نمایش مبدأ برای حساب ایتو

[[پرونده:ItoIntegralWienerProcess.svg|بندانگشتی|300x300پیکسل|]]
نام گذاری''' حسابان ایتو''' پس از گسترش روشهای محاسبه [[فرایند تصادفی|فرایندهای تصادفی]] مانند [[حرکت براونی]] ([[فرایند وینر]] را ببینید) توسط [[کیوشی ایتو]] انجام شد. این روشها کاربردهای مهمی در [[مالیه ریاضیاتی|ریاضی مالی]] و [[معادله دیفرانسیل تصادفی|معادلات دیفرانسیل]] آماری دارد.

مفهوم محوری انتگرال تصادفی Itô است، یک تعمیم تصادفی انتگرال [[انتگرال ریمان–استیلتیس|ریمان–استلیس]]. در اینجا چیزی که از آن انتگرال گرفته می‌شود و نتیجه فرایندها ی تصادفی اند:
: <math>Y_t=\int_0^t H_s\,dX_s,</math>
که در آن ''H'' فرایند محلی مربع-انتگرال‌پذیر طبق filtration تولید شده بر حسب X که یک [[حرکت براونی]] یا به‌طور کلی تر یک semimartingale است. نتیجه انتگرال یک [[فرایند تصادفی]] دیگر است.

== نماد ==
فرایند ''Y'' به صورت زیر تعریف می‌شود
: <math>Y_t = \int_0^t H\,dX\equiv\int_0^t H_s\,dX_s ,</math>

که خود یک فرایند تصادفی با پارامتر زمان ''t ''است که گاهی اوقات به صورت ''Y'' = ''H'' · ''X'' نوشته می‌شود. همچنین انتگرال اغلب یه صورت فرم دیفرانسیلی dY=HdX نوشته می‌شود.

== فرایندهای ایتو ==
یک '''فرایند ایتو''' به این صورت تعریف شده‌است که فرایند برابر جمع انتگرال نسبت به حرکت براونی و انتگرالی نسبت به زمان قابل بیان باشد:
:<math>X_t=X_0+\int_0^t\sigma_s\,dB_s + \int_0^t\mu_s\,ds.</math>
در اینجا ''B'' یک حرکت براونی است و لازم است که σ یک فرایند قابل پیش‌بینی و ''B-integrable (بورل انتگرال پذیر)'' باشد و μ نیز قابل پیش‌بینی و [[انتگرال پذیر]] است که،
:<math>\int_0^t(\sigma_s^2+|\mu_s|)\,ds<\infty</math>
برای هر ''t''. انتگرال تصادفی را می‌توان به یک فرایند ایتو توسعه داد،
:<math>\int_0^t H\,dX =\int_0^t H_s\sigma_s\,dB_s + \int_0^t H_s\mu_s\,ds.</math>

این تعریف برای همه انتگرال‌هایی که به صورت محلی محدود و قابل پیش است، تعریف شده‌است. به‌طور کلی لازم است که σ ویژگی B-integrable (بورل انتگرال پذیر) را داشته باشد و μ نیز Lebesgue (لبک) انتگرال‌پذیر باشد، بنابراین
:<math>\int_0^t (H^2 \sigma^2 + |H\mu| )ds < \infty.</math>

== خواص ==
خواص زیر را می‌توان در آثار مانند Revuz & Yor 1999 و Rogers & Williams 2000 یافت:
* انتگرال تصادفی فرایند [[تابع Càdlàg|càdlàg]] است. علاوه بر آن، یک semimartingale نیز است.

== لم ایتو ==
لم ایتو نسخه قاعده زنجیره‌ای متغیرها است که روی [[انتگرال]] ایتو اعمال شده‌است. این لم یکی از قدرتمندترین و پراستفاده‌ترین قضیه‌ها ی مورد استفاده در حساب تصادفی (stochastic calculus) است. برای X ای شبه‌[[مارتینگل (سیستم شرط‌بندی)|مارتینگل]] که ''d''بعدی است و '''''X''''' = (''X''<sup>1</sup>,... ,''X''<sup>''d''</sup>) که تا مرتبه دوم [[مشتق پذیر]] است [[تابع]] ''f'' از '''R'''<sup>''d''</sup> به '''R''' که ''f''(''X'') یک شبه‌مارتینگل است 
: <math display="block">df(X_t)= \sum_{i=1}^d f_{i}(X_t)\,dX^i_t + \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^d f_{i,j}(X_{t})\,d[X^i,X^j]_t.</math>

== منابع ==
* {{یادکرد-ویکی|پیوند =https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Itô_calculus&oldid=749524951|عنوان =Itô calculus|زبان =انگلیسی|بازیابی =۲۷ ژانویه ۲۰۱۶}}
{{پانویس|چپ‌چین=بله|۲}}
{{فرایندهای تصادفی}}
{{انتگرال‌ها}}
[[رده:ریاضیات]]
[[رده:ویکی‌سازی رباتیک]]
[[رده:حساب انتگرال]]
[[رده:ریاضیات مالی]]