نمایش مبدأ برای دایره

{{حص-حنب}}
{{مقاله خوب}}
{{کاربردهای دیگر}}
{{Infobox polygon
|name      = دایره
|image     = Circle-withsegments.svg
|caption   = یک دایره {{legend-line|black solid 3px|محیط ''C''}}
{{legend-line|blue solid 2px|قطر ''D''}}
{{legend-line|red solid 2px|شعاع ''R''}}
{{legend-line|green solid 2px|مرکز ''O''}}
|symmetry  = [[:en:Orthogonal group|{{math|O(2)}}]]
|area      = {{math|πR<sup>2</sup>}}
|perimeter = {{math|1=C = ۲πR}}
|type      = [[مقطع مخروطی]]
}}
{{هندسه عمومی}}
{{مقاطع مخروطی}}
در [[هندسه]]، '''دایره''' یک [[منحنی]] مسطح و بسته و شامل [[نقطه (هندسه)|نقاطی]] از [[صفحه]] است که فاصله‌شان از نقطهٔ ثابتی واقع در آن صفحه مقداری ثابت باشد. نقطهٔ ثابت، [[مرکز دایره]] و مقدار ثابت، اندازهٔ [[شعاع]] دایره نامیده می‌شود.
همچنین دایره را می‌توان یک [[بیضی]] دانست که [[کانون (هندسه)|کانون‌های]] آن بر همدیگر منطبقند ([[برون‌مرکزی (هندسه)|برون‌مرکزی]] آن صفر است)؛ ازین‌رو دایره یکی از [[مقاطع مخروطی]] است. مقطع مخروطی منحنی‌ای است که در محل تقاطع یک [[صفحه]] با یک [[مخروط]] پدیدار می‌شود، و هنگامی که صفحه با مقطع مخروط موازی باشد منحنی حاصل دایره خواهد بود. دایره را همچنین می‌توان به عنوان [[چندضلعی متساوی‌الاضلاع|چندضلعی متساوی‌الاضلاعی]] تعریف کرد که تعداد اضلاع آن به [[بی‌نهایت]] میل می‌کند.

دایره مجموعهٔ نقاط صفحه را به سه گروه تقسیم ([[افراز مجموعه|اِفراز]]) می‌کند: داخل دایره (یا [[قرص (ریاضی)|قرص]])، روی دایره (یا [[محیط منحنی|محیط]])، و بیرون دایره.
نسبت محیط دایره به قطر آن (بیشترین فاصلهٔ بین دو نقطه روی محیط) همیشه ثابت است و [[عدد پی|عددِ پی]] <math>(\pi)</math> نامیده می‌شود. محاسبهٔ عدد پی سابقه‌ای طولانی در تاریخ بشر دارد. [[ارشمیدس]] روشی با استفاده از چهارضلعی‌های محاطی و محیطی برای محاسبهٔ عدد پی ابداع کرد. [[آپولونیوس]] و [[غیاث‌الدین جمشید کاشانی]] هم عدد پی را با دقتی بالا محاسبه کردند.
همچنین مساحت دایره برابر است با حاصلضربِ [[مربع کامل|مربعِ]] شعاع دایره در عدد پی.
دایره حداکثر مساحت ممکن برای مقدار معین محیط و حداقل محیط ممکن برای مقدار معین مساحت را دارد.

فلاسفهٔ یونان باستان (به پیروی از [[فیثاغوری]]‌ها و [[افلاطون]]) معمولاً [[مدل زمین‌مرکزی]] را با مدلی مبنی بر کروی بودن زمین درمی‌آمیختند و بر این باور بودند که زمین کره‌ای است در مرکز جهان و افلاک در دایره‌هایی به دور زمین در گردشند. [[بطلمیوس]] با ابداع دایره‌هایی به عنوان [[فلک تدویر]] و [[فلک حامل]] نظامی ارائه داد که ساختار هستی را بر اساس دایره توجیه کند. [[کوپرنیک]] هم با ارائهٔ نظریهٔ [[خورشیدمرکزی]]‌اش ساختار جهان را متشکل از دایره‌هایی به گرد خورشید دانست. در نهایت [[کپلر]] اعلام کرد که مسیر گردش سیارات به شکل [[بیضی]] و نه دایره است و نیوتن شرایطی را مشخص کرد که تحت آن مسیر [[حرکت دایره‌ای]] به یکی دیگر از مقاطع مخروطی بدل می‌شود.

دایره کامل‌ترین شکل هندسی دانسته می‌شود و در [[فناوری]]، [[هنر]]، [[دین]]، و [[فرهنگ]] اهمیتی عمده داشته‌است.
[[پرگار]] (که ابزاری برای کشیدن دایره بر اساس تعریف آن با مرکز و شعاع [تعریف اقلیدسی] است) و خط‌کش، تنها ابزار مجاز در [[هندسه اقلیدسی]]‌اند، تا جایی که هندسهٔ اقلیدسی گاه «هندسهٔ خط‌کش و پرگار» خوانده شده‌است. [[تربیع دایره]]، [[تثلیث زاویه]]، و [[تضعیف مکعب]] سه مسئلهٔ دشوار و مهمی بودند که در طول تاریخ هندسه‌دانان را درگیر خود کردند. در قرن نوزدهم [[پیر ونزل]] و [[فردیناند فون لیندمن]] ثابت کردند که این مسائل غیرممکنند.

== تاریخچه ==
تاریخچهٔ مطالعهٔ دایره به پیش از [[آغاز تاریخ]] بازمی‌گردد؛ چنان‌که اختراع [[چرخ]] در هزارهٔ چهارم پیش از میلاد در [[میانرودان]] نشان از کشف ویژگی‌های بنیادی دایره دارد.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| MacTutor History of Mathematics}}</ref>
در [[مصر باستان|مصر]] نیز [[احمس]]، نویسندهٔ [[پاپیروس ریاضی ریند]]، قانونی برای محاسبهٔ مساحت دایره به دست می‌دهد که با <math>\pi = \tfrac{256}{81} \approx 3.16</math> مطابق است.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| MacTutor History of Mathematics}}</ref>
در کتیبه‌ای [[بابل (دولت‌شهر)|بابل]]ی متعلق به ۱۹۰۰–۱۶۰۰ پ.م. هم رابطهٔ بین مساحت و پیرامون دایره بررسی و [[عدد پی]] به‌شکلی ضمنی
<math>\pi = \tfrac{25}{8} = 3.125</math> تعریف شده‌است.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Arndt | Haenel | Lischka | Lischka | 2001 | p=167}}</ref>

=== تاریخ باستان ===
[[پرونده:فلک تدویر.svg|بندانگشتی|مسیر حرکت افلاک در نظام بطلمیوسی]]
[[پرونده:Cassini apparent.jpg|بندانگشتی|طرح [[جووانی دومنیکو کاسینی]] از مدل بطلمیوسی جهان هستی]]
نخستین قضایای مربوط به دایره دو قضیه از چهار قضیهٔ منسوب به [[تالس]] ({{حدود}} ۶۵۰ [[پیش از میلاد|پ. م]]) هستند. او ثابت کرد که قطر دایره آن را به دو [[کمان (هندسه)|کمان]] مساوی تقسیم می‌کند و زاویهٔ محاطی‌ای که دایره را در دو سرِ یک قطرش قطع کند [[قائمه]] است.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Davis | 2006 | p=15}}</ref>

[[فیثاغوری]]‌ها باور داشتند که زمین [[کره (هندسه)|کره‌ای]] است در مرکز [[هستی]] و ماه و [[خورشید]] و [[سیاره]]‌ها در دایره‌هایی هم‌مرکز روی یک صفحهٔ [[چرخ]]‌مانند به‌دور زمین در گردشند.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Koestler | 2017 | p=31}}</ref>
این نظریهٔ [[زمین‌مرکزی]]، باور غالب یونانیان باستان بود. بااین‌همه [[آریستارخوس ساموسی]] ({{حدود}} ۳۱۰ {{--}}
{{حدود}} ۲۳۰ پ. م) نظریهٔ [[خورشیدمرکزی]] را مطرح کرد که در آن [[خورشید]] ثابت است و زمین در دایره‌ای به مرکزیت خورشید در حرکت.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Koestler | 2017 | p=49}}</ref>
همچنین فیلسوف یونانی [[افلاطون]] (۴۲۸/۴۲۷ {{--}} ۳۴۸/۳۴۷ پ. م) باور داشت که زمین کره‌ای بی‌نقص است و همهٔ حرکت‌های سماواتی در دایره‌هایی کامل و با سرعت یکسان به گرد آن صورت می‌گیرد.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Koestler | 2017 | p=57}}</ref>
این باور افلاطون به اصلی [[جزم‌اندیشی|جزم‌اندیشانه]] در [[آکادمی افلاطون]] و بعدها در میان ستاره‌شناسان یونان باستان بدل شد.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Koestler | 2017 | p=63}}</ref>

یکی از مسائل هندسی که یونانیان به‌شدت با آن درگیر بودند مسئلهٔ یافتن مربعی با مساحت مساوی دایره (اصطلاحاً [[تربیع دایره]]) بود. [[آناکساگوراس]] ({{حدود}} ۴۵۰ پ. م) نخستین ریاضی‌دان شناخته‌شده‌ای است که این مسئله را مطالعه کرده‌است.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| MacTutor History of Mathematics}}</ref>
[[بقراط خیوسی]] (۴۷۰ {{--}} ۴۱۰ پ. م) در تلاش برای حل [[دایره#تربیع دایره|تربیع دایره]] توانست ثابت کند که مساحت [[هلال (ریاضیات)|هلال]] کوچکتر ایجاد شده از برخورد دو دایره، برابر با مساحت مثلث [[قائم‌الزاویه]]ٔ [[متساوی‌الساقین]]ی است که وترش برابر وتر دایرهٔ کوچکتر و اضلاعش برابر شعاع دایرهٔ بزرگتر است. [[هلال بقراط]] نخستین منحنی‌ای بود که مساحت دقیق آن از طریق ریاضی محاسبه شد.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Postnikov | Shenitzer | 2000 | p=645}}</ref>
[[آریستوفان]] ({{حدود}} ۴۴۶ – ۳۸۶ پ. م) در نمایشنامهٔ ''پرنده‌ها'' «تربیع‌کنندگان دایره‌ها» را به سخره می‌گیرد.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Davis | 2006 | p=95}}</ref>
دیگر مسائل بزرگی که ریاضی‌دانان یونانی را درگیر خود کرده بود [[تثلیث زاویه]] (تقسیم زاویه به سه قسمت مساوی) و [[تضعیف مکعب]] (دو برابر کردن حجم مکعب) با استفاده از پرگار و خط‌کش بود.

کتاب سوم ''[[اصول اقلیدس|اصول]]'' [[اقلیدس]] ({{حدود}} ۳۶۵ {{--}} ۲۷۵ پ. م) نیز تماماً به ویژگی‌های دایره و مسائل مربوط به محیط و [[محاط]] کردن آن نسبت به [[چندضلعی]]‌ها اختصاص دارد.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| MacTutor History of Mathematics}}</ref> همچنین سومین اصل از [[اصول موضوعه اقلیدس]] بیان می‌دارد که
«برای هر پاره خط دلخواه می‌توان دایره‌ای به شعاع آن پاره خط و به مرکز یک سر آن رسم کرد.»
[[ارشمیدس]] (۲۸۷ {{--}} ۲۱۲ پ. م) هم در ''[[اندازه‌های دایره]]'' برای اولین بار [[فرمول]] مساحت دایره را اثبات کرد<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Wolfram MathWorld | 2003}}</ref> و با چندضلعی‌های منتظم محیطی و محاطی ۹۶ضلعی، [[عدد پی]] <math>(\pi)</math> را به صورت <math>\tfrac{223}{71} < \pi < \tfrac{22}{7}</math> (یعنی {{ریاضی|۳٫۱۴۰۸ < <math>\pi</math> < ۳٫۱۴۲۹}}) تعریف و محاسبه کرد؛ ازین‌رو عدد پی در برخی منابع «عدد ارشمیدس» نامیده شده‌است.

[[آپولونیوس]] ({{حدود}} ۲۴۰ پ. م) به‌شکل ضمنی نشان داد که [[مختصات دوقطبی|معادلهٔ دوقطبی]] <math>r = kr'</math> با تغییر <math>k</math> نظامی از دایره‌های هم‌محور را می‌سازد.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| MacTutor History of Mathematics}}</ref>
او همچنین در اثر مهمش با عنوان ''مخروطات''،{{یاد|{{lang-gr|κωνικά}} «کُنیکا»، {{lang-en|Conics}}}} دایره را به عنوان حالت خاص [[بیضی]] و یکی از مقاطع مخروطی مطالعه، [[خط مماس]] بر منحنی (که بعدها موضوع اصلی [[حساب دیفرانسیل]] شد) را تعریف، و [[عدد پی]] را با دقتی بیشتر از ارشمیدس محاسبه کرد.<ref dir=ltr>{{harvcolnb | Mazer | 2011 | p=11}}</ref> او همچنین [[مسئله‌های آپولونیوس]] را مطرح و حل کرد و تعریفی متفاوت از دایره (به عنوان مکان هندسی نقاطی که نسبت فواصلشان از دو نقطه ثابت است) ارائه کرد.
<!--[[سلوکوس سلوکیه‌ای]] (حدود ۱۹۰ پ.م.) -->

[[بطلمیوس]] ({{حدود}} ۱۰۰ {{--}} ۱۶۸ میلادی) با ترکیب آرای ستاره‌شناسان پیشین در ''[[المجسطی]]''، نظام [[زمین‌مرکزی]]‌اش را به‌گونه‌ای تعریف می‌کند که تمام ساختار هستی بر اساس شکل دایره توجیه شود.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Davis | 2006 | p=xlii}}</ref>
به گفتهٔ بطلمیوس زمین و «افلاک» (به ترتیب [[ماه]]، [[عطارد]]، [[زهره]]، [[خورشید]]، [[مریخ]]، [[مشتری (سیاره)|مشتری]]، و [[زحل]]) کاملاً کروی‌اند و زمین در مرکز گیتی ثابت و مستحکم شده‌است. به باور او افلاک با سرعت یکنواخت بر دایره‌ای کوچک به نام [[فلک تدویر]] در حرکتند و مرکز هر فلک تدویر با سرعتی یکنواخت بر دایره‌ای بزرگ به نام [[فلک حامل]] به مرکزیت زمین حرکت می‌کند. همهٔ این‌ها در داخل [[منطقه‌البروج]] قرار دارند که کره‌ای است ثابت و ستارگان روی آن استقرار یافته‌اند.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Koestler | 2017 | p=66-70}}</ref>
مدل بطلمیوس از جهان هستی تا زمان [[کوپرنیک]] و [[تیکو براهه]] فصل‌الخطاب [[اخترشناسی]] باقی ماند.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Koestler | 2017 | p=66}}</ref>

در [[روم باستان]]، «سولکوس پریمیجنیوس»{{یاد|لاتین: Sulcus Primigenius، به معنای شیار تولد}} آیینی بود مبنی بر این‌که پیش از بنانهادن هر [[شهر]]، پیشوایان مذهبی با هدایت [[گاوآهن|خیشی]] بسته به دو گاو به دور محوطهٔ آن شیاری به شکل دایره رسم می‌کردند و باور بر این بود که این عمل از شهر حفاظت خواهد کرد. در اساطیر رومی نیز [[رومولوس]] به دور شهر [[رم]] شیاری دایره‌ای می‌کِشد و برادرش [[رموس]] را به علت ورود به این دایره می‌کُشد.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Riess | 2016 | p=105}}</ref>

در [[امپراتوری اشکانی]] نیز پایتخت‌ها و شهرهای مهم به شکل دایره ساخته می‌شدند؛ از جملهٔ این شهرها می‌توان از [[نسا]]، [[گور (شهر باستانی)|شهر گور]]، [[صددروازه]]، [[هترا]]، و [[تیسفون|تیسفون پارتی]] یاد کرد. به گفتهٔ [[گیرشمن]]، «طرح این شهرها، عدم امنیت دائمی را که در ایران عهد پارتیان حکفرما بود، عدم ثبات سیاست خارجی و اغتشاشات داخلی را آشکار می‌سازد… طرح عمومی آن‌ها عبارت است از دایره‌ای که از اصول شهرسازی قدیم آسیای غربی اقتباس شده و نیز طرح اردوگاه‌های نظامی قدیم را که در قشون [[امپراتوری آشور|آشوری]] متداول بوده‌است به خاطر می‌آورد.»<ref>{{پکه | زحمت‌کشان | ۱۳۸۴ | pp=۳۰–۳۴}}</ref>

همچنین در [[چین باستان]] [[لیو هوی]] (متولد {{حدود}} ۲۲۵ میلادی در [[کائو وی]]) با محاط کردن چندضلعی در دایره [[عدد پی]] را محاسبه کرد. [[تسو چونگچی]] (۴۲۹ {{--}} ۵۰۰ میلادی) نیز در رسالهٔ ''شیوهٔ الحاق''{{یادچپ|Zhui Shu (綴述 ژویی شو).}} مقدار عدد پی را مستقل از لیو هوی ولی به شیوه‌ای مشابه برابر <math>\pi \approx \tfrac{355}{113}</math> محاسبه کرد.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Martzloff | 1997 | p=277-282}}</ref>

=== قرون وسطی ===
[[پرونده:Conica of Apollonius of Perga fol. 6b-7a DETAIL.jpg|بندانگشتی|راست|نسخه‌ای از ترجمهٔ عربی ''مخروطات'' آپولونیوس]]
همزمان با حکومت [[مأمون]] در خراسان (در [[سده ۳ (قمری)|قرن سوم هجری]])، [[بنوموسی|اخوان ثلاثهٔ بنوموسی]] دست به ترجمهٔ ''مخروطات'' آپولونیوس از [[زبان یونانی|یونانی]] به [[زبان عربی|عربی]] زدند. بنوموسی فقط نسخه‌ای ناقص از ''مخروطات'' را در اختیار داشتند و مقاطع مخروطی در زمان ایشان به دست فراموشی سپرده شده بود، بنابراین در فهم متن دچار مشکل بودند. اندکی بعد، یکی از اخوان ثلاثه به نام حسن، نظریهٔ مقاطع استوانه‌ای را ابداع کرد که می‌توان آن را مقدمه‌ای ساده بر مقاطع مخروطی دانست. پس از درگذشت حسن، برادرش احمد در [[شام (سرزمین)|شام]] نسخه‌ای کامل‌تر از چهار فصل اول ''مخروطات'' را با شرح [[اوتوکیوس]] پیدا کرد و به کمک برادر دیگرش، محمد، و با استفاده از دو نسخهٔ موجود و نظریهٔ حسن، موفق شد نظریات آپولونیوس را دریابد. احمد و محمد ترجمهٔ مقالهٔ اول تا چهارم ''مخروطات'' را به [[هلال حمصی]] و مقالهٔ پنجم تا هفتم آن را به [[ثابت بن قره]] سپردند و خود بازنگری نهایی ترجمه را عهده‌دار شدند. ترجمهٔ برادران بنوموسی از مقالات پنجم تا هفتم ''مخروطات'' تنها نسخهٔ باقی ماندهٔ این اثر است.<ref>{{پکه| هوخندایک | امینی | ۱۳۹۲ | pp=۸۶–۹۸}}</ref>

بنوموسی در باب مسئلهٔ [[تثلیث زاویه]] (تقسیم یک زاویه به سه قسمت مساوی با استفاده از پرگار) نیز راه حلی با استفاده از مقاطع مخروطی پیشنهاد کردند. [[ابوجعفر خازن خراسانی]] (؟ {{--}} ۳۶۰ ه‍.ق)، [[ابوسهل بیژن کوهی]] (؟ {{--}} ۴۰۵ ه‍.ق) و [[ابوسعید سجزی]] ({{حدود}} ۳۳۰ {{--}} {{حدود}} ۴۱۵ ه‍.ق) نیز راه‌حل‌هایی در مورد این قضیه ارائه کردند. [[ابوریحان بیرونی]] (۳۶۲ {{--}} ۴۴۲ ه‍.ق) هم ۱۲ مسئله طرح کرد و نشان داد با حل شدن هر کدام، مسئلهٔ [[تثلیث زاویه]] هم حل می‌شود.<ref>{{پکه | عالم‌زاده | دوست‌قرین | ۱۳۸۷ | p=۱۲۳–۱۴۰}}</ref>

[[عبدالرحمن صوفی]] (۲۹۱ {{--}} ۳۷۶ [[گاه‌شماری هجری قمری|ه‍. ق]]) به درخواست [[عضدالدولهٔ دیلمی]] (۳۲۴ {{--}} ۳۷۲ ه‍.ق) کتابی با عنوان {{عبارت عربی|''رسالة فی عمل المتساویة الاضلاع کلها بفتحة واحدة''}} نوشت و در آن ترسیم چندضلعی‌های منتظم را با خط‌کش و پرگاری با دهانهٔ ثابت مطالعه کرد.<ref name="ReferenceA">{{پکه | میرابوالقاسمی | باقری | ۱۳۸۲ | p=۸۹–۱۴۲}}</ref>
[[ابوالوفا محمد بوزجانی]] (۳۲۸ {{--}} ۳۸۸ ه‍.ق) هم در کتاب {{عبارت عربی|''فیما یحتاج الیه الصانع من الاعمال الهندسه''}}{{یاد|''در باب آنچه صنعتگران از مسائل هندسی نیاز دارند''.}} یا ''اعمال هندسی'' در مورد ترسیم اشکال هندسی با پرگاری با دهانهٔ ثابت بحث کرده‌است.<ref name="ReferenceA"/>

[[غیاث‌الدین جمشید کاشانی]] (۷۵۸ {{--}} ۸۰۸ ه‍.ق) در [[رساله محیطیه|{{عبارت عربی|''الرِسالةُ المُحیطیة''}}]] نسبت محیط دایره به قطر آن ([[عدد پی]]) را با ۱۶ رقم اعشار محاسبه کرد. کاشانی این محاسبات را به کمک دو {{ریاضی|۳ {{در}} ۲<sup>۲۸</sup>}}ضلعی انجام داد که یکی محاط در و دیگری محیط بر دایره بودند.
او همچنین در مقدمهٔ ''[[مفتاح الحساب]]'' می‌نویسد که در رسالهٔ [[رساله وتر و جیب|''وتر و جیب'']]، که امروز گمشده است، با استفاده از حل جبری معادلات درجهٔ سوم راه حلی برای [[تثلیث زاویه]] ارائه کرده بود.{{یاد|«و رساله‌های دیگر تألیف کردم مانند… و رساله «''وتر و جیب''» در استخراج آن دو برای یک سوم قوسی که وتر جیب آن معلوم باشد و این نیز یکی از مسائلی است که بر پیشینیان دشوار بوده چنان‌که صاحب ''[[مجسطی]]'' [{{=}} [[بطلمیوس]]] در آن کتاب گفته‌است که برای به دست آوردن آن راهی نیست.»}}<ref name="ReferenceA"/>

=== رنسانس و قرون جدید ===
[[پرونده:Heliocentric.jpg|بندانگشتی|چپ|طرح [[آندریاس سلاریوس]] از منظومه کوپرنیکی، از کتاب ''هارمونیا ماکروکاسمیکا'' (۱۶۶۰)]]
[[پرونده:Tychonian.png|بندانگشتی|طرحی از [[نظام براهه‌ای]]]]

در دههٔ ۱۵۴۰، [[کوپرنیک]] [[نظریه خورشیدمرکزی]]‌اش را ارائه کرد. در مدل خورشیدمرکزی کوپرنیک مسیر حرکت سیارات به دور خورشید به شکل دایره‌هایی به دور دایره (مشابه فلک‌های تدویر و فلک حامل در مدل بطلمیوسی) است. در مدل کوپرنیک:
{{گفتاورد|عطارد در نهایت بر روی هفت دایره می‌چرخد، زهره بر پنج، زمین بر سه، و به دور آن ماه بر چهار، و در نهایت مریخ و مشتری و زحل هر کدام بر پنج؛ یعنی در کل ۳۴ دایره کافی است تا بتوان همهٔ ساختار گیتی و رقص سیارات را توصیف کرد.|<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Koestler | 2017 | p=146}}</ref>}}
کوپرنیک خود می‌دانست که پیچیدگی دایره‌هایی به دور دایره دقیقاً با داده‌های ریاضی نمی‌خواند، با این حال به باور او مدل خودش از مدل بطلمیوسی (که از ۴۰ دایره برای توصیف جهان هستی استفاده می‌کرد) ساده‌تر و دقیق‌تر بود.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Koestler | 2017 | p=147}}</ref>
کوپرنیک در ویرایش‌های بعدی مدلش و برای تطبیق با داده‌های موجود مجبور شد تعداد دایره‌ها را به ۴۸ افزایش دهد. به نوشتهٔ [[آرتور کستلر]] در ''[[خوابگردها]]''، «وسواس و [[خیال‌پردازی (روان‌شناسی)|خیال‌پردازی]] کوپرنیک نسبت به دایره‌ها و کره‌ها باعث شد مدل او به جای نظام ساده و هماهنگی که می‌توانست باشد به کابوسی دردناک و سردرگم بدل شود.»<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Koestler | 2017 | p=159}}</ref>

در ۱۶۰۲ میلادی، [[کپلر]] در پی رفع نارسایی‌هایی مدل کوپرنیک و با بیان این نکته که هر دایره را با داشتن سه نقطه روی محیط آن می‌توان تعریف کرد و اینکه مکان مریخ در فصل‌های مختلف در [[دایره#صورت سه نقطه‌ای|صورت سه نقطه‌ای دایره]] قرار نمی‌گیرد، دایره بودن مدار سیارات را رد کرد.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Koestler | 2017 | p=324}}</ref>
او به این نتیجه رسید که مسیر حرکت سیارات به شکل تخم‌مرغ ([[خاگی]]) است و فواصل بین آنها بر اساس [[اجسام افلاطونی]] تعیین می‌شود.
[[تیکو براهه]] (۱۵۴۶–۱۶۰۱ م) با تکیه بر مشاهدات ۳۵ ساله‌اش از حرکت مریخ،{{یاد|علت اینکه تیکو مریخ را برای مشاهده انتخاب کرد این است که سنتاً [[حرکت بازگشتی]] آن نسبت به بقیهٔ «افلاک» طولانی‌تر و مدار آن کمتر مشابه دایرهٔ کامل بوده‌است. عمدهٔ تلاش بطلمیوس در ارائهٔ دوایر تدویر متعدد در واقع توجیه حرکت مریخ بوده‌است.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Koestler | 2017 | p=315}}</ref>}} نظریات کپلر را دربارهٔ شکل منظومهٔ شمسی رد کرد.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Koestler | 2017 | p=283-300}}</ref>
براهه خود در ۱۵۸۸ نظامی از جهان هستی ارائه کرده بود تا «مزیت‌های فیزیکی مدل بطلمیوسی را با مزیت‌های ریاضیاتی مدل کوپرنیکی» ترکیب کند. در [[نظام براهه‌ای]] زمین در مرکز جهان قرار دارد و ماه و خورشید در دایره‌هایی به دور آن می‌گردند، ولی مدار دیگر سیارات (عطارد، زهره، مریخ، مشتری، و زحل) دایره‌هایی است به دور خورشید.
براهه همچنین کپلر را دعوت کرد که به رصدخانهٔ او در [[پراگ]] — که آن زمان پایتخت [[امپراتوری مقدس روم]] بود — برود. کپلر، در تلاش برای حل ناهماهنگی بین مدلش از هستی و مشاهدات براهه، به این کشف مهم نایل شد که سیارات در مداری بیضوی ([[برون‌مرکزی (هندسه)|برون‌مرکزی]]‌دار) و نه مدور به دور خورشید می‌گردند.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Koestler | 2017 | p=283-300}}</ref>
کپلر همچنین در کتاب ''[[هارمونی جهان]]'' (۱۶۱۸) مفهوم [[هارمونی]] و [[هم‌نهشتی (هندسه)|هم‌نهشتی]] را به صورت هندسی در ریاضیات، [[موسیقی]]، [[اختربینی]]، و [[اخترشناسی]] مطالعه می‌کند و [[مطبوعیت (موسیقی)|فواصل مطبوع موسیقی]] را با شکل دایره متناظر می‌داند. برای مثل به باور کپلر علت اینکه فاصله‌هایی با نسبت {{ریاضی|۳:۵}} (فاصلهٔ [[ششم بزرگ]] در [[نظام کوک خالص]]) مطبوعند و فاصله‌هایی با نسبت {{ریاضی|۳:۷}} نامطبوع این است که [[پنج‌ضلعی|پنج‌ضلعی منتظم]] را می‌توان را با خط‌کش و پرگار رسم کرد ولی [[هفت‌ضلعی|هفت‌ضلعی منتظم]] را نمی‌توان.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Koestler | 2017 | p=390}}</ref>

[[نیوتن]] (۱۶۴۲{{--}}۱۷۲۷) در ''[[اصول ریاضی فلسفه طبیعی]]'' از دایره با عنوان «[[مسیر پرواز|مسیر]]»{{یادچپ|trajectory}} یاد می‌کند. نیوتن، بیست سال پیش از نگارش ''اصول،'' [[حرکت دایره‌ای]] را (که در زمان تعادل کامل [[گرانش]] و [[نیروی گریز از مرکز|مرکزگریزی]] روی می‌دهد) مطالعه و قوانین آن را کشف کرده بود. طبق محاسبات او، در صورت عدم تعادل کامل بین [[گرانش]] و [[نیروی گریز از مرکز|مرکزگریزی]]، [[برون‌مرکزی (هندسه)|برون‌مرکزیِ]] مسیرِ حرکت از صفر بیشتر می‌شود و مدار به یکی دیگر از [[مقاطع مخروطی]] ([[بیضی]]، [[سهمی]]، یا [[هذلولی]]) بدل می‌گردد.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Koestler | 2017 | p=507}}</ref>
همچنین مبحث خط مماس بر منحنی، راهنمای هر دوی [[نیوتن]] و [[لایبنیتس]] در ابداع مستقل [[حساب دیفرانسیل و انتگرال]] (انتشار در ۱۶۸۴ میلادی) بود.<ref dir=ltr>{{harvcolnb | Mazer | 2011 | p=42}}</ref>
[[انتگرال‌گیری]] (یافتن مساحت زیر یک تابع) در واقع تعریف مدرن مسئلهٔ [[تربیع دایره]] (یافتن مستطیلی با مساحت مساوی دایره) است و نیوتن خود به جای لفظ «انتگرال‌گیری» (که از تعاریف [[لایبنیتس]] گرفته‌شده‌است) از عبارت «تربیع منحنی»{{یادچپ|squaring Curve}} استفاده می‌کرد.

=== در تاریخ معاصر ===
در سال ۱۷۸۶ [[کارل فریدریش گاوس]] ثابت کرد که [[هفده‌ضلعی]] منتظم را می‌توان با پرگار و خط‌کش ترسیم کرد. پنج سال بعد نیز شرایط قابل رسم بودن چندضلعی منتظم با پرگار و خط‌کش را تدوین کرد و نشان داد که بیشتر چندضلعی‌ها را نمی‌توان با خط‌کش و پرگار ترسیم کرد.
[[گابریل لامه]] (۱۸۷۰–۱۷۹۵) با تعمیم معادلهٔ [[بیضی]]، دایره را به همراه [[مربع]] در ردهٔ [[ابربیضی]]‌ها یا «منحنی‌های لامه» دسته‌بندی کرد.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Gielis | 2003|p=21}}</ref>
در ۱۸۳۷ نیز [[پیر ونزل]] با استفاده از [[میدان (ریاضی)|نظریهٔ میدان]] ثابت کرد [[تثلیث زاویه]] (تقسیم یک زاویه به سه قسمت مساوی با استفاده از خط‌کش و پرگار) و [[تضعیف مکعب]] (ساخت مکعبی با دوبرابر حجم مکعب اولیه با استفاده از خط‌کش و پرگار) مسائلی غیر ممکنند. از همین رو [[آگوست دمورگان]] (۱۸۰۶ {{--}} ۱۸۷۱) در کتاب ''خلاصه‌ای از تناقض‌ها''{{یادچپ|A Budget of Paradoxes}} «ابلهان تناقض‌کار» یعنی «تربیع‌کنان دایره»، «تثلیث‌کنان زاویه»، و «تضعیف‌کنان مکعب» را نقد می‌کند.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Davis | 2006 | p=xlii}}</ref>
در ۱۸۸۰ [[جان ون]] با ترکیب [[دیاگرام اویلر]] و آرای [[جرج بول]]، [[نمودار ون]] را ابداع کرد که در آن مجموعه‌ها به صورت دایره‌های همپوشان تصویر می‌شوند.
در ۱۸۸۲ [[فردیناند فون لیندمن]] نشان داد که [[عدد پی|پی]] [[اعداد متعالی|عددی متعالی]] است، و بنابراین ثابت کرد که تربیع دایره (رسم مربعی با مساحت برابر دایره) مسئله‌ای غیرممکن است.
[[پیت هاین]] (۱۹۰۵–۱۹۹۶) نیز ابرمعادلهٔ ابربیضی‌ها را به‌دست‌آورد و از آن‌ها در طراحی‌های خود استفاده کرد.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Gielis | 2003|p=21}}</ref>

== کاربرد ==
[[پرونده:Luch2 greifer.gif|150px|بندانگشتی|راست|سازوکار یک دوربین فیلم‌برداری ساخت [[شوروی]] بر اساس چرخش مثلث رولو در مربع]]
[[پرونده:Toghrol Tower looking up.jpg|بندانگشتی|چپ|260px|نمای سمت‌الرأسی از اندرونی [[برج طغرل]]، که دایره‌شکل است و معرف [[هنر سلجوقیان|معماری دوران سلجوقیان]] است.]]
[[پرونده:Vitruvian Man by Giacomo Andrea.jpg|بندانگشتی|طرحی از [[مرد ویترویوسی]]]]
<!--تکنولوژی-->
دایره کامل‌ترین شکل ریاضیاتی دانسته می‌شود و در [[تاریخ تمدن]] بشری اهمیتی عمده داشته‌است.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Gielis | 2003|p=19}}</ref>
تقریباً همهٔ وسایل نقلیه بر اساس چرخش [[چرخ]] کار می‌کنند که وسیله‌ای دایره‌شکل است.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Gielis | 2003|p=19}}</ref>
اغلب ابزار [[مکانیک]]ی و [[الکترومکانیک]]ی نیز برای انتقال توان از [[چرخ‌دنده]] بهره می‌برند که معمولاً به شکل دایره است.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Gielis | 2003|p=19}}</ref>
[[مولد الکتریکی|مولدهای الکتریکی]] هم بر اساس چرخش دوّار هادی در [[میدان مغناطیسی|میدانی مغناطیسی]] عمل می‌کنند.
[[مثلث رولو]] (اشتراک سه دایره با شعاع مساوی که مرکز هر کدام در تقاطع دو تای دیگر واقع شده‌است) می‌تواند در داخل یک [[مربع]] بچرخد.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Gielis | 2003|p=20}}</ref>
این ویژگی بنیاد سازوکار [[مته]]ٔ واتز{{یادچپ|Watts Brothers Tool Works}} است.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Reuleaux Triangle -- from Wolfram MathWorld}}</ref>
روتور [[موتور وانکل]] نیز به شکل مثلث رولو است.

<!--دین و فرهنگ-->
در دین‌ها و فرهنگ‌های مختلف، دایره نماد تکامل، بی‌نهایتی، و الوهیت است.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Gielis | 2003|p=20}}</ref>
در [[دین هندو]] و [[آیین بودا]]، [[ماندالا]] یا دوایر کیهان‌نما طرح‌هایی پیچیده‌اند که رابطهٔ جهان اصغر{{یادچپ|microcosm}} و جهان اکبر{{یادچپ|macrocosm}} به تصویر می‌کشند.
در اسلام، دایره نماد «جلال خداوندی» است<ref name="ReferenceB">{{پکه | بزرگ‌بیگدلی | اکبری‌گندمانی | محمدی‌کله‌سر | ۱۳۸۶ | p=۷۹–۹۸}}</ref> و در مسیحیت [[پرگار]] بیانگر «ابتکار آفرینش» از سوی [[خدای پدر]] است.<ref dir=ltr>{{harvcolnb | Blunt | 1938 | p=53}}</ref>
در عرفان یهودی هم [[درخت زندگی (کابالا)|درخت زندگی]] دیاگرامی با ده دایره به نام [[سفیروت]] است که هرکدام نماد صورتی از هستی‌اند.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Calter | 2007 | p=137}}</ref>
پرگار و گونیا نماد اصلی [[برادری|انجمن برادری]] [[فراماسونری]] است و نشان ماسونی [[نقطه‌ای درون دایره]] نیز به عنوان نماد جهان هستی به کار می‌رود.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Hoerricks | 2015}}</ref>
در [[علوم خفیه]] دایره شکلی بنیادی است و آیین کشیدن «[[دایره تعویذ]]» به دور فرد او را از ارواح خبیث و خطرهای روحانی محافظت می‌کند و برای تبدیل مکان به «حرم غصب‌ناکردنی» به کار می‌رود.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Koestler | 2017 | p=77}}</ref>
[[صوفی]]‌ها هم روی زمین دایره‌ای موسوم به «خط عزیمت» می‌کشیدند و درون آن [[نماز]]‌هایی با سوره سجده‌دار می‌خواندند.<ref name="ReferenceB"/>
در [[روان‌شناسی تحلیلی]] نیز یونگی‌ها دایره را نماد «خود» می‌دانند.<ref name="ReferenceB"/>
[[انگشتر|حلقه]] هم در فرهنگ‌های مختلف به‌عنوان نماد [[اتحاد (فلسفه)|اتحاد]]، یگانگی، موقعیت اجتماعی، و اقتدار به‌کار می‌رود.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Calter | 2007 | p=147-149}}</ref>

<!--هنر و معماری-->
از آغاز معماری در [[دوران نوسنگی]]، دایره به دلایل کاربردی و نمادین نقشی بنیادی در ساخت‌وساز بوده‌است.
[[استون‌هنج]]، شناخته‌شده‌ترین اثر دوران نوسنگی، به شکل دایره است.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Calter | 2007 | p=171}}</ref>
ردپای مسئلهٔ تربیع دایره را هم می‌توان در [[تاریخ معماری]] دید؛ چنان‌که محیط مقطع [[هرم بزرگ جیزه]] برابر است با محیط دایره‌ای به شعاع ارتفاع هرم.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Calter | 2007 | p=22}}</ref>
همچنین مفهوم [[مرد ویترویوسی]]، که بنیان معماری غربی از [[معماری رومی|دوران روم]] تا [[معماری مدرن|دوران مدرن]] بوده، بر اساس تربیع دایره شکل گرفته‌است.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Calter | 2007 | p=116}}</ref>
به باور پال کلتر،{{یادچپ|Paul Calter}} از آنجا که مربع نماد زمین است و دایره نماد تکامل و الوهیت، تربیع دایره نماد جهانی ایجاد تعادل بین دنیای دنی و عالی است.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Calter | 2007 | p=25}}</ref>
به گفتهٔ [[هانری استیرلن]] هم عمدهٔ تلاش‌ها و نوآوری‌های معماران ایرانی بعد از دوران اشکانی معطوف به ایجاد ارتباط بین پلان مربعی ابنیه و مقطع دایره‌ای پایهٔ [[گنبد]] بوده‌است.<ref>{{پکه | استیرلن | فلاح‌نژاد | ۱۳۷۴ | p=۱۸۸–۲۰۰}}</ref>
از دیگر الگوهای دایره‌ای در تاریخ معماری می‌توان به [[پانتئون (معبد رومی)|معابد گرد]] و [[روتوندا]]ها در معماری رومی، [[معماری رمانسک|رمانسک]] و [[معماری رنسانس|رنسانس]]، [[معبد آسمان|معابد آسمان]] و [[فوجیان تالو|خانه‌های فوجیان تالو]] در چین، و پنجره‌ها در [[معماری گوتیک]] اشاره کرد.
از آنجا که پرگار از ابزار اصلی سازندگان و معماران در طول تاریخ بوده‌است، اشکالی که می‌توان آن‌ها را با پرگار کشید (مانند چهارضلعی، پنج‌ضلعی، و شش‌ضلعی) در آثار معماری نقش عمده‌تری دارند و اشکالی که نمی‌توان با پرگار ترسیمشان کرد (مانند [[هفت‌ضلعی]]) نادرند.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Calter | 2007 | p=75}}</ref>
در [[هنر دینی|نقاشی‌های مذهبی]]، قدیسان غالباً با هالهٔ نوری دایره‌ای شکل به گرد سرشان به تصویر کشیده می‌شوند.<!--
[[میز گرد]]، --><ref dir=ltr>{{harvcolnb| Calter | 2007 | p=167}}</ref>
در [[تئوری موسیقی]] غربی، برای نمایش هندسی [[اعتدال مساوی|اعتدال مساوی دوازده‌نتی]] [[گام کروماتیک]] غالباً از دیاگرامی دایره‌شکل (از جمله [[دایره پنجم‌ها]]، که قدمت آن به [[فیثاغورث]] می‌رسد، و [[دایره کروماتیک]]) استفاده می‌شود.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Hollander}}</ref>
در تئوری موسیقی قدیم ایران و کشورهای دیگر جهان اسلام هم نظریهٔ [[ادوار]] دستان‌بندی سازها (نحوهٔ [[کوک]] ساز و موقعیت [[پرده (ساز)|پرده]]های آن) را با کمک مجموعه‌ای از دایره‌ها توصیف می‌کرده‌است.<ref>{{پکه|وجدانی|۱۳۹۱|p=۱۸}}</ref>

== تعریف دایره ==
=== تعریف اقلیدسی ===
دایره [[مکان هندسی]] همهٔ نقاطی است که از یک نقطهٔ معین (موسوم به مرکز دایره) فاصله‌ای ثابت (موسوم به شعاع) داشته باشند؛ یعنی:<ref dir=ltr>{{harvcolnb|What Is Circle? -- Alexander Bogomolny}}</ref>
:{{وسط|<math>C(O, R) = O(R) = \{ x: \overline{Ox} = R \}</math>}}
این تعریف دایره معادل همان تعریفی است که [[اقلیدس]] در ''[[اصول اقلیدس|اصول]]'' ارائه می‌کند:
{{گفتاورد|دایره شکلی مسطح است که در یک خط به نام محیط مظروف شده‌است، به‌شکلی که همهٔ خط‌های راستی که از یک نقطهٔ معین در داخل آن به محیط کشیده می‌شوند با یکدیگر مساویند.|''[[اصول اقلیدس]]''، مقالهٔ ۱ گزارهٔ ۱۵<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Euclid | Heath | Densmore | 2002 | loc=I:15}}</ref>}}
و
{{گفتاورد|نقطهٔ مذکور «مرکز دایره» نام دارد.|''[[اصول اقلیدس]]''، مقالهٔ ۱ گزارهٔ ۱۶<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Euclid | Heath | Densmore | 2002 | loc=I:16}}</ref>}}

=== تعریف آپولونیوسی ===
[[پرونده:Apollonius circle definition labels.svg|بندانگشتی|تعریف آپولونیوسی دایره]]
[[آپولونیوس]] نشان داد که دایره را می‌توان به عنوان مکان هندسی همهٔ نقاطی نشان داده که نسبت فواصلشان از دو نقطهٔ ثابت عددی است ثابت و برابر با نسبت فواصل دو نقطهٔ ثابت از دایره؛ یعنی:
: {{وسط|<math>\frac{|AP|}{|BP|} = \frac{|AC|}{|BC|}</math>}}
این دو نقطه به «کانون» های دایره موسومند. می‌توان با عملیات‌های جبری ساده ثابت کرد که تعریف آپولونیوسی و اقلیدسی معادل یکدیگرند.

=== دایره به عنوان حالت خاص چندضلعی ===
دایره را می‌توان [[چندضلعی منتظم]]ی با شعاع محاطی{{یادچپ|inradius}} <math>r</math> و شعاع محیطی{{یادچپ|circumradius}} <math>R</math> دانست که تعداد اضلاع آن به [[بی‌نهایت]] میل می‌کند. در [[هندسه]]، از دایره‌ای با این تعریف با عنوان‌های [[بی‌نهایت‌ضلعی]] و [[تک‌ضلعی]] یاد شده‌است.

با این تعریف، محیط دایره برابر است با:<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Wolfram MathWorld | 2003}}</ref>

:{{وسط|<math>\begin{align}C=\lim_{n \to \infty} 2rn \tan{(\tfrac{\pi}{n})}=2 \pi r \\
= \lim_{n \to \infty}2Rn \sin{(\tfrac{\pi}{n})}=2 \pi R \end{align}</math>}}

و مساحت آن برابر است با:<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Wolfram MathWorld | 2003}}</ref>

:{{وسط|<math>\begin{align}A=\lim_{n \to \infty}nr^2 \tan{({\pi}{n})}=\pi r^2 \\
= \lim_{n \to \infty} \tfrac{1}{2} n R^2 \sin{(\tfrac{2 \pi}{n})}=\pi R^2\end{align}</math> }}

که هر دو حدشان یکی است، چرا که با میل کردن <math>n</math> به بی‌نهایت، <math>r</math> و <math>R</math> به یک پاره‌خط (شعاع دایره) میل می‌کنند.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Wolfram MathWorld | 2003}}</ref>

=== به عنوان مقطع مخروطی ===
دایره «[[تبهگنی (ریاضیات)|حالت خاص تبهگون]]»{{یادچپ|degenerate case}} از [[بیضی]] است که در آن [[نیم‌قطر بزرگ]] و نیم‌قطر کوچک مساوی‌اند ([[برون‌مرکزی (هندسه)|برون‌مرکزی]] آن صفر است). ازین رو دایره یکی از [[مقاطع مخروطی]] است، به این مفهوم که در محل برخورد [[مخروط]]ی قائم و صفحه‌ای که با قاعدهٔ آن مخروط موازی باشد دایره پدید می‌آید.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Wolfram MathWorld | 2003}}</ref>
در [[هندسه تصویری]]، اشتقاق دایره از مخروط معادل تصویر مرکزی مقطع مخروط روی صفحه‌ای است که با قاعدهٔ مخروط موازی است.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Lockhart | 2012 | p=142}}</ref>

== ویژگی‌های دایره ==
=== شعاع، قطر، و وتر ===
[[پرونده:دایره.svg|130px|بندانگشتی|چپ|یک دایره با مشخصات آن (مرکز، شعاع)]]
پاره‌خطی که مرکز دایره را به یکی از نقاط روی محیط دایره وصل می‌کند [[شعاع]] نام دارد و می‌توان آن را «[[بردار اقلیدسی|بردار]] شعاع» آن نقطه دانست.<ref dir=ltr>{{harvcolnb|What Is Circle? -- Alexander Bogomolny}}</ref> شعاع معمولاً با حرف لاتین <math>r</math>{{یاد|مخفف radius، به معنای [[پرتو]]}} نشان داده می‌شود.

[[قطر (دایره)|قطر]] دایره حداکثر فاصلهٔ بین دو نقطه روی محیط دایره است و اندازهٔ آن دو برابر شعاع دایره است. هر قطر دایره از مرکز دایره می‌گذرد و دایره را به دو کمان مساوی تقسیم می‌کند. این کمان‌ها [[نیم‌دایره]] نامیده می‌شوند. خود قطر هم توسط مرکز دایره به دو [[پاره‌خط]] مساوی تقسیم می‌شود.<ref dir=ltr>{{harvcolnb|What Is Circle? -- Alexander Bogomolny}}</ref>
قطر دایره معمولاً با حرف لاتین <math>d</math>{{یاد|مخفف diametrus، ترانویسی کلمه یونانی διάμετρος (دیامترون: دیا {{=}} حد وسط دو چیز و مترون {{=}} اندازه‌گیری)}} نشان داده می‌شود.

پاره‌خطی که دو نقطهٔ متمایز از یک دایره را به هم پیوند می‌دهد، وتر{{یادچپ|chord}} یا زِه آن دایره نامیده می‌شود. هر وتری که از مرکز دایره بگذرد حداکثر اندازهٔ ممکن برای وتر یک دایره را دارد و همان قطر دایره است.<ref dir=ltr>{{harvcolnb|What Is Circle? -- Alexander Bogomolny}}</ref>

=== خط مماس ===
[[پرونده:Angles of tangents of circle.svg|130px|بی‌قاب|چپ]]
خط‌ها یا با دایره در دو نقطه برخورد می‌کنند، یا در یک نقطه، یا با دایره برخورد نمی‌کنند. هر خطی که با دایره تنها در یک نقطه برخورد کند (آن را در یک نقطه لمس کند) به خط [[مماس]] (یا خط تانژانت) بر دایره در آن نقطه موسوم است. خط‌هایی که دایره را در دو نقطه قطع می‌کنند هم [[خط سکانت]] نامیده می‌شوند<ref dir=ltr>{{harvcolnb|What Is Circle? -- Alexander Bogomolny}}</ref> و خطوطی که با دایره برخورد نمی‌کنند «خط پاسان»{{یادچپ|Passante}} نام دارند.

از هر نقطهٔ بیرون دایره، دو خط مماس بر آن دایره می‌توان رسم کرد. این دو مماس طول یکسانی دارند. همچنین اگر از نقطهٔ <math>D</math> بیرون دایره‌ای به مرکزیت <math>O</math> بتوان دو مماس بر نقاط <math>A</math> و <math>B</math> روی محیط دایره رسم کرد، زاویه‌های <math>\angle BOA</math> و  <math>\angle BDA</math> [[زاویه‌های مکمل|مکمل]]ند.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| CIRCLE DEFINITIONS AND THEOREMS | 2007}}</ref>
شعاع دایره نیز در نقطهٔ تماس بر خط مماس [[تعامد (هندسه)|عمود]] است<math>(\overline{AC}\perp \overline{CD})</math>.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| CIRCLE DEFINITIONS AND THEOREMS | 2007}}</ref>
{{-}}

=== زاویه مرکزی و زاویه محاطی ===
[[پرونده:Inscribed angle theorem.svg|بندانگشتی|چپ|185px|زاویه‌های مرکزی و محاطی]]
{{مرتبط|زاویه محاطی|زاویه مرکزی}}
زاویه‌ای که از برخورد دو شعاع یک دایره پدید می‌آید زاویهٔ مرکزی نام دارد. رأس زوایای مرکزی در مرکز دایره قرار دارد. هر زاویهٔ مرکزی از قرص دایره یک [[قطاع دایره|قطاع]] جدا می‌کند.<ref dir=ltr>{{harvcolnb|What Is Circle? -- Alexander Bogomolny}}</ref> همچنین هر زاویهٔ مرکزی از محیط دایره یک [[کمان (هندسه)|کمان]] جدا می‌کند، که به آن کمان نظیر آن زاویهٔ مرکزی گفته می‌شود. طول کمان نظیر هر زاویهٔ مرکزی <math>(L)</math> برابر حاصلضرب شعاع دایره <math>(r)</math> در اندازهٔ آن زاویه مرکزی بر حسب [[رادیان]] <math>(\theta)</math> است <math>(L= r \theta)</math>. اگر اندازهٔ زاویهٔ مرکزی <math>(\alpha)</math> بر حسب [[درجه (زاویه)|درجه]] نوشته شود، طول کمان نظیر آن برابر است با <math>L={\tfrac {\alpha \pi r}{180}}</math>.

از برخورد دو [[خط سکانت]] روی محیط دایره زاویهٔ محاطی پدید می‌آید. رأس زوایای محاطی روی محیط دایره قرار دارد.<ref dir=ltr>{{harvcolnb|What Is Circle? -- Alexander Bogomolny}}</ref>
هر زاویهٔ محاطی یک کمان از دایره جدا می‌کند که به آن کمان نظیر آن زاویهٔ محاطی گفته می‌شود.
اندازه کمان نظیر هر زاویهٔ محاطی در دایره نصف اندازهٔ زاویهٔ محاطی روبروی آن کمان است.
[[تبهگنی (ریاضیات)|حالت تبهگون]] زاویهٔ محاطی زمانی رخ می‌دهد که یکی از اضلاع زاویه بر دایره مماس باشد، و به [[زاویه مماسی|زاویهٔ مماسی]] موسوم است.

==== زاویه مرکزی ====
زاویه‌ای که راس آن مرکز دایره و دو ضلع آن شعاع‌های دایره می‌باشند.

'''نکته:''' اندازه زاویه مرکزی با اندازه کمان روبرو آن برابر است.

==== زاویه محاطی ====
زاویه‌ای که راس آن روی محیط دایره و دو ضلع آن وترهایی از دایره می‌باشد.

'''نکته:''' اندازه زاویه محاطی برابر است با نصف کمان روبرو.{{-}}

=== کمان، قطاع، و قطعه ===
[[پرونده:قوس-أكبر.svg|125px|راست|بندانگشتی|کمان بزرگ و کوچک دایره]]
[[پرونده:Circle slices FA.svg|125px|بندانگشتی|کمان، قطاع، و قطعه]]
{{مرتبط|کمان (هندسه)|قطاع|قطعه دایره|l1=کمان}}
هر دو نقطه A و B روی محیط دایره آن را به دو کمان تقسیم می‌کنند. برحسب عرف، کمان کوچکتر روی دایره (کمانی که زاویهٔ مرکزی متناظر آن کمتر از {{ریاضی|۱۸۰°}} باشد) با نقاط دو سر آن <math>(\widehat{AB})</math> و کمان بزرگتر (کمانی که زاویهٔ مرکزی متناظر آن بیشتر از {{ریاضی|۱۸۰°}} باشد) با نقاط دو سر آن و نقطه‌ای در میان آن دو <math>(\widehat{ACB})</math> مشخص می‌گردد. کمانی که زاویهٔ مرکزی متناظر آن مساوی {{ریاضی|۱۸۰°}} باشد [[نیم‌دایره]] نام دارد.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| CIRCLE DEFINITIONS AND THEOREMS | 2007}}</ref>
مجموع زوایای متناظر دو کمان حاصل از دو نقطه روی دایره همواره برابر {{ریاضی|۳۶۰°}} است.

[[قطاع]] بخشی از قرص دایره است که با دو شعاع (یک زاویهٔ مرکزی) و یک کمان محدود شده‌است. [[قطعه دایره]] نیز بخشی از قطاع است که بین کمان و وتر بین دو سر شعاع‌های زاویهٔ مرکزی قرار دارد.
{{-}}

=== محیط ===
{{اصلی|محیط منحنی}}
[[پرونده:Pi-unrolled-720.gif|بندانگشتی|پویانمایی رابطهٔ محیط دایره با [[عدد پی]]]]
اگر شعاع دایره <math>r</math> و قطر آن <math>d</math> باشد، محیط دایره برابر است با:<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Wolfram MathWorld | 2003}}</ref>
:{{وسط|<math>C= \pi d = 2 \pi r</math>}}
این فرمول را می‌توان با استفاده از [[حسابان]] و فرمول [[طول قوس]] در [[دایره#معادله قطبی|مختصات قطبی]] اثبات کرد:
:{{وسط|<math>C=\int_0^{2 \pi} {\sqrt{r^2+(\frac{dr}{d\theta})^2}} d \theta=\int_0^{2\pi} {r} d \theta = 2 \pi r</math>}}

دایره حداقل محیط برای یک مقدار معین مساحت را دارد.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Wolfram MathWorld | 2003}}</ref>
نسبت محیط به قطر دایره <math>(\tfrac{C}{d})</math> با بزرگ و کوچک شدن آن ثابت می‌ماند. این نسبت با علامت [[عدد پی|<math>\pi</math> (پی)]] نشان داده می‌شود و می‌توان ثابت کرد که [[اعداد متعالی|عددی متعالی]] و تقریباً برابر {{ریاضی|۳/۱۴۱۵۹}} است.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| 1911 Encyclopædia Britannica: Circle}}</ref><ref dir=ltr>{{harvcolnb| Wolfram MathWorld | 2003}}</ref>
{{-}}

=== مساحت ===
[[پرونده:Circle Area fa.svg|120px|بندانگشتی|مساحت دایره برابر است با حاصلضرب مربع شعاع دایره در [[عدد پی]]]]
{{اصلی|مساحت دایره}}
هم چنان‌که [[ارشمیدس]] با استفاده از [[روش افنا]] ثابت کرد، مساحت دایره برابر است با حاصلضرب مساحت [[مربع]]ی که ضلعش برابر شعاع دایره است در نسبت محیط دایره به قطر آن (که همیشه عدد ثابت است و با حرف <math>\pi</math> نشان داده می‌شود). یعنی:
:{{وسط| <math>\pi r^2</math> {{=}} <math>(r \times r) \times (\frac{C}{d})</math> {{=}} '''مساحت'''}}
دایره حداکثر مساحت ممکن برای مقدار معین محیط را دارد.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Wolfram MathWorld | 2003}}</ref>

==== اثبات ====
{{مرتبط|روش افنا}}
مساحت دایره بر اساس محیط و شعاع آن تعیین می‌شود.
اگر یک دایرهٔ مفروض به چهار [[قطاع]] مساوی تقسیم شود:
[[پرونده:دایره بر چهار قطاع تقسیم شده.jpg|150px|بی‌قاب|وسط]]
و به صورت زیر کنار هم چیده شود:
[[پرونده:دایره بر چهار قطاع تقسیم شده مرحله 2.jpg|250px|بی‌قاب|وسط]]
مشاهده می‌شود که شکل حاصل نامتعارف است. اما اگر دایرهٔ مفروض به قطاع‌های بیشتری تقسیم شود و همین روند ادامه یابد، مشاهده می‌شود که شکل به دست آمده به [[متوازی‌الاضلاع]] نزدیک می‌شود. به عنوان نمونه در مرحله‌ای که دایره مفروض به هشت قطاع مساوی تقسیم می‌شود، حاصل شکل زیر خواهد بود (که به متوازی‌الاضلاع نزدیک تر است):
[[پرونده:دایره بر هشت قطاع تقسیم شده .jpg|250px|بی‌قاب|وسط]]
اگر فرض را بر این باشد که دایره به تعداد بی‌شمار قطاع مساوی مساوی تقسیم شده‌است، آن گاه شکل حاصل متوازی‌الاضلاعی خواهد بود که به مستطیل خیلی نزدیک است.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Wolfram MathWorld | 2003}}</ref>
با دانستن اینکه مساحت این متوازی‌الاضلاع با دایرهٔ مفروض برابر است، با ضرب کردن ارتفاع متوازی‌الاضلاع (که همان شعاع دایره است) در ضلع بزرگ متوازی‌الاضلاع مساحت دایره به دست می‌آید. قابل توجه است که اضلاع بزرگ متوازی‌الاضلاع همان کمان‌های نظیر قطاع‌ها را تشکیل می‌دهند؛ پس می‌شود گفت که هر ضلع بزرگ متوازی‌الاضلاع برابر با نصف محیط دایرهٔ مفروض خواهد بود؛ یعنی اندازهٔ آن <math>\tfrac{C}{2}=\tfrac{2\pi r}{2}=\pi r</math> خواهد بود. اندازهٔ ضلع کوچک متوازی‌الاضلاع هم که <math>r</math> (شعاع دایره) است، پس مساحت دایره <math>A=r \times \pi r = \pi r^2</math> خواهد بود.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Wolfram MathWorld | 2003}}</ref>

[[پرونده:CircleArea.svg|260px|بی‌قاب|چپ]]
این اثبات را می‌توان با استفاده از [[مختصات قطبی]] به شکل صوری زیر نوشت:<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Wolfram MathWorld | 2003}}</ref>
:{{وسط| <math>A=\int_0^{2\pi}{d\theta} \int_0^r r dr=(2\pi)(\frac{1}{2r^2})=\pi r^2</math>}}

=== اِفرازِ صفحه توسط دایره ===
دایره صفحه را به سه بخش [[افراز مجموعه|اِفراز]] می‌کند:
# داخل دایره: [[مجموعه (ریاضی)|مجموعه]] نقطه‌هایی مانند <math>I</math>، که فاصلهٔ آن‌ها از مرکز دایره، کمتر از شعاع دایره است. داخل دایره به [[قرص (ریاضی)|قرص]] موسوم است.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Wolfram MathWorld | 2003}}</ref>
# روی دایره: مجموعه نقطه‌هایی مانند <math>M</math>، که فاصلهٔ آن‌ها از مرکز دایره، برابر شعاع دایره است.
# خارج دایره: مجموعهٔ نقطه‌هایی مانند <math>E</math>، که فاصلهٔ آن‌ها از مرکز دایره، از شعاع دایره بیشتر است.

=== اشتراک دایره‌ها ===
[[پرونده:geometric lens examples.png|120px|بندانگشتی|راست|[[عدسی (هندسه)|عدسی]] متقارن و نامتقارن]]
[[پرونده:Hipocrat arcs.svg|120px|بندانگشتی|راست|[[هلال بقراط]]]]
[[پرونده:Construction of Reuleaux triangle.svg|120px|بندانگشتی|چپ|[[مثلث رولو]]]]
{{اصلی|عدسی (هندسه)|هلال (ریاضیات)|مثلث رولو|l1=عدسی|l2=هلال}}
[[اشتراک]] دو [[قرص (ریاضی)|قرص]] دایره به [[عدسی (هندسه)|عدسی]]{{یادچپ|lens}} یا [[:wiktionary:fa:اهلیلجی|اهلیلجی]] موسوم است.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Wolfram MathWorld | 2003}}</ref> اگر دو دایره شعاع برابر داشته باشند عدسی متقارن و در غیر این‌صورت عدسی نامتقارن (یا کلی) پدید می‌آید. مساحت عدسی متقارن با شعاع <math>R</math> و طول کمان <math>\theta</math> [[رادیان]] عبارت است از:
:{{وسط|<math>A =  R^2\left(\theta - \sin \theta \right)</math>}}
با جدا کردن عدسی از هر یک از دو دایره [[هلال (ریاضیات)|هلال]] ایجاد می‌شود. در کل از تقاطع دو دایرهٔ غیرمماس، یک عدسی و دو هلال پدید می‌آید. [[هلال بقراط]]، هلالی حاصل از برخورد دو دایره است به‌گونه‌ای که قطر دایرهٔ کوچکتر وتر و شعاع‌های متعامد دایرهٔ بزرگتر اضلاع یک [[مثلث متساوی‌الساقین]] [[قائم‌الزاویه]] باشند. می‌توان نشان داد که مساحت هلال بقراط با مساحت مثلث مذکور برابر است.

از اشتراک سه [[قرص (ریاضی)|قرص]] دایره با شعاع مساوی که مرکز هر کدام در نقطهٔ تقاطع دو تای دیگری قرار گرفته باشد [[مثلث رولو]] حاصل می‌شود. مثلث رولو حداقل مساحت برای عرض معین در میان منحنی‌هایی با عرض ثابت را دارد. مساحت مثلث رولو ساخته‌شده از دوایری با شعاع <math>r</math> عبات است از:<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Reuleaux Triangle -- from Wolfram MathWorld}}</ref>
:{{وسط| <math>A=\tfrac{1}{2}(\pi-\sqrt{3})r^2</math>}}
مثلث رولو می‌تواند در داخل یک [[مربع]] بچرخد.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Reuleaux Triangle -- from Wolfram MathWorld}}</ref>
{{-}}

== برخی از قضایای دایره ==
{| class="toccolours" style="float:none; padding: 10px 15px 10px 15px; display:table;margin-left: 7%; margin-right: 7%;"
|-
|[[پرونده:Thales inscribed angle.gif|100px|بی‌قاب|وسط]]
|'''[[قضیه تالس (دایره)|قضیهٔ تالس]]''': زاویهٔ محاطی متناظر به نیم‌دایره همواره {{ریاضی|۹۰°}} است.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Davis | 2006 | p=15}}</ref>
|-
|[[پرونده:قضیه 1 دایره.jpg|100px|بی‌قاب|وسط]]
|در هر دایره، قطر عمود بر هر وتر، آن وتر و کمان‌های نظیرِ آن وتر را نصف می‌کند.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| CIRCLE DEFINITIONS AND THEOREMS | 2007}}</ref>
|-
|[[پرونده:قضیه 2 دایره.jpg|100px|بی‌قاب|وسط]]
|در یک دایره، از دو وتر نابرابر، آنکه بزرگتر است، به مرکز دایره نزدیکتر است، و بالعکس.{{سخ}}شکل دیگر: در یک دایره، وترهای مساوی از مرکز دایره به یک فاصله‌اند.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| CIRCLE DEFINITIONS AND THEOREMS | 2007}}</ref>
|-
|[[پرونده:The perpendicular from the centre to the chord bisects the chord.png|100px|بی‌قاب|وسط]]
|[[عمودمنصف]] هر وتر دایره از مرکز دایره می‌گذرد.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| CIRCLE DEFINITIONS AND THEOREMS | 2007}}</ref>
|-
|[[پرونده:Chord theorem power.svg|100px|بی‌قاب|وسط]]
|'''قضیه وتر''': در یک دایره، حاصلضرب پاره‌خط‌های روی هر وتر حاصل از تقاطع با یک وتر دیگر برابر با حاصلضرب پاره‌خط‌های حاصل‌شده روی وتر دومی است، یعنی <math>|AS|\cdot|SC|=|BS|\cdot|SD|=r^2-d^2</math>.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| CIRCLE DEFINITIONS AND THEOREMS | 2007}}</ref>
|-
|[[پرونده:Secant-Secant Theorem.svg|100px|بی‌قاب|وسط]]
|اگر دو خط سکانت متقاطع رسم شوند، اندازهٔ زاویه بین آن دو <math>(\angle{A})</math> برابر است با نصف تفاضل کمان‌های محاط‌شده (<math>DE</math> و <math>BC</math>)، یعنی  <math>2 \times \angle{CAB}=\angle{DOE}-\angle{BOC}</math>.
|-
|[[پرونده:Five circles theorem.svg|100px|بی‌قاب|وسط]]
|'''[[قضیه پنج دایره]]''': هرگاه پنج دایره که مرکزهایشان بر روی محیط دایرهٔ ششمی جای گرفته‌است، یکدیگر را زنجیروار بر روی همان دایره قطع کنند، آنگاه نقطه دوم تقاطع دایره‌ها رئوس داخلی [[ستاره پنج‌پر|ستاره‌ای پنج‌پرند]] که رئوس خارجی‌اش بر روی محیط این دایره‌ها جای گرفته‌است.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Wolfram MathWorld -- Miquel Five Circles Theorem}}</ref>
|-
|[[پرونده:Cyclic quadrilateral 1.svg|100px|بی‌قاب|وسط]]
|زوایای روبرو در هر [[چهارضلعی محاطی]] مکملند (مجموعشان برابر {{ریاضی|۱۸۰°}} است).<ref dir=ltr>{{harvcolnb| CIRCLE DEFINITIONS AND THEOREMS | 2007}}</ref>
|-
|[[پرونده:Ptolemy Theorem.svg|100px|بی‌قاب|وسط]]
|'''[[قضیه بطلمیوس]]''': مجموع حاصلضرب اضلاع روبروی هر [[چهارضلعی محاطی]] برابر است با حاصلضرب قطرهای آن؛ یعنی:<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Bogomolny -- Ptolemy's Theorem}}</ref>
<math>|\overline{AC}|\cdot |\overline{BD}|=|\overline{AB}|\cdot |\overline{CD}|+|\overline{BC}|\cdot |\overline{AD}|</math>
|}

== دستگاه دوایر ==
=== مراکز و دوایر تشابه ===
[[پرونده:0xYYs.png|بندانگشتی|مراکز تشابه داخلی و خارجی دو دایره]]
نقاط تقاطع مماس‌های مشترک دو دایره به «مراکز تشابه» آن دو دایره موسومند.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| 1911 Encyclopædia Britannica: Circle}}</ref> مرکز تشابهی که از برخورد مماس‌های مستقیم (خط‌هایی که هر دو دایره را در یک سمت لمس می‌کنند) ایجاد می‌شود «مرکز تشابه بیرونی» و مرکز تشابهی که از برخورد مماس‌های اریب (خط‌هایی که دو دایره را در دو سمت مقابل لمس می‌کنند) «مرکز تشابه درونی» نامیده می‌شود. می‌توان ثابت کرد که مراکز تشابه دایره روی خطی قرار دارند که از مراکز دو دایره می‌گذرد و این خط و امتداد آن را به نسبت شعاع‌های دو دایره تقسیم می‌کنند.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| 1911 Encyclopædia Britannica: Circle}}</ref>
همچنین دایره‌ای که مرکزش روی این خط باشد و از هر دو مرکز تشابه بگذرد (قطر آن برابر فاصلهٔ بین دو مرکز تشابه باشد) به «دایرهٔ تشابه» موسوم است. می‌توان ثابت کرد که این دایره [[مکان هندسی]] همهٔ مراکز تشابه داخلی و خارجی ممکن است.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| 1911 Encyclopædia Britannica: Circle}}</ref>

در دستگاه سه زاویه‌ای شش مرکز تشابه (دو تا {{---}} یکی بیرونی و یکی درونی {{---}} برای هر جفت دایره) وجود دارد. می‌توان ثابت کرد که سه مرکز تشابه بیرونی روی یک خط قرار دارند و هر دو مرکز تشابه درونی با مرکز تشابه بیرونی سوم روی یک خطند.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| 1911 Encyclopædia Britannica: Circle}}</ref>

=== دوایر هم‌محور ===
[[پرونده:Apollonian circles.svg|بندانگشتی|دو [[مداد ریاضیاتی|مدادِ]] دوایر هم‌محور با خط رادیکال عمود برهم، که به [[دایره‌های آپولونیوس]] موسوم است.]]
دستگاه دوایر به دایره‌هایی گفته می‌شود که مرکز آن‌ها روی یک خط قرار دارد و [[خط رادیکال]] (مکان هندسی نقاطی که مماس‌های ترسیم شده به هر دایره طول مساوی داشته باشند) مشترکی داشته باشند.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| 1911 Encyclopædia Britannica: Circle}}</ref>
مجموعهٔ همهٔ دوایر هم‌محور به «[[مداد ریاضیاتی|مدادِ]] دوایر هم‌محور» موسوم است.
اگر خط رادیکال یک مداد دوایر <math>x = 0</math> (برابر محور <math>y</math>ها) گرفته شود، معادلهٔ دستگاه برابر <math>x^2+y^2+2ax \plusmn k^2=0</math> خواهد بود که <math>k</math> مقداری ثابت است، و می‌توان نشان داد که طول مماس بر هر دایره از هر نقطه معین روی خط رادیکال <math>((0, h))</math> برابر  <math>h^2 \plusmn k^2</math> و مستقل از <math>a</math> و شعاع دایره‌ها است.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| 1911 Encyclopædia Britannica: Circle}}</ref>

== معادله‌های دایره ==
[[پرونده:دایره-مختصات.jpg|بندانگشتی|چپ|220px|نمودار معادلهٔ دایره‌ای به مرکز (c(h,k و شعاع r]]

=== معادلهٔ متعارف ===
[[پرونده:معادله ی دایره ای به مرکز 0.jpg|چپ|180px|نمودار معادلهٔ دایره‌ای به مرکز مبدأ مختصاتی و شعاع <math>r</math>]]
معادلهٔ دایره‌ای که مرکزش <math>c(h,k)</math> و شعاعش <math>r</math> باشد عبارت است از:<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Wolfram MathWorld | 2003}}</ref>
:{{وسط|<math>(x-h)^2+(y-k)^2=r^2</math>}}

و اگر مرکز دایره در مبدأ مختصاتی <math>(h,k)=(0,0)</math> قرار بگیرد معادلهٔ آن عبارت است از:
:{{وسط|<math>x^2+y^2=r^2</math>}}

;اثبات
نقطهٔ <math>P(x,y)</math> روی دایره است [[اگر و تنها اگر]]:
:{{وسط|<math>\overline{P C}=r</math>|}}
یعنی [[اگر و تنها اگر]]:
:{{وسط|<math>\sqrt{(x-h)^2+(y-k)^2}=r</math>}}
این درست است [[اگر و تنها اگر]]:
:{{وسط|<math>(x-h)^2+(y-k)^2=r^2</math>}}

=== معادلهٔ عام منحنی‌های درجه دو ===
برای اینکه معادلهٔ عام [[منحنی]]‌های درجه دو (یعنی <math>ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2fy+g=0</math>) دایره باشد، باید <math>b</math> را برابر صفر قرار داد و <math>a</math> را برابر <math>c</math>. با شرط <math>a \neq 0</math> این معادله را می‌توان به شکل زیر نوشت:<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Gibson | 2003 | p=23}}</ref>
:{{وسط|<math>a(x^2+y^2)+2dx+2fy+g=0</math>}}
که به معادلهٔ کلی دایره موسوم است. برای تبدیل این معادله به معادلهٔ متعارف دایره، می‌توان با استفاده از [[اتحاد و تجزیه|اتحاد مربع مجموع دو جمله‌ای]] عبارت بالا را به شکل زیر نوشت:<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Gibson | 2003 | p=23}}</ref>
:{{وسط|<math>C(x,y)=(x-d)^2+(y-f)^2+k</math>}}
که در آن <math>k=g-d^2-f^2</math>. در این معادله مرکز دایره در نقطهٔ <math>(d,f)</math> و شعاع آن برابر با <math>\sqrt{-k}</math> است. اگر <math>k</math> کوچکتر از صفر باشد حاصل یک «دایرهٔ حقیقی»، اگر <math>k</math> بزرگ‌تر از صفر باشد دایره حاصل یک «دایرهٔ مجازی»{{یادچپ|virtual circle}} و اگر <math>k</math> برابر صفر باشد حاصل [[نقطه (هندسه)|نقطه]] خواهد بود.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Gibson | 2003 | p=23}}</ref>

=== معادلهٔ پارامتری ===
[[معادله پارامتری|معادلهٔ پارامتری]] دایره‌ای به شعاع <math>a</math> عبارت است از:<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Wolfram MathWorld | 2003}}</ref>
:{{وسط|<math>d_1(t) = (a\cdot cos(t),a\cdot sin(t))</math>}}
که در آن <math>0\leq t < 2 \pi</math>.

معادلهٔ پارامتری دایره را به صورت [[عبارت گویا|عبارت‌های گویا]] نیز می‌توان نوشت. در این حالت معادلهٔ پارامتری دایره‌ای به شعاع <math>a</math> عبارت است از:<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Wolfram MathWorld | 2003}}</ref>
:{{وسط|<math>d_1(t) = (a\cdot \frac{2t}{1+t^2},a\cdot \frac{1-t^2}{1+t^2})</math>}}

طول کمان <math>(s)</math>، [[انحنا]] <math>(\kappa)</math>، و [[زاویه مماسی]] <math>(\phi)</math> را نیز می‌توان به‌صورت پارامتری نوشت، که عبارتند از:<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Wolfram MathWorld | 2003}}</ref>
:{{وسط|<math>\begin{align} s(t) = at \\
\kappa(t) = \frac{1}{a} \\
\phi(t) = \frac{t}{a}\end{align}</math>}}

=== صورت سه‌نقطه‌ای ===
معادلهٔ دایره‌ای که از سه نقطهٔ [[هم‌خطی|غیر هم‌خط]] <math>(x_i,y_i)</math> به ازای <math>i=1, 2, 3</math> می‌گذرد (یعنی دایرهٔ محیطی مثلثی که رئوسش این سه نقطه‌اند) عبارت است از:<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Wolfram MathWorld | 2003}}</ref>
:{{وسط|<math>
\begin{bmatrix}
 x^2+y^2 &x & y & 1 \\ x_1^2+y_1^2 & x_1& y_1& 1 \\ x_2^2+y_2^2& x_2& y_2 &1 \\ x_3^2+y_3^2 &x_3& y_3& 1
\end{bmatrix}=0
</math>}}
این معادله را می‌توان به صورت [[معادله درجه دو|معادلهٔ عام منحنی‌های درجه دو]] نوشت:
:{{وسط|<math>ax^2+cy^2+dx+ey+f=0</math>}}
که در آن <math>a=c</math>، مقدار <math>b</math> صفر است (چرا که [[ماتریس قطری|عبارتی قطری]] بین <math>x</math> و <math>y</math> در دایره نیست)، و:<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Wolfram MathWorld | 2003}}</ref>
:{{وسط|<math>\begin{align}
a =\begin{bmatrix}x_1& y_1& 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1\end{bmatrix}
\\
d =- \begin{bmatrix}x_1^2+y_1^2 & y_1&1 \\ x_2^2+y_2^2&y_2&1 \\ x_3^2+y_3^2&y_3&1\end{bmatrix}
\\
e =\begin{bmatrix}x_1^2+y_1^2&x_1&1 \\ x_2^2+y_2^2&x_2&1 \\ x_3^2+y_3^2&x_3&1\end{bmatrix}
\\
f =- \begin{bmatrix}x_1^2+y_1^2&x_1&y_1 \\ x_2^2+y_2^2&x_2&y_2 \\ x_3^2+y_3^2&x_3&y_3\end{bmatrix}
\end{align} </math>}}
در این‌صورت مرکز دایره در نقطهٔ  <math>(x_0,y_0)=(-\tfrac{d}{2a},-\tfrac{e}{2a})</math> خواهد بود و شعاع آن عبارت است از:<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Wolfram MathWorld | 2003}}</ref>
:{{وسط|<math>r=\sqrt{\frac{d^2+e^2}{4a^2}-\frac{f}{a}}</math>}}

=== معادله قطبی ===
[[معادله قطبی|معادلهٔ قطبی]] دایره به محوریت مرکز آن نوشته می‌شود و شکلی ساده دارد. معادلهٔ قطبی دایره‌ای به شعاع <math>r</math> که مرکز آن در [[مبدأ مختصاتی]] واقع شده باشد عبارت است از:<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Wolfram MathWorld | 2003}}</ref>
:{{وسط| <math>r=a</math>}}
اگر مرکز دایره به نقطهٔ <math>(a,0)</math> منتقل شود معادلهٔ قطبی آن عبارت خواهد بود از:<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Wolfram MathWorld | 2003}}</ref>
:{{وسط| <math> r=2a \cos{\theta} </math>}}
و اگر مرکز دایره به نقطهٔ <math>(0,a)</math> منتقل شود معادلهٔ قطبی آن عبارت خواهد بود از:<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Wolfram MathWorld | 2003}}</ref>
:{{وسط| <math> r=2a \sin{\theta} </math>}}

=== ابرمعادله ===
[[پرونده:Vector-p-Norms qtl1.svg|بندانگشتی|دایرهٔ واحد به عنوان حالت خاص ابربیضی]]
{{مرتبط|ابرمعادله}}
صورت عام [[ابرمعادله]] در [[دستگاه مختصات قطبی]] عبارت است از:<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Gielis | 2003|p=26}}</ref>
:{{وسط|<math>{\displaystyle r\left(\varphi \right)=\left(\left|{\frac {\cos \left({\frac {m_{1}\varphi }{4}}\right)}{a}}\right|^{n_{2}}+\left|{\frac {\sin \left({\frac {m_{2}\varphi }{4}}\right)}{b}}\right|^{n_{3}}\right)^{-{\frac {1}{n_{1}}}}}</math>}}

اگر در این معادله <math>m_{1} =  m_{2} =m_{3} = 2</math> باشد و <math>n_1</math>، <math>n_2</math>، و <math>n_3</math> هم هر سه مساوی {{ریاضی|۲}} باشند، منحنی حاصل [[دایره واحد|دایرهٔ واحد]] (دایره‌ای با شعاع یک) است. با ضرب کردن <math>r</math> در معادلهٔ بالا، معادلهٔ دایره‌ای با شعاع <math>r</math> حاصل می‌شود.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Gielis | 2003|p=26}}</ref>

== ترسیم با خط‌کش و پرگار ==
[[پرونده:Pentagon construct.gif|200px|راست|بندانگشتی|ترسیم پنج‌ضلعی با خط‌کش و پرگار]]
{{اصلی|ترسیم با خط‌کش و پرگار}}
[[خط‌کش]] و [[پرگار]] تنها ابزارهای مجاز ترسیم در [[هندسه اقلیدسی]] هستند،<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Koestler | 2017 | p=390}}</ref> تا جایی که هندسهٔ اقلیدسی گاه «هندسهٔ خط‌کش و پرگار» خوانده شده‌است.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Davis | 2006 | p=5}}</ref> [[پرگار]] ابزاری برای کشیدن دایره بر اساس [[دایره#تعریف اقلیدسی|تعریف اقلیدسی آن]] است<ref dir=ltr>{{harvcolnb|What Is Circle? -- Alexander Bogomolny}}</ref> و با خط‌کشی با طول بی‌نهایت می‌توان خط راست کشید، و هدف ریاضی‌دانان اقلیدسی این بود که همهٔ اشکال را با این دو ابزار بسازند.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Davis | 2006 | p=111}}</ref>
بنابراین در ترسیم با خط‌کش و پرگار تنها از سه اصل اول [[اصول موضوعه هندسه اقلیدسی]] می‌توان استفاده کرد.
بنابر اثبات [[گاوس]]، تنها شکل‌هایی را می‌توان با خط‌کش و پرگار رسم کرد که اندازه‌شان [[عدد ترسیم‌پذیر]] باشد. اعداد ترسیم‌پذیر اعدادی‌اند که بتوان آن‌ها را با اعمال چهار عمل اصلی و [[ریشه دوم]] بر یک عدد ترسیم‌پذیر دیگر به دست آورد (صفر و یک بنابر تعریف ترسیم‌پذیرند).

=== ترسیم‌های بنیادی ===
[[پرونده:Basic-construction-demo.png|بندانگشتی|ترسیم‌های بنیادی]]
همهٔ ترسیم‌ها با خط‌کش و پرگار با تکرار و ترکیب پنج ترسیم بنیادی در صفحه صورت می‌گیرند. این پنج ترسیم بنیادی عبارتند از:
# ساخت یک خط با داشتن دو نقطه (اصل اول از [[اصول موضوعه هندسه اقلیدسی]])
# ساخت یک دایره با داشتن دو نقطه (اصل سوم از [[اصول موضوعه هندسه اقلیدسی]])
# ساخت یک نقطه در محل تقاطع دو خط ناموازی
# ساخت دو نقطه در محل تقاطع یک خط و یک دایره (در صورت تقاطع)
# ساخت دو نقطه در محل تقاطع دو دایره (در صورت تقاطع)

=== برخی ترسیم‌های خط‌کش و پرگار ===
{| class="toccolours" style="float:none; padding: 10px 15px 10px 15px; display:table;margin-left: 7%; margin-right: 7%;"
|-
|[[پرونده:Bisection construction.gif|100px|بی‌قاب|وسط]]
|'''تنصیف زاویه''': برای رسم [[نیمساز]] زاویه ابتدا به مرکزیت رأس زاویه <math>(A)</math> کمانی به شعاع دلخواه زده شود و نقاط تقاطع آن با اضلاع زاویه (<math>B</math> و <math>C</math>) مشخص شود. سپس به مرکزیت <math>B</math> و <math>C</math> دو کمان با شعاع مساوی و بزرگتر از نصف <math>BC</math> زده شود. با اتصال نقاط تقاطع این کمان، نیمساز زاویه حاصل می‌شود.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| M3210 - Higher Geometry I}}</ref>
|-
|[[پرونده:Perpendicular Bisector.gif|100px|بی‌قاب|وسط]]
|ترسیم [[عمودمنصف]] پاره‌خط: به شعاع بیش از نصف طول پاره‌خط دو کمان به مرکزیت دو سر پاره‌خط زده می‌شود. با وصل کردن نقاط تقاطع دو کمان، عمودمنصف پاره‌خط حاصل می‌شود.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| M3210 - Higher Geometry I}}</ref>
|-
|[[پرونده:Perpendicular-construction.svg|100px|بی‌قاب|وسط]]
|رسم عمودی بر خط از نقطه‌ای بیرون آن: به مرکزیت نقطه <math>P</math> کمانی به شعاع دلخواه زده می‌شود تا خط را در <math>A'</math> و <math>B'</math> قطع کند. سپس به روش مذکور در بالا عمودمنصف پاره خط <math>A'B'</math> ترسیم می‌شود.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| M3210 - Higher Geometry I}}</ref>
|-
|[[پرونده:Circunferencia 10.svg|100px|بی‌قاب|وسط]]
|ترسیم دایره با داشتن سه نقطه غیر[[هم‌خطی|هم‌خط]] <math>A</math>، <math>B</math>، و <math>C</math>: به روش بالا [[عمودمنصف]] پاره‌خط‌های <math>\overline{AB}</math> و <math>\overline{BC}</math> رسم می‌شود. نقطهٔ تقاطع دو عمودمنصف مرکز دایره است و می‌توان از آن به فاصلهٔ هر کدام از نقاط دایره را رسم کرد.
|}

=== ترسیم‌های غیرممکن ===
{{اصلی|تربیع دایره|تضعیف مکعب|تثلیث زاویه}}
یکی از مسائل کهن ریاضی که در طول تاریخ ریاضی‌دانان را درگیر خود کرده بود تربیع دایره است و مطلوب آن ترسیم مربعی با خط‌کش و پرگار است که مساحت آن با مساحت دایره‌ای مفروض برابر باشد. شکل دیگری از این مسئله ترسیم مربعی با خط‌کش و پرگار است که محیط آن با محیط دایرهٔ مفروض برابر باشد.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Davis | 2006 | p=109}}</ref>
در ۱۸۸۲ [[فردیناند فون لیندمن]] نشان داد که [[عدد پی|پی]] عددی متعالی است، و تربیع دایره غیرممکن است. در [[زبان انگلیسی]] «تربیع دایره» {{انگلیسی|squaring the circle}} وارد ادبیات شده‌است و همچنین ضرب‌المثلی به مفهوم «عمل غیرممکن» است.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Davis | 2006 | p=109}}</ref>

تثلیث زاویه و تضعیف مکعب (یا «مسئلهٔ دلوسی») نیز دو مسئله کهن دیگر ترسیم با خط‌کش و پرگارند که هدف اولی تقسیم زاویه به سه قسمت مساوی است و هدف دومی ترسیم مکعبی که حجم آن دو برابر حجم مکعبی مفروض (هر ضلع آن <math>\sqrt[3]{2}</math> برابر ضلع مکعب مفروض) باشد.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| M3210 - Higher Geometry I}}</ref>
ترسیم هفت‌ضلعی منتظم با استفاده از خط‌کش و پرگار (یا تقسیم دایره به هفت کمان مساوی، موسوم به [[تسبیع دایره]] هم از مسائلی است که به‌ویژه دانشمندان [[عصر طلایی اسلام]] را به خود مشغول داشته بود.<ref>{{پکه|کرامتی|۱۳۸۷|p=۲۹۱–۲۹۴}}</ref>
در سال ۱۷۸۶ [[کارل فریدریش گاوس]] گاوس نشان داد که هفت کوچک‌ترین عدد ترسیم‌ناپذیر است و نمی‌توان هفت‌ضلعی منتظم را با پرگار و خط‌کش ترسیم کرد.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Gielis | 2003|p=21}}</ref>

== در بعدهای بالاتر ==
[[پرونده:Hypersphere.png|بندانگشتی|یک تصویرسازی سه‌بعدی از ۳-کره، یا تعمیم دایره در فضای چهاربعدی. همانگونه که می‌توان از اشیاء سه‌بعدی عکس‌هایی دوبعدی تهیه کرد، از اشیاء چهاربعدی هم می‌توان تصاویری سه‌بعدی ساخت.]]
تعمیم دایره در [[فضای سه‌بعدی]] [[کره (هندسه)|کره]] نام دارد.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Wolfram MathWorld | 2003}}</ref> همهٔ نقاط روی سطح کره از مرکز آن به یک فاصله‌اند. همچنین تعمیم دایره در [[فضای ان‌بعدی|فضای <math>n+1</math>بعدی]] به [[ابرکره|<math>n</math>-کره]] موسوم است.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Wolfram MathWorld | 2003}}</ref> <math>n</math>-کره مجموعهٔ همهٔ نقاطی است که در [[فضای ان‌بعدی|فضای <math>n+1</math>بعدی]] از یک نقطهٔ معین فاصلهٔ یکسانی داشته باشند.
به‌این‌ترتیب ۱-کره همان دایره و ۲-کره همان کره است.

همچنین حاصل [[اکستروژن]] موازی دایره [[استوانه]] و حاصل اکستروژن مرکزی آن [[مخروط]] است.

== جستارهای وابسته ==
* [[رئوس مطالب دایره]]

== یادداشت‌ها ==
{{یادداشت}}

== منابع ==
=== پانویس ===
{{پانویس|۳}}

=== فهرست منابع ===
{{آغاز پانویس|۳}}
{{چپ‌چین}}
* {{cite book | last=Arndt | first=J. | last2=Haenel | first2=C. | last3=Lischka | first3=C. | last4=Lischka | first4=D. | title=Pi - Unleashed | publisher=Springer Berlin Heidelberg | year=2001 | isbn=978-3-540-66572-4 | url=https://books.google.com/books?id=QwwcmweJCDQC | ref=harv | access-date=2019-01-26 | archive-url=https://www.webcitation.org/77F35oJ1t?url=https://books.google.com/books?id=QwwcmweJCDQC | archive-date=29 مارس 2019}}
* {{cite journal | last=Blunt | first=Anthony | title=Blake's 'Ancient of Days': The Symbolism of the Compasses | journal=Journal of the Warburg Institute | publisher=JSTOR | volume=2 | issue=1 | year=1938 | issn=0959-2024 | doi=10.2307/750024 | page=53 | ref=harv}}
* {{cite web | last=Bogomolny | first=Alexander | title=What Is Circle? | website=Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles | url=http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Munching/circle.shtml | ref={{sfnref|What Is Circle? -- Alexander Bogomolny}} | access-date=2019-01-07 | archive-url=https://www.webcitation.org/77F3A6KlB?url=http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Munching/circle.shtml | archive-date=29 مارس 2019 }}
* {{cite web | last=Bogomolny | first=Alexander | title=Ptolemy's Theorem | website=Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles | url=http://www.cut-the-knot.org/proofs/ptolemy.shtml | ref={{sfnref | Bogomolny -- Ptolemy's Theorem}} | access-date=2019-01-22 | archive-url=https://www.webcitation.org/77F3ERcSN?url=http://www.cut-the-knot.org/proofs/ptolemy.shtml | archive-date=29 مارس 2019 }}
* {{cite book | last=Calter | first=P. | title=Squaring the Circle: Geometry in Art and Architecture | publisher=Key College Pub. | series=Mathematics across the curriculum | year=2007 | isbn=978-1-930190-82-5 | url=https://books.google.com/books?id=9rKqDAEACAAJ | ref=harv | access-date=2019-01-18 | archive-url=https://www.webcitation.org/77F3J4iSr?url=https://books.google.com/books?id=9rKqDAEACAAJ | archive-date=29 مارس 2019}}
* {{cite web | title=M3210 - Higher Geometry I - Constructions and Impossibility Proofs | website=Mathematical and Statistical Sciences; University of Colorado Denver ; University of Colorado Denver | first=Bill | last=Cherowitzo | url=http://www-math.ucdenver.edu/~wcherowi/courses/m3210/lecchap5.pdf | ref={{sfnref | M3210 - Higher Geometry I}} | access-date=2019-01-15 | archive-url=https://www.webcitation.org/77F3NLuOp?url=http://www-math.ucdenver.edu/~wcherowi/courses/m3210/lecchap5.pdf | archive-date=29 مارس 2019 }}
* {{cite book | last=Davis | first=P.J. | title=Mathematics & Common Sense: A Case of Creative Tension | publisher=CRC Press | year=2006 | isbn=978-1-4398-6432-6 | url=https://books.google.com/books?id=SFFuBwAAQBAJ&pg=PA109 | ref=harv | access-date=2019-01-15 | archive-url=https://www.webcitation.org/77F3RZoJQ?url=https://books.google.com/books?id=SFFuBwAAQBAJ | archive-date=29 مارس 2019}}
* {{cite book | author=Euclid | last2=Heath | first2=T.L. | last3=Densmore | first3=D. | title=Euclid's Elements: all thirteen books complete in one volume: the Thomas L. Heath translation | publisher=Green Lion Press | year=2002 | isbn=978-1-888009-19-4 | url=https://en.wikisource.org/wiki/The_Elements_of_Euclid_for_the_Use_of_Schools_and_Colleges/Book_I. | ref=harv | access-date=2019-01-07 | archive-url=https://www.webcitation.org/77F3VumYe?url=https://en.wikisource.org/wiki/The_Elements_of_Euclid_for_the_Use_of_Schools_and_Colleges/Book_I. | archive-date=29 مارس 2019}}
* {{cite web | last=Ford | first=Diane | title=CIRCLE DEFINITIONS AND THEOREMS | website=Cerritos College | date=2007-01-22 | url=http://web.cerritos.edu/dford/SitePages/Math_70_F13/CircleDefinitionsandTheorems.pdf | ref={{sfnref | CIRCLE DEFINITIONS AND THEOREMS | 2007}} | access-date=2019-01-12 | archive-url=https://web.archive.org/web/20180618230554/http://web.cerritos.edu/dford/SitePages/Math_70_F13/CircleDefinitionsandTheorems.pdf | archive-date=۱۸ ژوئن ۲۰۱۸ | url-status=dead }}
* {{cite book | last=Gibson | first=C.G. | title=Elementary Euclidean Geometry: An Introduction | publisher=Cambridge University Press | year=2003 | isbn=978-0-521-83448-3 | url=https://books.google.com/books?id=P7WPwxKB1q8C | ref=harv | access-date=2019-01-13 | archive-url=https://www.webcitation.org/77F3jP2TS?url=https://books.google.com/books?id=P7WPwxKB1q8C | archive-date=29 مارس 2019}}
* {{cite web | last=Gielis | first=Johan | title=(PDF) Inventing the Circle: the geometry of nature | website=ResearchGate | date=2003-11-04 | url=https://www.researchgate.net/publication/258238188_Inventing_the_Circle_the_geometry_of_nature | ref=harv | access-date=2019-01-07 | archive-url=https://www.webcitation.org/77F3nLjhd?url=https://www.researchgate.net/publication/258238188_Inventing_the_Circle_the_geometry_of_nature | archive-date=29 مارس 2019}}
* {{cite web | last=Hoerricks | first=Jim | title=Reflections on the Circumpunct from the metaphysical to the practical | website=Academia.edu | date=2015-08-03 | url=https://www.academia.edu/36725313/Reflections_on_the_Circumpunct_from_the_metaphysical_to_the_practical | ref=harv | access-date=2019-01-22 | archive-url=https://www.webcitation.org/77F3wBGhd?url=https://www.academia.edu/36725313/Reflections_on_the_Circumpunct_from_the_metaphysical_to_the_practical | archive-date=29 مارس 2019}}
* {{cite web | last=Hollander | first=Roelant | title=Music & Geometry | website=Roel's World | url=https://www.roelhollander.eu/en/blog-music/music-geometry/ | ref=harv | access-date=2019-01-19}}
* {{cite book | last=Koestler | first=A. | title=The Sleepwalkers: A History of Man's Changing Vision of the Universe | publisher=Penguin Books Limited | year=2017 | isbn=978-0-14-139454-1 | url=https://books.google.com/books?id=VXoYDgAAQBAJ | ref=harv | access-date=2019-01-14 | archive-url=https://www.webcitation.org/77F46mx0h?url=https://books.google.com/books?id=VXoYDgAAQBAJ | archive-date=29 مارس 2019}}
* {{cite book | last=Lockhart | first=P. | title=Measurement | publisher=Harvard University Press | year=2012 | isbn=978-0-674-07117-9 | url=https://books.google.com/books?id=7SwyVVKT6WEC | ref=harv | access-date=2018-12-29 | archive-url=https://www.webcitation.org/77F4B1dBs?url=https://books.google.com/books?id=7SwyVVKT6WEC | archive-date=29 مارس 2019}}
* {{cite book | last=Martzloff | first=J.C. | title=A history of Chinese mathematics | publisher=Springer | year=1997 | isbn=978-3-540-54749-5 | url=https://books.google.com/books?id=wCk9AQAAIAAJ | ref=harv | access-date=2019-01-26 | archive-url=https://www.webcitation.org/77F4F4zVn?url=https://books.google.com/books?id=wCk9AQAAIAAJ | archive-date=29 مارس 2019}}
* {{cite book | last=Mazer | first=A. | title=The Ellipse: A Historical and Mathematical Journey | publisher=Wiley | year=2011 | isbn=978-1-118-21143-4 | url=https://books.google.com/books?id=twWkDe1Y9YQC | ref=harv | access-date=2018-12-17 | archive-url=https://www.webcitation.org/77F4J8P3D?url=https://books.google.com/books?id=twWkDe1Y9YQC | archive-date=29 مارس 2019}}
* {{cite journal | last=Postnikov | first=M. M. | last2=Shenitzer | first2=Abe | title=The Problem of Squarable Lunes | journal=The American Mathematical Monthly | publisher=Informa UK Limited | volume=107 | issue=7 | year=2000 | issn=0002-9890 | doi=10.2307/2589121 | page=645 | ref=harv}}
* {{cite book | last=Riess | first=F. | title=Narbonne and its Territory in Late Antiquity: From the Visigoths to the Arabs | publisher=Taylor & Francis | year=2016 | isbn=978-1-317-09070-0 | url=https://books.google.com/books?id=v1QGDAAAQBAJ&pg=PA105 | ref=harv | access-date=2019-01-14 | archive-url=https://www.webcitation.org/77F4NHYPN?url=https://books.google.com/books?id=v1QGDAAAQBAJ | archive-date=29 مارس 2019}}
<!-- بدون نام -->
* {{cite web | title=1911 Encyclopædia Britannica/Circle | website=Encyclopædias Britannica | url=https://en.wikisource.org/wiki/1911_Encyclopædia_Britannica/Circle | ref={{sfnref | 1911 Encyclopædia Britannica: Circle}} | access-date=2019-01-12 | archive-url=https://www.webcitation.org/77F4RnadI?url=https://en.wikisource.org/wiki/1911_Encyclopædia_Britannica/Circle | archive-date=29 مارس 2019 }}
* {{cite web | title=Circle -- from Wolfram MathWorld | website=Wolfram MathWorld | date=2003-02-13 | url=http://mathworld.wolfram.com/Circle.html | ref={{sfnref | Wolfram MathWorld | 2003}} | access-date=2019-01-05 | archive-url=https://www.webcitation.org/77F4X6Jfp?url=http://mathworld.wolfram.com/Circle.html | archive-date=29 مارس 2019 }}
* {{cite web | title=Miquel Five Circles Theorem -- from Wolfram MathWorld | website=Wolfram MathWorld | url=http://mathworld.wolfram.com/MiquelFiveCirclesTheorem.html | ref={{sfnref | Wolfram MathWorld -- Miquel Five Circles Theorem}} | access-date=2019-01-22 | archive-url=https://www.webcitation.org/77F4awKSA?url=http://mathworld.wolfram.com/MiquelFiveCirclesTheorem.html | archive-date=29 مارس 2019 }}
* {{cite web | title=Reuleaux Triangle -- from Wolfram MathWorld | website=Wolfram MathWorld | url=http://mathworld.wolfram.com/ReuleauxTriangle.html | ref={{sfnref | Reuleaux Triangle -- from Wolfram MathWorld}} | access-date=2019-01-07 | archive-url=https://www.webcitation.org/77F4ejf8i?url=http://mathworld.wolfram.com/ReuleauxTriangle.html | archive-date=29 مارس 2019 }}
* {{cite web | title=Circle | website=MacTutor History of Mathematics | url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Curves/Circle.html | ref={{sfnref | MacTutor History of Mathematics}} | access-date=2019-01-05 | archive-url=https://www.webcitation.org/77F4iOmoe?url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Curves/Circle.html | archive-date=29 مارس 2019 }}
{{پایان چپ‌چین}}
<!--فارسی-->
* {{یادکرد ژورنال | نویسنده=استیرلن | نام خانوادگی۲=فلاح‌نژاد | نام۲=منصور | عنوان=تطور معماری مساجد در ایران | ژورنال=هنر | شماره=۳۰ | سال=۱۳۷۴ | صفحه=۱۸۸–۲۰۰ | پیوند=https://www.noormags.ir/view/fa/articlepage/624906 | ref=harv | تاریخ بازبینی=۲۰۱۹-۰۱-۱۸| پیوند بایگانی = http://www.webcitation.org/77F2TdmuR | تاریخ بایگانی = ۲۹ مارس ۲۰۱۹}}
* {{یادکرد ژورنال | نام خانوادگی=بزرگ‌بیگدلی | نام=سعید | نام خانوادگی۲=اکبری‌گندمانی | نام۲=هیبت‌الله | نام خانوادگی۳=محمدی‌کله‌سر | نام۳=علیرضا | عنوان=نمادهای جاودانگی (تحلیل و بررسی نماد دایره در متون دینی و اساطیری) | ژورنال=پژوهش‌های ادب عرفانی | شماره=۱ | سال=۱۳۸۶ | صفحه=۷۹–۹۸ | پیوند=https://www.noormags.ir/view/fa/articlepage/332310 | ref=harv | تاریخ بازبینی=2019-01-14| پیوند بایگانی = http://www.webcitation.org/77F2YLsoj | تاریخ بایگانی = ۲۹ مارس ۲۰۱۹}}
* {{یادکرد ژورنال | نام خانوادگی=زحمت‌کشان | نام=مژده | عنوان=پایتخت‌های اشکانیان: تأملی در شهرهای دایره ای اشکانیان | ژورنال=رشد آموزش تاریخ | شماره=۱۹| سال=۱۳۸۴ | صفحه=۳۰–۳۴ | پیوند=https://www.noormags.ir/view/fa/articlepage/198581 | ref={{sfnref| زحمت‌کشان | ۱۳۸۴ | pp=۳۰–۳۴}}| زبان=fa | تاریخ بازبینی=۲۰۱۹-۰۱-۱۴| پیوند بایگانی = http://www.webcitation.org/77F2cbJw5 | تاریخ بایگانی = ۲۹ مارس ۲۰۱۹ }}
* {{یادکرد ژورنال | نام خانوادگی=عالم‌زاده | نام=هادی | نام خانوادگی۲=دوست‌قرین | نام۲=فاطمه | عنوان=میرزا ابوتراب نطنزی و رویکردی بدیع به مسئله تثلیث زاویه | ژورنال=تاریخ و تمدن اسلامی | شماره=۸ | سال=۱۳۸۷ | صفحه=۱۲۳–۱۴۰ | پیوند=https://www.noormags.ir/view/fa/articlepage/862756 | ref=harv | تاریخ بازبینی=۲۰۱۹-۰۱-۱۵| پیوند بایگانی = http://www.webcitation.org/77F2gwyfX | تاریخ بایگانی = ۲۹ مارس ۲۰۱۹}}
* {{یادکرد وب | نام خانوادگی=کرامتی | نام=یونس | عنوان=دائرة المعارف بزرگ اسلامی:تسبیع دایره | وبگاه=مرکز دائرة المعارف بزرگ اسلامی | پیوند=https://www.cgie.org.ir/fa/publication/entryview/2949 | ref=harv | تاریخ بازبینی=۲۰۱۹-۰۱-۲۶ | سال=۱۳۸۷ | پیوند بایگانی=https://www.webcitation.org/77F2lJQz3?url=https://www.cgie.org.ir/fa/publication/entryview/2949 | تاریخ بایگانی=29 مارس 2019}}
* {{یادکرد ژورنال | نام خانوادگی=میرابوالقاسمی | نام=سیدمحمدتقی | نام خانوادگی۲=باقری | نام۲=محمد | عنوان=رساله عبدالرحمن صوفی دربارهٔ هندسه پرگاری | ژورنال=تاریخ علم | شماره=۱ | سال=۱۳۸۲ | صفحه=۸۹–۱۴۲ | پیوند=https://www.noormags.ir/view/fa/articlepage/135697 | ref=harv | تاریخ بازبینی=۲۰۱۹-۰۱-۱۵| پیوند بایگانی = http://www.webcitation.org/77F2tPx8y | تاریخ بایگانی = ۲۹ مارس ۲۰۱۹}}
* {{یادکرد ژورنال | نام خانوادگی = وجدانی| نام = بهروز | عنوان = مروری بر مفهوم واژه‌های دایره، دوایر، دور و ادوار در موسیقی ایرانی| مکان = | ناشر = فصلنامه داخلی خانه موسیقی ایرانی| دوره = | شماره = ۸| سال = ۱۳۹۱| صفحه = ۱۸–۱۹| پیوند =http://www.iranhmusic.ir/upload/File_fa_EE6D5F9_4_F13C7312.pdf | بازیابی = ۱۶ ژانویه ۲۰۱۸|ref=harv| پیوند بایگانی = http://www.webcitation.org/77F2xQDNA | تاریخ بایگانی = ۲۹ مارس ۲۰۱۹}}
* {{یادکرد ژورنال | نام خانوادگی۱= هوخندایک | نام۱ = یان پ. | نام خانوادگی۲=امینی | نام۲=حسن | عنوان=مطالعه مقاطع مخروطی در دوره اسلامی | ژورنال=میراث علمی اسلام و ایران | شماره=۳ | سال=۱۳۹۲ | صفحه=۸۶–۹۸ | پیوند=https://www.noormags.ir/view/fa/articlepage/1016813 | زبان=fa | ref={{sfnref| هوخندایک | امینی | ۱۳۹۲ | pp=۸۶–۹۸}} | تاریخ دسترسی=۲۰۱۸-۱۲-۱۹| پیوند بایگانی = http://www.webcitation.org/77F31kyVz | تاریخ بایگانی = ۲۹ مارس ۲۰۱۹ }}
{{پایان پانویس}}

== پیوند به بیرون ==
{{انبار-رده|Circles}}
* [[:commons:Regular Heptadecagon Using Carlyle Circle.gif|ترسیم هفده‌ضلعی منتظم محاط در دایره با استفاده از دوایر کارلایک]]
{{دایره}}
{{داده‌های کتابخانه‌ای}}

[[رده:اشکال هندسی]]
[[رده:پی]]
[[رده:دایره‌ها]]
[[رده:مقاطع مخروطی]]
[[رده:منحنی‌ها]]
[[رده:هندسه]]