نمایش مبدأ برای دسته‌بندی ناپیوستگی‌ها

[[تابع پیوسته|توابع پیوسته]] در [[ریاضیات]]، توابع و کاربردهای آن از اهمیت بالایی برخوردار هستند. با این حال، همه [[تابع|توابع]] پیوسته نیستند. اگر تابعی در نقطه ای از [[دامنه تابع|دامنه]] خود پیوسته نباشد، می‌توان گفت که در آنجا '''ناپیوستگی''' دارد. [[نظریه مجموعه‌ها|مجموعه]] تمام نقاط ناپیوستگی یک تابع ممکن است یک [[نقطه تنها|مجموعه گسسته]]، یک [[مجموعه چگال]] یا حتی کل دامنه تابع باشد.

[[نوسان]] یک تابع در یک نقطه، این ناپیوستگی‌ها را به صورت زیر کمیت‌سازی می‌کند:
* در یک '''ناپیوستگی برداشتنی'''، فاصله ای که مقدار تابع با آن از نوسان می‌افتد است.
* در یک '''ناپیوستگی پرشی'''، اندازه پرش نوسان است (با فرض اینکه این مقدار ''در'' این نقطه بین حدهای دو طرف قرار دارد).
* در یک '''[[تابع پیوسته|ناپیوستگی]] اساسی'''، نوسان عدم وجود یک [[حد تابع|حد]] را اندازه می‌گیرد. حد ثابت است.

یک حالت خاص این است که تابع به [[بی‌نهایت]] یا منهای بی‌نهایت واگرا شود، در این حالت نوسان تعریف نمی‌شود (در [[خط اعداد واقعی توسعه یافته|اعداد حقیقی توسعه‌یافته]]، این یک ناپیوستگی برداشتنی است).

== دسته‌بندی ==
برای هر یک از موارد زیر، یک [[تابع حقیقی|تابع]] <math>f</math> [[تابع حقیقی|با مقدار حقیقی]] از یک متغیر حقیقی <math>x</math> ، تعریف‌شده در همسایگی نقطه <math>x_0</math> که در آن <math>f</math> ناپیوسته است، در نظر بگیرید.

=== ناپیوستگی برداشتنی ===
[[پرونده:Discontinuity_removable.eps.png|بندانگشتی| تابع در مثال ۱، یک ناپیوستگی برداشتنی]]
تابع را در نظر بگیرید<math display="block">f(x)  = \begin{cases}
 x^2 & \text{ for } x < 1 \\
 0  & \text{ for } x = 1 \\
 2-x & \text{ for } x > 1
\end{cases}</math>نقطه <math>x_0 = 1</math> یک ''[[تابع پیوسته|ناپیوستگی]] برداشتنی'' است. برای این نوع ناپیوستگی:

[[حد یک-طرفه|حد یک‌طرفه]] از جهت منفی:<math display="block">L^-  = \lim_{x\to x_0^-} f(x)</math>و حد یک‌طرفه از جهت مثبت:<math display="block">L^+  = \lim_{x\to x_0^+} f(x)</math>در <math>x_0</math> ''هر دو'' وجود دارند، متناهی هستند و برابرند <math>L = L^- = L^+</math> به عبارت دیگر، از آنجا که دو حد یک‌طرفه وجود دارد و مساوی است، حد <math>L</math> از <math>f(x)</math> مانند <math>x</math> نزدیک <math>x_0</math>  وجود دارد و برابر با همین مقدار است. اگر مقدار موجود <math>f\left(x_0\right)</math> برابر <math>L</math> ''نباشد بنابراین'' <math>x_0</math> یک ناپیوستگی برداشتنی نامیده می‌شود. این ناپیوستگی را می‌توان برای ایجاد <math>f</math> پیوسته در <math>x_0</math> حذف کرد یا به‌طور دقیق تر، تابع<math display="block">g(x)  = \begin{cases}
f(x) & x \neq x_0 \\
L & x = x_0
\end{cases}</math>در <math>x = x_0</math> پیوسته است.

اصطلاح ''ناپیوستگی برداشتنی'' گاهی گسترش می‌یابد تا یک [[نقطه تکین برداشتنی|تکینگی برداشتنی]] را شامل شود، که در آن حدها در هر دو جهت وجود دارند و برابر هستند، در حالی که تابع در نقطه <math>x_0</math> تعریف نشده است.{{Efn|See, for example, the last sentence in the definition given at Mathwords.<ref>{{Cite web|url=http://www.mathwords.com/r/removable_discontinuity.htm|title=Mathwords: Removable Discontinuity}}</ref>}} این استفاده سوء استفاده از اصطلاحات است زیرا [[تابع پیوسته|پیوستگی]] و ناپیوستگی یک تابع مفاهیمی هستند که فقط برای نقاطی در دامنه تابع تعریف می‌شوند.

=== ناپیوستگی پرشی ===
[[پرونده:Discontinuity_jump.eps.png|بندانگشتی| تابع در مثال ۲، یک ناپیوستگی پرشی]]
این تابع را در نظر بگیرید<math display="block">f(x)  = \begin{cases}
 x^2     & \mbox{ for } x < 1 \\
 0      & \mbox{ for } x = 1 \\
 2 - (x-1)^2 & \mbox{ for } x > 1
\end{cases}</math>بنابراین، نقطه <math>x_0 = 1</math> یک ''ناپیوستگی پرشی'' هست.

در این مورد، حد واحد وجود ندارد زیرا حدهای یک‌طرفه، <math>L^-</math> و <math>L^+</math> وجود دارند و متناهی هستند، اما برابر '''نیستند''': ازاین رو <math>L^- \neq L^+,</math> حد <math>L</math> وجود ندارد؛ بنابراین، <math>x_0</math> ''ناپیوستگی پرشی'' نامیده می‌شود، ''ناپیوستگی پله‌ای'' یا ''ناپیوستگی نوع اول'' نامیده می‌شود. برای این نوع ناپیوستگی، تابع <math>f</math> ممکن است هر مقداری در <math>x_0</math> داشته باشد

=== ناپیوستگی اساسی ===
[[پرونده:Discontinuity_essential.svg|بندانگشتی| تابع در مثال ۳، یک ناپیوستگی اساسی است]]
تابع [[تابع چندضابطه‌ای|چندضابطه‌ای]] را در نظر بگیرید<math display="block">f(x)  = \begin{cases}
 \sin\frac{5}{x-1} & \text{ for } x < 1 \\
 0         & \text{ for } x = 1 \\
 \frac{1}{x-1}   & \text{ for } x > 1.
\end{cases}</math>بنابراین، نقطه <math>x_0 = 1</math> یک ''ناپیوستگی اساسی'' هست.

در این مثال، هر دو <math>L^-</math> و <math>L^+</math> در <math>\mathbb{R}</math>  وجود ندارد، بنابراین شرط ناپیوستگی اساسی را برآورده می‌کند؛ بنابراین <math>x_0</math> ''ناپیوستگی ذاتی''، ''ناپیوستگی نامتناهی'' یا ''ناپیوستگی از نوع دوم'' است. (این متمایز از یک [[نقطه تکین اساسی|تکینگی اساسی]] است که اغلب هنگام مطالعه [[آنالیز مختلط|توابع متغیرهای مختلط]] استفاده می‌شود).

== شمارش ناپیوستگی‌های یک تابع ==
دو ویژگی پیرو مجموعه <math>D</math> در این ادبیات مناسب هستند.
* مجموعه ای از <math>D</math>  یک  مجموعه [[مجموعه اف سیگما|<math>F_{\sigma}</math>]] است. مجموعه نقاطی که یک تابع در آنها پیوسته است همیشه مجموعه <math>G_{\delta}</math> (نگاه کنید به<ref>{{Cite book|last=Stromberg|first=Karl R.|title=An Introduction to Classical Real Analysis|publisher=American Mathematical Society|year=2015|isbn=978-1-4704-2544-9|location=|pages=120. Ex. 3 (c)|language=English}}</ref>) است.
* اگر در فاصله زمانی <math>I</math>، <math>f</math>  یکنواخت است بنابراین <math>D</math> [[مجموعه شمارا|حداکثر شمارا]] است و <math>D = J.</math> این [[قضیه فرودا]] است.

تام آپوستول<ref>{{Cite book|last=Apostol|first=Tom|title=Mathematical Analysis|url=https://archive.org/details/mathematicalanal02edtomm|publisher=Addison and Wesley|year=1974|isbn=0-201-00288-4|pages=[https://archive.org/details/mathematicalanal02edtomm/page/92 92], sec. 4.22, sec. 4.23 and Ex. 4.63|language=English|edition=second}}</ref> تا حدی از طبقه‌بندی بالا با در نظر گرفتن تنها ناپیوستگی‌های برداشتنی و پرشی پیروی می‌کند. هدف او مطالعه ناپیوستگی توابع یکنواخت، عمدتاً برای اثبات قضیه فرودا است. با همین هدف، والتر رودین<ref>{{Cite book|last=Walter|first=Rudin|title=Principles of Mathematical Analysis|url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi|publisher=McGraw-Hill|year=1976|isbn=0-07-085613-3|pages=[https://archive.org/details/principlesofmath00rudi/page/94 94], Def. 4.26, Thms. 4.29 and 4.30|language=English|edition=third}}</ref> و کارل آر استرومبرگ<ref>{{Cite book|last=Stromberg|first=Karl R|title=Op. cit.|pages=128, Def. 3.87, Thm. 3.90|language=English}}</ref> نیز ناپیوستگی‌های برداشتنی و پرشی را با استفاده از واژه‌گزینی‌های مختلف مطالعه کردند. با این حال، در ادامه، هر دو نویسنده بیان می‌کنند که <math>R \cup J</math> همیشه یک مجموعه شمارا است (ببینید<ref>{{Cite book|last=Stromberg|first=Karl R.|title=Op. cit.|publisher=|pages=131, Ex. 3}}</ref><ref>{{Cite book|last=Walter|first=Rudin|title=Op. cit.|pages=100, Ex. 17}}</ref>).

اصطلاح ''ناپیوستگی اساسی'' شواهدی از استفاده در زمینه ریاضی در اوایل سال ۱۸۸۹ دارد.<ref>{{cite book|last1=Whitney|first1=William Dwight|title=The Century Dictionary: An Encyclopedic Lexicon of the English Language|volume=2|location=London and New York|publisher=T. Fisher Unwin and The Century Company|year=1889|page=1652|isbn=978-1-334-15395-2|url=https://books.google.com/books?id=Fe7g69rdRCYC|archiveurl=https://web.archive.org/web/20240401180243/https://books.google.com/books?id=Fe7g69rdRCYC|archivedate=۱ آوریل ۲۰۲۴|quote=An essential discontinuity is a discontinuity in which the value of the function becomes entirely indeterminable.|access-date=۱ آوریل ۲۰۲۴|url-status=bot: unknown}}</ref> با این حال، به نظر می‌رسد اولین استفاده از این اصطلاح در کنار یک تعریف ریاضی در اثر جان کلیپرت ارائه شده باشد.<ref>{{Cite journal|last=Klippert|first=John|date=February 1989|title=Advanced Advanced Calculus: Counting the Discontinuities of a Real-Valued Function with Interval Domain|url=http://about.jstor.org/terms|journal=Mathematics Magazine|volume=62|pages=43–48|doi=10.1080/0025570X.1989.11977410|via=JSTOR}}</ref> در آنجا، کلیپرت همچنین ناپیوستگی‌های اساسی خود را با تقسیم‌بندی مجموعه <math>E</math> در سه مجموعه زیر طبقه‌بندی کرد:<math display="block">E_1  = \left\{x_0\in I : \lim_{x\to x_0^-} f(x) \text{ and } \lim_{x\to x_0^+} f(x) \text{ do not exist in }\mathbb{R} \right\},</math><math display="block">E_2  = \left\{x_0\in I : \ \lim_{x\to x_0^-} f(x) \text{ exists in } \mathbb{R}\text { and } \lim_{x\to x_0^+} f(x) \text{ does not exist in } \mathbb{R}\right\},</math><math display="block">E_3  = \left\{x_0\in I : \ \lim_{x\to x_0^-} f(x) \text{ does not exist in } \mathbb{R}\text { and } \lim_{x\to x_0^+} f(x) \text{ exists in }\mathbb{R}\right\}.</math>
البته <math>E=E_1 \cup E_2 \cup E_3.</math> هر زمان که <math>x_0\in E_1</math>، <math>x_0</math> ''ناپیوستگی اساسی از نوع اول'' نامیده می‌شود. هر <math>x_0 \in E_2 \cup E_3</math> ''ناپیوستگی اساسی از نوع دوم گفته می‌شود.'' از این رو او مجموعه <math>R \cup J</math> را بزرگ می‌کند بدون از دست دادن ویژگی شمارا بودن خود با بیان موارد زیر:
* مجموعه <math>R \cup J \cup E_2 \cup E_3</math> شمارا است

== یادداشت ==
{{یادداشت‌ها|۲}}

== منابع ==
{{پانویس|۲|چپ‌چین=بله}}

== منابع ==
{{چپ‌چین}}
* {{cite book|title=Mathematical Analysis|edition=2nd|first1=S.C.|last1=Malik|first2=Savita|last2=Arora|publisher=New York: Wiley|year=1992|pages=|isbn=0-470-21858-4}}
{{پایان چپ‌چین}}

== پیوند به بیرون ==
{{چپ‌چین}}
* {{PlanetMath reference|title=Discontinuous}}
* [http://demonstrations.wolfram.com/Discontinuity/ "Discontinuity"] by Ed Pegg, Jr. , The Wolfram Demonstrations Project, 2007.
* <templatestyles src="Module:Citation/CS1/styles.css"></templatestyles>{{MathWorld|urlname=Discontinuity|title=Discontinuity}}
* {{SpringerEOM|title=Discontinuity point}}
{{پایان چپ‌چین}}
[[رده:آنالیز ریاضی]]
[[رده:نگاشت‌های پیوسته]]