نمایش مبدأ برای حلقه (ریاضیات)

{{نوارکناری نظریه حلقه‌ها}}
{{ساختارهای جبری|حلقه}}
[[پرونده:Chapitel IX. of Die Theorie der algebraischen Zahlkörper.png|جایگزین=صفحه ای از کتاب هیلبرت|بندانگشتی|فصل IX از کتاب [[دیوید هیلبرت]] به نام: Die Theorie der algebraischen Zahlkörper. عنوان این فصل Die Zahlringe des Körpers است. معنای تحت‌اللفظی آن می‌شود: "حلقه‌های عددیِ میدان". کلمه "حلقه" در این‌جا [[ادغام (زبان‌شناسی)|ادغامی]] از "Zahlring" است.]]
یک '''حلقه''' {{به انگلیسی|ring}} در [[ریاضیات]]، [[ساختار جبری|ساختاری جبری]] است که [[میدان (ریاضیات)|میدان]] را تعمیم می‌دهد: نیازی نیست که ضرب [[خاصیت جابه‌جایی|جابجایی‌پذیر]] باشد، و نیازی نیست تا [[وارون ضربی]] وجود داشته باشد. به زبان دیگر، یک ''حلقه'' یک [[مجموعه (ریاضیات)|مجموعه]] مجهز به دو [[عمل دوتایی]] است که ویژگی‌هایی شبیه [[جمع (ریاضی)|جمع]] و [[ضرب (ریاضی)|ضرب]] [[عدد صحیح|اعداد صحیح]] را برآورده می‌کند. عناصر حلقه می‌تواند اعدادی مثل [[عدد صحیح]] یا [[عدد مختلط]] باشد، اما این عناصر می‌تواند اشیای غیر عددی مثل [[چندجمله‌ای]]، [[ماتریس مربعی]]، [[تابع (ریاضیات)|تابع]] و [[سری توانی]] هم باشد.

از نظر صوری، یک ''حلقه'' [[گروه آبلی|گروهی آبلی]] است که عملیات آن ''جمع'' نامیده شده، به همراه عملگر دوتایی ثانویه که ضرب نام‌دارد و [[خاصیت شرکت‌پذیری]] داشته و روی عملگر جمع [[خاصیت توزیع‌پذیری|توزیع‌پذیر]] است و دارای [[عنصر همانی]] ضربی است (این خاصیت اخیر نزد برخی از مؤلفین الزامی نیست، {{slink||یادداشت‌های مربوط به تعاریف}} را ببینید). پیرو تعمیم اعداد صحیح، به عملیات گروهی آبلی حلقه‌ها، ''جمع'' و به عملگر ثانویه آن ''ضرب'' گویند.

این که آیا یک حلقه جابجایی است یا خیر (یعنی این که آیا ترتیب ضرب دو عنصر حلقه بر نتیجه ضربشان اثرگذار است یا نه؟)، اثرات ژرفی بر روی رفتار یک شیء جبری دارد. در نتیجه، نظریه حلقه‌های جابجایی را اغلب [[جبر جابجایی]] گویند، که مبحث کلیدی در نظریه حلقه هاست. توسعه جبرجابجایی به میزان چشمگیری از مسائل و ایده‌هایی که به‌طور طبیعی در [[نظریه جبری اعداد]] و [[هندسه جبری]] وجود دارند وام گرفته‌است. مثال‌هایی از [[حلقه‌های جابجایی]] شامل این موارد می‌شود: اعداد صحیح مجهز به عملیات جمع و ضرب، مجموعه چند جمله ای‌ها به همراه جمع و ضرب بینشان، حلقه مختصاتی یک [[واریته جبری]] آفینی و حلقه اعداد یک میدان عددی. مثال‌هایی از حلقه‌های ناجابجایی شامل حلقه ماتریس‌های حقیقی مربعی <math>n \times n</math> که در آن <math>n \geq 2</math>، حلقه گروه‌ها در [[نظریه نمایش]]، جبر عملگرها در [[آنالیز تابعی]]، حلقه عملگرهای دیفرانسیلی در نظریه عملگرهای دیفرانسیل و حلقه کوهمولوژی یک [[فضای توپولوژی|فضای توپولوژیکی]] در [[توپولوژی]].

مفهوم سازی برای حلقه‌ها در دهه ۱۸۷۰ شروع شد و در دههٔ ۱۹۲۰ تکمیل شد. افرادی که نقش کلیدی در این فرایند داشتند شامل [[ریچارد ددکیند|ددکیند]]، [[دیوید هیلبرت|هیلبرت]]، [[آبراهام فرنکل|فرانکل]] و [[امی نوتر|نوتر]] بودند حلقه‌ها را اولین بار به عنوان تعمیم‌هایی از دامنه‌های ددکیند، که در نظریه اعداد، حلقه‌های چند جمله ای و پایاهایی که در هندسه جبری و نظریه پایا ظاهر می‌شوند، به صورت صوری و رسمی درآوردند. سپس، مشخص شد که مفهوم حلقه‌ها در دیگر شاخه‌های ریاضیاتی چون [[هندسه]] و [[آنالیز ریاضی]] نیز مفیدند.

== تعریف و مثال ==
آشناترین مثال یک حلقه، مجموعه اعداد صحیح، <math>\mathbb{Z}</math> شامل اعداد زیر است:

{{وسط‌چین}}
<math> ... , -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... </math>
{{پایان}}

خواص آشنای جمع و ضرب اعداد صحیح، مدلی برای اصول موضوعه حلقه هاست.

=== تعریف ===
'''حلقه'''، مجموعه ای چون <math>R</math> است که به عمل‌های دوتایی<ref>این بدان معناست که هر عملیات برای هر جفت عناصر در حلقه <math>R</math> نتیجه منحصر به فردی را در <math>R</math> تولید می‌کند.</ref> + و '''.''' مجهز شده به گونه ای که در اصول موضوعه زیر به نام '''اصول موضوعه حلقه‌ها''' صدق کند:<ref>{{cite book|author=Nicolas Bourbaki|title=Algebra|publisher=Springer-Verlag|section=§I.8|year=1970}}</ref><ref>{{cite book|title=Algebra|author1=Saunders MacLane|author2=Garrett Birkhoff|publisher=AMS Chelsea|page=85|year=1967|author1-link=Saunders MacLane}}</ref><ref>{{cite book|author=Serge Lang|title=Algebra|url=https://archive.org/details/algebra00slan_986|publisher=Springer-Verlag|page=[https://archive.org/details/algebra00slan_986/page/n97 83]|year=2002|edition=Third|author-link=Serge Lang}}</ref>
#<math>R</math> تحت جمع یک [[گروه آبلی|گروه آبلیست]]، یعنی:
#* برای تمام <math>a, b, c</math> در <math>R</math> داریم <math>(a + b) + c = a + (b + c)\,</math> (یعنی + شرکت‌پذیر است).
#* برای تمام <math>a, b</math> در <math>R</math> داریم <math>a + b = b + a\,</math> (یعنی + جابجاییست).
#* عنصری چون <math>0</math> در <math>R</math> وجود دارد چنان‌که برای تمام <math>a</math> در <math>R</math> داشته باشیم <math>a + 0 = a\,</math> (یعنی <math>R</math> یک عنصر همانی جمعیست).
#* برای هر <math>a</math> در <math>R</math> وجود دارد <math>-a</math> در <math>R</math> چنان‌که <math>a + (-a) = 0\,</math> (یعنی، <math>-a</math> یک معکوس جمعی برای <math>a</math> است).
#<math>R</math> تحت ضرب یک [[مونوئید]] است، یعنی:
#* برای تمام <math>a, b, c</math> در <math>R</math> داریم <math>(a.b).c = a.(b.c)</math> (یعنی. شرکت‌پذیر است).
#* عنصری چون <math>1</math> در <math>R</math> وجود دارد به گونه ای که برای تمام <math>a</math> در <math>R</math> داریم <math> a.1 = a</math> و <math>1.a = a</math> (یعنی <math>1</math> همانی ضربی است).<ref>وجود 1 توسط برخی از مؤلفان مفروض واقع نشده؛ اینجا عبارت rng برای حلقه‌های بدون همانی ضربی استفاده شده. <!-- این رایج‌ترین قرارداد یک همانی ضربی است که در کل ویکی‌پدیای انگلیسی استفاده شده‌است، لطفاً آن را تغییر ندهید--> لطفاً بخش یادداشت‌های مقاله حلقه (ریاضیات) را ببینید.</ref>
# ضرب بر روی جمع توزیع پذیر است، یعنی:
#* برای تمام <math>a, b, c</math> در <math>R</math> داریم <math>a.(b + c) = (a.b) + (a.c)\,</math> (توزیع پذیری از چپ).
#* برای تمام <math>a, b, c</math> در <math>R</math> داریم <math>(b + c).a = (b.a) + (c.a)\,</math> (توزیع پذیری از راست).

=== یادداشتی در مورد تعریف ===
همان‌طور که در بخش تاریخچه در قسمت پایین توضیح داده شده، بسیاری از مؤلفان از قرارداد دیگری استفاده می‌کنند که در آن برای یک حلقه وجود عنصر همانی ضربی الزامی نیست. در این مقاله از این قرارداد استفاده شده که وجود عنصر همانی ضربی الزامی '''است'''، مگر خلاف آن ذکر شود. مؤلفانی که از قرارداد اخیر (وجود عنصر همانی ضربی) پیروی می‌کنند، به حلقه‌هایی که در آن‌ها عنصر همانی تعریف نشده '''rng''' (به صورت ''rung'' یا رانگ تلفظ می‌شود) گویند و برخی مواقع به آن '''حلقه کاذب''' (pseudo-ring) هم گفته می‌شود. به عنوان مثال، مجموعه اعداد زوج تحت جمع و ضرب معمولی یک rng (رانگ) است اما حلقه نیست.

عملیات + و. را به ترتیب ''جمع'' و ''ضرب'' گویند. معمولاً نماد ضرب یعنی. حذف می‌شود، لذا کنار هم قرار گرفتن عناصر به صورت ضرب تعبیر می‌شود. به عنوان مثال <math>xy</math> معنی <math>x.y</math> می‌دهد.

گرچه جمع در حلقه جابجاییست، ضرب حلقه لزوماً جابجایی نیست: <math>ab</math> لزوماً برابر با  <math>ba</math> نیست. حلقه‌هایی که شرط جابجایی ضربی را ارضاء می‌کنند (مثل حلقه اعداد صحیح) را '''حلقه جابجایی''' گویند. کتاب‌های جبر جابجایی یا هندسه جبری اغلب برای ساده‌سازی اینگونه قرارداد می‌کنند که ''حلقه'' به معنای ''حلقه جابجایی'' است.

در یک حلقه، نیاز نیست که عناصر دارای معکوس ضربی باشند. یک حلقه جابجایی (نابدیهی) که در آن هر عنصر ناصفر معکوس ضربی داشته باشد را میدان گویند.

گروه جمعی یک حلقه صرفاً مجهز به جمع است. گرچه که تعریف حلقه فرض را بر این می‌گیرد که گروه جمعی آبلی است، اما این مسئله (آبلی بودن گروه جمعی) را می‌توان از دیگر اصول موضوعه‌های حلقه استنباط کرد (یعنی یک اصول موضوعهٔ مستقل نیست).<ref>I. M. Isaacs, Algebra: A Graduate Course, AMS, 1994, p. 160.</ref> اثبات نکته اخیر از طریق فرض وجود عنصر "<math>1</math>" است، پس اثبات آن در '''rng''' قابل استفاده نیست (در مورد رانگ‌ها، حذف فرض جابجایی بودن جمع، باعث می‌شود که جابجایی بودن ضرب عناصر، یعنی <math>ab+cd=cd+ab</math> را بتوان از بقیه اصول موضعه استنباط کرد).

برخی از مؤلفین حلقه را بدون فرض شرکت پذیری ضربی تعریف می‌کنند.<ref>{{cite web |url=https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Non-associative_rings_and_algebras |title=Non-associative rings and algebras |website=Encyclopedia of Mathematics}}</ref> این تعریف کلی یک حلقه (که لزوماً شرکت پذیر نباشد، و لزوماً یک دار نباشد) هنگامی مفید است که بخواهیم هر جبر را یک حلقه در نظر بگیریم.

=== خواص پایه ای ===
برخی از خواص پایه ای یک حلقه فوراً از اصول موضعه بدست می‌آیند:
* همانی جمعی، معکوس‌های ضربی هر عنصر و همانی ضربی، همگی منحصر به فردند.
* برای هر عنصری چون <math>x</math> در یک حلقه چون <math>R</math>، داریم <math>x0=0=0x</math> (صفر نسبت به ضرب یک عنصر جاذب (جذب کننده) است) و <math>(-1)x = -x </math>.
* اگر در یک حلقه <math>R</math> داشته باشیم <math> 0=1</math>، (یا به‌طور کلی تر اگر <math>0</math> یک عنصر معکوس پذیر ضربی باشد)، آنگاه <math>R</math> تنها یک عنصر خواهد داشت، به چنین حلقه ای، حلقه صفر گویند.
* [[فرمول دو جمله ای]] برای تمام زوج عناصر جابجا شونده (یعنی، هر <math>x</math> و <math>y</math> که در رابطه <math>xy = yx</math> صدق کنند) برقرار است.

=== مثال: اعداد صحیح به هنگ ۴ ===
همچنین رجوع کنید به: [[حساب پیمانه ای]]

مجموعه <math>\mathbb{Z}_4 = \left\{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \overline{3}\right\}</math> به عملیات زیر مجهز شده‌است:
* جمع <math>\overline{x} + \overline{y}</math> در <math>\mathbb{Z}_{4}</math> برابر باقیمانده تقسیم <math>x+y</math> بر ۴ است (چون همیشه <math>x+y</math> از ۸ کوچکتر است، باقیمانده تقسیم آن بر ۴ یا برابر <math>x+y</math> است یا <math>x+y-4</math>). به عنوان مثال، <math>\overline{2} + \overline{3} = \overline{1}</math> و <math>\overline{3} + \overline{3} = \overline{2}</math>.
* ضرب <math>\overline{x} \cdot \overline{y}</math> در <math>\mathbb{Z}_{4}</math> برابر با باقیمانده تقسیم <math>xy</math> بر <math>4</math> است. برای مثال، <math>\overline{2} \cdot \overline{3} = \overline{2}</math> و <math>\overline{3} \cdot \overline{3} = \overline{1}</math>.

آنگاه، <math>\mathbb{Z}_{4}</math> یک حلقه است: هر [[اصل موضوع (منطق)|اصل موضوع]] از اصل موضوع متناظرش در <math>\mathbb{Z}</math> بدست آمده و این عنصر را اغلب به صورت "x mod 4" یا <math>\overline{x}</math> نمایش می‌دهند که با نمادهای <math>0, 1, 2, 3, 4</math> سازگاری دارند. معکوس جمعی هر عنصر مثل <math>\overline{x}</math> در <math>\mathbb{Z}_{4}</math> به صورت <math>- \overline{x}</math> است. به عنوان مثال، <math>- \overline{3} = \overline{-3} = \overline{1}</math>.

== یادداشت‌ها ==
{{آغاز پانویس|چپ‌چین=بله}}
{{cnote|a|برخی مؤلفان تنها نیم گروه بودن حلقه تحت ضرب را الزامی می‌دانند؛ یعنی نیاز نیست حلقه عنصر همانی ضربی داشته باشد (۱).}}
{{cnote|b|عناصری که معکوس ضربی داشته باشند را یکال گویند. , این مرجع را ببینید: {{Harvard citations|nb = yes|last = Lang|year = 2002|loc =§II.1, p. 84}}.}}
{{cnote|c|اصل موضوع بسته بودن پیش از این در تعریف دوتایی بودن عملیات +/• لحاظ شده‌است؛ لذا برخی مؤلفین این اصل را حذف می‌کنند {{Harvard citations|nb = yes|last = Lang|year = ۲۰۰۲}}}}
{{cnote|d|انتقال از اعداد صحیح به اعداد گویا با اضافه نمودن کسرها توسط مفهوم «میدان کسرها» تعمیم پیدا می‌کند.}}
{{cnote|e|بسیاری از مؤلفان جابجا بودن حلقه را در «اصول موضوعه» حلقه می‌گنجانند و لذا به چنین حلقه‌هایی «حلقه‌های جابجایی»، یا فقط «حلقه» گویند.}}
{{پایان پانویس}}

== ارجاعات ==
{{پانویس|چپ‌چین=بله|۲}}

== منابع ==
=== منابع عمومی ===
{{چپ‌چین}}
* {{Cite book
 | last=Artin
 | first=Michael
 | author-link=Michael Artin
 | title=Algebra
 | url=https://archive.org/details/algebra0000arti_x4a1
 | publisher=Prentice-Hall
 | year=1991
}}
* {{Cite book
 | last1=Atiyah
 | first1=Michael
 | author1-link=Michael Atiyah
 | last2=Macdonald
 | first2=Ian G.
 | author2-link=Ian G. Macdonald
 | title=Introduction to commutative algebra
 | publisher=Addison–Wesley
 | year=1969
}}
* {{Cite book
 | last1=Bourbaki
 | first1=N.
 | author1-link=Nicolas Bourbaki
 | title=Algebra I, Chapters 1-3
 | publisher=Springer
 | year=1998
}}
* {{Citation
 | last1=Cohn
 | first1=Paul Moritz
 | title=Basic algebra: groups, rings, and fields
 | year=2003
 | publisher=Springer
 | isbn=978-1-85233-587-8
}}.
* {{Cite book
 | last=Eisenbud
 | first=David
 | author-link=David Eisenbud
 | title=Commutative algebra with a view toward algebraic geometry
 | url=https://archive.org/details/commutativealgeb0000eise
 | publisher=Springer
 | year=1995
}}
* {{Cite Book
 | last1=Gallian
 | first1=Joseph A.
 | title=Contemporary Abstract Algebra, Sixth Edition.
 | url=https://archive.org/details/contemporaryabst0000gall
 | publisher=Houghton Mifflin
 | year=2006
 | isbn=978-0-618-51471-7
}}
* {{Cite book
 | title=Radical Theory of Rings
 | publisher= Chapman & Hall/CRC Pure and Applied Mathematics
 | first1=J.W.
 | last1=Gardner
 | first2=R.
 | last2=Wiegandt
 | year=2003
 | isbn=0-8247-5033-0
}}
* {{Cite book
 | last=Herstein
 | first=I. N.
 | author-link=Israel Nathan Herstein
 | others=With an afterword by Lance W. Small
 | title=Noncommutative rings
 | series=Carus Mathematical Monographs
 | volume=15
 | publisher=Mathematical Association of America
 | year=1994
 | origyear=reprint of the 1968 original
 | isbn=0-88385-015-X
}}
* {{Cite Book
 | last1=Hungerford
 | first1=Thomas W.
 | title=Abstract Algebra: an Introduction, Second Edition.
 | publisher=Brooks/Cole
 | year=1997
 | isbn=978-0-03-010559-3
}}
* {{Cite book
 | last=Jacobson
 | first=Nathan
 | author-link=Nathan Jacobson
 | title=Basic algebra
 | edition=2nd
 | volume=1
 | publisher=Dover
 | year=2009
 | isbn=978-0-486-47189-1
}}
* {{Cite journal
 | last=Jacobson
 | first=Nathan
 | author-link=Nathan Jacobson
 | title=Structure of rings
 | journal=American Mathematical Society Colloquium Publications
 | volume=37
 | edition=Revised
 | year=1964
}}
* {{Cite journal
 | last=Jacobson
 | first=Nathan
 | author-link=Nathan Jacobson
 | title=The Theory of Rings
 | journal=American Mathematical Society Mathematical Surveys
 | volume=I
 | year=1943
}}
* {{Citation
 | last1=Kaplansky
 | first1=Irving
 | author1-link=Irving Kaplansky
 | title=Commutative rings
 | publisher=[[University of Chicago Press]]
 | edition=Revised
 | mr=0345945
 | year=1974
 | isbn=0-226-42454-5
 | url=https://archive.org/details/commutativerings00irvi
}}.
* {{Cite book
 | last=Lam
 | first=Tsit Yuen
 | author-link=Tsit Yuen Lam
 | title=A first course in noncommutative rings
 | edition=2nd
 | series=Graduate Texts in Mathematics
 | volume=131
 | publisher=Springer
 | year=2001
 | isbn=0-387-95183-0
}}
* {{Cite book
 | last=Lam
 | first=Tsit Yuen
 | author-link=Tsit Yuen Lam
 | title=Exercises in classical ring theory
 | edition=2nd
 | series=Problem Books in Mathematics
 | publisher=Springer
 | year=2003
 | isbn=0-387-00500-5
}}
* {{Cite book
 | last=Lam
 | first=Tsit Yuen
 | author-link=Tsit Yuen Lam
 | title=Lectures on modules and rings
 | series=Graduate Texts in Mathematics
 | volume=189
 | publisher=Springer
 | year=1999
 | isbn=0-387-98428-3
}}
* {{Lang Algebra|edition=3r}}.
* {{Cite book
 | last1=Matsumura
 | first1=Hideyuki
 | title=Commutative Ring Theory
 | publisher=[[Cambridge University Press]]
 | edition=2nd
 | series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics
 | year=1989
 | isbn=978-0-521-36764-6
}}
* {{Cite web
 | last=Milne
 | first=J.
 | title=A primer of commutative algebra
 | url=http://www.jmilne.org/math/xnotes/ca.html
}}
* {{Citation
 | last1=Rotman
 | first1=Joseph
 | title=Galois Theory
 | publisher=Springer
 | edition=2nd
 | year=1998
 | isbn=0-387-98541-7
}}.
* {{Citation
 | last1=van der Waerden
 | first1=Bartel Leendert
 | author1-link=Bartel Leendert van der Waerden
 | title=Moderne Algebra. Teil I
 | publisher=Springer
 | series= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften
 | volume=33
 | isbn=978-3-540-56799-8
 | year=1930
| mr=0009016
 | title-link=Moderne Algebra
}}.
* {{Cite Book
 | last1=Warner
 | first1=Seth
 | title=Modern Algebra
 | publisher=Dover
 | year=1965
 | isbn=978-0-486-66341-8
}}
* {{Cite book
 | first1=Raymond Louis
 | last1=Wilder
 | title=Introduction to Foundations of Mathematics
 | url=https://archive.org/details/introductiontofo0000wild_t0a3
 | publisher=Wiley
 | year=1965
}}
* {{Cite book
 | last1=Zariski
 | first1=Oscar
 | last2=Samuel
 | first2=Pierre
 | title=Commutative Algebra
 | volume=1
 | publisher=Van Nostrand
 | year=1958
}}
{{پایان چپ‌چین}}

=== منابع تخصصی ===
{{چپ‌چین}}
* {{Citation
 | last1=Balcerzyk
 | first1=Stanisław
 | last2=Józefiak
 | first2=Tadeusz
 | title=Commutative Noetherian and Krull rings
 | publisher=Ellis Horwood Ltd.
 | location=Chichester
 | series=Mathematics and its Applications
 | year=1989
 | isbn=978-0-13-155615-7
}}.
* {{Citation
 | last1=Balcerzyk
 | first1=Stanisław
 | last2=Józefiak
 | first2=Tadeusz
 | title=Dimension, multiplicity and homological methods
 | publisher=Ellis Horwood Ltd.
 | location=Chichester
 | series=Mathematics and its Applications
 | isbn=978-0-13-155623-2
 | year=1989
}}.
* {{Cite journal
 | last=Ballieu
 | first=R.
 | title=Anneaux finis; systèmes hypercomplexes de rang trois sur un corps commutatif
 | journal=Ann. Soc. Sci. Bruxelles
 | volume=I
 | issue=61
 | pages=222–227
 | year=1947
}}
* {{Cite book
 | last1=Berrick
 | first1=A. J.
 | last2=Keating
 | first2=M. E.
 | title=An Introduction to Rings and Modules with K-Theory in View
 | publisher=Cambridge University Press
 | year=2000
}}
* {{citation|title=Skew Fields: Theory of General Division Rings|volume=57|series=Encyclopedia of Mathematics and its Applications|first=Paul Moritz|last=Cohn|publisher=Cambridge University Press|year=1995|isbn=978-0-521-43217-7}}.
* {{Citation
 | last1=Eisenbud
 | first1=David
 | author1-link=David Eisenbud
 | title=Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry.
 | publisher=Springer
 | series=Graduate Texts in Mathematics
 | volume=150
 | mr=1322960
 | year=1995
 | isbn=978-0-387-94268-1
}}.
* {{Cite journal
 | last1=Gilmer
 | first1=R.
 | last2=Mott
 | first2=J.
 | title=Associative Rings of Order
 | journal=Proc. Japan Acad.
 | volume=49
 | pages=795–799
 | year=1973
 | doi=10.3792/pja/1195519146
}}
* {{Cite book
 | last1=Harris
 | first1=J. W.
 | last2=Stocker
 | first2=H.
 | title=Handbook of Mathematics and Computational Science
 | url=https://archive.org/details/handbookofmathem00harr
 | publisher=Springer
 | year=1998
}}
* {{Citation
 | last1=Jacobson
 | first1=Nathan
 | author1-link=Nathan Jacobson
 | title=Structure theory of algebraic algebras of bounded degree
 | journal=[[Annals of Mathematics]]
 | issn=0003-486X
 | volume=46
 | issue=4
 | pages=695–707
 | doi=10.2307/1969205
 | jstor=1969205
 | publisher=Annals of Mathematics
 | year=1945
}}.
* {{Cite book
 | last=Knuth
 | first=D. E.
 | author-link=Donald Knuth
 | title=The Art of Computer Programming
 | volume=Vol. 2: Seminumerical Algorithms
 | edition=3rd
 | publisher=Addison–Wesley
 | year=1998
}}
* {{Cite book
 | last1=Korn
 | first1=G. A.
 | last2=Korn
 | first2=T. M.
 | title=Mathematical Handbook for Scientists and Engineers
 | publisher=Dover
 | year=2000
 | url=https://books.google.com/books?id=xUQc0RZhQnAC&printsec=frontcover#v=onepage&q=ring&f=false
}}
* {{Cite web
 | last=Milne
 | first=J.
 | title=Class field theory
 | url=http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/cft.html
}}
* {{Citation
 | last1=Nagata
 | first1=Masayoshi
 | author1-link=Masayoshi Nagata
 | title=Local rings
 | publisher=Interscience Publishers
 | series=Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics
 | year=1962
 | origyear=1975 reprint
 | mr=0155856
 | volume=13
 | isbn=978-0-88275-228-0
}}.
* {{Cite book
 | last=Pierce
 | first=Richard S.
 | title=Associative algebras
 | series=Graduate Texts in Mathematics
 | volume=88
 | publisher=Springer
 | year=1982
 | isbn=0-387-90693-2
 | url=https://archive.org/details/associativealgeb00pier_0
}}
* {{Citation
 | last=Poonen
 | first=Bjorn
 | author1-link=Bjorn Poonen
 | title=Why all rings should have a 1
 | url=https://math.mit.edu/~poonen/papers/ring.pdf
}}
* {{Citation
 | last=Serre
 | first=Jean-Pierre
 | author1-link=Jean-Pierre Serre
 | title=Local fields
 | series=Graduate Texts in Mathematics
 | volume=67
 | publisher=Springer
 | year=1979
}}.
* {{Citation
 | last=Springer
 | first=Tonny A.
 | title=Invariant theory
 | series=Lecture Notes in Mathematics
 | volume=585
 | publisher=Springer
 | year=1977
 | url=https://books.google.com/books?id=pTV7CwAAQBAJ&printsec=frontcover#v=snippet&q=ring&f=false
| isbn=978-3-540-37370-4
}}.
* {{Cite web
 | last=Weibel
 | first=Charles
 | title=The K-book: An introduction to algebraic K-theory
 | url=http://www.math.rutgers.edu/~weibel/Kbook.html
}}
* {{Cite book
 | last1=Zariski
 | first1=Oscar
 | author1-link=Oscar Zariski
 | last2=Samuel
 | first2=Pierre
 | author2-link=Pierre Samuel
 | title=Commutative algebra
 | series=Graduate Texts in Mathematics
 | volume=28-29
 | publisher=Springer
 | year=1975
 | isbn=0-387-90089-6
}}
{{پایان چپ‌چین}}

=== منابع اولیه ===
{{چپ‌چین}}
* {{Cite journal
 | last=Fraenkel
 | first=A.
 | author-link=Abraham Fraenkel
 | title=Über die Teiler der Null und die Zerlegung von Ringen
 | journal=J. Reine Angew. Math.
 | volume=145
 | pages=139–176
 | year=1914
}}
* {{Cite journal
 | last=Hilbert
 | first=David
 | author-link=David Hilbert
 | title=Die Theorie der algebraischen Zahlkörper
 | journal=Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung
 | volume=4
 | year=1897
}}
* {{Cite journal
 | last=Noether
 | first=Emmy
 | author-link=Emmy Noether
 | title=Idealtheorie in Ringbereichen
 | journal=Math. Annalen
 | volume=83
 | issue=1–2
 | pages=24–66
 | year=1921
 | doi=10.1007/bf01464225
| url=https://zenodo.org/record/1428306
}}
{{پایان چپ‌چین}}

=== منابع تاریخی ===
{{چپ‌چین}}
* [http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Ring_theory.html History of ring theory at the MacTutor Archive] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170424234340/http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Ring_theory.html |date=۲۴ آوریل ۲۰۱۷}}
* [[Garrett Birkhoff]] and [[Saunders Mac Lane]] (1996) ''A Survey of Modern Algebra'', 5th ed. New York: Macmillan.
* Bronshtein, I. N. and Semendyayev, K. A. (2004) [[Bronshtein and Semendyayev|Handbook of Mathematics]], 4th ed. New York: Springer-Verlag {{isbn|3-540-43491-7}}.
* Faith, Carl (1999) ''Rings and things and a fine array of twentieth century associative algebra''. Mathematical Surveys and Monographs, 65. [[American Mathematical Society]] {{isbn|0-8218-0993-8}}.
* Itô, K. editor (1986) "Rings." §368 in ''Encyclopedic Dictionary of Mathematics'', 2nd ed. , Vol. 2. Cambridge, MA: [[MIT Press]].
* [[Israel Kleiner (mathematician)|Israel Kleiner]] (1996) "The Genesis of the Abstract Ring Concept", [[American Mathematical Monthly]] 103: 417–424 {{doi|10.2307/2974935}}
* Kleiner, I. (1998) "From numbers to rings: the early history of ring theory", [[Elemente der Mathematik]] 53: 18–35.
* [[B. L. van der Waerden]] (1985) ''A History of Algebra'', Springer-Verlag,
{{پایان چپ‌چین}}
{{جبر}}

[[رده:ساختارهای جبری]]
[[رده:نظریه حلقه‌ها]]