نمایش مبدأ برای دنباله

{{کاربردهای دیگر}}
در [[ریاضیات]]، یک '''دنباله''' {{به انگلیسی|Sequence}} یک گردآوری [[مجموعه شمارا|شمارا]] از اشیاء است که در آن '''تکرار مجاز''' و '''[[نظریه ترتیب|ترتیب]] مهم''' است.<ref name=":0">{{Cite journal|date=2021-01-17|title=Sequence|url=https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Sequence&oldid=1000977833|journal=Wikipedia|language=en}}</ref>

مشابه یک [[مجموعه (ریاضیات)|مجموعه]]، دنباله شامل چند عضو (یا جمله) است. تعداد اعضای یک دنباله (شاید نامتناهی) «طول دنباله» نامیده می‌شود. برخلاف یک [[مجموعه (ریاضیات)|مجموعه]]، در یک دنباله، عناصر مشابه می‌توانند چندین بار در محل‌های مختلف یک دنباله پدیدار شوند و ترتیب آن‌ها اهمیت دارد.

به عنوان مثال، <math>\langle 5, 3, 3, 8 \rangle</math> یک دنباله است که به ترتیب از ۵ و ۳ و ۳ و ۸ تشکیل شده و با <math>\langle 5, 5, 3, 8 \rangle</math> یا <math>\langle 3, 5, 3, 8 \rangle</math> یکسان نیست.

به مکانی که یک عضو در یک دنباله قرار دارد «اندیس» ِ آن عضو می‌گویند،<ref name=":0"/> به عنوان مثال ۸، چهارمین عضو دنبالهٔ فوق است پس اندیس آن، ۴ است. اندیس اولین عضو دنباله را معمولاً ۱ تعریف می‌کنند. n-اُمین عضو یک دنباله مانند <math>a</math> را به صورت <math>a_n</math> نمایش می‌دهند.

به دنباله‌ای به‌طول <math>n</math>، یک [[چندتایی مرتب|n-تایی مرتب]] {{به انگلیسی|tuple}} نیز گفته می‌شود.<ref>{{Cite journal|date=2021-01-06|title=Tuple|url=https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Tuple&oldid=998770422|journal=Wikipedia|language=en}}</ref>

در [[نظریهٔ تحلیلی اعداد]]، به دنباله‌ای که اعضای آن [[عدد حقیقی|حقیقی]] یا [[عدد مختلط|مختلط]] باشند [[تابع حسابی]] یا دنبالهٔ حقیقی می‌گویند. در [[علوم رایانه]]، [[رشته (علوم رایانه)|رشته]] دنباله‌ای از [[نویسه (رایانه)|نویسه‌ها]] است.

== تعریف و نمایش ==
در بیشتر منابع، اندیس‌های دنباله باید شامل تمام [[عدد طبیعی|اعداد طبیعی]] باشند (دنباله نامتناهی باشد)<ref name=":1">{{یادکرد کتاب|عنوان=حسابان (اپوستول) Calculus Vol. 1 (2nd ed.) (Tom M. Apostol)|فصل=فصل ۱۰|شابک=978-0-471-00005-1}}</ref> یا این که می‌توانند [[عدد طبیعی|اعداد طبیعی]] کوچکتر از <math>n</math> باشد (دنباله [[مجموعه متناهی|متناهی]] باشد)؛ امّا در بعضی موارد (بر اساس نیاز) این تعریف تعمیم داده می‌شود. به این صورت که اندیس‌ها می‌توانند هر [[بازه|بازه‌ای]] از [[عدد صحیح|اعداد صحیح]] باشد.<ref name=":0"/>

=== تعریف دقیق دنباله ===
در [[نظریه مجموعه‌ها|نظریهٔ مجموعه‌ها]]، دنباله به صورت [[تابع|تابعی]] تعریف می‌شود که [[دامنه تابع|دامنهٔ]] آن [[اعداد طبیعی]] باشد:<ref name=":1"/><math>f:\mathbb{N}\to A</math>

=== نمایش ===
برای نمایش دنباله‌ها از <math>\langle \rangle</math> استفاده می‌شود. برای دنباله‌های متناهی از پرانتز نیز استفاده می‌شود. مثال:

<math>\langle 5, 5, 3, 8 \rangle</math>

<math>(5, 5, 3, 8)</math>

<math>\langle 2, 4, \ldots \rangle</math>

معمولاً برای جلوگیری از [[کژتابی]]، جملهٔ عمومی نیز نوشته می‌شود:

<math>\langle 2, 4, \ldots , 2n, \ldots \rangle</math>

<math>\langle 2, 4, \ldots , 2^n, \ldots \rangle</math>

در بسیاری از منابع، به جای <math>\langle \rangle</math> از <math>\{ \}</math> استفاده می‌شود<ref name=":2">{{یادکرد کتاب|عنوان=حسابان توماس Thomas' Calculus (14th Edition)|فصل=فصل ۱۰|شابک=978-0134438986}}</ref> امّا در این مقاله برای اشتباه نشدن با [[مجموعه (ریاضیات)|مجموعه‌ها]]، از این نمادها استفاده نشده. در بعضی منابع نیز از استفاده از نمادها پرهیز شده‌است.<ref name=":1"/>

==== نمایش با جملهٔ عمومی ====
به ضابطهٔ یک دنباله مانند <math>\{ a_n \}</math>، «جملهٔ عمومی» آن می‌گویند. مثال:

<math>\{ a_n \} = \{ n^2 \}</math>

<math>a_n = n^2</math>

<math>b_n = \begin{cases} n, & n < 5 \\ 2n, & n \geqslant 5 \end{cases}</math>

گاهی (با این که این نمایش معمولاً برای دنباله‌های نامتناهی استفاده می‌شود)، حدود اندیس‌ها را نیز مشخص می‌کنند:<ref name=":0"/><ref name=":2"/>

<math>\{ a_n \} = \{ n^2 \}_{n=1}^\infty</math>

==== نمایش بازگشتی ====
در این روش، مقدار هر جمله از دنباله وابسته به جملات قبلی آن است.<ref name=":0"/> مثل [[اعداد فیبوناچی|دنبالهٔ فیبوناچی]]:

<math>f_n = \begin{cases} 1 & n = 1 \lor n = 2 \\ f_{n-1} + f_{n-2}, & n > 2 \end{cases}</math>
[[پرونده:Square number 4.png|بندانگشتی]]
[[پرونده:Square number 9.png|بندانگشتی|یک اثبات تصویری برای این که دنبالهٔ بازگشتی یادشده [[مربع کامل|مربّع کامل]] است.]]
بعضی مواقع می‌توان دنبالهٔ بازگشتی را ساده کرد و نمایش جملهٔ عمومی آن را پیدا کرد. به عنوان مثال دنبالهٔ

<math>a_n = \begin{cases} 1 & n = 1 \\ a_{n-1} + 2n-1 & n > 1 \end{cases}</math>

را می‌توان به صورت <math>a_n = n^2</math> ساده کرد.

[[تابع اکرمن|تابع آکرمن]] مثالی ست از مواقعی که نمی‌توان دنباله را ساده کرد: <math>a_n = A(n, n)</math>
[[پرونده:First members of harmonic sequence.svg|بندانگشتی|228x228پیکسل|[[دنباله همساز|دنبالهٔ همساز]] با جملهٔ عمومی <math>a_n = {1 \over n}</math>]]

==== نمایش نموداری ====
دنباله‌ها نیز مانند بقیهٔ [[تابع|توابع]] می‌توانند به صورت نموداری نمایش داده شوند. مثال:

== ویژگی‌ها ==
=== یکنوایی دنباله‌ها ===
از آن جایی که دنباله نوعی [[تابع]] است، تعریف [[تابع یکنوا|یکنوایی توابع]] در این مورد نیز همان است.

==== شرط یکنوایی ====
این قضیه بیان می‌دارد که یک دنباله صعودی ست [[اگر و تنها اگر]] هر جملهٔ آن از جملهٔ قبلی بزرگتر باشد:<ref name=":1"/>

<math>a\nearrow \quad \Longleftrightarrow \forall n \in \mathbb N: a_n \geqslant a_{n - 1}</math>

و نزولی نیز به صورت مشابه:

<math>a\searrow \quad \Longleftrightarrow \forall n \in \mathbb N: a_n \leqslant a_{n - 1}</math>

شرط اکیداً صعودی و اکیداً نزولی نیز به شکل مشابه.

=== کران‌دار<ref>{{یادکرد فرهنگستان|مصوب=دنبالهٔ کران‌دار|بیگانه=bounded sequence|بیگانه در فارسی=|حوزه=ریاضی|دفتر=سوم|بخش=فارسی|سرواژه=دنبالهٔ کران‌دار}}</ref> ===
یک دنباله «از بالا کران‌دار» است اگر کران بالا داشته باشد؛ به‌طور دقیق‌تر 

<math>\exists M \in \mathbb R^+ : a_n \leqslant M, \forall n \in \mathbb N</math>

همچنین یک دنباله «از پایین کران‌دار» است اگر

<math>\exists M \in \mathbb R^+ : M \leqslant a_n, \forall n \in \mathbb N</math>

در نهایت، یک دنباله «'''کران‌دار'''» است اگر از بالا و پایین کران‌دار باشد. به عبارتی دیگر:<ref name=":1"/> 

<math>\exists M \in \mathbb R^+ : |a_n |\leqslant M, \forall n \in \mathbb N</math>

== دنباله‌های خاص ==
=== تصاعد حسابی ===
{{main|تصاعد حسابی}}در این نوع از دنباله‌ها، اختلاف هر جمله با جملهٔ پیشین مقداری ثابت است.

=== تصاعد هندسی ===
{{main|تصاعد هندسی}}در این نوع از دنباله‌ها، نسبت هر جمله به جملهٔ پیشین مقداری ثابت است.

=== دنبالهٔ چندجمله‌ای ===
دنبالهٔ چندجمله‌ای دنباله‌ای ست که هر جملهٔ آن ضریب [[چندجمله‌ای|تابعی چندجمله‌ای]] باشد. مثال:

دنبالهٔ <math>a_n = \langle 5, 5, 3, 8 \rangle </math> دنبالهٔ چندجمله‌ای <math>5 + 5x + 3x^2 + 8x^3</math> است. [[پرونده:Harmonic series (mathematics).png|بندانگشتی|[[سری هارمونیک|سری همساز]]. یک روش فهم مفهوم جمع جزئی و سری‌ها به این صورت است: جمع مساحت مستطیل‌های به طول یک و عرض <math>a_n</math>]]

=== مجموع جزئی ===
برای یک دنباله مانند <math>\{ a_n \}</math>، دنبالهٔ مجموع جزئی متناظر با آن به صورت زیر تعریف می‌شود:<ref name=":12">{{یادکرد کتاب|عنوان=حسابان (اپوستول) Calculus Vol. 1 (2nd ed.) (Tom M. Apostol)|فصل=فصل ۱۰|شابک=978-0-471-00005-1}}</ref>

<math>s_n = \sum_{k=1}^n a_k = a_1 + a_2 + \ldots + a_n</math>

عنصر nـُم سری فوق را «جمع جزئی» ِ n عضو اول دنباله می‌گویند.

[[حد (ریاضی)|حد]] مجموع جزئی در بی‌نهایت همان سری دنباله است[[پرونده:Riemann integral regular.gif|بندانگشتی|315x315پیکسل|روش [[انتگرال ریمان]]، اوّلین تعریف دقیق انتگرال.]]
مفهوم جمع جزئی شباهت بسیاری با [[انتگرال]] دارد. در واقع، [[انتگرال|انتگرالِ]] یک [[تابع]] به کمک حد این جمع تعریف می‌شود.

== حد و همگرایی ==
{{main|حد دنباله|l1=حد دنباله‌های نامتناهی در بی‌نهایت و همگرا و واگرا}}[[پرونده:Cauchy sequence illustration.svg|بندانگشتی|259x259پیکسل|نمونه‌ای از یک دنبالهٔ [[حد دنباله|همگرا]] که به عددی خاص میل می‌کند.]]از آنجا که دنباله یک [[تابع پیوسته|تابع گسسته]] می‌باشد، باید [[حد (ریاضی)|حد]] آن در بی‌نهایت را اختصاصاً تعریف کرد.

اگر چنین مقداری وجود داشته باشد، دنباله را «همگرا» می‌گوییم و به اصطلاح، دنباله به آن مقدار '''میل می‌کند.'''

به عنوان مثال دنبالهٔ <math>a_n = {1 \over n}</math> به صفر میل می‌کند: <math>\textstyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle {1 \over n} = 0</math>[[پرونده:Cauchy sequence illustration2.png|چپ|بندانگشتی|250px|نمونه‌ای از یک دنبالهٔ [[حد دنباله|واگرا]] که به هیچ مقداری میل نمی‌کند.

این دنباله نه صعودی است و نه نزولی، ولی کران‌دار است.]]در غیر این صورت دنباله را «واگرا» می‌گوییم. یک دنبالهٔ واگرا می‌تواند به ∞ یا -∞ میل کند یا به هیچ مقداری میل نکند.

به عنوان مثال دنبالهٔ <math>a_n = (-1)^n</math> به هیچ مقداری میل نمی‌کند: <math>\langle -1, 1, -1, 1, \ldots \rangle</math>

و دنبالهٔ <math>a_n = 2^n</math> به ∞ میل می‌کند: <math>\textstyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle 2^n = \infty</math>

گاهی حد دنباله‌ای مانند <math>\{ a_n \}</math> را به صورت <math>A</math> (با حروف بزرگ) نمایش می‌دهند:

<math>\textstyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle a_n = A</math>

== سری ==
{{main|سری (ریاضیات)}}با وجود این که کلمات «[[سری (ریاضیات)|سری]]» و «دنباله» عموماً مترادف یکدیگر هستند، در [[ریاضیات]] مفاهیم متفاوتی دارند.

[[سری (ریاضیات)|سری]] متناظر با یک دنباله به صورت <math>a_1 + a_2 + \ldots</math> نمایش داده می‌شود و یافتن مقدار [[سری (ریاضیات)|سری]] از اهمیت بالایی برخوردار است.

جمع اعضای یک دنبالهٔ واگرا تعریف نشده‌است. به عبارت دقیق‌تر، [[سری (ریاضیات)|سری]] واگرا ست.

از معروف‌ترین مثال‌های این حالت می‌توان به سری گرندی:

<math>1 - 1 + 1 - 1 \ldots = \  ?</math>

و [[۱ + ۲ + ۳ + ۴ + …|این سری]] اشاره کرد:

<math>1 + 2 + 3 + \ldots = \infty</math>

جمع اعضای یک دنبالهٔ همگرا نیز ممکن است تعریف نشده باشد.

[[سری هارمونیک|سری همساز]] از مثال‌های معروف این حالت است:

<math>{1 \over 1} + {1 \over 2} + {1 \over 3} + \ldots = \infty</math>
[[پرونده:Eye of Horus square.svg|بندانگشتی|202x202پیکسل|یک اثبات تصویری برای یافتن جمع<math>{1 \over 1} + {1 \over 2} + {1 \over 4} + \ldots</math>]]
همچنین جمع اعضای یک دنبالهٔ همگرا می‌تواند همگرا باشد.

[[... ۱/۱۶ + ۱/۸ + ۱/۴ + ۱/۲|این سری]] از مثال‌های معروف این حالت است:

<math>{1 \over 1} + {1 \over 2} + {1 \over 4} + \ldots + {1 \over 2^{n-1}} + \ldots = 2</math>

== جستارهای وابسته ==
* [[حد دنباله]] (و دنباله‌های همگرا و واگرا)
* [[دنباله فیبوناتچی|دنباله فیبوناچی]]
* [[دانشنامه برخط دنباله‌های صحیح]]
* [[دانشنامه برخط دنباله‌های صحیح|عدد مثلثی]]
* [[دانشنامه برخط دنباله‌های صحیح|مربع کامل]]
* [[دانشنامه برخط دنباله‌های صحیح|نظریه نامتغیر]]

== منابع ==
{{پانویس|۲}}
* {{یادکرد
|
|کتاب=حساب دیفرانسیل و انتگرال و هندسه تحلیلی جدید (جلد اول)
|نویسنده = ریچارد سیلورمن
|ترجمه=دکتر علی اکبر عالم زاده
|ناشر =انتشارات علمی فنی
||شهر=تهران
|سال=۱۳۸۵
|شابک=964-6215-06-8
}}

[[رده:دنباله‌ها و سری‌ها]]
[[رده:ریاضیات مقدماتی]]