نمایش مبدأ برای رویه کاپرکار

در [[نظریه اعداد]]، '''رَویِّه کاپرِکار''' (Kaprekar's Routine)، یک [[الگوریتم]] تکراری است که در هر تکرار خود [[عدد طبیعی|عددی طبیعی]] در مبنای خاصی را گرفته و از روی آن با مرتب‌سازی ارقامش به دو حالت ترتیب صعودی و نزولی، دو عدد جدید ایجاد کرده که تفاضلشان، عددی را به‌وجود می‌آورد که در تکرار بعدی الگوریتم مجدد مورد استفاده قرار می‌گیرد. این رویه را به نام [[ریاضی‌دان]] [[هند|هندی]] مخترع آن، [[دی. آر. کاپرکار]] نامگذاری نموده‌اند.

کاپرِکار نشان داد که درحالت ۴-رقمی، اگر عدد آغازین دارای حداقل دو رقم متمایز باشد، همیشه پس از گذشت ۷ تکرار عدد ۶۱۷۴ تولید می‌گردد که اکنون به آن '''ثابت کاپرِکار''' گفته می‌شود.{{sfn|Hanover|2017|loc=Overview|p=۱}}

== تعریف و خواص ==
این الگوریتم به صورت زیر است:{{sfn|Hanover|2017|loc=Methodology|p=۳}}
# یک عدد طبیعی چون <math>n</math> در [[مبنا|مبنای]] <math>b</math> انتخاب کنید. این عدد اولین عدد دنباله خواهد بود.
# بامرتب سازی ارقام به صورت نزولی عدد جدید <math>\alpha</math> و با مرتب‌سازی ارقام به صورت صعودی عدد جدید <math>\beta</math> بدست می‌آیند. این اعداد ممکن است دارای ارقام پیشروی صفر باشند که در این صورت نادیده انگاشته خواهند شد (که البته می‌توان آن‌ها را حفظ کرد). از تفاضل <math>\alpha - \beta</math> عدد بعدی دنبال بدست خواهد آمد.
# مرحله ۲ را تکرار کنید.

به این دنباله، '''دنباله کاپرکار''' گفته شده و تابع <math>K_b(n)=\alpha - \beta</math> نیز '''نگاشت کاپرکار''' نام دارد. برخی از اعداد به خودشان نگاشته می‌شوند؛ این اعداد [[نقطه ثابت|نقاط ثابت]] نگاشت کاپرکار بوده<ref name="A099009">{{OEIS|A099009}}</ref> و به آن‌ها '''ثوابت کاپرکار''' می‌گویند. برای تمام پایه‌های <math>b</math>، صفر یک ثابت کاپرکار است و لذا به آن '''ثابت بدیهی کاپرکار''' گفته می‌شود. سایر ثوابت کاپرکار را '''ثوابت نابدیهی کاپرکار''' گویند.

به عنوان مثال در [[مبنای ۱۰]] با شروع از ۳۵۴۲ داریم:
{{وسط‌چین}}
<math>
\begin{align}
K_{10}(3524) &= 5432 - 2345 = 3087\\
K_{10}(3087) &= 8730 - 378 = 8352\\
K_{10}(8352) &= 8532 - 2358 = 6174\\
K_{10}(6174) &= 7641 - 1467 = 6174\\
\end{align}
</math>{{پایان وسط‌چین}}

که در آن ۶۱۷۴ یک ثابت کاپرکار است.

== ارجاعات ==
{{پانویس}}

== منابع ==
{{چپ‌چین}}
{{refbegin}}
* {{cite journal|last=Hanover|first=Daniel|year=2017|title=The Base Dependent Behavior of Kaprekar’s Routine: A Theoretical and Computational Study Revealing New Regularities|url=https://arxiv.org/abs/1710.06308|journal=International Journal of Pure and Applied Mathematics|arxiv=1710.06308}}
{{refend}}
{{پایان چپ‌چین}}
{{رده‌های اعداد طبیعی}}

{{نظریه اعداد-خرد}}

[[رده:الگوریتم‌های مرتب‌سازی]]
[[رده:دنباله‌های صحیح وابسته به پایه عدد]]
[[رده:دینامیک حسابی]]