نمایش مبدأ برای حد (نظریه رسته‌ها)

در [[نظریه رسته‌ها]] که شاخه ای از [[ریاضیات]] است، مفهوم مجرد '''حد''' {{به انگلیسی|Limit}} خواص اساسی سازه های جهانی چون ضرب، [[عقب‌بر (نظریه رسته‌ها)|عقب‌برها]] و [[حد معکوس]] را در خود جمع می کند. مفهوم [[دوگان (ریاضیات)|دوگان]] آن یعنی '''هم‌حد''' سازه هایی چون اجتماعات مجزا، جمع‌های مستقیم، هم‌ضرب‌ها، [[برون‌بر (نظریه رسته‌ها)|برون‌برها]] و [[حد مستقیم]] را تعمیم می دهد. 

همچون مفاهیم خواص جهانی و تابعگون‌های الحاقی که قویاً به هم مرتبطند، حد و هم‌حد نیز در مراتب بالای تجرید وجود دارند. به منظور فهمشان ابتدا باید مثال هایی که این مفاهیم سعی بر تعمیمشان دارند را مطالعه کرد. 

== تعریف ==
حدها و هم‌حدها در [[رسته (ریاضیات)|رسته]] ای چون <math>C</math> به کمک نمودارها در <math>C</math> تعریف می شوند. به طور صوری، یک '''نمودار''' به شکل <math>J</math> در <math>C</math> [[تابعگون (نظریه رسته‌ها)|تابعگونی]] از <math>J</math> به <math>C</math> است:

<math>F \colon J \rightarrow C</math>

رسته <math>J</math> را می توان به صورت رسته اندیس و نمودار <math>F</math> را به عنوان اندیس‌گذار اشیاء و ریخت ها در <math>C</math> دید که الگوی اندیس‌گذاری اش را از رسته اندیس <math>J</math> می گیرد. اغلب به مواردی علاقه‌مندیم که در آن <math>J</math> رسته ای کوچک یا حتی متناهی باشد. یک نمودار را '''کوچک''' یا '''متناهی''' گوییم هرگاه <math>J</math> به ترتیب کوچک یا متناهی باشد.

=== حد ===
فرض کنید <math>F \colon J \rightarrow C</math> یک نمودار به شکل <math>J</math> در رسته ای چون <math>C</math> باشد. یک '''مخروط''' به <math>F</math> شیئی چون <math>N</math> از <math>C</math> است به همراه خانواده <math>\psi_X \colon N \rightarrow F(X)</math> از ریخت‌ها که توسط اشیاء <math>X</math> از <math>J</math> اندیس شده باشند، چنان که برای هر ریخت <math>f \colon X \rightarrow Y</math> در <math>J</math> داشته باشیم <math>F(f) \circ \psi_X = \psi_Y</math>.

یک '''حد''' برای نمودار <math>F \colon J \rightarrow C</math> مخروطی چون <math>(L, \phi)</math> به <math>F</math> است چنان که برای هر مخروط <math>(N, \psi)</math> به <math>F</math> وجود داشته باشد ریخت ''یکتا''یی چون <math>u \colon N \rightarrow L</math> چنان که برای تمام <math>X</math> در <math>J</math> داشته باشیم <math>\phi_X \circ u = \psi_X</math>:
[[پرونده:Functor cone (extended).svg|وسط|بی‌قاب]]

== یادداشت‌ها ==
{{پانویس|چپ‌چین=بله}}
* {{یادکرد-ویکی
|پیوند = https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Limit_(category_theory)&oldid=914504716
|عنوان = Limit (Category Theory)
|زبان = انگلیسی
|بازیابی =  7 سپتامبر 2019}}

== منابع ==
{{چپ‌چین}}
*{{cite book | last = Adámek | first = Jiří | author2 = Horst Herrlich | author3 = George E. Strecker | year = 1990 | url = http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.pdf | title = Abstract and Concrete Categories | publisher = John Wiley & Sons | isbn = 0-471-60922-6 | access-date = ۸ اکتبر ۲۰۱۹ | archive-date = ۲۱ آوریل ۲۰۱۵ | archive-url = https://web.archive.org/web/20150421081851/http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.pdf | url-status = dead }}
*{{cite book | first = Saunders | last = Mac Lane | authorlink = Saunders Mac Lane | year = 1998 | title = [[Categories for the Working Mathematician]] | series = [[Graduate Texts in Mathematics]] | volume=5 | edition = 2nd | publisher =  Springer-Verlag  | isbn = 0-387-98403-8 | zbl=0906.18001}}
*{{cite book| publisher = Cambridge University Press| isbn = 0-521-44178-1| volume = Volume 1| last = Borceux| first = Francis| title = Handbook of categorical algebra| series = Encyclopedia of mathematics and its applications 50-51, 53 [i.e. 52]| date = 1994| chapter = Limits| url-access = registration| url = https://archive.org/details/handbookofcatego0000borc}}
{{پایان چپ‌چین}}

{{خرد|ریاضیات}}

[[رده:حدود (نظریه رسته‌ها)]]