نمایش مبدأ برای حد معکوس

در [[ریاضیات]]، '''حد معکوس''' {{به انگلیسی|Inverse Limit}} (به آن '''حد تصویری''' هم می‌گویند) ساختاریست که امکان «به هم چسباندن» چندین شیء به هم مرتبط را فراهم می‌آورد، این به هم چسباندن به طور دقیق توسط [[ریخت]] بین اشیاء مد نظر تعیین می‌گردد. حد معکوس را می‌توان در هر [[رسته (ریاضیات)|رسته]] تعریف کرد و این حد مورد خاصی از مفهوم عام‌تر حد در [[نظریه رسته‌ها]]<nowiki/>ست.

== تعریف صوری ==
=== اشیاء جبری ===
ما با تعریف یک '''دستگاه معکوس''' (یا دستگاه تصویری) از گروه‌ها و هم‌ریختی‌هایشان شروع می‌کنیم. فرض کنید <math>(I, \leq)</math> [[ترتیب جزئی|مجموعه مرتب جزئی]] جهت داری باشد (همه مؤلفان جهت‌دار بودن <math>I</math> را الزامی نمی‌دانند). فرض کنید <math>(A_i)_{i \in I}</math> خانواده ای از [[گروه (ریاضیات)|گروه‌ها]] باشد و فرض کنید که برای تمام <math>i \leq j</math> ها خانواده ای از [[هم‌ریختی|هم‌ریختی‌ها]] چون <math>f_{ij} \colon A_j \rightarrow A_i</math> داشته باشیم که به آن نگاشت های پیوندی (یا اتصال دهنده) گویند، به طوری که خواص زیر را دارا باشند:
# <math>f_{ii}</math> روی <math>A_i</math> همانی باشد.
# برای تمام <math>i \leq j \leq k</math> داشته باشیم <math>f_{ik} = f_{ij} \circ f_{jk}</math>.

آنگاه دوتایی <math>((A_i)_{i \in I}, (f_{ij})_{i \leq j \in I})</math> را دستگاه معکوس گروه‌ها و ریخت‌ها روی <math>I</math> گفته و ریخت‌های <math>f_{ij}</math> را ریخت‌های انتقالی این دستگاه گویند.

ما '''حد معکوس''' دستگاه معکوس <math>((A_i)_{i \in I}, (f_{ij})_{i \leq j \in I})</math> را به صورت زیرگروه خاصی از ضرب مستقیم <math>A_i</math>ها تعریف می کنیم:

:<math>A = \varprojlim_{i\in I}{A_i} = \left\{\left.\vec a \in \prod_{i\in I}A_i \;\right|\; a_i = f_{ij}(a_j) \text{ for all } i \leq j \text{ in } I\right\}.</math>

حد معکوس <math>A</math> مجهز به نگاشت‌های ''تصویر (افکنش) طبیعی'' <math>\pi_i \colon A \rightarrow A_i</math> است. این نگاشت‌ها مؤلفه <math>i</math>ام ضرب مستقیم را برای هر <math>i</math> در <math>I</math> انتخاب می کنند. حد معکوس و تصویرهای طبیعی در یک خاصیت جهانی که در بخش بعدی توصیف می گردد صدق می کنند. 

همین سازه را می توان در شرایطی که <math>A_i</math>ها [[مجموعه (ریاضیات)|مجموعه]]،<ref name="same-construction">John Rhodes & Benjamin Steinberg. The q-theory of Finite Semigroups. p. 133. {{ISBN|978-0-387-09780-0|en}}.</ref> نیم‌گروه،<ref name="same-construction"/> [[فضاهای توپولوژیکی]]،<ref name="same-construction"/> [[حلقه (ریاضیات)|حلقه]]، [[مدول (ریاضیات)|مدول]] (بر روی یک حلقه معین)، جبر (روی یک حلقه) و ... باشند و [[ریخت|ریخت‌ها]] نیز در رسته‌های متناظر هر کدام هم‌ریختی باشند هم اعمال کرد. در این صورت حد معکوس این رسته‌ها نیز به هر رسته مربوطه متعلق خواهد بود.

== پانویس ==
{{پانویس|چپ‌چین=بله}}

== منابع ==
{{چپ‌چین}}
* {{citation|first=Nicolas|last=Bourbaki|authorlink=Nicolas Bourbaki|title=Algebra I|publisher=Springer|year=1989|isbn=978-3-540-64243-5|oclc=40551484}}
* {{citation|first=Nicolas|last=Bourbaki|authorlink=Nicolas Bourbaki|title=General topology: Chapters 1-4|publisher=Springer|year=1989|isbn=978-3-540-64241-1|oclc=40551485}}
* {{citation|first=Saunders|last=Mac Lane|authorlink=Saunders Mac Lane|title=[[Categories for the Working Mathematician]]|edition=2nd|date=September 1998|publisher=Springer|isbn=0-387-98403-8}}
* {{Citation|last=Mitchell|first=Barry|author-link=Barry Mitchell (mathematician)|title=Rings with several objects|journal=[[Advances in Mathematics]]|mr=0294454|year=1972|volume=8|pages=1–161|doi=10.1016/0001-8708(72)90002-3}}
* {{Citation|last=Neeman|first=Amnon|author-link=Amnon Neeman|title=A counterexample to a 1961 "theorem" in homological algebra (with appendix by Pierre Deligne)|journal=[[Inventiones Mathematicae]]|mr=1906154|year=2002|volume=148|issue=2|pages=397–420|doi=10.1007/s002220100197}}
* {{Citation|last=Roos|first=Jan-Erik|author-link=Jan-Erik Roos|title=Sur les foncteurs dérivés de lim. Applications|journal=C. R. Acad. Sci. Paris|mr=0132091|year=1961|volume=252|pages=3702–3704}}
* {{Citation|last=Roos|first=Jan-Erik|author-link=Jan-Erik Roos|title=Derived functors of inverse limits revisited|journal=[[London Mathematical Society|J. London Math. Soc.]]|series=Series 2|mr=2197371|year=2006|volume=73|issue=1|pages=65–83|doi=10.1112/S0024610705022416}}
* Section 3.5 of {{Weibel IHA}}
{{پایان چپ‌چین}}
{{نظریه رسته‌ها}}
[[رده:جبر مجرد]]
[[رده:حدود (نظریه رسته‌ها)]]