نمایش مبدأ برای حل سری توانی معادلات دیفرانسیل

در [[ریاضیات]]، از '''روش سری توانی''' برای جستجوی جواب [[سری توانی]] برای [[معادله دیفرانسیل|معادلات دیفرانسیل]] معین استفاده می‌شود. به‌طور کلی، چنین جوابی یک [[سری توانی]] با ضرایب ناشناخته فرض می‌کند، سپس آن جواب را در معادله دیفرانسیل جایگزین می‌کند تا [[رابطه بازگشتی]] ضرایب را پیدا کند.

== روش ==
[[معادله دیفرانسیل خطی]] مرتبه دوم را در نظر بگیرید

: <math>a_2(z)f''(z)+a_1(z)f'(z)+a_0(z)f(z)=0.\;\!</math>

فرض کنید ''a'' <sub>2</sub> برای تمام ''z''‌ها غیر صفر باشد. سپس می‌توانیم تقسیم کنیم تا بدست آوریم

: <math>f''+{a_1(z)\over a_2(z)}f'+{a_0(z)\over a_2(z)}f=0.</math>

فرض کنید که ''a''<sub>1</sub>/''a''<sub>2</sub> و ''a''<sub>0</sub>/''a''<sub>2</sub> [[تابع تحلیلی|توابع تحلیلی]] هستند.

روش سری توانی خواستار ساخت یک جواب سری توانی است

: <math>f=\sum_{k=0}^\infty A_kz^k.</math>

اگر مقدار ''a''<sub>2</sub> برای بعضی از ''z''‌ها صفر باشد، [[روش فروبنیوس|روش فروبینوس]]، نوعی تغییر در این روش، برای مقابله با اصطلاح " [[نقطه تکین عادی|نقاط تکین]] " مناسب است. این روش برای معادلات مرتبه بالاتر و همچنین برای سیستم‌ها به‌طور مشابه کار می‌کند.

== مثال معمول ==
بیایید به [[معادله دیفرانسیل هرمیت]] نگاه کنیم،

: <math>f''-2zf'+\lambda f=0;\;\lambda=1</math>

ما می‌توانیم سعی کنیم یک راه حل سری بسازیم

: <math>f=\sum_{k=0}^\infty A_kz^k</math>
: <math>f'=\sum_{k=1}^\infty kA_kz^{k-1}</math>
: <math>f''=\sum_{k=2}^\infty k(k-1)A_kz^{k-2}</math>

اینها را در معادله دیفرانسیل جایگزین کنید

: <math>
\begin{align}
& {} \quad \sum_{k=2}^\infty k(k-1)A_kz^{k-2}-2z\sum_{k=1}^\infty kA_kz^{k-1}+\sum_{k=0}^\infty A_kz^k=0 \\
& =\sum_{k=2}^\infty k(k-1)A_kz^{k-2}-\sum_{k=1}^\infty 2kA_kz^k+\sum_{k=0}^\infty A_kz^k
\end{align}
</math>

تغییر در اولین جمع

: <math>
\begin{align}
& = \sum_{k=0}^\infty (k+2)(k+1) A_{k+2} z^k - \sum_{k=1}^\infty 2k A_k z^k + \sum_{k=0}^\infty A_k z^k \\
& = 2 A_2 + \sum_{k=1}^\infty (k+2)(k+1) A_{k+2} z^k - \sum_{k=1}^\infty 2k A_k z^k + A_0 + \sum_{k=1}^\infty A_k z^k \\
& = 2 A_2 + A_0 + \sum_{k=1}^\infty \left( (k+2) (k+1) A_{k+2} + (-2k+1) A_k \right) z^k
\end{align}
</math>

اگر این سری یک جواب باشد، تمام این ضرایب باید صفر باشند، بنابراین هم برای k=۰ و هم برای k> 0:

: <math>(k+2)(k+1)A_{k+2}+(-2k+1)A_k=0\;\!</math>

برای بدست آوردن [[رابطه بازگشتی]] برای ''A''<sub>''k''+2</sub> می‌توانیم این ترتیب را مرتب کنیم.

: <math>(k+2)(k+1)A_{k+2}=-(-2k+1)A_k\;\!</math>

: <math>A_{k+2}={(2k-1)\over (k+2)(k+1)}A_k\;\!</math>

اکنون، ما داریم

: <math>A_2 = {-1 \over (2)(1)}A_0={-1\over 2}A_0,\, A_3 = {1 \over (3)(2)} A_1={1\over 6}A_1</math>

ما می‌توانیم ''A''<sub>0</sub> و ''A''<sub>1</sub> را اگر شرایط اولیه وجود داشته باشد، تعیین کنیم، یعنی اگر یک [[مسئله مقدار اولیه]] داشته باشیم.

بنابراین ما داریم

: <math>
\begin{align}
A_4 & ={1\over 4}A_2 = \left({1\over 4}\right)\left({-1 \over 2}\right)A_0 = {-1 \over 8}A_0 \\[8pt]
A_5 & ={1\over 4}A_3 = \left({1\over 4}\right)\left({1 \over 6}\right)A_1 = {1 \over 24}A_1 \\[8pt]
A_6 & = {7\over 30}A_4 = \left({7\over 30}\right)\left({-1 \over 8}\right)A_0 = {-7 \over 240}A_0 \\[8pt]
A_7 & = {3\over 14}A_5 = \left({3\over 14}\right)\left({1 \over 24}\right)A_1 = {1 \over 112}A_1
\end{align}
</math>

و جواب سری

: <math>
\begin{align}
f & = A_0z^0+A_1z^1+A_2z^2+A_3z^3+A_4z^4+A_5z^5+A_6z^6+A_7z^7+\cdots \\[8pt]
& = A_0z^0 + A_1z^1 + {-1\over 2}A_0z^2 + {1\over 6}A_1z^3 + {-1 \over 8}A_0z^4 + {1 \over 24}A_1z^5 + {-7 \over 240}A_0z^6 + {1 \over 112}A_1z^7 + \cdots \\[8pt]
& = A_0z^0 + {-1\over 2}A_0z^2 + {-1 \over 8}A_0z^4 + {-7 \over 240}A_0z^6 + A_1z + {1\over 6}A_1z^3 + {1 \over 24}A_1z^5 + {1 \over 112}A_1z^7 + \cdots
\end{align}
</math>

که می‌توانیم آن را به مجموع دو جواب سری [[استقلال خطی|مستقل خطی]] بشکنیم:

: <math>f=A_0 \left(1+{-1\over 2}z^2+{-1 \over 8}z^4+{-7 \over 240}z^6+\cdots\right) + A_1\left(z+{1\over 6}z^3+{1 \over 24}z^5+{1 \over 112}z^7+\cdots\right)</math>

که با استفاده از [[سری‌های فوق‌هندسی]] می‌تواند بیشتر ساده شود.

== معادلات غیرخطی ==
روش سری توانی را می‌توان در معادلات دیفرانسیل [[سامانه غیرخطی|غیرخطی]] معین اعمال کرد، البته با انعطاف‌پذیری کمتر. یک دسته بسیار بزرگ از معادلات غیرخطی را می‌توان با استفاده از [[روش پارکر-سوچاکی]] به‌صورت تحلیلی حل کرد.

== پیوند به بیرون ==
{{چپ‌چین}}
* <templatestyles src="Module:Citation/CS1/styles.css"></templatestyles>{{MathWorld|urlname=FrobeniusMethod|title=Frobenius Method}}
{{پایان چپ‌چین}}

== منابع ==
{{چپ‌چین}}
* {{cite book|last1=Coddington|first1=Earl A.|last2=Levinson|first2=Norman|title=Theory of Ordinary Differential Equations|url=https://archive.org/details/theoryofordinary00codd|url-access=registration|publisher= McGraw–Hill |location=New York|year=1955}}
* {{cite book|surname=Hille|given=Einar|authorlink=Einar Hille|title=Ordinary Differential Equations in the Complex Domain|publisher=[[Dover Publications]]|place=[[Mineola, New York|Mineola]]|year=1976}}
* {{cite book|last=Teschl|given=Gerald|authorlink=Gerald Teschl|title=Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems|publisher=[[American Mathematical Society]]|place=[[Providence, Rhode Island|Providence]]|year=2012|isbn=978-0-8218-8328-0|url=https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/}}
* {{cite journal|last1=Lozi|first1=R.|last2=Pogonin|first2=V.A.|last3=Pchelintsev|first3=A.N.|year=2016|title=A new accurate numerical method of approximation of chaotic solutions of dynamical model equations with quadratic nonlinearities|url=https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01319597/file/RLozi_VPogonin_APchelintsev_A_New_Accurate_Numerical_Method.pdf|journal=Chaos, Solitons & Fractals|volume=91|pages=108–114|doi=10.1016/j.chaos.2016.05.010|ref=harv}}
{{پایان چپ‌چین}}
[[رده:معادلات دیفرانسیل معمولی]]