A History of Greek Mathematics: From Thales to Euclid |location=New York |publisher=Dover Publications |date=1981 |orig-year=originally published 1921 |isbn=978-0-486-24073-2}}</ref> حدود ۳۰۰ قبل از میلاد، [[اقلیدس]] روش اصول موضوعه ای را که هنوز هم در ریاضیات به کار می‌رود را معرفی کرد که شامل تعاریف، اصول، قضیه و اثبات بود. کتاب مرجع او که به [[اصول اقلیدس]] معروف است به‌طور گسترده به عنوان موفق‌ترین و تأثیر گذارترین کتاب مرجع همه زمان‌ها شناخته می‌شود.{{sfn|Boyer|1991|loc="Euclid of Alexandria" p. 119}} بزرگ‌ترین ریاضیدانان باستان را اغلب [[ارشمیدس]] (۲۸۷ تا ۲۱۲ قبل از میلاد) اهل [[سیراکوز]] می‌دانند.{{sfn|Boyer|1991|loc="Archimedes of Syracuse" p. 120}} او فرمول‌هایی برای محاسبهٔ [[مساحت]] و [[حجم]] اجسام در حال [[دوران (ریاضیات)|دوران]] پیدا کرد و از [[روش افنا]] برای محاسبه مساحت زیر منحنی [[سهمی]] با استفاده از جمع یک [[سری (ریاضیات)|سری]] بی‌نهایت استفاده کرد به گونه ای که بی شباهت با [[حسابان|حساب دیفرانسیل و انتگرال]] مدرن نیست.{{sfn|Boyer|1991|loc="Archimedes of Syracuse" p. 130}} دیگر دستاوردهای قابل توجه در ریاضیات یونان [[مقطع مخروطی|مقاطع مخروطی]] ([[آپولونیوس]] اهل [[پرگا]]، سده سوم قبل از میلاد)،{{sfn|Boyer|1991|loc="Apollonius of Perga" p. 145}} [[مثلثات]] ([[ابرخس|هیپارکوس]] اهل نیکا (سده دوم قبل از میلاد))،{{sfn|Boyer|1991|loc= "Greek Trigonometry and Mensuration" p. 162}} و آغاز [[جبر]] ([[دیوفانت|دیوفانتوس]]، سده سوم پس از میلاد) بود.{{sfn|Boyer|1991|loc= "Revival and Decline of Greek Mathematics" p. 180}}

سیستم عددی هندو-عربی و قواعد استفاده از عملیاتش که امروزه در سراسر جهان استفاده می‌شود، در طی هزارهٔ اول میلادی در [[هند]] توسعه یافت و سپس از طریق [[ریاضیات اسلامی]] به [[جهان غرب]] انتقال یافت. دیگر پیشرفت‌های مربوط به ریاضیات هندی‌ها شامل تعریف مدرن [[سینوس (ریاضیات)|سینوس]] و [[کسینوس]] و فرم اولیه سری‌های بی‌نهایتی است.
[[پرونده:Image-Al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala.jpg|جایگزین=صفحه ای از کتاب جبر خوارزمی.|بندانگشتی|صفحه ای از کتاب [[جبر خوارزمی]]]]

در طی [[عصر طلایی اسلام]]، که در [[سده ۹ (میلادی)|سده نهم]] و [[سده ۱۰ (میلادی)|دهم میلادی]] شکل گرفت، ریاضیات نوآوری‌های مهمی را به خود دید که بر اساس ریاضیات یونانی‌ها پایه‌ریزی شده بود. مهم‌ترین دستاوردهای ریاضیات اسلامی توسعهٔ جبر بود. دیگر دستاوردهای مهم ریاضیات دورهٔ اسلامی پیشرفت در [[مثلثات کروی]] و اضافه شدن [[ده‌دهی متناوب|اعشار]] به سیستم عددی عربی بود. بسیاری از ریاضیدانان این دوره [[فارسی‌زبانان|فارسی‌زبان]] بودند مثل [[خوارزمی]]، [[خیام]] و [[شرف‌الدین طوسی|شرف الدین توسی]].

در طی اوایل [[عصر مدرنیته|عصر مدرن]]، ریاضیات شروع به توسعه شتاب داری در [[غرب اروپا]] کرد. توسعه حساب [[دیفرانسیل (ریاضیات)|دیفرانسیل]] و [[انتگرال]] توسط [[آیزاک نیوتن|نیوتون]] و [[گوتفرید لایبنیتس|لایبنیتس]] در [[سده هفدهم میلادی]] ریاضیات را متحول کرد. [[لئونارد اویلر]] مهم‌ترین ریاضیدان [[سده هجدهم میلادی]] بود که چندین قضیه و کشفیات را به ریاضیات افزود. شاید مهم‌ترین ریاضیدانان [[سده نوزدهم میلادی]] ریاضیدان [[آلمان|آلمانی]] [[کارل فریدریش گاوس|کارل فردریش گاوس]] بود که خدمات متعددی به [[شاخه‌های ریاضیات|شاخه‌های مختلف ریاضیات]] چون جبر، آنالیز، هندسه دیفرانسیل، [[نظریه ماتریس]]، [[نظریه اعداد]] و [[آمار]] کرد. در اوایل [[سده بیستم میلادی]]، [[کورت گودل]]، ریاضیات را با انتشار [[قضایای ناتمامیت گودل|قضایای ناتمامیت]] خویش دچار تغییر کرد. این قضایا نشان دادند که هر سیستم اصول موضوعه سازگاری شامل گزاره‌های غیرقابل اثبات اند.

ریاضیات از آن زمان به‌طور گسترده‌ای توسعه یافته‌است و کنش و واکنش‌های ثمربخشی بین ریاضیات و علوم ایجاد شده که به نفع هردو است. کشفیات ریاضیات تا به امروز نیز ادامه دارد. بر اساس نظر میخائیل سوریوک، که در ژانویه ۲۰۰۶ در ''بولتن انجمن ریاضی آمریکا'' منتشر شد، "تعداد مقالات و کتب پایگاه اطلاعاتی ژورنال ''Mathematical Review'' از سال ۱۹۴۰ (اولین سال عملیاتی شدن MR) اکنون به ۱٫۹ میلیون می‌رسد که سالانه بیش از ۷۵ هزار مورد به این پایگاه افزوده می‌شود. اکثریت کارهای گسترده‌ای که در این اقیانوس وجود دارد شامل قضایای جدید ریاضیاتی و اثبات‌هایشان است.

== شاخه‌های ریاضیات ==
{{اصلی|شاخه‌های ریاضیات}}[[پرونده:Abacus 6.png|جایگزین=چرتکه|بندانگشتی|[[چرتکه]]، یک وسیله ساده محاسباتی که از زمان‌های باستان مورد استفاده قرار می‌گرفت. چرتکه همچنین به عنوان اولین [[رایانه]] جهان شناخته می‌شود.]]
ریاضیات را می‌توان به‌طور خیلی کلی به چند قسمت تقسیم کرد: مطالعه کمیت، ساختار، فضا و تغییرات (یعنی حساب، جبر، هندسه و آنالیز). علاوه بر این‌ها که دغدغه‌های اصلی ریاضیات هستند، گرایش‌های دیگری نیز وجود دارند که خود را وقف کاوش ارتباطات بین قلب ریاضیات با دیگر زمینه‌های ریاضیات کرده‌اند، مثل ارتباطش با منطق، نظریه مجموعه‌ها (شالوده‌های ریاضی)، یا دیگر شاخه‌های تجربی تر ریاضیات که در علوم مختلف کاربرد دارند (ریاضیات کاربردی)، و اخیراً مطالعه عدم قطعیت. در حالی که برخی از این قلمروها ممکن است به ظاهر غیر مرتبط به نظر برسند، [[برنامه لنگلندز]] ارتباطاتی بین شاخه‌هایی را یافته‌است که پیش از این غیر مرتبط تلقی می‌شدند، مثل [[گروه گالوا|گروه‌های گالوا]]، [[رویه ریمانی|رویه‌های ریمانی]] و نظریه اعداد.

=== بنیان ریاضیات و فلسفه ===
{{اصلی|فلسفه ریاضیات}}
[[نظریه مجموعه‌ها]] و [[منطق ریاضی]] به منظور تببین [[بنیان‌های ریاضیات]] توسعه یافته‌اند. منطق ریاضی شامل مطالعهٔ منطق و کاربردهای [[منطق صوری]] به شاخه‌هایی از ریاضیات است؛ نظریه مجموعه‌ها شاخه ای از ریاضیات است که به مطالعه مجموعه‌ها یا گردایه ای از اشیاء می‌پردازد. [[نظریه رسته‌ها]] که به صورت مجرد به مطالعه ساختارهای ریاضیاتی و ارتباطشان با هم می‌پردازد هنوز هم در حال تکوین است. عبارت «بحران بنیان‌های ریاضیاتی» به دوره ای تاریخی بین ۱۹۰۰ تا ۱۹۳۰ اشاره دارد که در آن دوره جستجویی برای یافتن بنیانی مستحکم برای ریاضیات انجام شد.<ref>Luke Howard Hodgkin & Luke Hodgkin, ''A History of Mathematics'', Oxford University Press, 2005.</ref> اختلاف نظرها در مورد بنیان‌های ریاضی تا زمان کنونی هم ادامه دارد. این بحران با یک سری بحث‌ها تحریک شد، از جمله این بحث‌ها، بحث بر سر نظریه مجموعه‌های کانتور و جدال هیلبرت-براور بود.

دغدغهٔ منطق ریاضیاتی، ایجاد چارچوب مستحکم اصول موضوعه ای برای ریاضیات است. منطق ریاضی الزامات چنین چارچوبی را مطالعه می‌کند. به‌طور مثال قضایای عدم کمال [[کورت گودل|گودل]] به‌طور ضمنی می‌گویند که هر نظام صوری اگر معنا دار باشد (یعنی تمام قضیه‌هایی که می‌توان آن‌ها را اثبات کرد درست باشند)، الزاماً ناکامل اند (یعنی قضایای درستی هستند که نمی‌توان آن‌ها را در این سیستم اثبات کرد). گودل نشان داد که هر گردایه متناهی از اصول موضوعه‌های نظریه اعداد را به عنوان اصول موضوعه در نظر بگیریم، می‌توان یک جمله صوری ساخت که از نظر حقایق نظریه اعداد صحیح باشد ولی از این اصول موضوعه به‌دست نیایند؛ لذا در نظریه اعداد هیچ نظام صوری که از نظر اصول موضوعه ای کامل باشد وجود ندارد. منطق نوین به چند بخش تقسیم می‌شود: نظریه بازگشت، [[نظریه مدل]] و نظریه اثبات و ارتباط نزدیکی با [[علوم رایانه]] و نظریه رسته‌ها دارد. در زمینهٔ نظریه بازگشت، عدم امکان وجود سیستم اصول موضوعه ای کامل را می‌توان به صورت صوری از طریق پیامدهای قضیه MRDP نشان داد.

[[علوم رایانه]] شامل [[نظریه رایانش‌پذیری|نظریه محاسبه پذیری]]، نظریه [[نظریه پیچیدگی محاسباتی|پیچیدگی محاسباتی]] و [[نظریه اطلاعات]] است. [[نظریه رایانش‌پذیری]] محدودیت‌های مدل‌های مختلف نظری رایانه‌ها را بررسی می‌کند که شامل بسیاری از مدل‌های شناخته شده چون [[ماشین تورینگ]] می‌شود. نظریه پیچیدگی به مطالعهٔ رام پذیری حل مسائل در رایانه می‌پردازد. برخی مسائل وجود دارند که با وجود این که از لحاظ نظری توسط رایانه قابل حل هستند، اما در عمل هزینه حل کردنشان از نظر زمان یا فضا زیاد است و عملاً با وجود پیشرفت‌های سریع سخت‌افزاری در دنیای رایانه حل آن‌ها به نظر نامعقول می‌آید. یک مسئله مشهور در این وادی مسئلهٔ "[[P=NP]]"؟ است که برای حل آن جایزهٔ [[مسائل هزاره]] تعیین شده‌است.<ref>[https://web.archive.org/web/20070811193730/http://www.claymath.org/millennium/P_vs_NP/ Clay Mathematics Institute], P=NP, claymath.org</ref> در نهایت، نظریه اطلاعات با حجمی از داده‌ها سر و کار دارد که بتوان آن‌ها را بر روی یک وسیله خاص ذخیره کرد، پس این علم با مفاهیمی چون فشرده سازی و انتروپی سروکار دارد.

:{|style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin:auto" cellspacing="15"
|<math>p \Rightarrow q </math>|| [[پرونده:Venn A intersect B.svg|128px]] || [[پرونده:Commutative diagram for morphism.svg|96px]] || [[پرونده:DFAexample.svg|96px]]
|-
|[[منطق ریاضیاتی]]||[[نظریه مجموعه‌ها]] ||[[نظریه رسته‌ها]]||[[نظریه محاسبات]]
|}

=== ریاضی محض ===
{{اصلی|ریاضیات محض}}

==== کمیت ====
{{اصلی|چندی}}
مطالعهٔ کمیت با اعداد آغاز می‌گردد، ابتدا مطالعهٔ اعداد طبیعی و اعداد صحیح و عملیات حسابی روی آن‌ها که در شاخه حساب انجام می‌گردد. خواص عمیق‌تر اعداد در نظریه اعداد صورت می‌پذیرد، که قضایای معروفی چون [[قضیه آخر فرما|آخرین قضیه فرما]] از آن بیرون می‌آید. [[عدد اول|اعداد اول]] دوقلو و [[حدس گلدباخ]] دو تا از مسائل لاینحل نظریه اعدادند.

با پیشرفت دستگاه اعداد، اعداد صحیح به عنوان زیر مجموعه‌ای از اعداد گویا («کسرها») شناخته شدند. خود اعداد گویا زیر مجموعهٔ اعداد حقیقی می‌باشند که از آن‌ها برای نمایش مفهوم کمیت‌های پیوسته استفاده شده‌است. خود اعداد حقیقی زیر مجموعهٔ اعداد مختلط اند. این‌ها اولین قدم‌ها در [[سلسله‌مراتب|سلسله مراتب]] اعداد است که شامل چهارگان‌ها و هشتگان‌ها باشد. با در نظر گرفتن اعداد طبیعی، می‌توان به [[اعداد ترامتناهی]] رسید که مفهوم «[[بی‌نهایت|بی نهایت]]» بودن را صوری می‌کنند. بر اساس قضیه بنیادی جبر، تمام جواب‌های چند جمله‌ای‌های تک متغیره با ضرایب مختلط، صرف نظر از درجه‌شان مختلط هستند. یکی دیگر از قلمروهای مطالعاتی مربوط به اندازه مجموعه‌ها می‌شود، که در اعداد کاردینال توصیف گشته‌اند. مثل اعداد الف که امکان مقایسهٔ مجموعه‌های نامتناهی را با هم می‌دهند.

:{|style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin:auto" cellspacing="20"
|<math>(0), 1, 2, 3,\ldots</math> || <math>\ldots,-2, -1, 0, 1, 2\,\ldots</math> || <math> -2, \frac{2}{3}, 1.21</math> || <math>-e, \sqrt{2}, 3, \pi</math> || <math>2, i, -2+3i, 2e^{i\frac{4\pi}{3}}</math>
|-
|[[اعداد طبیعی]]|| [[اعداد صحیح]] || [[اعداد گویا]] || [[اعداد حقیقی]] || [[اعداد مختلط]]
|}

==== ساختار ====
{{اصلی|جبر}}
بسیاری از اشیاء ریاضیاتی، مثل مجموعه اعداد و توابع، ساختار داخلی از خود بروز می‌دهند که می‌تواند پیامد عملیات یا روابطی باشند که بر روی یک مجموعه اعمال می‌شود. سپس ریاضیات به مطالعه خواص آن [[مجموعه (ریاضیات)|مجموعه]]‌هایی می‌پردازد که می‌توان آن‌ها را بر اساس آن ساختار مورد نظر بیان کرد؛ به عنوان مثال [[نظریه اعداد]] به مطالعه خواص [[مجموعه (ریاضی)|مجموعه]] [[اعداد صحیح]] می‌پردازد که می‌توان آن‌ها را با عملیات [[حساب]] به‌دست‌آورد. به علاوه، معمولاً اتفاقی که می‌افتد این است که چنین مجموعه‌های ساخت یافته (ساختارها) خواص مشابهی از خود بروز می‌دهند که امکان انجام یک مرحله تجرید دیگر بر روی آن‌ها را داده و لذا در چنین شرایطی می‌توان اصول موضعه‌هایی برای آن دسته خاص از مجموعه‌ها ارائه داد، و سپس به مطالعهٔ همه آن‌ها به صورت یکجا پرداخت (همه آن مجموعه‌هایی که در آن اصول موضوعه صدق می‌کنند). ازین رو، می‌توان [[گروه (ریاضیات)|گروه]]‌ها، حلقه‌ها، [[میدان (ریاضی)|میدان]]‌ها و دیگر نظام‌های مجرد را مطالعه کرد؛ چنین مطالعاتی (برای ساختارهای تعریف شده با عملیات جبری) تشکیل یک قلمرو از ریاضیات به نام [[جبر مجرد]] را می‌دهند.

جبر مجرد را می‌توان در حالت کلی آن به مسائل به ظاهر غیر مرتبط اعمال کرد؛ به عنوان مثال، تعدادی از مسائل مربوط به ساخت به کمک خط‌کش و پرگار در نهایت با کمک [[نظریه گالوا]] حل شدند، که در آن از نظریه [[میدان (ریاضی)|میدان]] و [[گروه (ریاضیات)|گروه]]‌ها استفاده شد. یکی دیگر از مثال‌های مرتبط با نظریه جبری، [[جبر خطی|جبر خطیست]]، که عناصر آن بردارها می‌باشند. بردارها هم اندازه دارند و هم جهت و می‌توان از آن‌ها برای مدل‌سازی روابط بین نقاط درون فضا استفاده کرد. این مثالی از پدیده ای است که پیشتر اشاره شد، یعنی ارتباط قلمروهای به ظاهر غیر مرتبط مثل [[هندسه]] و [[جبر]]، به گونه ای که مشخص می‌شود این قلمروهای به ظاهر غیر مرتبط ارتباطاتی بس عمیق‌تر با یک دیگر در ریاضیات مدرن دارند. [[ترکیبیات]] به مطالعه راه‌های شمارش تعدادی اشیاء می‌پردازد که آن اشیاء در [[ساختمان داده‌ها|ساختار داده]] شده‌ای صدق می‌کنند.

:{| style="border:1px solid #999; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15"
| || [[پرونده:Elliptic curve simple.png|82px]] || [[پرونده:Group diagram d6.svg|82px]]
|-
| [[جبر مجرد]] || [[نظریه اعداد]] || [[نظریه گروه‌ها]]
|-
|| [[پرونده:Torus.jpg|82px]] || [[پرونده:MorphismComposition-01.png|82px]] || [[پرونده:Lattice of the divisibility of 60.svg|82px]]
|-
| [[توپولوژی]] || [[نظریه مدول‌ها]] || [[نظریه ترتیب]]
|}

==== فضا ====
{{اصلی|هندسه}}
مطالعه فضا از هندسه آغاز شد، به‌خصوص [[هندسه اقلیدسی]] که فضا و اعداد را با هم ترکیب کرده و [[قضیه فیثاغورس|قضیه معروف فیثاغورس]] را به‌وجود آورد. مثلثات شاخه ای از ریاضیات است که درگیر ارتباطات بین اضلاع و زاویه‌های مثلث و [[توابع مثلثاتی]] است. در مطالعات مدرن فضا، این ایده‌ها تعمیم یافته تا به هندسه‌هایی با ابعاد بالاتر، فضاهای [[هندسه نااقلیدسی|غیر-اقلیدسی]] (که نقش بنیادینی در [[نسبیت عام]] دارند) و توپولوژی برسد. کمیت و فضا هردو نقش بنیادینی در هندسه تحلیلی، هندسه دیفرانسیل و هندسه جبری دارند. [[هندسه محدب]] و گسسته برای حل مسائلی در نظریه اعداد و [[آنالیز تابعی]] توسعه یافتند، اما اکنون به نیت کاربردهایشان در بهینه‌سازی و علوم رایانه دنبال می‌شوند. در هندسه دیفرانسیل مفاهیم [[کلاف تاری|کلاف‌های تاری]] و حساب دیفرانسیل و انتگرال بر روی منیفلدها، به‌خصوص بردارها و حساب تانسوری وجود دارد. در [[هندسه جبری]] توصیف اشیاء هندسی مربوط به مجموعه جواب چند جمله ای‌ها بحث می‌شود که مفاهیم کمیت و فضا را با هم ترکیب می‌کند. همچنین در مطالعه بر روی گروه‌های توپولوژی نیز به دنبال ترکیب ساختار و فضاییم. [[گروه لی|گروه‌های لی]] در مطالعه فضا، ساختار و تغییرات استفاده می‌شود. [[توپولوژی]] در تمام شاخه‌های متعدد خویش را می‌توان به عنوان بزرگ‌ترین رشد در ریاضیات سده بیستم تلقی کرد. شاخه‌های توپولوژی شامل توپولوژی نقطه ای، توپولوژی نظریه مجموعه ای، [[توپولوژی جبری]] و [[توپولوژی دیفرانسیل]] است. به عنوان مثال توپولوژی عصر جدید شامل قضیهٔ مترپذیری، نظریه اصول موضوعه ای مجموعه‌ها، نظریه [[هموتوپی|هوموتوپی]] و نظریه مورس است. توپولوژی همچنین اکنون شامل [[حدس پوانکاره|حدس اثبات شدهٔ پوانکاره]] بوده و هنوز قلمروهای لاینحلی چون حدس هاج را دربردارد. دیگر نتایج هندسه و توپولوژی شامل [[قضیه چهاررنگ|قضیه چهار رنگ]] و [[حدس کپلر]] است که به کمک [[رایانه]]‌ها اثبات شده‌اند.

:{| style="border:1px solid #999; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15"
|+
| [[پرونده:Torus.jpg|82px]] || [[پرونده:Pythagorean.svg|82px]] || [[پرونده:Taylorsine.svg|100px]] || [[پرونده:Osculating circle.svg|82px]] || [[پرونده:Koch curve.svg|82px]]
|-
| [[توپولوژی]] || [[هندسه]] || [[مثلثات]] || [[هندسه دیفرانسیل]] || [[هندسه فراکتال‌ها]]
|}

==== تغییر ====
{{اصلی|حساب دیفرانسیل و انتگرال}}
فهم و توصیف تغییر تم اصلی علوم طبیعی بوده و [[حساب دیفرانسیل]] و [[انتگرال]] به عنوان ابزاری برای تحقیق در این ارتباط ساخته شد. توابع در اینجا به عنوان مفهوم مرکزی توصیف کننده یک کمیت متغیر ظهور پیدا کردند. مطالعه مستحکم اعداد حقیقی و توابع تک متغیرهٔ حقیقی را [[آنالیز حقیقی]] گویند، [[آنالیز مختلط]] هم فیلد مشابهی است که بر روی میدان اعداد مختلط کار می‌کند. آنالیز تابعی بر روی فضاهای (اغلب بی‌نهایت بعدی) توابع متمرکز است. یکی از کاربردهای متعدد آنالیز تابعی در [[مکانیک کوانتومی]] است. بسیاری از مسائل به‌طور طبیعی به رابطهٔ بین یک کمیت و نرخ تغییراتش منجر می‌شوند. بسیاری از پدیده‌ها در طبیعت را می‌توان به وسیله سیستم‌های دینامیکی توصیف کرد؛ نظریه آشوب به‌طور دقیق بررسی می‌کند که چگونه یک سیستم می‌تواند پیش‌بینی ناپذیر باشد و در حالی که همزمان رفتار قطعی خود را نیز حفظ می‌کند.

:{| style="border:1px solid #999; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="20"
| <math>36 \div 9 = 4</math> || [[پرونده:Integral_as_region_under_curve.png|82px]] || [[پرونده:Vectorfield_jaredwf.png|82px]] || <math>\int 1_S\,d\mu=\mu(S)</math>
|-
| [[حساب]] || [[حسابان]] || [[حساب برداری]] || [[آنالیز ریاضی]]
|-
|| <math>\frac{d^2}{dx^2} y = \frac{d}{dx} y + c</math> || [[پرونده:Limitcycle.jpg|82px]] || [[پرونده:LorenzAttractor.png|82px]]
|-
|[[معادلات دیفرانسیل]] || [[سیستم‌های دینامیکی]] || [[نظریه آشوب]]
|}

=== ریاضیات کاربردی ===
{{اصلی|ریاضیات کاربردی}}
ریاضیات کاربردی به دنبال روش‌های ریاضیاتی است که اغلب در علوم، [[مهندسی]]، [[بازرگانی]] و صنعت به کار برده می‌شوند؛ لذا «ریاضیات کاربردی» یک علم ریاضیاتی است با دانش تخصصی. همچنین عبارت ''ریاضیات کاربردی'' تخصصی حرفه ای را توصیف می‌کند که بر روی مسائل عملی تمرکز کرده‌است، ریاضیات کاربردی بر روی «فرمول بندی، مطالعه و استفاده از مدل‌های ریاضیاتی» در علوم، مهندسی و دیگر حوزه‌هایی که ریاضیات به کار می‌رود تمرکز می‌کند.

در عمل، کاربردهای عملی منجر به توسعه قضایای ریاضیاتی شده، که این قضایا خود، موضوع مطالعه در [[ریاضیات محض]] شده‌اند، که در آن ریاضیات به هدف توسعه خود ریاضیات مطالعه می‌شود. ازین رو، فعالیت ریاضیات کاربردی به‌طور حیاتی به تحقیقات در ریاضیات محض گره خورده‌است.

{|style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin:0 auto" cellspacing="20"
|-
|[[پرونده:Arbitrary-gametree-solved.svg|96px]]|| [[پرونده:BernoullisLawDerivationDiagram.svg|96px]] || [[پرونده:Composite trapezoidal rule illustration small.svg|96px]] || [[پرونده:Maximum boxed.png|96px]] || [[پرونده:Two red dice 01.svg|96px]] || [[پرونده:Oldfaithful3.png|96px]] || [[پرونده:Caesar3.svg|96px]]
|-
|[[نظریه بازی‌ها]] || [[دینامیک سیالات]] || [[آنالیز عددی]] ||[[بهینه‌سازی]]||[[نظریه احتمال]] || [[آمار]] || [[رمز نگاری]]
|-
|[[پرونده:Market Data Index NYA on 20050726 202628 UTC.png|96px]] || [[پرونده:Gravitation space source.svg|96px]] || [[پرونده:CH4-structure.svg|96px]] || [[پرونده:Signal transduction pathways.svg|96px]] || [[پرونده:GDP PPP Per Capita IMF 2008.svg|96px]] || [[پرونده:Simple feedback control loop2.svg|96px]]
|-
|[[ریاضیات مالی]] || [[ریاضی فیزیک]] || [[شیمی ریاضیاتی]]|| [[ریاضیات زیستی]]||[[ریاضت اقتصادی|ریاضیات اقتصاد]]||[[نظریه کنترل]]
|}

== جوایز ریاضیاتی ==
[[پرونده:FieldsMedalFront.jpg|بندانگشتی|عکس مدال فیلدز]]
می‌توان مدعی شد که مهم‌ترین جایزه ریاضیاتی [[مدال فیلدز|جایزهٔ فیلدز]] است،{{sfn|Monastyrsky|2001|p=1|ps=: "The Fields Medal is now indisputably the best known and most influential award in mathematics."}}{{sfn|Riehm|2002|pp=۷۷۸–۸۲}} که در سال ۱۹۳۶ تأسیس شد و در این سال‌ها، هر چهار سال یک بار (به جز حدود [[جنگ جهانی دوم]]) به حداکثر ۴ ریاضیدان تعلق گرفته‌است (یکی از دارندگان مدال فیلدز [[مریم میرزاخانی]] است که اولین زن است که دارنده این مدال است). فیلدز اغلب به عنوان معادلی برای [[جایزه نوبل|نوبل]] در ریاضیات در نظر گرفته شده.

[[جایزه ولف در ریاضی|جایزهٔ وولف]] در ریاضیات، در ۱۹۷۸ تأسیس شد و به هدف قدردانی از دستاوردهایی است که یک ریاضیدان در عمر خویش به آنها نایل گشته. [[جایزه آبل|جایزهٔ آبل]] در ۲۰۰۳ تأسیس شد. مدال چرن در ۲۰۱۰ معرفی شد برای قدردانی از دستاوردهای یک عمر. این جوایز برای اهمیت دادن به برخی کارهای نوآورانه، یا برای پیدا کردن راه حل برای مسائل مهم در یک شاخه خاص در نظر گرفته شده‌اند.

لیستی از ۲۳ مسئله باز که به آن‌ها «[[مسائل هیلبرت]]» می‌گویند در سال ۱۹۰۰ توسط ریاضیدان آلمانی [[داویت هیلبرت]] معرفی شد. این لیست به معروفیت زیادی بین ریاضیدانان دست یافت. حداقل نه تا از این مسائل اکنون حل شده‌اند. لیست جدیدی از هفت مسئله مهم به نام «[[مسائل هزاره|مسائل جایزه هزاره]]» نیز در سال ۲۰۰۰ منتشر شد. تنها یکی از آن‌ها با لیست مسائل هیلبرت اشتراک دارد. جایزه حل هر مسئله در لیست جایزه هزاره ۱ میلیون دلار است.

== خلاقیت و شهود ریاضیات ==
نیاز به درستی و دقت به این معنا نیست که ریاضیات جایی برای خلاقیت ندارد. برعکس، بیشتر کارهای ریاضی فراتر از محاسبات بی‌درنگ نیازمند [[حل مسئله]] هوشمندانه و کاوش شهودی دیدگاه‌های جدید است. افرادی که به ریاضیات تمایل دارند اغلب نه تنها خلاقیت را در ریاضیات می‌بینند، بلکه یک ارزش [[زیبایی‌شناسی|زیبایی شناختی]] را نیز می‌بینند که معمولاً به عنوان ظرافت توصیف می‌شود. کیفیت‌هایی مانند سادگی، تقارن، کامل بودن، و عمومیت به ویژه در اثبات‌ها و تکنیک‌ها ارزشمند است. جی.اچ. هاردی در کتاب «عذرخواهی یک ریاضیدان» معتقد است که این ملاحظات زیباشناختی به خودی خود برای توجیه مطالعه ریاضیات محض کافی هستند. او همچنین معیارهای دیگری مانند اهمیت، غیرمنتظره بودن و اجتناب ناپذیر بودن را که به زیبایی‌شناسی ریاضی کمک می‌کنند، شناسایی کرد. پل اردوس این احساس را به شکل طعنه آمیزی با صحبت از «کتاب»، مجموعه ای فرضی الهی از زیباترین شواهد بیان کرد. کتاب (شواهدی از کتاب) در سال۱۹۹۸، با الهام از کتاب (جنگل) مجموعه ای از استدلال‌های ریاضی مختصر و وحیانی است. برخی از نمونه‌های نتایج به‌ویژه ظریف شامل اثبات اقلیدس مبنی بر وجود بی‌نهایت اعداد اول و [[تبدیل فوریه]] سریع برای تحلیل هارمونیک است. برخی بر این باورند که علم دانستن ریاضیات به معنای کم‌اهمیت جلوه دادن هنر و تاریخ آن در هفت هنر سنتی لیبرال است. یکی از راه‌هایی که این تفاوت دیدگاه نشان می‌دهد، در بحث فلسفی است که آیا نتایج ریاضی ایجاد می‌شوند (مانند هنر) یا کشف می‌شوند (مانند علم). محبوبیت ریاضیات تفریحی نشانه دیگری از لذت بسیاری از حل سوالات ریاضی است. در قرن بیستم، ریاضیدان (لی.ای. جی براور) حتی دیدگاهی فلسفی به نام شهودگرایی را آغاز کرد که در درجه اول ریاضیات را با فرآیندهای خلاقانه خاصی در ذهن شناسایی می‌کند. شهودگرایی به نوبه خود یکی از مزه‌های موضعی است که به عنوان ساخت‌گرایی شناخته می‌شود، که تنها زمانی یک شی ریاضی را معتبر می‌داند که بتوان آن را مستقیماً ساخت، نه اینکه صرفاً توسط منطق به‌طور غیرمستقیم تضمین شود. این امر سازنده‌های متعهد را به رد نتایج معین، به‌ویژه استدلال‌هایی مانند براهین وجودی مبتنی بر قانون میانه حذف‌شده، سوق می‌دهد. در نهایت، نه ساخت‌گرایی و نه شهودگرایی جایگزین ریاضیات کلاسیک نشد و به مقبولیت اصلی دست یافتند. با این حال، این برنامه‌ها انگیزه‌ای برای پیشرفت‌های خاصی مانند [[منطق شهودی]] و سایر بینش‌های بنیادی داشته‌اند که در نوع خود مورد قدردانی قرار می‌گیرند.

== جستارهای وابسته ==
{{درگاه|ریاضیات}}
* [[علامت صفر]]
* [[فهرست مفاهیم ریاضی]]
* [[فلسفه ریاضیات]]
* [[المپیاد جهانی ریاضی]]
* [[انجمن ریاضی ایران]]
* [[علوم ریاضی]]

== منابع ==
{{منابع|چپ‌چین=بله|۲}}

== کتاب‌شناسی ==
{{چپ‌چین}}
{{refbegin|30em}}
* {{cite book |last=Boyer |first=C.B. |authorlink=کارل بویر |title=A History of Mathematics |edition=2nd |place=New York |publisher=Wiley |year=1991 |isbn=978-0-471-54397-8 |ref=harv |url=https://archive.org/details/historyofmathema00boye}}
* {{cite book |last1=Courant |first1=Richard |authorlink1=ریچارد کورانت |last2=Robbins |first2=Herbert |title=What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods |url=https://archive.org/details/whatismathematic0000cour |location=New York |publisher=Oxford University Press |edition=2nd |year=1996 |isbn=978-0-19-510519-3}}
* {{cite episode |title=Nicolas Bourbaki |url=http://www.bbc.co.uk/programmes/b00stcgv |access-date=26 October 2017 |series=A Brief History of Mathematics |first=Marcus |last=du Sautoy |authorlink=مارکوس دو ساتوی |station=BBC Radio 4 |date=25 June 2010}}
* {{cite book |last=Einstein |first=Albert |authorlink=آلبرت اینشتین |title=Sidelights on Relativity: I. Ether and relativity. II. Geometry and experience (translated by G.B. Jeffery, D.Sc. , and W. Perrett, Ph.D) |publisher=E.P. Dutton & Co. , New York |url=http://searchworks.stanford.edu/view/1216826 |year=1923}}
* {{cite book |last=Eves |first=Howard |title=An Introduction to the History of Mathematics |url=https://archive.org/details/introductiontohi0000eves |edition=6th |publisher=Saunders |year=1990 |isbn=978-0-03-029558-4}}
* {{cite book |last=Kline |first=Morris |authorlink=موریس کلاین |title=Mathematical Thought from Ancient to Modern Times |url=https://archive.org/details/mathematicalthou00klin |location=New York |publisher=Oxford University Press |edition=Paperback |year=1990 |isbn=978-0-19-506135-2}}
* {{cite journal |url=http://www.fields.utoronto.ca/aboutus/FieldsMedal_Monastyrsky.pdf |year=2001 |title=Some Trends in Modern Mathematics and the Fields Medal |last=Monastyrsky |first=Michael |publisher=Canadian Mathematical Society |accessdate=July 28, 2006 |format=PDF |ref=harv}}
* {{cite book |last=Oakley |first=Barbara |title=A Mind For Numbers: How to Excel at Math and Science (Even If You Flunked Algebra) |date=2014 |publisher=Penguin Random House |location=New York |url=https://books.google.com/?id=Jv3YCwAAQBAJ&printsec=frontcover&dq=A+Mind+for+Numbers#v=onepage&q&f=false|isbn=978-0-399-16524-5}}
* {{cite book |last=Pappas |first=Theoni |title=The Joy Of Mathematics |url=https://archive.org/details/joyofmathematics0000papp |publisher=Wide World Publishing |edition=Revised |date=June 1989 |isbn=978-0-933174-65-8}}
* {{cite journal |pages=97–229 |title=Linear associative algebra |first=Benjamin |last=Peirce |authorlink=بنجامین پرس |editor-link=چارلز سندرز پیرس |editor-first=Charles&nbsp;Sanders |editor-last=Peirce |edition=Corrected, expanded, and annotated revision with an 1875 paper by B. &nbsp;Peirce and annotations by his son, C.S. Peirce, of the 1872 lithograph |journal=American Journal of Mathematics |volume=4 |year=1881 |url=https://books.google.com/?id=De0GAAAAYAAJ&pg=PA1&dq=Peirce+Benjamin+Linear+Associative+Algebra+&q= |id=Corrected, expanded, and annotated revision with an 1875 paper by B. &nbsp;Peirce and annotations by his son, C. &nbsp;S. &nbsp;Peirce, of the 1872 lithograph ed. ''Google'' [https://books.google.com/books?id=LQgPAAAAIAAJ&pg=PA221 Eprint] and as an extract, D. &nbsp;Van Nostrand, 1882, ''Google'' [https://books.google.com/books?id=De0GAAAAYAAJ&printsec=frontcover Eprint] |issue=1–4 |doi=10.2307/2369153 |ref=harv |jstor=2369153}}.
* {{cite book |last=Peterson |first=Ivars |title=Mathematical Tourist, New and Updated Snapshots of Modern Mathematics |publisher=Owl Books |year=2001 |isbn=978-0-8050-7159-7}}
* {{cite book |first=Karl R. |last=Popper |authorlink=کارل پوپر |title=In Search of a Better World: Lectures and Essays from Thirty Years |url=https://archive.org/details/insearchofbetter00karl |journal=New York: Routledge |chapter=On knowledge |year=1995 |isbn=978-0-415-13548-1|bibcode=1992sbwl.book.....P}}
* {{cite journal |last=Riehm |first=Carl |title=The Early History of the Fields Medal |journal=Notices of the AMS |volume=49 |issue=7 |pages=778–72 |date=August 2002 |url=http://www.ams.org/notices/200207/comm-riehm.pdf |format=PDF |ref=harv}}
* {{cite journal |last=Sevryuk |first=Mikhail B. |date=January 2006 |title=Book Reviews |journal=[[بولتن انجمن ریاضی امریکا|Bulletin of the American Mathematical Society]] |volume=43 |issue=1 |pages=101–09 |url=http://www.ams.org/bull/2006-43-01/S0273-0979-05-01069-4/S0273-0979-05-01069-4.pdf |format=PDF |accessdate=June 24, 2006 |doi=10.1090/S0273-0979-05-01069-4 |ref=harv|bibcode=1994BAMaS..30..205W}}
* {{cite book |last=Waltershausen |first=Wolfgang Sartorius von |title=Gauss zum Gedächtniss |year=1965 |origyear=first published 1856 |publisher=Sändig Reprint Verlag H. R. Wohlwend |isbn=978-3-253-01702-5}}
{{refend}}
* Kline, M. , ''Mathematical Thought from Ancient to Modern Times'' (1973);
{{پایان چپ‌چین}}

== پیوند به بیرون ==
{{ویکی‌گفتاورد با عنوان|مخفف ریاضیات}}{{ویکی‌واژه|ریاضیات}}
{{ویکی‌کتاب|ویکی‌مدرسه/المپیاد ریاضی}}
{{ویکی‌انبار-رده|Mathematics}}
* [https://web.archive.org/web/20080828202039/http://thesaurus.maths.org/ فرهنگ جامع ریاضیات]
* [https://web.archive.org/web/20040403120115/http://www.math-atlas.org/ اطلس ریاضیات]
* اریک ویستن، ''دنیای ریاضیات''، [http://www.mathworld.com/ http://www.mathworld.com] دانشنامهٔ برخط ریاضیات.
* [http://planetmath.org/ سیارهٔ ریاضی] ''(به انگلیسی:Planet Math)'' دانشنامهٔ بر خط ریاضیات که هنوز در دست ساخت است. به دلیل استفاده از اجازهٔ [[GFDL]] امکان تبادل مقالات با ویکی‌پدیا وجود دارد. این دانشنامه از روش نشان‌گذاری [[TeX]] استفاده می‌کند.
* [http://metamath.org/ Metamath] یک وبگاه و یک زبان که به شرح و بسط ریاضیات از پایه می‌پردازد.

{{شاخه‌های ریاضیات}}
{{داده‌های کتابخانه‌ای}}
{{جعبه ناوبری زمین‌سنجی}}
[[رده:ریاضیات| ]]
[[رده:علوم صوری]]
[[رده:مقاله‌های موضوعات اصلی]]