نمایش مبدأ برای ذره در جعبه

[[پرونده:InfiniteSquareWellAnimation.gif|چپ|بندانگشتی|200x200پیکسل|برخی از پاسخ‌های از یک ذره در یک جعبه با توجه به [[قوانین حرکت نیوتن|قوانین نیوتن]] از [[مکانیک کلاسیک]] (A) و با توجه به [[معادله شرودینگر]] از [[مکانیک کوانتومی]] (B-F). در B-F محور افقی است و محور عمودی است که بخش واقعی (آبی) و موهومی (قرمز) از [[تابع موج]] است. وضعیت‌های B,C,D[[حالت ایستا| ویژه‌حالت‌های انرژی]] هستند اما E,F نه.]]
در [[مکانیک کوانتومی|مکانیک کوانتوم]]، مدل '''ذره در یک جعبه''' (همچنین به عنوان '''چاه پتانسیل بی‌پایان''' شناخته می‌شود) به توصیف یک ذره به حرکت در یک فضای کوچک احاطه شده توسط موانع غیرقابل نفوذ می‌پردازد. این مدل عمدتاً به عنوان یک مثال فرضی برای نشان دادن تفاوت بین سیستم‌های [[فیزیک کلاسیک|کلاسیک]] و کوانتومی استفاده می‌شود. در سیستم‌های برای مثال یک توپ به دام افتاده در داخل یک جعبه بزرگ ذره می‌تواند در هر سرعتی در درون جعبه حرکت کند و احتمال پیدا کردنش در هر نقطه برابر است. اما زمانی که چاه بسیار باریک (در مقیاس چند [[نانومتر]]) می‌شود، و اثرات کوانتومی مهم می‌شوند. ذره ممکن است تنها تعدادی [[سطح انرژی]] مثبت اشغال کند. به همین ترتیب نمی‌تواند هرگز انرژی صفر داشته باشد که به این معنی است که ذره هرگز نمی‌تواند «بنشیند». علاوه بر این، احتمال یافتن ذره نامساوی توزیع می‌شود که این [[توزیع احتمال]] بسته به انرژی ذره دارد. ذره ممکن است در موقعیت‌های خاص اصلاً پیدا نشود که به عنوان گره فضایی شناخته می‌شود

ذره در یک جعبه مدل یکی از معدود مسئله‌های مکانیک کوانتومی است که پاسخ تحلیل دارد. به خاطر سادگیش، این مدل اجازه می‌دهد تا اثرات کوانتومی بدون نیاز به ریاضی پیچیده درک شود. آن را به عنوان بیان ساده چگونگی [[کوانتش]] (گسستگی) در انرژی ([[تراز انرژی]]) می‌شناسند که در سیستم‌های کوانتومی پیچیده‌تر مانند اتم‌ها و مولکول‌ها مهم است. این یکی از اولین مسائل مکانیک کوانتومی که در مقطع کارشناسی فیزیک تدریس می‌شود و معمولاً به عنوان یک تقریب از سیستم‌های پیچیده‌تر کوانتومی نیز استفاده می‌شود.

== پاسخ مسئله به شکل تک‌بعدی ==
[[پرونده:Infinite_potential_well-en.svg|چپ|بندانگشتی|موانع خارج یک جعبه تک‌بعدی باید بی‌نهایت بزرگ باشند در حالی که داخل جعبه پتانسیل صفر است.]]
ساده‌ترین شکل از مسئله ذره در یک جعبه مدل تک بعدی آن است. در اینجا ذرات ممکن است تنها حرکت به عقب و جلو در امتداد یک خط مستقیم با موانع غیرقابل نفوذ در انتهای جعبه داشته باشند.<ref name="Davies4">Davies, p.4</ref>
دیواره‌های یک بعدی جعبه به عنوان مناطق فضا با یک [[انرژی پتانسیل]] بی‌نهایت بزرگ شناخته می‌شوند. برعکس داخل جعبه انرژی پتانسیل ثابت و برابر صفر است.<ref>Actually, any constant, finite potential <math>V_0</math> can be specified within the box. This merely shifts the energies of the states by <math>V_0</math>.</ref> این بدان معنی است که نیرویی بر ذره در داخل جعبه وجود ندارد و می‌تواند در آن منطقه آزادانه حرکت کند. مدل انرژی پتانسیل به شکل زیر بیان می‌شود:
:<math>V(x) =
\begin{cases}
0, & x_c-\tfrac{L}{2} <x <x_c+\tfrac{L}{2},\\
\infty, & \text{otherwise,}
\end{cases},
</math>
که در آن ''L'' طول جعبه، ''x<sub>c</sub>'' است محل مرکز جعبه و ''x'' موقعیت ذرات در داخل جعبه است. موارد ساده شامل جعبه در مرکز (''x<sub>c</sub> = ۰ '') و جعبه منتقل شده‌است (''x<sub>c</sub> = L/2 '').

=== تابع موج موقعیت ===
در مکانیک کوانتم [[تابع موج]]، بنیادی‌ترین توصیف ذره است و بقیه اطلاعات ذره شامل موقعیت، تکانه و انرژی از تابع موج آن می‌تواند به دست آید.<ref name="Davies1">Davies, p. 1</ref>

تابع موج ذره <math>\psi(x,t)</math> با حل [[معادله شرودینگر]] برای سیستم بدست می‌آید:
:<math>i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(x,t) = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi(x,t) +V(x)\psi(x,t),</math>

که در آن <math>\hbar</math> [[ثابت پلانک|ثابت کاهیده پلانک]]، <math>m</math>، [[جرم (فیزیک)|جرم]] ذره، <math>i</math> [[یکه موهومی]] و <math>t</math> زمان است.

درون جعبه نیروی بر ذره اعمال نمی‌شود و بنابرین با آن می‌توان به شکل یک [[ذره آزاد]] برخورد کرد:<ref name="Davies4"/><ref name = "Bransden157">Bransden and Joachain, p. 157</ref>
{{NumBlk|:|<math> \psi(x,t) = [A \sin(kx) + B \cos(kx)]\mathrm{e}^{-i\omega t},</math>|{{EquationRef|1}}}} که <math>A</math> و <math>B</math> [[عدد مختلط|اعداد مختلط]] دلخواه هستند. فرکانس تناوب ذره در [[فضازمان|فضا و زمان]] به ترتیب با [[عدد موج]] <math>k</math> و [[بسامد زاویه‌ای]] <math>\omega</math> مشخص می‌شوند. هردوی آن به انرژی ذره وابسته هستند

:<math>E = \hbar\omega = \frac{\hbar^2 k^2}{2m},</math>

که به [[رابطه پاشش]] برای ذره آزاد مشهور است.<ref name = "Davies4"/>

[[پرونده:particle in a box wavefunctions 2.svg|بندانگشتی|چپ|upright|چهار تابع موج اول ذره]]
اندازه (یا [[دامنه (فیزیک)|دامنه]]) یک تابع موج در موقعیت خاص به احتمال یافتن ذره در آن موقعیت با رابطه <math>P(x,t) = |\psi(x,t)|^2</math>  مرتبط است. برای همین تابع موج در خارج جعبه برابر صفر باشد<ref name="Davies4"/><ref name="Bransden157"/> تابع موج نمی‌تواند در نقاط بپرد (چون پیوستگی و مشتق‌پذیری را از دست می‌دهد).<ref name="Davies4"/> این شرایط فقط با این پاسخ از تابع موج ارضا می‌شود:

:<math>\psi_n(x,t) =
\begin{cases}
A \sin\left(k_n \left(x-x_c+\tfrac{L}{2}\right)\right)\mathrm{e}^{-i\omega_n t}, & x_c-\tfrac{L}{2} <x <x_c+\tfrac{L}{2},\\
0, & \text{otherwise,}
\end{cases}
</math>

که<ref name = "Davies5">Davies p. 5</ref>

:<math>k_n=\frac{n \pi}{ L}</math>,

و

:<math>E_n=\hbar \omega_n=\frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2 m L^2}</math>,

که در آن ''n'' یک [[عدد صحیح]] مثبت است (۱٬۲,۳٬۴...). برای یک جعبه منتقل شده (''x<sub>c</sub> = L/2)'', پاسخ ساده‌است. ساده‌ترین جواب، <math>k_n=0</math> یا <math>A=0</math> به پاسخ بدیهی [[معادله موج]] می‌رسد: <math>\psi(x)=0</math>, که بدین معنی است که ذره در سیستم وجود ندارد.<ref name="Bransden158">Bransden and Joachain, p.158</ref> مقادیر منفی <math>n</math> در نظر گرفته نمی‌شوند چون پاسخ آن با مقادیر مثبت <math>n</math> یکی است به جز علامت معادله که از نظر فیزیکی اهمیتی ندارد.<ref name="Bransden158"/>این نشان می‌دهد که فقط مقادیر مثتب و گسسته ''k'' برای ذره مجاز هستند.

برای بدست آوردن ثابت <math>A</math> می‌توان از بهنجهارش [[تابع موج]]استفاده کرد چرا که [[انتگرال]] احتمال یافتن ذره در کل جعبه برابر با یک است

:<math>\left| A \right| = \sqrt{\frac{2 }{L}}.</math>

بنابرین، ''A'' می‌تواند هر عدد مختلط با [[قدر مطلق (ریاضی)|قدر مطلق]] √(2/L) باشد؛ هر دو پاسخ ''A'' به یک نتیجه فیزیکی منجر می‌شوند برای همین و به خاطر سادگی فقط، ''A'' = √(2/L) استفاده می‌شود.

== منابع ==
{{پانویس|30em|۲}}

== کتابشناسی ==
* {{Cite book|title=Quantum mechanics|url=https://archive.org/details/quantummechanics0000bran_d9m1|last=Bransden|first=B. H.|last2=Joachain|first2=C. J.|publisher=Pearson Education|year=2000|isbn=0-582-35691-1|edition=2nd|location=Essex}}
* {{Cite book|title=The Physics of Low-Dimensional Semiconductors: An Introduction|last=Davies|first=John H.|publisher=Cambridge University Press|year=2006|isbn=0-521-48491-X|edition=6th reprint}}
* {{Cite book|title=Introduction to Quantum Mechanics|last=Griffiths|first=David J.|publisher=Prentice Hall|year=2004|isbn=0-13-111892-7|edition=2nd}}

== پیوند به بیرون ==
* [http://scienceworld.wolfram.com/physics/InfiniteSquarePotentialWell.html Scienceworld] (پتانسیل نامحدود هست)
* [http://www.falstad.com/qm1d/ 1-D مکانیک کوانتومی اپلت جاوا] شبیه‌سازی ذره در یک جعبه به عنوان به خوبی به عنوان دیگر ۱-موارد بعدی.
* [http://www.falstad.com/qm2dbox/ 2-D ذرات در یک جعبه اپلت]

[[رده:مدل‌های کوانتمی]]
[[رده:مدل‌های قابل حل دقیق]]