نمایش مبدأ برای خطی‌سازی

[[پرونده:Tangent-calculus.svg|بندانگشتی|300x300پیکسل| تقریب<math>f(x)= x^2</math> در <math>(x, f(x))</math>]]در [[ریاضیات]]، '''خطی‌سازی''' یافتن [[تقریب خطی]] یک [[تابع]] در یک نقطه معین است. تقریب خطی یک تابع اولین مرتبه [[بسط تیلور]] در حول نقطه مورد نظر است. در مطالعه [[سامانه پویا|سیستم‌های دینامیکی]]، خطی‌سازی روشی برای ارزیابی [[تئوری پایداری|پایداری]] موضعی یک [[نقطه تعادل]] [[سامانه|سیستم]] [[معادله دیفرانسیل|معادلات دیفرانسیل]] [[سامانه غیرخطی|غیرخطی]] یا [[سامانه پویا|سیستم‌های دینامیکی]] گسسته‌است.<ref>[http://www.scholarpedia.org/article/Siegel_disks/Linearization The linearization problem in complex dimension one dynamical systems at Scholarpedia]</ref> این روش در زمینه‌هایی مانند [[مهندسی]]، [[فیزیک]]، [[علم اقتصاد|اقتصاد]] و [[بوم‌شناسی]] استفاده می‌شود.

== مثال ==
برای پیدا کردن <math>\sqrt{4.001}</math> ، ما می‌توانیم از این واقعیت استفاده کنیم که <math>\sqrt{4} = 2</math> . خطی‌سازی <math>f(x) = \sqrt{x}</math> در <math>x = a</math> است <math>y = \sqrt{a} + \frac{1}{2 \sqrt{a}}(x - a)</math> ، زیرا تابع <math>f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}</math> شیب این تابع را تعریف می‌کند <math>f(x) = \sqrt{x}</math> در <math>x</math> . جایگزینی در <math>a = 4</math> ، خطی‌سازی در ۴ است <math>y = 2 + \frac{x-4}{4}</math> . در این مورد <math>x = 4.001</math> ، بنابراین <math>\sqrt{4.001}</math> تقریباً <math>2 + \frac{4.001-4}{4} = 2.00025</math> . مقدار واقعی نزدیک به ۲٫۰۰۰۲۴۹۹۸ است، بنابراین تقریب خطی دارای یک خطای نسبی کمتر از ۱ میلیونیم درصد است.

== خطی‌سازی یک تابع چندمتغیره ==
معادله خطی‌سازی یک تابع <math>f(x,y)</math> در نقطه <math>p(a,b)</math> است:

<math> f(x,y) \approx f(a,b) + \left. {\frac{{\partial f(x,y)}}{{\partial x}}} \right|_{a,b} (x - a) + \left. {\frac{{\partial f(x,y)}}{{\partial y}}} \right|_{a,b} (y - b)</math>

معادله عمومی برای خطی‌سازی یک تابع چند متغیره <math>f(\mathbf{x})</math> در نقطه <math>\mathbf{p}</math> است:

<math>f({\mathbf{x}}) \approx f({\mathbf{p}}) + \left. {\nabla f} \right|_{\mathbf{p}} \cdot ({\mathbf{x}} - {\mathbf{p}})</math>

در این‌جا <math>\mathbf{x}</math> بردار متغیرها است، و <math>\mathbf{p}</math> نقطه خطی‌سازی مورد علاقه است.<ref>[http://www.ece.jhu.edu/~pi/Courses/454/linear.pdf Linearization. The Johns Hopkins University. Department of Electrical and Computer Engineering] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100607120539/http://www.ece.jhu.edu/~pi/Courses/454/linear.pdf|date=2010-06-07}}</ref>

== موارد استفاده از خطی‌سازی ==
خطی‌سازی امکان استفاده از ابزارهایی را برای مطالعه [[سامانه خطی|سیستم‌های خطی]] برای تجزیه و تحلیل رفتار یک تابع غیرخطی در نزدیکی یک نقطه داده شده فراهم می‌کند. خطی‌سازی یک تابع اولین مرتبه [[بسط تیلور]] آن در حول نقطه مورد نظر است. برای سیستمی که با این معادله تعریف شده‌است

: <math>\frac{d\mathbf{x}}{dt} = \mathbf{F}(\mathbf{x},t)</math> ،

سیستم خطی‌شده را می‌توان به‌صورت نوشت

: <math>\frac{d\mathbf{x}}{dt} \approx \mathbf{F}(\mathbf{x_0},t) + D\mathbf{F}(\mathbf{x_0},t) \cdot (\mathbf{x} - \mathbf{x_0})</math>
که <math>\mathbf{x_0}</math> نقطه مورد علاقه است و <math>D\mathbf{F}(\mathbf{x_0})</math> [[ماتریس ژاکوبی|ژاکوبی]] <math>\mathbf{F}(\mathbf{x})</math> ارزیابی شده در <math>\mathbf{x_0}</math> است.
* <big>تجزیه و تحلیل پایداری</big>

در تجزیه و تحلیل [[نظریه پایداری|پایداری]] [[سیستم خودگردان (ریاضیات)|سیستم‌های خودگردان]]، می‌توان از [[مقدارویژه و بردارویژه|مقادیر ویژه]] [[ماتریس ژاکوبی|ماتریس ژاکوبین]] ارزیابی شده در یک [[نقطه تعادل هذلولی]] برای تعیین ماهیت آن تعادل استفاده کرد. این محتوای [[قضیه هارتمن – گروبمن|قضیه خطی‌سازی]] است. برای سیستم‌های متغیر با زمان، خطی‌سازی نیاز به توجیه اضافی دارد.<ref>{{Cite journal|last=Leonov|first=G. A.|last2=Kuznetsov|first2=N. V.|year=2007|title=Time-Varying Linearization and the Perron effects|journal=[[International Journal of Bifurcation and Chaos]]|volume=17|issue=4|pages=1079–1107|bibcode=2007IJBC...17.1079L|doi=10.1142/S0218127407017732}}</ref>
* <big>اقتصاد خرد</big>

در [[اقتصاد خرد]]، [[قانون تصمیم‌گیری|قوانین تصمیم‌گیری]] ممکن است تحت رویکرد حالت-مانا برای خطی‌سازی تقریبی شود.<ref name="statespace">Moffatt, Mike. (2008) [[About.com]] ''[http://economics.about.com/od/economicsglossary/g/statespace.htm State-Space Approach] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160304055023/http://economics.about.com/od/economicsglossary/g/statespace.htm |date=۴ مارس ۲۰۱۶ }}'' Economics Glossary; Terms Beginning with S. Accessed June 19, 2008.</ref> تحت این روش، [[معادلات اویلر (دینامیک سیالات)|معادلات اولر]] [[مسئله حداکثرسازی سود]] در حول حالت ثابت مانا خطی می‌شوند. سپس یک راه حل منحصر به فرد برای سیستم معادلات دینامیکی حاصل می‌شود.
* <big>بهینه‌سازی</big>
* <big>چندفیزیکی</big>

== جستارهای وابسته ==
* [[پایداری خطی]]
* [[مکانیک محاسباتی|ماتریس سختی مماس]]
* [[مشتقات پایداری]]
* [[قضیه خطی‌سازی]]
* [[قضیه تیلور|تقریب تیلور]]
* [[معادله تابعی (تابع ال)]]

== منابع ==
{{پانویس|چپ‌چین=بله}}

== پیوند به بیرون ==
=== آموزش خطی‌سازی ===
* [http://www.mathworks.com/discovery/linearization.html خطی‌سازی برای تحلیل مدل و طراحی کنترل]

[[رده:تقریب‌های ریاضی]]
[[رده:حساب دیفرانسیل]]
[[رده:سامانه‌های دینامیکی]]