نمایش مبدأ برای رویه دورانی

[[پرونده:Rotationskoerper animation.gif|بندانگشتی|ساخت رویه دورانی با چرخاندن یک منحنی سینوسی به دور محور <math>z</math>-ها]]

در [[فضای اقلیدسی]] '''رویه دورانی''' {{انگلیسی|Surface of Revolution}} (یا '''سطح دَوَرانی''')، [[رویه (ریاضیات)|رویه‌ای]] است که حاصل چرخاندن یک [[منحنی]] (موسوم به منحنی مولد) حول یک محور ثابت است. رویه‌های دورانی همواره [[تقارن چرخشی]] دارند.

== توصیف هندسی ==
رویه‌های دورانی را می‌توان با چرخاندن [[منحنی]] مولد <math>c</math> [[چرخش به دور محور ثابت|به دور محور ثابت]] <math>A</math> ساخت.
هر نقطهٔ <math>p</math> از منحنی <math>c</math> معرف [[دایره]]ٔ <math>C_p</math> است که در صفحهٔ <math>S</math> عمود بر محور <math>A</math> قرار می‌گیرد. ازاین‌رو هر رویه دورانی شامل مجموعه‌ای است از دایره‌ها در صفحات موازی، که «دایره‌های موازی» نام دارند.<ref>{{harvcolnb|Pottmann | Asperl | Hofer | Kilian | 2007 | p=289}}</ref>

صفحات <math>M</math>، که محور <math>A</math> را بر روی خود دارند، رویه <math>S</math> را در منحنی‌های [[هم‌نهشتی (هندسه)|همنهشت]] <math>m</math> (موسوم به «منحنی‌های [[نصف‌النهار]]ی»){{یادچپ|meridian curves}} قطع می‌کنند. صفحه‌های <math>S</math> (شامل دایرهٔ <math>C_p</math>) و صفحه‌های <math>M</math> (شامل منحنی‌های نصف‌النهاری <math>m</math>) برهم عمودند. ازاین‌رو هر منحنی نصف‌النهاری و دایرهٔ موازی با یکدیگر تشکیل [[زاویه قائمه]] می‌دهند. از مجموعهٔ منحنی‌های نصف‌النهاری و دایره‌های موازی روی رویه شبکه‌ای از منحنی‌های عمودبرهم تشکیل می‌شود.<ref>{{harvcolnb|Pottmann | Asperl | Hofer | Kilian | 2007 | p=289}}</ref>

صفحهٔ <math>T_p</math> [[مماس]] بر نقطهٔ <math>p</math> یک رویه دورانی را می‌توان با خط <math>t_c</math> مماس بر دایرهٔ <math>C_p</math> و خط <math>t_m</math> مماس بر منحنی نیم‌روزی <math>m</math> تعریف کرد. در هر نقطهٔ <math>p</math>، [[خط قائم]] <math>n_p</math> بر خط مماس <math>t_c</math> عمود است، بنابراین <math>n_p</math> روی صفحهٔ نصف‌النهاری <math>M</math> است و محور <math>A</math> را در نقطهٔ مرکز کره‌ای قطع می‌کند که <math>p</math> روی رویه آن است. این کره و رویه دورانی در یکی از دایره‌های موازی مماسند.<ref>{{harvcolnb|Pottmann | Asperl | Hofer | Kilian | 2007 | p=291}}</ref>

از آنجا که منحنی‌های نصف‌النهاری بهتر از دیگر منحنی‌ها نشانگر شکل نهایی سطحند، بهتر است در ایجاد رویه‌های دورانی از این منحنی‌ها استفاده شود. منحنی‌های نصف‌النهاری نسبت به محور دوران متقارنند، هر کدام از بخش‌های تقارن «منحنی نیم‌نصف‌النهاری»{{یادچپ|half meridian curve}} نام دارد. برای ایجاد رویه دورانی منحنی نصف‌النهاری را باید <span dir=ltr> ۳۶۰°</span> و منحنی‌های نیم‌نصف‌النهاری را <span dir=ltr> ۱۸۰°</span> درجه چرخاند.<ref>{{harvcolnb|Pottmann | Asperl | Hofer | Kilian | 2007 | p=291}}</ref>

اگر منحنی‌های نصف‌النهاری و محور دوران همدیگر را با زاویه‌ای به‌غیر از زاویهٔ <span dir=ltr> ۹۰°</span> همدیگر را قطع کنند، یک نقطه منفرد روی دورانی تشکیل می‌شود.<ref>{{harvcolnb|Pottmann | Asperl | Hofer | Kilian | 2007 | p=290}}</ref>

== معادله رویه دورانی ==
=== معادله در دستگاه مختصات دکارتی ===
{| style="float: left; border-spacing: 2px; border=1 style="border-collapse: collapse;" margin: .46em 0 0 .2em;"
|+معادله استاندارد رویه‌های دورانی خاص در دستگاه مختصات دکارتی
| کره‌گون دورانی پخ || {{چپ‌چین}}<math>x^2 / a^2 + y^2 / a^2 + z^2 / c^2 = 1</math> <small>(<math>a^2 > c^2</math>)</small>{{پایان چپ‌چین}}
|-
| کره‌گون دورانی کشیده || {{چپ‌چین}}<math>x^2 / a^2 + y^2 / a^2 + z^2 / c^2 = 1</math> <small>(<math>a^2 < c^2</math>)</small>{{پایان چپ‌چین}}
|-
| هذلولی‌گون دورانی دوصفحه‌ای || <math>x^2 / a^2 + y^2 / a^2 - z^2 / c^2 = -1</math>
|-
| هذلولی‌گون دورانی تک‌صفحه‌ای || <math>x^2 / a^2 + y^2 / a^2 - z^2 / c^2 = +1</math>
|-
| سهمی‌گون دورانی || <math>z=a \cdot (x^2+y^2)</math>
|}
اگر <math>r=\sqrt{x^2+y^2}</math> فاصله نقطه‌ای روی رویه از محور ثابت باشد، معادلهٔ صریح رویه دورانی به شکل زیر نوشته می‌شود:<ref>{{harvcolnb| Krivoshapko | Ivanov | 2015 | p=99}}</ref>
<div style="margin-left:auto;margin-right:25px; align:center; direction:ltr; display: inline-block;>
<math>z=f(r)=f(\sqrt{x^2+y^2})</math></div>
{{-}}

=== معادله پارامتری ===
برای یافتن [[معادله پارامتری]] یک رویه دورانی، باید [[ماتریس دوران|ماتریس دوران حول محور]] را بر منحنی مولد <math>c</math> اعمال کرد. فرض می‌شود محور ثابت محور <math>z</math>-های مختصاتی باشد. معادلهٔ دوران حول محور <math>z</math>-ها عبارت است از:
<div style="margin-left:auto;margin-right:25px; align:center; direction:ltr; display: inline-block;>
<math>x_{1}=x\cdot \cos u-y\cdot \sin u</math>,{{سخ}}
<math>y_{1}=x\cdot \sin u+y\cdot \cos u</math>,{{سخ}}
<math>z_{1}=z</math>.
</div>

با جایگزین کردن <math>y</math>، <math>x</math>، و <math>z</math> با پارامترهای متناظر در معادلهٔ پارامتریک منحنی مولد <math>c</math> (یعنی <math>c(v) = (x(v), y(v), z(v))</math>) نتیجهٔ زیر حاصل می‌شود:<ref>{{harvcolnb|Pottmann | Asperl | Hofer | Kilian | 2007 | p=292}}</ref>
<div style="margin-left:auto;margin-right:25px; align:center; direction:ltr; display: inline-block;>
<math>x(u,v) = x(v) \cdot \cos u - y(v) \cdot \sin u,</math>{{سخ}}
<math>y(u,v) = x(v) \cdot \sin u + y(v) \cdot \cos u,</math>{{سخ}}
<math>z(u,v) = z(v).</math>
</div>

یا به عبارت دیگر:
<div style="margin-left:auto;margin-right:25px; align:center; direction:ltr; display: inline-block;>
:<math>S(u,v)=\begin{pmatrix}
\cos u & -\sin u & 0 \\
\sin u &  \cos u & 0\\
۰ & ۰ & ۱
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x(v)\\
y(v)\\
z(v)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x(v)\cos u-y(v) \sin u \\
x(v)\sin u +y(v)\cos u\\
z(v)
\end{pmatrix}.</math></div>

اگر زاویهٔ دوران <math>u</math> به همهٔ مقادیر بازهٔ <math>0 \leq u \leq 2 \pi</math> (در مقیاس [[رادیان]]، برابر دوران ۳۶۰ درجه) تخصیص یابد، نتیجه یک رویه دورانی کامل خواهد بود. با استفاده از منحنی نصف‌النهاری <math>m(v) = (x(v),0,z(v))</math> (که روی صفحهٔ <math>xy</math> قرار دارد) به‌عنوان منحنی مولد می‌توان این معادله را به شکل زیر ساده ساخت:<ref>{{harvcolnb|Pottmann | Asperl | Hofer | Kilian | 2007 | p=292}}</ref>
<div style="margin-left:auto;margin-right:25px; align:center; direction:ltr; display: inline-block;>
<math>x(u,v) = x(v)\cdot cos u,</math>{{سخ}}
<math>y(u,v) = x(v)\cdot sin u,</math>{{سخ}}
<math>z(u,v) = z(v).</math>
</div>
این معادله با عنوان «نمایش استاندارد رویه دورانی» شناخته می‌شود.

== رویه‌های دورانی خاص ==
=== رویه‌های درجهٔ دوم دورانی تبهگون ===
{{مرتبط|استوانه|مخروط}}
[[پرونده:Rotational surface by segment.png|بندانگشتی|رویه دورانی تولید شده با دوران پاره‌خط حول محور ثابت]]
[[استوانه]] و [[مخروط]] با چرخاندن [[پاره‌خط]]ی راست حول محور ثابتی که با آن در یک صفحه باشد ایجاد می‌شوند. اگر این پاره‌خط با محور موازی باشد حجم حاصل استوانه و اگر محور را در نقطهٔ <math>v</math> قطع کند حاصل مخروطی با راس <math>v</math> خواهد بود. اگر پاره‌خط مولد با محور ثابت تقاطع نداشته باشد، حاصل دوران [[بریده مخروطی]] خواهد بود.<ref>{{harvcolnb|Pottmann | Asperl | Hofer | Kilian | 2007 | p=294}}</ref>

=== رویه‌های درجهٔ دوم با مقطع مخروطی به‌عنوان منحنی مولد ===
==== با منحنی مولد به شکل دایره ====
{{مرتبط|کره (هندسه)|چنبره|l1=کره}}
[[کره (هندسه)|کره]] و [[چنبره]] حجم‌هایی‌اند که با چرخاندن [[دایره]] حول یک محور ایجاد می‌شوند. با چرخاندن دایره به دور محوری که با آن در یک صفحه باشد چنبره به دست می‌آید. بسته به فاصلهٔ محور چرخش از مرکز دایره <math>(s)</math> سه گونهٔ متفاوت چنبره ایجاد می‌شود. اگر فاصلهٔ محور از مرکز دایره از شعاع دایره کوچکتر باشد <math>(s<r)</math> و محورْ دایره را در دو نقطه قطع کند حجم حاصل «چنبرهٔ دوکی»،{{یادچپ|Spindle torus}} اگر فاصلهٔ محور از مرکز دایره با شعاع دایره مساوی باشد <math>(s=r)</math> و محورْ دایره را در یک نقطه لمس کند حجم حاصل «چنبرهٔ شاخی»،{{یادچپ|Horn torus}} و اگر فاصلهٔ محور از مرکز دایره از شعاع دایره بیشتر باشد <math>(s>r)</math> و محور با دایره تقاطع نداشته باشد حجم حاصل «چنبرهٔ حلقه‌ای»{{یادچپ|Ring torus}} خواهد بود.<ref>{{harvcolnb|Pottmann | Asperl | Hofer | Kilian | 2007 | p=294}}</ref>
چنبرهٔ حلقه‌ای در این میان ویژگی خاصی دارد و آن این است که علاوه بر دو خانوادهٔ دوایر نصف‌النهاری و دوایر موازی، دو خانوادهٔ از دوایر دیگر نیز در آن شکل می‌گیرد (یعنی هر نقطه روی رویه چنبرهٔ حلقه‌ای روی محیط چهار دایره روی رویه آن قرار دارد) که به {{پم|دوایر ویلارسو|Villarceau circles}} موسومند.<ref>{{harvcolnb|Pottmann | Asperl | Hofer | Kilian | 2007 | p=295}}</ref>

اگر محور چرخش بر هر کدام از قطرهای دایره منطبق باشد <math>(s=0)</math> حاصل کره خواهد بود (کره را می‌توان حالت خاص چنبره دانست).<ref>{{harvcolnb|Pottmann | Asperl | Hofer | Kilian | 2007 | p=294}}</ref>
[[پرونده:Rotational surface by circle.jpg|600px|بندانگشتی|وسط|رویه‌های دورانی تولیدشده با چرخاندن دایره به دور محور ثابت A]]

با چرخاندن یک دایره به حول یک خط راست که با آن هم‌صفحه نباشد، یکی از دو حالت زیر اتفاق می‌افتد:
# اگر خط نرمال (محور خارجی) بر مرکز دایره خط راست را قطع کند، حاصل بخشی از کره خواهد بود که بین دو دایرهٔ موازی قرار دارد.<ref>{{harvcolnb|Pottmann | Asperl | Hofer | Kilian | 2007 | p=296}}</ref>
# اگر خط نرمال بر مرکز دایره خط راست را قطع نکند (نسبت به آن [[متنافر]] باشد)، حجم حاصل شامل حداقل سه خانواده از دایره‌های هم‌نهشت خواهد بود.<ref>{{harvcolnb|Pottmann | Asperl | Hofer | Kilian | 2007 | p=296}}</ref>

==== با منحنی مولد به شکل هذلولی ====
{{مرتبط|هذلولی‌گون}}
{| class=wikitable align=left
|- align=center
|[[File:Hyperboloid1.png|150px]]{{سخ}}هذلولی‌گون دورانی یکپارچه
|[[File:Hyperboloid2.png|150px]]{{سخ}}هذلولی‌گون دورانی دوپارچه
|- align=center
|[[File:Ellipsoid revolution prolate and oblate aac.svg|200px]]{{سخ}}کره‌گون پخ و کره‌گون کشیده
|[[File:ParaboloidOfRevolution.png|150px]]{{سخ}}سهمی‌گون
|}
با چرخش یک [[هذلولی]] به دور قطر کوچکش، «هذلولی‌گون دورانی یکپارچه»{{یادچپ|one-sheet rotational hyperboloid}} و با چرخش آن حول محور بزرگش «هذلولی‌گون دورانی دوپارچه»{{یادچپ|two-sheet rotational hyperboloid}} ایجاد می‌شود.<ref>{{harvcolnb|Pottmann | Asperl | Hofer | Kilian | 2007 | p=300}}</ref>

==== با منحنی مولد به شکل بیضی ====
با چرخاندن بیضی به دور هر یک از قطرهایش، سطحی حاصل می‌شود که به [[گوی‌ئار]]{{یادچپ|spheroid یا ellipsoid of revolution}} موسوم است.
کره‌گونی که از چرخش بیضی به دور قطر بزرگش حاصل شود «گوی‌وار کشیده»{{یادچپ|prolate spheroid}} و کره‌گونی که از چرخش بیضی به دور قطر کوچکش حاصل شود «کره‌گون پَخ»{{یادچپ|oblate spheroid}} نام دارد.<ref>{{harvcolnb|Pottmann | Asperl | Hofer | Kilian | 2007 | p=300}}</ref>

==== با منحنی مولد به شکل سهمی ====
با چرخاندن سهمی به دور تنها قطرش، سطحی حاصل می‌شود که به [[سهمی‌گون|سهمی‌گون بیضی‌وار]]{{یادچپ| rotational paraboloid}} موسوم است.<ref>{{harvcolnb|Pottmann | Asperl | Hofer | Kilian | 2007 | p=300}}</ref>

== ویژگی‌ها ==
=== تقارن ===
رویه‌های دورانی همواره دارای خاصیت [[تقارن چرخشی]] هستند، چرا که اصولاً با چرخاندن یک منحنی دوبعدی به محوریت یک خط صاف ایجاد می‌شوند.<ref>{{harvcolnb| Surface of Revolution -- from Wolfram MathWorld | 2011}}‏</ref> «تقارن چرخشی»، که به «تقارن آزیموتی» یا «تقارن استوانه‌ای» هم موسوم است، به تقارن حول یک خط صاف گفته می‌شود.<ref>{{harvcolnb| Krivoshapko | Ivanov | 2015 | p=99}}</ref>

=== مساحت رویه دورانی ===
[[جزء سطح|جزء رویه]] رویه دورانی‌ای که با چرخاندن منحنی مولد <math>y=f(x) > 0</math> به دور محور ثابت <math>x</math>ها تولید می‌شود در محدودهٔ <math>x=a</math> تا <math>x=b</math> عبارت است از:<ref>{{harvcolnb| Surface of Revolution -- from Wolfram MathWorld | 2011}}‏</ref>
:{{وسط|<math>\begin{align} d S_x =  2 \pi y d s
\\=  2 \pi y \sqrt{1+y'^2} dx  \end{align}</math>}}

بنابراین مساحت این رویه برابر است با:<ref>{{harvcolnb| Surface of Revolution -- from Wolfram MathWorld | 2011}}‏</ref>
:{{وسط|<math>\begin{align}S_x = 2 \pi \int_{a}^{b} f (x) \sqrt{1+[f^\prime(x)]^2} dx
\\=  2 \pi \int_{a}^{b} y \sqrt{1+[\frac{dy}{dx}]^2} dx  \end{align}</math>}}

به همین شکل مساحت رویه دورانی‌ای که با چرخاندن منحنی مولد  <math>x=g(y)>0</math> به دور محور ثابت  <math>y</math>ها تولید می‌شود در محدودهٔ <math>y=c</math> تا <math>y=d</math> عبارت است از:<ref>{{harvcolnb| Surface of Revolution -- from Wolfram MathWorld | 2011}}‏</ref>
:{{وسط|<math>\begin{align} S_y = 2 \pi \int_c^d g(y)\sqrt{1+[g^'(y)]^2} dy
\\= 2 \pi \int_c^d x \sqrt{1+(\frac{dx}{dy})^2} dy  \end{align}</math>}}

در جدول زیر مساحت [[رویه پهلویی|رویه جانبی]] رویه‌های دورانی خاص به شکل ساده‌تر آمده‌است.<ref>{{harvcolnb| Surface of Revolution -- from Wolfram MathWorld | 2011}}‏</ref>

{| class="wikitable"
|+ مساحت رویه جانبی رویه‌های دورانی خاص
|-
! نام رویه !! معادله مساحت
|-
| مخروط|| <math>\pi r \sqrt{r^2+h^2}</math>
|-
| بریدهٔ مخروطی || <math>\pi(R_1+R_2) \sqrt{(R_1-R_2)^2+h^2}</math>
|-
| استوانه || <math>2 \pi r h</math>
|-
| کره‌گون دورانی کشیده || <math>2 \pi a^2+\frac{\pi c^2}{e} ln(\frac{1+e}{1-e})</math>
|-
| کره‌گون دورانی پخ || <math>2 \pi a^2+ \frac{2 \pi ac}{e} sin^{-1} e</math>
|-
| کره || <math>4 \pi r^2</math>
|-
| چنبره || <math>4 \pi^2 ac</math>
|-
|colspan="2"|<math>r</math> شعاع، <math>h</math> ارتفاع، <math>R_1</math> و <math>R_2</math> شعاع‌های بیرونی و درونی بریده، <math>e</math> [[تخت‌شدگی]] گوی‌وار و <math>a</math> و <math>c</math> شعاع‌های نصف‌النهاری و قطبی (برای گوی‌وار) یا شعاع مقطع مولد و دایره چرخش (برای چنبره) هستند.
|}

=== اولین و دومین صورت اساسی ===
با در نظر داشتن معادله استاندارد پارامتری رویه‌های دورانی، [[اولین صورت اساسی]] رویه دورانی عبارت است از:<ref>{{harvcolnb| Surface of Revolution -- from Wolfram MathWorld | 2011}}‏</ref>
<div style="margin-left:auto;margin-right:25px; align:center; direction:ltr; display: inline-block;>
<math>E =(x(v))^2,</math>{{سخ}}
<math>F =0,</math>{{سخ}}
<math>G =(x'(v))^2+(z'(v))^2.</math>
</div>

هر گاه <math>x(v)</math> و <math>(x'(v))^2+(z'(v))^2</math> مخالف صفر باشند، رویه منتظم است{{یاد|تعریف سطح منتظم}} و [[دومین صورت اساسی]] آن عبارت است از:<ref>{{harvcolnb| Surface of Revolution -- from Wolfram MathWorld | 2011}}‏</ref>
<div style="margin-left:auto;margin-right:25px; align:center; direction:ltr; display: inline-block;>
<math>e = -\frac{|x(v)|z'(v)}{\sqrt{(x'(v))^2+(z'(v))^2}},</math>{{سخ}}
<math>f = 0,</math>{{سخ}}
<math>g = \frac{sgn(x(v))(x''(v)z'(v)-x'(v)z''(v))}{\sqrt{(x'(v))^2+(z'(v))^2}}.</math>
</div>

=== بردار نرمال ===
معادله [[نرمال (هندسه)|بردار نرمال]] واحد بر رویه دورانی عبارت است از:<ref>{{harvcolnb| Surface of Revolution -- from Wolfram MathWorld | 2011}}‏</ref>
<div style="margin-left:auto;margin-right:25px; align:center; direction:ltr; display: inline-block;>
<math>\hat{N}(u,v)=\frac{sgn(x(v))}{\sqrt{(x'(v))^2 +(z'(v))^2}}\begin{pmatrix}z'(v) \cos u \\ z'(v) \sin u \\ x'(v) \end{pmatrix}</math>
</div>

=== انحناهای اصلی ===
معادله {{پم|انحناهای اصلی|Principal curvature}} رویه دورانی را می‌توان با استفاده از اولین و دومین صورت اساسی به‌دست‌آورد:<ref>{{harvcolnb| Surface of Revolution -- from Wolfram MathWorld | 2011}}‏</ref>
<div style="margin-left:auto;margin-right:25px; align:center; direction:ltr; display: inline-block;>
<math>\kappa_1 =\frac{g}{G}=\frac{sgn(x(v))(x''(v)z'(v)-x'(v)z''(v))}{(((x'(v))^2+(z'(v))^2)^{\frac{3}{2}}},</math>{{سخ}}
<math>\kappa_2 =\frac{e}{E}=-\frac{z'(v)}{|x(v)|\sqrt{(x'(v))^2+(z'(v))^2}}.</math>{{سخ}}
</div>

=== انحنای گاوسی و انحنای میانگین ===
[[انحنای گاوسی]] و [[انحنای میانگین]] رویه دورانی عبارت است از:<ref>{{harvcolnb| Surface of Revolution -- from Wolfram MathWorld | 2011}}‏</ref>
<div style="margin-left:auto;margin-right:25px; align:center; direction:ltr; display: inline-block;>
<math>K =\frac{-(z'(v))^2 x''(v)+x'(v) z'(v) z''(v)}{(x(v)(x'(v))^2+(z'(v))^2)^2}</math>{{سخ}}
<math>H =\frac{x(v)(x''(v)z'(v)-x'(v) z''(v))-z'(v) ((x'(v))^2+ (z'(v))^2)} {2|x(v)|((x'(v))^2+(z'(v))^2)^{\frac{3}{2}}}</math>
</div>

== رویه‌های دورانی گسسته ==
برای سهولت ساخت فیزیکی یا دیجیتال رویه‌های دورانی پیوسته نرم{{یادچپ|smooth}} ابتدا رویه‌های به‌صورت گسسته ساخته می‌شوند.<ref>{{harvcolnb|Pottmann | Asperl | Hofer | Kilian | 2007 | p=292}}</ref>
این کار با جایگزین کردن منحنی نصف‌النهاری با یک [[چندضلعی]] باز که تقریبی از آن باشد انجام می‌شود. هرچه تعداد رئوس این چندضلعی کمتر باشد، نرمی رویه حاصل کمتر خواهد بود.
همچنین در مرحلهٔ بعد می‌توان مسیر چرخش (دایرهٔ عظمیه) را هم به‌صورت گسسته درآورد (آن را با یک چندضلعی بستهٔ منتظم محاط در دایره جایگزین کرد) در این‌صورت حجم حاصل یک صفحهٔ [[چندوجهی]] خواهد بود.<ref>{{harvcolnb|Pottmann | Asperl | Hofer | Kilian | 2007 | p=292}}</ref>
[[پرونده:Discrete surface of revolution.svg|550px|بندانگشتی|وسط|رویه‌های دورانی نرم و گسسته]]
{{-}}

== کاربرد ==
به‌دلیل سادگی اصل تشکیل رویه‌های دورانی، از آن‌ها در هنر، طراحی، و معماری استفادهٔ گسترده‌ای می‌شود.<ref>{{harvcolnb|Pottmann | Asperl | Hofer | Kilian | 2007 | p=289}}</ref>

== تعمیم‌ها ==
{{پم|Catenoid}} تنها {{پم|سطح دورانی حداقلی|Minimal surface of revolution}} است.<ref>{{harvcolnb| Krivoshapko | Ivanov | 2015 | p=100}}</ref>
هذلولی‌گون دورانی یکپارچه، استوانهٔ قائم، و مخروط قائم تنها رویه‌های دورانی‌ای هستند که تحت ردهٔ [[سطح خط‌دار|رویه‌های خط‌دار]] هم قرار می‌گیرند.<ref>{{harvcolnb| Krivoshapko | Ivanov | 2015 | p=100}}</ref>
استوانه قائم و مخروط قائم هم تنها رویه‌های دورانی هستند که {{پم|سطح گسترش‌پذیر|Developable surface}} محسوب می‌شوند.<ref>{{harvcolnb| Krivoshapko | Ivanov | 2015 | p=100}}</ref>

== یادداشت ==
{{کوچک}}{{یادداشت}}{{پایان کوچک}}

== منابع ==
{{پانویس|چپ‌چین=بله|۲}}

=== فهرست منابع ===
{{چپ‌چین}}
* {{cite book | last=Krivoshapko | first=S.N. | last2=Ivanov | first2=V.N. | title=Encyclopedia of Analytical Surfaces | publisher=Springer International Publishing | year=2015 | isbn=978-3-319-11773-7 | url=https://books.google.com/books?id=cXTdBgAAQBAJ | access-date=2020-08-12 |ref=harv}}
* {{cite book | last=Pottmann | first=Helmut | last2=Asperl | first2=Andreas | last3=Hofer | first3=Michael | last4=Kilian | first4=Axel | last5=Bentley | first5=Daril | title=Architectural geometry | url=https://archive.org/details/architecturalgeo0000unse | publisher=Bentley Institute Press | year=2007 | isbn=1-934493-04-X | oclc=180177477 | ref=harv}}
* {{یادکرد وب | عنوان=Surface of Revolution -- from Wolfram MathWorld | وبگاه=Wolfram MathWorld | تاریخ=2011-04-14 | پیوند=https://mathworld.wolfram.com/SurfaceofRevolution.html | کد زبان=en | تاریخ بازبینی=2020-08-11|ref={{sfnref|Surface of Revolution -- from Wolfram MathWorld | 2011}}‏}}
{{پایان چپ‌چین}}
{{-}}

== پیوند به بیرون ==
{{انبار-رده}}

[[رده:حساب انتگرال]]
[[رده:رویه‌ها]]