نمایش مبدأ برای دل‌گون

در [[هندسه]]، '''دل‌گون''' ({{lang-en|Cardioid}}) یک [[منحنی مسطح]] است که توسط یک نقطه در محیط یک دایره که به دور یک دایره ثابت با شعاع یکسان می‌غلتد، رسم می‌شود. همچنین می‌توان آن را به عنوان یک [[برون‌چرخ‌زاد]] با یک [[نقطه بازگشت]] (تیزه) تعریف کرد. همچنین نوعی [[مارپیچ سینوسی]] و یک [[وارون منحنی]] [[سهمی]] با کانون به عنوان مرکز وارونگی است.<ref>{{MathWorld|title=Parabola Inverse Curve|urlname=ParabolaInverseCurve}}</ref> دل‌گون همچنین می‌تواند به عنوان مجموعه نقاط انعکاس یک نقطه ثابت روی یک دایره از طریق تمام مماس‌های دایره تعریف شود.<ref>S Balachandra Rao . Differential Calculus, p. 457</ref>
دل‌گون را گاه «دل‌نما» هم نوشته‌اند.
[[File:Cardiod animation.gif|thumb|چپ|دل‌گون تولید شده توسط یک دایره غلتان روی یک دایره با همان شعاع]]

این نام توسط [[جیووانی سالوینی]] در سال ۱۷۴۱ ابداع شد<ref>Lockwood</ref>، اما دل‌گون دهه‌ها قبل موضوع مطالعه بوده است.<ref name="Yates">Yates</ref> اگرچه به دلیل شکل قلب مانندش اینگونه نامیده شده است، اما شکل آن بیشتر شبیه طرح کلی مقطع یک [[سیب]] گرد بدون ساقه است.<ref>{{cite book
 | last1 = Gutenmacher | first1 = Victor
 | last2 = Vasilyev | first2 = N. B.
 | doi = 10.1007/978-1-4757-3809-4
 | isbn = 9781475738094
 | location = Boston
 | page = 90
 | publisher = Birkhäuser
 | title = Lines and Curves
 | year = 2004}}</ref>

[[میکروفون]] الگوی دریافت [[صوت‌شناسی]] را نشان می‌دهد که وقتی در دو بعد رسم می‌شود، شبیه یک دل‌گون است (هر صفحه دوبعدی شامل خط مستقیم سه‌بعدی بدنه میکروفون). در سه بعد، دل‌گون به شکل یک سیب در اطراف میکروفون است که "ساقه" سیب است.

== معادلات ==
[[File:Kardioide.svg|thumb|تولید یک دل‌گون و دستگاه مختصات مورد استفاده]]
فرض کنید <math>a</math> شعاع مشترک دو دایره مولد با نقاط میانی <math>(-a,0), (a,0)</math> باشد، <math>\varphi</math> زاویه غلتش و مبدأ نقطه شروع باشد (به تصویر مراجعه کنید). به دست می‌آید:
* [[معادله پارامتری]]: <math display="block">\begin{align}
 x(\varphi) &= 2a (1 - \cos\varphi)\cdot\cos\varphi \ , \\
 y(\varphi) &= 2a (1 - \cos\varphi)\cdot\sin\varphi \ , \qquad 0\le \varphi < 2\pi
\end{align}</math> و از اینجا نمایش در
* [[دستگاه مختصات قطبی]]: <math display="block">r(\varphi) = 2a (1 - \cos\varphi).</math>
* با معرفی جایگزینی‌های <math>\cos\varphi = x/r</math> و <math display="inline">r = \sqrt{x^2 + y^2}</math> پس از حذف جذر، نمایش ضمنی در [[دستگاه مختصات دکارتی]] به دست می‌آید: <math display="block">\left(x^2 + y^2\right)^2 + 4 a x \left(x^2 + y^2\right) - 4a^2 y^2 = 0.</math>

===اثبات نمایش پارامتری===
یک اثبات را می‌توان با استفاده از اعداد مختلط و توصیف رایج آنها به عنوان [[صفحه مختلط]] ایجاد کرد. حرکت غلتشی دایره سیاه روی دایره آبی را می‌توان به دو چرخش تقسیم کرد. در صفحه مختلط، چرخش حول نقطه <math>0</math> (مبدأ) با زاویه <math>\varphi</math> را می‌توان با ضرب یک نقطه <math>z</math> (عدد مختلط) در <math> e^{i\varphi}</math> انجام داد. از این رو

: چرخش <math>\Phi_+</math> حول نقطه <math>a</math> برابر است با: <math>z \mapsto a + (z - a)e^{i\varphi}</math>,
: چرخش <math>\Phi_-</math> حول نقطه <math>-a</math> برابر است با: <math>z \mapsto -a + (z + a)e^{i\varphi}</math>.
یک نقطه <math>p(\varphi)</math> از دل‌گون با چرخاندن مبدأ حول نقطه <math>a</math> و سپس چرخاندن حول <math>-a</math> با همان زاویه <math>\varphi</math> تولید می‌شود:
<math display="block">p(\varphi) = \Phi_ - (\Phi_+(0)) = \Phi_-\left(a - ae^{i\varphi}\right) = -a + \left( a - ae^{i\varphi} + a\right)e^{i\varphi} = a\;\left(-e^{i2\varphi} + 2e^{i\varphi} - 1\right).</math>
از اینجا نمایش پارامتری بالا را به دست می‌آوریم:
<math display="block">\begin{array}{cclcccc}
 x(\varphi) &=& a\;(-\cos(2\varphi) + 2\cos\varphi - 1) &=& 2a(1 - \cos\varphi)\cdot\cos\varphi & & \\
 y(\varphi) &=& a\;(-\sin(2\varphi) + 2\sin\varphi) &=& 2a(1 - \cos\varphi)\cdot\sin\varphi &.&
\end{array}</math>
([[توابع مثلثاتی]] <math>e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi, \ (\cos\varphi)^2 + (\sin\varphi)^2 = 1,</math> <math>\cos(2\varphi) = (\cos\varphi)^2 - (\sin\varphi)^2, </math> and <math>\sin (2\varphi) = 2\sin\varphi\cos\varphi</math> استفاده شدند.)

== ویژگی‌های متریکی ==
برای دل‌گون که در بالا تعریف شد، فرمول‌های زیر برقرار هستند:
* مساحت <math>A = 6\pi a^2</math>،
* طول کمان <math>L = 16 a</math> و
* [[شعاع انحنا]] <math>\rho(\varphi) = \tfrac{8}{3}a\sin\tfrac{\varphi}{2} \, . </math>
اثبات این گزاره‌ها در هر دو مورد از نمایش قطبی دل‌گون استفاده می‌کند. برای فرمول‌های مناسب، به [[دستگاه مختصات قطبی]] و [[دستگاه مختصات قطبی]] مراجعه کنید.

{{اثبات ریاضی| title = اثبات فرمول مساحت | proof = <math display="block">A = 2 \cdot \tfrac{1}{2}\int_0^\pi{(r(\varphi))^2}\; d\varphi = \int_0^\pi{4a^2(1 - \cos\varphi)^2}\; d\varphi = \cdots = 4a^2 \cdot \tfrac{3}{2}\pi = 6\pi a^2.</math>
}}

{{اثبات ریاضی| title = اثبات فرمول طول کمان | proof =
<math display="block">L = 2\int_0^\pi{\sqrt{r(\varphi)^2 + (r'(\varphi))^2}} \; d\varphi = \cdots = 8a\int_0^\pi\sqrt{\tfrac{1}{2}(1 - \cos\varphi)}\; d\varphi = 8a\int_0^\pi\sin\left(\tfrac{\varphi}{2}\right) d\varphi = 16a.</math>
}}

{{اثبات ریاضی| title = اثبات شعاع انحنا | proof =
شعاع انحنای <math> \rho </math> یک منحنی در مختصات قطبی با معادله <math>r=r(\varphi)</math> برابر است با (به [[:de:Krümmung#Ebene Kurven|انحنا]] مراجعه کنید)
<math display="block">\rho(\varphi) = \frac{\left[r(\varphi)^2 + \dot r(\varphi)^2\right]^{3/2}}
{r(\varphi)^2 + 2 \dot r(\varphi)^2 - r(\varphi) \ddot r(\varphi)} \ . </math>

برای دل‌گون <math>r(\varphi) = 2a (1 - \cos\varphi) = 4a \sin^2\left(\tfrac{\varphi}{2}\right)</math> به دست می‌آید
<math display="block">\rho(\varphi) = \cdots = \frac{\left[16a^2\sin^2\frac{\varphi}{2}\right]^\frac{3}{2}} {24a^2 \sin^2\frac{\varphi}{2}} = \frac{8}{3}a\sin\frac{\varphi}{2} \ . </math>
}}

== ویژگی‌ها ==
[[File:Kardioide-2.svg|thumb|وترهای یک دل‌گون]]

=== وترهای گذرنده از نوک ===
; C1: ''[[وتر]]''های گذرنده از [[نقطه بازگشت]] (تیزه) دل‌گون طول یکسانی برابر با <math>4a</math> دارند.
; C2: ''نقاط میانی'' [[وتر]]های گذرنده از نوک روی محیط دایره مولد ثابت قرار دارند (به تصویر مراجعه کنید).

==== اثبات C1 ====
نقاط <math>P: p(\varphi),\; Q: p(\varphi + \pi)</math> روی یک [[وتر]] گذرنده از نوک (=مبدأ) هستند. از این رو <math display="block">\begin{align}
 |PQ| &= r(\varphi) + r(\varphi + \pi) \\
 = 2a (1 - \cos\varphi) + 2a (1 - \cos(\varphi + \pi)) = \cdots = 4a
\end{align}.</math>

==== اثبات C2 ====
برای اثبات از نمایش در صفحه مختلط (به بالا مراجعه کنید) استفاده می‌شود. برای نقاط <math display="block">P:\ p(\varphi) = a\,\left(-e^{i2\varphi} + 2e^{i\varphi} - 1\right)</math> و <math display="block">Q:\ p(\varphi + \pi) = a\,\left(-e^{i2(\varphi + \pi)} + 2e^{i(\varphi + \pi)} - 1\right) = a\,\left(-e^{i2\varphi} - 2e^{i\varphi} - 1\right),</math>

نقطه میانی وتر <math>PQ</math> برابر است با <math display="block">M:\ \tfrac{1}{2}(p(\varphi) + p(\varphi + \pi)) = \cdots = -a - ae^{i2\varphi}</math> که روی محیط دایره با نقطه میانی <math>-a</math> و شعاع <math>a</math> قرار دارد (به تصویر مراجعه کنید).

=== دل‌گون به عنوان وارون منحنی سهمی ===
[[File:Kardioide-parabel-1.svg|thumb|دل‌گونی که توسط وارونگی یک سهمی در دایره واحد (خط‌چین) ایجاد می‌شود]]
{{اصلی|inversive geometry}}
: دل‌گون [[وارون منحنی]] یک سهمی با کانون آن در مرکز وارونگی است (نمودار را ببینید).

برای مثال نشان داده شده در نمودار، دایره‌های مولد دارای شعاع <math display="inline">a = \frac{1}{2}</math> هستند. از این رو دل‌گون دارای نمایش قطبی
<math display="block">r(\varphi) = 1 - \cos\varphi</math>
و وارون منحنی آن
<math display="block">r(\varphi) = \frac{1}{1 - \cos\varphi},</math>
است که یک سهمی (به [[سهمی]] مراجعه کنید) با معادله <math display="inline">x = \tfrac{1}{2}\left(y^2 - 1\right)</math> در مختصات دکارتی است.

''توجه:'' هر وارون منحنی یک سهمی یک دل‌گون نیست. به عنوان مثال، اگر یک سهمی در یک دایره که مرکز آن در ''راس'' سهمی قرار دارد، معکوس شود، نتیجه یک [[cissoid of Diocles]] است.

=== دل‌گون به عنوان پوشش یک دسته دایره ===
[[File:Kardioide-kreise.svg|thumb|دل‌گون به عنوان پوشش یک دسته دایره]]
در بخش قبل، اگر مماس‌های سهمی را نیز معکوس کنید، یک [[مداد (هندسه)]] (دسته) از دایره‌ها از مرکز وارونگی (مبدأ) به دست می‌آید. یک بررسی دقیق نشان می‌دهد: نقاط میانی دایره‌ها روی محیط دایره مولد ثابت قرار دارند. (دایره مولد، وارون منحنی خط هادی سهمی است.)

این ویژگی منجر به روش ساده زیر برای ''رسم'' یک دل‌گون می‌شود:
# یک دایره <math>c</math> و یک نقطه <math>O</math> روی محیط آن را انتخاب کنید،
# دایره‌هایی را که شامل <math>O</math> هستند با مرکز روی <math>c</math> رسم کنید، و
# پوشش این دایره‌ها را رسم کنید.

{{اثبات ریاضی| title = اثبات با شرط پوشش | proof =
پوشش دسته منحنی‌های داده شده به صورت ضمنی <math display="block">F(x,y,t) = 0</math> با پارامتر <math>t</math> شامل نقاطی <math>(x,y)</math> است که جواب‌های دستگاه غیرخطی زیر هستند:
<math display="block">F(x,y,t) = 0, \quad F_t(x,y,t) = 0, </math> که همان [[منحنی محاطی]] است. توجه داشته باشید که <math>F_t</math> به معنی [[مشتق جزئی]] برای پارامتر <math>t</math> است.

فرض کنید <math>c</math> دایره‌ای با نقطه میانی <math>(-1,0)</math> و شعاع <math>1</math> باشد. در این صورت، <math>c</math> دارای نمایش پارامتری <math>(-1 + \cos t, \sin t)</math> است. دسته دایره‌ها با مراکز روی <math>c</math> که شامل نقطه <math>O = (0,0)</math> هستند را می‌توان به صورت ضمنی با
<math display="block">F(x,y,t) = (x + 1 - \cos t)^2 + (y - \sin t)^2 - (2 - 2\cos t) = 0,</math>
نشان داد که معادل است با
<math display="block">F(x,y,t) = x^2 + y^2 + 2x\; (1 - \cos t) - 2 y\; \sin t = 0\; . </math>
شرط دوم پوشش این است:
<math display="block">F_t(x,y,t) = 2x\; \sin t - 2y\; \cos t = 0 . </math>
به راحتی می‌توان بررسی کرد که نقاط دل‌گون با نمایش پارامتری
<math display="block">x(t) = 2(1 - \cos t)\cos t,\quad y(t) = 2(1 - \cos t)\sin t</math>
دستگاه غیرخطی بالا را برآورده می‌کنند. پارامتر <math>t</math> با پارامتر زاویه‌ای دل‌گون یکسان است.
}}

=== دل‌گون به عنوان پوشش یک دسته خط ===
[[File:Kardioide-sehnen.svg|thumb|دل‌گون به عنوان پوشش یک دسته خط]]
یک روش مشابه و ساده برای رسم دل‌گون از یک دسته «خط» استفاده می‌کند. این روش به [[لوئیجی کرمونا]] نسبت داده می‌شود:

# یک دایره رسم کنید، محیط آن را به قسمت‌های با فاصله مساوی با <math>2N</math> نقطه تقسیم کنید (تصویر را ببینید) و آنها را به ترتیب شماره‌گذاری کنید.
# وترها را رسم کنید: <math>(1,2), (2,4), \dots, (n,2n), \dots, (N,2N), (N+1,2), (N+2,4), \dots </math>. (یعنی نقطه دوم با سرعت دو برابر حرکت می‌کند.)
# «پوشش» این وترها یک دل‌گون است.

[[File:Cycloid-cremona-pr.svg|thumb|تولید کرمونا از یک دل‌گون]]
==== اثبات ====
بررسی زیر از [[فهرست اتحادهای مثلثاتی]] برای <math>\cos\alpha + \cos\beta</math>، <math>\sin\alpha + \sin\beta</math>، <math>1 + \cos 2\alpha </math>، <math>\cos 2\alpha</math>، و <math>\sin 2\alpha</math> استفاده می‌کند.
برای اینکه محاسبات ساده بماند، اثبات برای دل‌گون با نمایش قطبی
<math>r = 2(1 \mathbin{\color{red}+} \cos\varphi)</math> (''[[#In different positions|§ Cardioids in different positions]]'').

===== ''معادله مماس'' ''دل‌گون'' با نمایش قطبی ''r'' = 2(1 + cos φ) =====

از نمایش پارامتری
<math display="block">\begin{align}
 x(\varphi) &= 2(1 + \cos\varphi) \cos \varphi, \\
 y(\varphi) &= 2(1 + \cos\varphi) \sin \varphi
\end{align}</math>

بردار نرمال <math>\vec n = \left(\dot y , -\dot x\right)^\mathsf{T}</math> را به دست می‌آوریم. معادله مماس
<math>\dot y(\varphi) \cdot (x - x(\varphi)) - \dot x(\varphi) \cdot (y - y(\varphi)) = 0</math> برابر است با:
<math display="block">(\cos2\varphi + \cos \varphi)\cdot x + (\sin 2\varphi + \sin \varphi)\cdot y = 2(1 + \cos \varphi)^2 \, .</math>

با کمک فرمول‌های مثلثاتی و تقسیم بعدی بر <math display="inline">\cos\frac{1}{2}\varphi</math>، معادله مماس را می‌توان به صورت زیر بازنویسی کرد:
<math display="block">\cos(\tfrac{3}{2}\varphi) \cdot x + \sin\left(\tfrac{3}{2}\varphi\right) \cdot y = 4 \left(\cos\tfrac{1}{2}\varphi\right)^3 \quad 0 < \varphi < 2\pi,\ \varphi \ne \pi .</math>

===== ''معادله وتر'' ''دایره'' با نقطه میانی (1,0) و شعاع ۳ =====
برای معادله خط قاطع که از دو نقطه <math>(1 + 3\cos\theta, 3\sin\theta),\ (1 + 3\cos{\color{red}2}\theta, 3\sin{\color{red}2}\theta))</math> می‌گذرد، به دست می‌آید:
<math display="block">(\sin\theta - \sin 2\theta) x + (\cos 2\theta - \sin \theta) y = -2\cos \theta - \sin(2\theta) \, .</math>

با کمک فرمول‌های مثلثاتی و تقسیم بعدی بر <math display="inline">\sin\frac{1}{2}\theta</math>، معادله خط قاطع را می‌توان به صورت زیر بازنویسی کرد:
<math display="block">\cos\left(\tfrac{3}{2}\theta\right) \cdot x + \sin\left(\tfrac{3}{2}\theta\right) \cdot y = 4 \left(\cos\tfrac{1}{2}\theta\right)^3 \quad 0 < \theta < 2\pi . </math>

===== نتیجه‌گیری =====
به‌رغم اینکه دو زاویه <math>\varphi, \theta</math> معانی متفاوتی دارند (به تصویر مراجعه کنید)، برای <math>\varphi = \theta</math> به خط یکسانی می‌رسیم. از این رو هر خط قاطع دایره که در بالا تعریف شد، مماس بر دل‌گون نیز هست:
: «دل‌گون پوشش وترهای یک دایره است».

**توجه:**
اثبات را می‌توان با کمک «شرایط پوشش» (به بخش قبل مراجعه کنید) از یک دسته ضمنی منحنی‌ها انجام داد:
<math display="block">F(x, y, t) = \cos\left(\tfrac{3}{2}t\right) x + \sin\left(\tfrac{3}{2}t\right) y - 4 \left(\cos\tfrac{1}{2}t\right)^3 = 0 </math>

دسته خطوط قاطع یک دایره (به بالا مراجعه کنید) است و
<math display="block">F_t(x, y, t) = - \tfrac{3}{2}\sin\left(\tfrac{3}{2}t\right) x + \tfrac{3}{2}\cos \left(\tfrac{3}{2}t\right) y + 3\cos\left(\tfrac{1}{2}t\right) \sin t = 0\, .</math>

برای پارامتر ثابت t، هر دو معادله نشان دهنده خطوط هستند. نقطه تقاطع آنها
<math display="block">x(t) = 2(1 + \cos t)\cos t,\quad y(t) = 2(1 + \cos t)\sin t,</math>

است که یک نقطه از دل‌گون با معادله قطبی <math>r = 2(1 + \cos t)</math> است.

[[File:Kardioide-kaustik-1.svg|thumb|دل‌گون به عنوان «کاستیک»: منبع نور <math>Z</math>، پرتو نور <math>\vec s</math>، پرتو بازتاب شده <math>\vec r</math>]]
[[File:Kardioide-kaustik-2.svg|thumb|دل‌گون به عنوان کاستیک یک دایره با منبع نور (راست) روی محیط]]

=== دل‌گون به عنوان کاستیک یک دایره ===
ملاحظات انجام شده در بخش قبل، اثباتی ارائه می‌دهد که [[کاستیک (نورشناسی)|کاستیک]] یک دایره با منبع نور در محیط دایره، یک دل‌گون است.
: اگر در صفحه یک منبع نور در نقطه‌ای <math>Z</math> روی محیط دایره‌ای باشد که هر پرتویی را بازتاب می‌کند، آنگاه پرتوهای بازتاب شده در داخل دایره مماس بر یک دل‌گون هستند.

{{اثبات ریاضی| proof =
همانطور که در بخش قبل گفته شد، دایره می‌تواند نقطه میانی <math>(1,0) </math> و شعاع <math>3</math> داشته باشد. نمایش پارامتری آن
<math display="block">c(\varphi) = (1 + 3\cos\varphi, 3\sin\varphi) \ . </math>
است. مماس در نقطه دایره <math>C:\ k(\varphi)</math> دارای بردار نرمال <math>\vec n_t = (\cos\varphi,\sin\varphi)^\mathsf{T}</math> است. از این رو پرتو بازتاب شده دارای بردار نرمال <math>\vec n_r = \left(\cos{\color{red}\tfrac{3}{2}} \varphi, \sin{\color{red}\tfrac{3}{2}} \varphi\right)^\mathsf{T}</math> است (به نمودار مراجعه کنید) و شامل نقطه <math>C:\ (1 + 3\cos\varphi, 3\sin\varphi) </math> است. پرتو بازتاب شده بخشی از خط با معادله (به بخش قبل مراجعه کنید)
<math display="block">\cos\left(\tfrac{3}{2}\varphi\right) x + \sin \left(\tfrac{3}{2}\varphi\right) y = 4 \left(\cos\tfrac{1}{2}\varphi\right)^3 \, ,</math>
است که مماس بر دل‌گون با معادله قطبی
<math display="block">r = 2(1 + \cos\varphi)</math>
از بخش قبل است.}}

''توجه:'' برای چنین ملاحظاتی معمولاً بازتاب‌های چندگانه در دایره نادیده گرفته می‌شوند.

=== دل‌گون به عنوان منحنی پدال یک دایره ===
[[File:Kardioide-kreistangenten.svg|thumb|نقطه دل‌گون، پای عمود انداخته شده بر مماس دایره است]]
تولید کرمونا از یک دل‌گون نباید با تولید زیر اشتباه گرفته شود:

فرض کنید <math>k</math> یک دایره و <math>O</math> یک نقطه روی محیط این دایره باشد. در این صورت:
: «پا»های عمودهای از نقطه <math>O</math> روی مماس‌های دایره <math>k</math>، نقاط یک دل‌گون هستند.

از این رو یک دل‌گون یک [[منحنی پدال]] خاص از یک دایره است.

==== اثبات ====
در یک دستگاه مختصات دکارتی، دایره <math>k</math> ممکن است نقطه میانی <math>(2a,0)</math> و شعاع <math>2a</math> داشته باشد. مماس در نقطه دایره <math>(2a + 2a\cos\varphi, 2a\sin \varphi)</math> دارای معادله زیر است:
<math display="block">(x - 2a) \cdot \cos\varphi + y\cdot\sin\varphi = 2a\, .</math>
پای عمود از نقطه <math>O</math> روی مماس، نقطه <math>(r\cos \varphi, r\sin \varphi)</math> با فاصله <math>r</math> نامعلوم تا مبدأ <math>O</math> است. قرار دادن این نقطه در معادله مماس، نتیجه می‌دهد:
<math display="block">(r\cos\varphi - 2a)\cos\varphi + r\sin^2\varphi = 2a \quad \rightarrow \quad r = 2a(1 + \cos \varphi) </math>
که معادله قطبی یک دل‌گون است.

''توجه:'' اگر نقطه <math>O</math> روی محیط دایره <math>k</math> نباشد، یک [[حلزون پاسکال]] به دست می‌آید.

== گسترنده یک دل‌گون ==
[[File:Cardioid-evol.svg|thumb|
{{زیرنویس نقشه|red|دل‌گون}}
{{زیرنویس نقشه|green|گسترنده دل‌گون}}
{{زیرنویس نقشه|magenta|یک نقطه P؛ مرکز انحنای آن M؛ و دایره بوسان آن.}}
]]
[[گسترنده]] یک منحنی، مکان هندسی مراکز انحنا است. به‌طور خاص: برای یک منحنی <math>\vec x(s) = \vec c(s)</math> با شعاع انحنای <math>\rho(s)</math>، گسترنده دارای نمایش زیر است:
<math display="block">\vec X(s) = \vec c(s) + \rho(s)\vec n(s).</math>
با <math>\vec n(s)</math> به عنوان نرمال واحد به‌طور مناسب جهت‌دهی شده.

برای یک دل‌گون به دست می‌آید:
: «گسترنده» یک دل‌گون یک دل‌گون دیگر است که یک سوم کوچکتر است و در جهت مخالف قرار دارد (به تصویر مراجعه کنید).

=== اثبات ===
برای دل‌گون با نمایش پارامتری
<math display="block">x(\varphi) = 2a (1 - \cos\varphi)\cos\varphi = 4a \sin^2\tfrac{\varphi}{2}\cos\varphi\, ,</math>
<math display="block">y(\varphi) = 2a (1 - \cos\varphi)\sin\varphi = 4a \sin^2\tfrac{\varphi}{2}\sin\varphi</math>
نرمال واحد به صورت زیر است:
<math display="block">\vec n(\varphi) = (-\sin\tfrac{3}{2}\varphi, \cos\tfrac{3}{2}\varphi)</math>
و شعاع انحنا
<math display="block">\rho(\varphi) = \tfrac{8}{3}a\sin\tfrac{\varphi}{2} \, . </math>
بنابراین معادلات پارامتری گسترنده عبارتند از:
<math display="block">X(\varphi) = 4a \sin^2\tfrac{\varphi}{2}\cos\varphi-\tfrac{8}{3}a\sin\tfrac{\varphi}{2}\cdot \sin\tfrac{3}{2} \varphi = \cdots = \tfrac{4}{3}a\cos^2\tfrac{\varphi}{2}\cos\varphi - \tfrac{4}{3}a \, , </math>
<math display="block">Y(\varphi) = 4a \sin^2\tfrac{\varphi}{2} \sin\varphi + \tfrac{8}{3}a \sin\tfrac{\varphi}{2} \cdot\cos\tfrac{3}{2} \varphi = \cdots = \tfrac{4}{3}a \cos^2\tfrac{\varphi}{2} \sin\varphi \, . </math>
این معادلات یک دل‌گون را توصیف می‌کنند که یک سوم کوچکتر است، ۱۸۰ درجه چرخیده و به اندازه <math>-\tfrac{4}{3} a</math> در امتداد محور x منتقل شده است.

(از فرمول‌های مثلثاتی زیر استفاده شد: <math>
 \sin\tfrac{3}{2}\varphi = \sin\tfrac{\varphi}{2}\cos\varphi + \cos\tfrac{\varphi}{2}\sin\varphi\ ,\ \cos\tfrac{3}{2}\varphi = \cdots, \ 
 \sin\varphi = 2\sin\tfrac{\varphi}{2}\cos\tfrac{\varphi}{2}, \ 
 \cos\varphi= \cdots \ .
</math>)

== مسیرهای متعامد ==
[[File:Cardioid-penc.svg|300px|thumb|[[تعامد (جبر خطی)]] دل‌گون‌ها]]
[[مسیر متعامد]] یک دسته منحنی، منحنی است که هر منحنی از دسته را به صورت متعامد قطع می‌کند. برای دل‌گون‌ها موارد زیر صادق است:
{{تورفتگی بلوک| em = 1.5 | text = مسیرهای متعامد دسته دل‌گون‌ها با معادلات <math display="block">r=2a(1-\cos\varphi)\ , \; a>0 \ , \ </math> دل‌گون‌هایی با معادلات <math display="block">r=2b(1+\cos\varphi)\ , \; b>0 \ . </math> هستند.}}
(دسته دوم را می‌توان به عنوان بازتاب دسته اول در محور y در نظر گرفت. به نمودار مراجعه کنید.)

=== اثبات ===
برای یک منحنی داده شده در [[دستگاه مختصات قطبی]] توسط یک تابع <math>r(\varphi)</math>، رابطه زیر با مختصات دکارتی برقرار است:
<math display="block">\begin{align}
 x(\varphi) &= r(\varphi)\cos\varphi\, ,\\
 y(\varphi) &= r(\varphi)\sin\varphi
\end{align} </math>

و برای مشتقات
<math display="block">\begin{align}
\frac{dx}{d\varphi} &= r'(\varphi)\cos\varphi - r(\varphi)\sin\varphi\, ,\\
\frac{dy}{d\varphi} &= r'(\varphi)\sin\varphi + r(\varphi)\cos\varphi\, .
\end{align}</math>

تقسیم معادله دوم بر اول، شیب دکارتی خط مماس بر منحنی در نقطه <math>(r(\varphi), \varphi)</math> را به دست می‌دهد:
<math display="block">\frac{dy}{dx} = \frac{r'(\varphi)\sin\varphi + r(\varphi)\cos\varphi}{r'(\varphi)\cos\varphi - r(\varphi)\sin\varphi}.</math>

برای دل‌گون‌ها با معادلات <math>r=2a(1-\cos\varphi) \; </math> و <math>r = 2b(1 + \cos\varphi)\ </math> به ترتیب به دست می‌آید:
<math display="block">\frac{dy_a}{dx} = \frac{\cos(\varphi) - \cos(2\varphi)}{\sin(2\varphi) - \sin(\varphi)} </math> و <math display="block"> \frac{dy_b}{dx} = -\frac{\cos(\varphi) + \cos(2\varphi)}{\sin(2\varphi) + \sin(\varphi)}\ . </math>

(شیب هر منحنی فقط به <math>\varphi</math> بستگی دارد و نه به پارامترهای <math>a</math> یا <math>b</math>!)

از این رو
<math display="block">\frac{dy_a}{dx}\cdot \frac{dy_b}{dx} = \cdots = -\frac{\cos^2\varphi-\cos^2 (2\varphi)}{\sin^2 (2\varphi)-\sin^2\varphi} = -\frac{-1 + \cos^2\varphi + 1 - \cos^2 2\varphi}{\sin^2 (2\varphi) - \sin^2(\varphi)} = -1\, . </math>
این بدان معناست که هر منحنی از دسته اول، هر منحنی از دسته دوم را به صورت متعامد قطع می‌کند.

[[File:Kardioide-4.svg|thumb|۴ دل‌گون در نمایش قطبی و موقعیت آنها در دستگاه مختصات]]

== در موقعیت‌های مختلف ==
انتخاب موقعیت‌های دیگر دل‌گون در دستگاه مختصات منجر به معادلات متفاوتی می‌شود. تصویر، ۴ موقعیت رایج یک دل‌گون و معادلات قطبی آنها را نشان می‌دهد.

== در آنالیز مختلط ==
[[File:Mandel zoom 00 mandelbrot set.jpg|thumb|چپ|200px|[[مرز (توپولوژی)|مرز]] منطقه مرکزی، دوره ۱، [[مجموعه مندلبرو]] یک دل‌گون دقیق است.]]
در [[آنالیز مختلط]]، [[تصویر (ریاضیات)|تصویر]] هر دایره‌ای که از مبدأ عبور می‌کند تحت نگاشت <math>z \to z^2</math> یک دل‌گون است. یک کاربرد این نتیجه این است که مرز مؤلفه دوره ۱ مرکزی [[مجموعه مندلبرو]] یک دل‌گون است که با [[معادله پارامتری]] زیر داده می‌شود:
<math display="block"> c \,=\, \frac{1 - \left(e^{it} - 1\right)^2}{4}.</math>

مجموعه مندلبرو شامل تعداد نامتناهی از کپی‌های کمی تحریف شده از خودش است و پیاز مرکزی هر یک از این کپی‌های کوچکتر، یک دل‌گون تقریبی است.

[[File:Cardioid in a watch.jpg|thumb|دل‌گون تشکیل شده توسط نور روی یک [[ساعت مچی]].]]

== کاستیک‌ها ==
برخی [[کاستیک (ریاضیات)|کاستیک‌ها]] می‌توانند شکل دل‌گون به خود بگیرند. کاتاکاستیک یک دایره نسبت به یک نقطه روی محیط آن، یک دل‌گون است. همچنین، کاتاکاستیک یک مخروط نسبت به پرتوهای موازی با یک خط مولد، سطحی است که مقطع آن یک دل‌گون است. این را می‌توان، همان‌طور که در عکس سمت راست دیده می‌شود، در یک فنجان مخروطی که تا حدی با مایع پر شده است، زمانی که نور از فاصله‌ای دور و با زاویه‌ای برابر با زاویه مخروط می‌تابد، مشاهده کرد.<ref>[http://www.mathcurve.com/surfaces/caustic/caustic.shtml](http://www.mathcurve.com/surfaces/caustic/caustic.shtml) "Surface Caustique" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables]</ref> شکل منحنی در پایین یک فنجان استوانه‌ای، نصف یک [[گرده‌گون]] (نفروئید) است که بسیار شبیه به نظر می‌رسد.

[[File:Cardioid construction.gif|چپ|thumb|210px|ایجاد یک دل‌گون به عنوان [[منحنی پدال]] یک دایره]]

== جستارهای وابسته ==
* [[میکروفون]]
* [[آنتن حلقوی]]
* [[جهت‌یابی رادیویی]]
* [[جهت‌یابی رادیویی]]
* [[آنتن شاخه‌ای]]
* [[گرده‌گون]]
== منابع ==
{{پانویس|چپ‌چین=بله}}
* {{یادکرد-ویکی|پیوند =//en.wikipedia.org/w/index.php?title=Cardioid&oldid=1233798385|عنوان = Cardioid|زبان =انگلیسی|بازیابی =۱۹ ژوئیه ۲۰۲۴}}

{{-}}

== پیوند به بیرون ==
{{رده انبار}}
{{داده‌های کتابخانه‌ای}}

[[رده:غلتان‌ها]]