نمایش مبدأ برای دنباله کوشی

{{تصویر چندگانه
 | align     = left
 | direction = vertical
 | width     = 250
 | image1    = Cauchy sequence illustration.svg
 | caption1  = (الف) نمودار یک [[دنباله|دنبالهٔ]] کوشی <math>(x_n)</math> که با رنگ آبی نمایش داده شده است. اگر فضایی که دنباله در آن است [[فضای متریک کامل|کامل]] باشد، مقصد نهایی این دنباله (حد آن) وجود خواهد داشت.
 | image2    = Cauchy sequence illustration2.svg
 | caption2  = (ب) یک دنبالهٔ غیر کوشی. [[Element (mathematics)|عناصر]] این دنباله با پیشرفت آن اکیداً به هم نزدیک نمی‌شوند.
}}
در [[ریاضیات]]، '''دنبالهٔ کوشی''' [[دنباله]]‌ای است که جملات آن با جلو رفتن دنباله به هم نزدیک‌تر و نزدیک‌تر می‌شوند.

== در اعداد حقیقی ==
دنبالهٔ <math>x_1, x_2, x_3, \ldots </math> یک دنبالهٔ کوشی است اگر برای هر عدد مثبت دلخواه ε، یک N صحیح وجود داشته باشد که برای همهٔ m ,n>N داشته باشیم:

:<math>|x_m - x_n| <\varepsilon, </math>

== در فضای متریک ==
برای تعریف دنباله کوشی در یک فضای متریک٬ <math>|x_m - x_n|</math> را با فاصله در [[فضای متریک]]٬ یعنی <math>d(x_m, x_n) </math> جایگزین می‌کنیم:

:بر روی یک فضای متریک داده شدهٔ (''X'', ''d'') ، دنبالهٔ <math>x_1, x_2, x_3, \ldots </math> یک دنباله کوشی است اگر برای هر عدد مثبت دلخواه ε، یک N صحیح وجود داشته باشد که برای همهٔ m ,n>N داشته باشیم:

:<math>d(x_m, x_n) <\varepsilon, </math>

== تمامیت فضاهای متریک ==
یک فضای متریک که در آن هر دنبالهٔ کوشی به عضوی از همان فضا همگرا شود، کامل است. برای مثال٬ می‌توان ثابت کرد که [[اعداد حقیقی]] با فرض همان قدر مطلق تفاضل دو عدد به عنوان فاصله، کامل است و به عکس، اعداد گویا کامل نیستند (برای همان فاصلهٔ یاد شده برای اعداد حقیقی).

== منابع ==
{{پانویس}}
* {{یادکرد کتاب |نام خانوادگی=Spivak |نام=Michae |کتاب=Calculus | ناشر= |سال=1994}}

{{سری‌ها (ریاضیات)}}
[[رده:توپولوژی]]
[[رده:جبر مجرد]]
[[رده:حد (ریاضی)]]
[[رده:دنباله‌ها و سری‌ها]]
[[رده:هندسه متریک]]