نمایش مبدأ برای درونیابی دوخطی

[[پرونده:Bilinear interpolation.png|چپ|بندانگشتی|چهار نقطه قرمز نقاط داده و  نقطه سبز نقطه مورد نظر ما برای درونیابی است.]]
'''درونیابی دوخطی''' {{انگلیسی|Bilinear interpolation}} در [[ریاضیات]] توسعه [[درونیابی]] خطی است که بر روی دو متغیر در جدول دو بعدی معمولی عمل می‌کند. تابع‌های درونیابی شده نباید از جمله‌های <math>x^2</math> یا <math>y^2</math> استفاده کند و تنها <math>x y</math> که حالت دو خطی دو متغیر است استفاده خواهند شد.
[[پرونده:Comparison of 1D and 2D interpolation.svg|بندانگشتی|مقایسه بین چند نوع درون یابی.]]
ایده اصلی درونیابی دو خطی این است که در ابتدا درونیابی در یک جهت انجام شود و پس از این کار مجدد درونیابی در جهت دیگر هم بدست بیاید. با وجود این که هر گام الگوریتم خطی هستند پاسخ نهایی بدست آمده دیگر خطی نیست.

== الگوریتم ==
[[پرونده:Bilininterp.png|چپ|بندانگشتی|مثال درونیابی دوخطی روی مربع واحد با مقدارهای z ۰،۱،۱ و ۰.۵ همانطوری که نشان داده شده و مقدارهای درونیابی شده بین آنها با رنگ مشخص شده است.]]
فرض کنید مقدار ناشناخته تابع ''f'' در نقطه ''P'' = (''x''، ''y'') مدنظر باشد. اینگونه فرض خواهد شد که مقادیر ''f'' در نقاط ''Q''<sub>11</sub> = (''x''<sub>1</sub>،&nbsp;''y''<sub>1</sub>)، ''Q''<sub>12</sub> = (''x''<sub>1</sub>،&nbsp;''y''<sub>2</sub>)، ''Q''<sub>21</sub> = (''x''<sub>2</sub>،&nbsp;''y''<sub>1</sub>) و ''Q''<sub>22</sub> = (''x''<sub>2</sub>،&nbsp;''y''<sub>2</sub>) مشخص هستند.

ابتدا درونیابی در سمت ''x'' انجام خواهد شد و نتیجه زیر بدست می‌آید:
:<math> f(R_1) \approx \frac{x_2-x}{x_2-x_1} f(Q_{11}) + \frac{x-x_1}{x_2-x_1} f(Q_{21})</math>
که در آن <math>R_1 = (x,y_1)</math>،
:<math> f(R_2) \approx \frac{x_2-x}{x_2-x_1} f(Q_{12}) + \frac{x-x_1}{x_2-x_1} f(Q_{22})</math>
که در آن <math>R_2 = (x,y_2). </math>

با درونیابی در سمت ''y'' ادامه خواهیم داد.
:<math> f(P) \approx \frac{y_2-y}{y_2-y_1} f(R_1) + \frac{y-y_1}{y_2-y_1} f(R_2). </math>

بدین ترتیب مقدار تقریبی (''f'' (''x''، ''y'' بدست می‌آید.
:<math>\begin{align}
f(x,y) \approx & \, \frac{f(Q_{11})}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)} (x_2-x)(y_2-y) \, + \\
               & \, \frac{f(Q_{21})}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)} (x-x_1)(y_2-y) \, + \\
               & \, \frac{f(Q_{12})}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)} (x_2-x)(y-y_1) \, + \\
               & \, \frac{f(Q_{22})}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)} (x-x_1)(y-y_1) \\
             = & \, \frac{1}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)} \Big(  f(Q_{11})(x_2-x)(y_2-y) \, + \\
               & \, \qquad \qquad \qquad \qquad \; \;    f(Q_{21})(x-x_1)(y_2-y) \, + \\
               & \, \qquad \qquad \qquad \qquad \; \;    f(Q_{12})(x_2-x)(y-y_1) \, + \\
               & \, \qquad \qquad \qquad \qquad \; \;    f(Q_{22})(x-x_1)(y-y_1) \quad \Big).
\end{align}</math>

== منابع ==

* {{یادکرد-ویکی|پیوند=http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Bilinear_interpolation&oldid=513218249|عنوان=Bilinear interpolation|زبان=انگلیسی|بازیابی=۲۷ نوامبر ۲۰۱۲}}

[[رده:درون‌یابی چندمتغیره]]
[[رده:ریاضیات]]