نمایش مبدأ برای حساب مالیاوین

'''حساب مالیاوین''' نظریه‌ای در [[نظریه احتمالات]] است که [[حساب تغییرات|حساب وردش]] را از تابع‌های قطعی به [[فرایند تصادفی|فرآیندهای کاتوره‌ای]] می گستراند. از این روی به آن ''حساب وردش کاتوره‌ای'' نیز می توان گفت. این حساب اولین بار توسط [[Paul Malliavin|پاول مالیویان]] ارایه شد.

این نظریه که با [[معادله دیفرانسیل تصادفی|معادلات دیفرانسیل تصادفی]] سر و کار دارد، کاربردهایی در جستارهای [[کنترل تصادفی|کنترل بهینه تصادفی]] و [[ریاضیات مالی]] دارد.

== انگیزه ==
[[تابعی|کارکردوار]] F وابسته به [[فرایند وینر]] را درنظر بگیرید. اگر این [[تابعی|کارکردوار]] تابع g باشد، متداول است تا وردش آن را (<math>\delta_gF</math>) به یاری رابطه زیر حساب کرد:<math display="block">\delta_g F = \frac{1}{\epsilon} [F(g + \epsilon h) - F(g)],~~ \epsilon\to 0</math>اما این وردش همیشه وجود ندارد، برای همین به [[حساب وردش]] دیگری نیاز پیدا می‌شود.

== مشتق مالیاوین و قضیه‌های وابسته ==
مشتق مالیاوین بگونه ای تعریف می شود تا تغییرات را نسبت به [[فرآیند وینر]] بسنجد. طبیعی است که برای <math>\int_0^t h_s dw_s</math> مشتق مالیاوین برابر با h باشد؛ (در سنجش با مشتق عادی از  <math>\int_0^t h_s ds</math> که برابر <math>h_t</math> است). بنابراین اگر مشتق مالیاوین نسبت به فرایند وینر در زمان s را با <math>D_s</math> نشان دهیم، از روی تعریف داریم.<math display="block">D_s \int_0^T h_t dw_t = h_s~\mathbb{1}_{[0,T]}(s)</math>بنابراین <math>D_s[.]</math> تعییرات یک متغیر کاتوره‌ای را نسبت به فرایند وینر اندازه‌گیری می کند. همچنین توجه کنید که <math>D_s w_t  =  D_s \int_0^t w_r dr = 1_{[0,t]}(s)</math>.
----'''مشتق‌گیری زنجیره‌ای:''' می توان برطبق قاعده زنجیره ای مشتق مالیاوین از [[کارکردوار وینر]] F را که در آن<math display="block">F(W(h_1), W(h_2),\ldots,W(h_n)),\qquad W(h_i) = \int_0^T h_{i,s} dw_s</math>بصورت زیر داشت:<math display="block">D_sF = \sum_{i=1}^n \frac{\partial F}{\partial x_i}~D_s W(h_{i}) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial F}{\partial x_i}~h_{i,s}~1_{[0,T]}(s),\qquad (A1)</math>
----'''قضیه انتگرال‌گیری پاره‌ای (قضیه دوگان):''' برای [[کارکردوار وینر|کارکردوارِ وینر]] <math>F=F(\int_0^T h_s dw_s)</math> داریم:<math display="block">E\big\{F \int_0^T g_s dw_s\big\} = E\{   \langle D_sF , g_s\rangle   \},\qquad (A2)</math>که در آن <math>\langle h_s, g_s \rangle = \int_0^t h_s~g_s ds</math>.

اثبات:<math display="block">E\{   \langle D_sF , g_s\rangle   \} = E\Big\{ \int_0^T D_sF~g_s~ds \Big\} = E\{ \int_0^T F_x~h_s~g_s~ds \} = E\{ F_x \int_0^T h_s g_s ds  \}
= E \Big\{ F_x\Big(\int_0^T h_s dw_{s}\Big) \Big\} \int_0^T h_{s} g_{s} ds 
 </math><math display="block">\overset{(1)}{=} E\Big\{ F_{x}\Big(\int_0^T h_s dw_s\Big) \Big\} E\Big\{ \int_0^T h_s dw_{s} \int_0^T g_s dw_{s} \Big\} \overset{(2)}{=} E\Big\{ F(\int_0^T h_s dw_s) \int_0^T g_s dw_s\Big\}</math>که برای (1) از [[قاعده ایزومتری]] استفاده شد و برای (2) از [[:en:Stein's_lemma|لم Stein]] بهره گرفته شد که برپایه آن برای x , y که توزیع گاوسی با میانگین صفر داشته باشند داریم: <math>E\{ f(x)y \} = E\{f'(x)\}E\{xy\} </math>.
----'''مشتق مالیاوین از فرایند پراکنش (diffusion process):'''

اگر [[فرایند پراکنش]] <math>X=(x_t)_{t\in[0,T]}</math> از [[معادله دیفرانسیل تصادفی|معادله دیفرانسیل کاتوره‌ای]] (SDE) <math>dx_t = a(x_t,t) dt + b(x_t, t) dw_t</math> تولید شده باشد. آنگاه داریم:<math display="block">D_s x_t = b(x_s,s) + \int_s^t a_x(x_{\tau},\tau) D_s x_{\tau} d\tau + \int_s^t b_x(x_{\tau},\tau) D_s x_{\tau} dw_{\tau},~s\in [0,T], \qquad (A3)  
</math><math display="block">D_t x_t = b(x_t,t)</math>که درنتیجه آن به یک SDE وردشی خطی می رسیم. از آنجا که معادله بالا خطی است، حل آن بصورت زیر است:<math display="block">D_sx_t = b(x_s,s) \exp\Big( \int_s^t b_x(x_\tau,\tau) dw_\tau + \int_s^t \Big( a_x(x_\tau,\tau) - \frac12 b_x(x_{\tau} , \tau)^2 \Big) d\tau \Big),\qquad (A4)</math>اثبات: 

از آنجا که <math>D_s[.]</math> حساسیت نسبت به <math>w_s</math> را می سنجد، رابطه SDE را بصورت <math>x_t = \underbrace{\int_0^s a(x_\tau,\tau) d\tau + \int_0^s b(x_\tau, \tau) dw_\tau}_{\text{first term}}
    + \underbrace{\int_s^t a(x_\tau,\tau) d\tau  + \int_s^t b(x_\tau, \tau) dw_\tau}_{\text{second term}}</math> باز می نویسیم. حال توجه کنید که مشتق مالیاوین <math>D_s[.]</math> از جمله اول صفر است چون هیچ وابستگی ای به <math>w_s</math> ندارد. حال با کاربستِ قاعده زنجیره ای و اینکه <math>D_s \int h_t dw_t = h_{s}</math> داریم:<math display="block">D_s x_t = \int_s^t a_x(x_\tau,\tau)~D_sx_{\tau}~d\tau + \int_s^t b_x(x_\tau,\tau)~D_sx_{\tau}~dw_\tau + b(x_s,s)</math>  
----'''قضیه ای از [[نظریه اختلال|آنالیز پریشیدیگی]]:''' اگر x یک فرایند پراکنش از <math>dx_t = a(x_t,t) dt + b(x_t, t) dw_t</math> باشد، <math>h=(h_s)_{s\in[0,t]}</math> یک تابع مشتق‌پذیر و <math>W=(w_s)_{s\in[0,t]}</math> فرایند وینر، در اینصورت داریم:<math display="block">\frac{1}{\epsilon}(x_t(W+\epsilon h) - x_t(W)) \to \langle D_sx_t , h_s' \rangle,~ as ~\epsilon \to 0,\qquad (A5)</math>که در آن <math>x_t(W+\epsilon h)</math> پریشیدگی <math>x_t</math> نسبت به فرایند وینر می باشد.  

اثبات: گیریم <math>y_t := \frac{1}{\epsilon}(x_t(W+\epsilon h) - x_t(W)) </math>، آنگاه داریم <math>x_t(W+\epsilon h) = x_t(W) + \epsilon~y_t </math>، پس می توان داشت:<math display="block">dy_t = \frac{1}{\epsilon}( dx_t(W+\epsilon h) - dx_t(W) )</math>از طرف دیگر

<math display="block">dx_t(W+\epsilon h_t) = dx_t+\epsilon dy_t = a(x_t+\epsilon y_t,t) dt + b(x_t+\epsilon y_t, t) d(w_t+\epsilon h_t) = a(x_t+\epsilon y_t,t) dt + b(x_t+\epsilon y_t, t) (dw_t+\epsilon h_t' dt)</math>که می توان نتیجه گرفت:

<math>dy_t = \frac{1}{\epsilon} ( dx_t(W+\epsilon h) - dx_t(W) ) = \frac{1}{\epsilon}(\epsilon a_x y_t dt + \epsilon b_x y_t dw_t + b(x_t + \epsilon y_t)h_t' dt) = (a_x y_t + b h_t')dt + b_x y_t dw_t,~as~\epsilon\to 0</math>

از طرف دیگر گیریم <math>z_t := \langle D_sx_t , h_s' \rangle = \int_0^t D_s x_t h_s'  ds</math>، در نتیجه داریم: <math display="block">dz_t = D_tx_t h'_t dt + \int_0^t d(D_sx_t) h_s' ds = bh_t' dt + \int_0^t \big( a_xD_sx_tdt + b_xD_sx_t dw_t \big) h'_s ds = bh_t'tdt + a_x z_t dt + b_x z_t dw_t </math>بنابراین دیده می شود که <math>z_t </math> و <math>y_t </math> هردو از یک SDE یکسان پیروی می کنند، حال از آنجا که <math>z_0 = y_0 = 0 </math>، پس نتیجه می شود که <math>y_t </math>  و <math>z_t </math> برابرند.

از این قضیه نتیجه می شود که پریشیدن (اختلال) فرایند وینر به فرایند پراکنشی می انجامد که با مشتق مالیاون رابطه دارد. 

'''نتیجه:''' از روابط (A2) و (A5) می توان نتیجه گرفت که:<math display="block">\frac{1}{\epsilon} \Bigg( E\Big\{ x_t \Big( W+\epsilon \int_0^t h_t dt \Big) \Big\} - E\{x_t(W)\} \Bigg ) \to E \Big\{ x_t(W) \int_0^t h_s dw_s \Big\},~ as ~\epsilon \to 0,\qquad (A6)</math>'''نتیجه:''' از رابطه (A5)، با قرار دادن <math>h'_s = \delta(s-r)</math> ،داریم:<math display="block">\frac{1}{\epsilon}\Big( x_t(W + \epsilon 1_{[r,T]}) - x_t(W) \Big) = D_r x_t, \quad as~ \epsilon \to 0</math>که تعریفی دیگر برای مشتق مالیاوین بدست می دهد.
----'''رابطه Clark-Ocone-Haussman:''' این رابطه در ارتباط با قضیه [[بازنمود مارتینگل]] می باشد. بطور ویژه برای کارکردوار وینر <math>F\Big(\int_0^t h_s dw_s\Big)</math> داریم:<math display="block">F = E\{F\} + \int_0^t E\big\{D_s F | \mathcal{F}_s\big\} dw_s</math>که در آن <math>\mathcal{F}_s = \sigma\big( (w_t)_{t\in[0,s] }\big)</math> [[فیلتراسیون طبیعی]] از فرایند وینر است.  

اثبات: از روی بازنمود مارتینگل می دانیم که:  <math>F = E\{F\} + \int_0^t m_s dw_s</math>، نیز به یاری رابطه (A2) داریم:<math display="block">E\Big\{ F \int_0^t g_s dw_{s} \Big\} \overset{(1)}{=} 
E\{ \langle D_sF,g_s \rangle \} 
= E\Big\{ E\{F\} \int_0^t g_s dw_{s} \Big\} + E\Big\{ \int_0^t m_s dw_{s} \int_0^t g_s dw_{s} \Big\}
\overset{(2)}{=} 0 + E\Big\{ \int_0^t m_s g_s ds \Big\}</math>که برای (1) از رابطه A2 و برای (2) از  قاعده ایزومتری استفاده شد. در نتیجه:<math display="block">\int_0^t  E\big\{ m_s g_s \big\} ds = E\Big\{  \int_0^t D_sF~g_s~ds \Big\}  =   \underbrace{\int_0^t E\Big\{ E\{ D_sF | \mathcal{F}_s \}~g_s~ds \Big\}}_{(*)}</math>و در نتیجه <math>m_s = E\big\{ D_s F | \mathcal{F}_s \big\}
</math>. توجه شود که رابطه (*) در بالا، از این جهت بدین صورت نوشته شد که <math>m_s
</math> باید حتما یک فرایند <math>\mathcal{F}_{s}
</math>-سازگار (adapted-<math>\mathcal{F}_{s}
</math>)  باشد. درنتیجه نمی توان نتیجه گرفت که <math>m_s = D_sF</math> چراکه <math>D_sF</math> لزوما سازگار نیست.

== '''ارتباط با قضیه گیرسانوف''' ==
فرض کنید تعریف کنیم <math>\phi (t) = \int_0^t h_{s} ds</math>، آنگاه طبق [[قضیه گیرسانوف]] (Girsanov) خواهیم داشت:<math display="block">E\big \{ x\big( W + \epsilon \phi (t) \big) \big\} = E\Big\{ x(W) \exp\Big ( -\frac12 \epsilon^2 \int_0^t h_s^2 ds + \epsilon\int_0^t h_s dw_s  \Big) \Big\} </math>آنگاه خواهیم داشت:<math display="block">\lim_{\epsilon\to 0} \frac{1}{\epsilon}\Bigg( E\big \{ x\big( W + \epsilon \phi (t) \big) \big\}  - E\big \{ x(W) \big\} \Bigg)
= E\Big\{ x(W) \int_0^t h_s dw_s \Big\}</math>در نتیجه با توجه به رابطه (A5) خواهیم داشت:<math display="block">E\big\{ \langle D_{s} x_{t}, h_s \rangle \big\}
= E\Big\{ x(W) \int_0^t h_s dw_s \Big\}</math>که اثباتی دیگر از رابطه (A2) می باشد.
[[رده:حساب تغییرات]]
[[رده:حساب انتگرال]]
[[رده:ریاضیات مالی]]