نمایش مبدأ برای حدس هاج

{{مسائل هزاره}}
در ریاضیات، حدس هاج یک مسئله مهم حل نشده در [[هندسه جبری]] و هندسه مختلط است که [[توپولوژی جبری]] یک گونه جبری [[عدد مختلط|مختلط]] غیرمفرد را به زیرشاخه‌های آن مرتبط می‌کند. به زبان ساده، حدس هاج ادعا می‌کند که اطلاعات توپولوژیکی پایه مانند تعداد سوراخ‌ها در فضاهای هندسی خاص، گونه جبری مختلط، را می‌توان با مطالعه شکل‌های زیبای ممکن در داخل آن فضاها، که شبیه [[ریشه تابع|ریشه‌های معادلات]] [[چندجمله‌ای|چند جمله‌ای]] هستند، درک کرد. اجسام اخیر را می‌توان با استفاده از [[جبر]] و [[تابع تحلیلی|توابع تحلیلی]] مورد مطالعه قرار داد، و این به شخص اجازه می‌دهد تا به‌طور غیرمستقیم شکل و ساختار وسیع فضاهای اغلب با ابعاد بالاتر را که در غیر این صورت به راحتی قابل تجسم نیست درک کند.

به‌طور خاص، حدس بیان می‌کند که برخی از کلاس‌های [[کوهمولوژی]] د. رام جبری هستند؛ یعنی مجموع دوگان پوانکاره از [[همولوژی (ریاضیات)|کلاس‌های همولوژی]] زیر واریته‌ها هستند. این توسط ریاضیدان اسکاتلندی [[دبلیو.وی.دی. هاج|ویلیام والانس داگلاس هاج]] در نتیجه کار در بین سالهای ۱۹۳۰ و ۱۹۴۰ برای غنی سازی توصیف کوهمولوژی د. رام به منظور گنجاندن ساختار اضافی که در مورد گونه‌های جبری مختلط وجود دارد، فرموله شد. قبل از اینکه هاج آن را در سخنرانی [[کنگره جهانی ریاضیدانان]] در سال ۱۹۵۰، که در [[کمبریج، ماساچوست]] برگزار شد، توجه کمی به آن جلب شد. حدس هاج یکی از [[مسائل جایزه هزاره]] انجمن ریاضی کلی است که برای هر کسی که بتواند حدس هاج را اثبات یا رد کند، جایزه ۱٬۰۰۰٬۰۰۰ دلاری دارد.

== مسئله ==
فرض کنید <math>X</math> یک منیفولد مختلط [[فضای فشرده|فشرده]] با بعد مختلط <math>n</math> باشد. سپس <math>X</math> یک [[منیفلد دیفرانسیل‌پذیر|منیفولد هموار]] جهت‌پذیر با بعد حقیقی <math>2n</math> است؛ بنابراین گروه‌های کوهمولوژی آن در درجه‌های صفر تا <math>2n</math> قرار دارند. فرض کنید <math>X</math> یک منیفولد کاهلر است، به طوری که کوهمولوژی آن با [[ضریب|ضرایب]] مختلط تجزیه می‌شود.

:<math>H^n(X, \Complex) = \bigoplus_{p+q=n} H^{p,q}(X),</math>

که در آن <math>H^{p,q}(X)</math> زیر گروه کلاس‌های [[کوهمولوژی]] است که با فرم‌های هارمونیک از نوع <math>(p,q)</math> نشان داده می‌شود. به این معنا که این‌ها کلاس‌های کوهمولوژی هستند که با فرم‌های دیفرانسیلی نشان داده می‌شوند که در برخی از مختصات <math>z_1, \ldots, z_n</math> می‌توانند به صورت ضرب چند [[تابع هارمونیک]] نوشته شوند:
:<math>dz_{i_1} \wedge \cdots \wedge dz_{i_p} \wedge d\bar z_{j_1} \wedge \cdots \wedge d\bar z_{j_q}.</math>

اعمال [[ضرب خارجی]] روی این [[تابع هارمونیک|توابع هارمونیک]] باعث تطبیق آن با ضرب فنجانی در [[کوهمولوژی]] می‌شود، پس ضرب فنجانی با ضرایب [[عدد مختلط|مختلط]] با تجزیه هاج سازگار است:

:<math>\smile \colon H^{p,q}(X) \times H^{p',q'}(X) \rightarrow H^{p+p',q+q'}(X).</math>

از آنجایی که <math>X</math> یک منیفولد جهت پذیر فشرده‌است ، <math>X</math> یک کلاس بنیادی دارد و بنابراین <math>X</math> [[انتگرال پذیر]] است.
فرض کنید <math>Z</math> یک زیر منیفلد مختلط از <math>X</math> با بعد <math>k</math> باشد، و فرض کنید <math>i\colon Z\to X</math> یک [[نگاشت شمول]] باشد. فرم دیفرانسیلی <math>\alpha</math> را از نوع <math>(p,q)</math> انتخاب کنید. اکنون می‌توان از <math>\alpha</math> روی <math>Z</math> با استفاده از نگاشت عقب بر <math>i^*</math> ، انتگرال بگیریم:

:<math>\int_Z i^*\alpha</math>

== منابع ==
{{پانویس}}
{{چپ‌چین}}
* {{citation |last1=Atiyah |first1=M. F. |author1-link=Michael Atiyah |last2=Hirzebruch |first2=F. |author2-link=Friedrich Hirzebruch |year=1961 |title=Analytic cycles on complex manifolds |journal=Topology |volume=1 |pages=25–45 |doi= 10.1016/0040-9383(62)90094-0|doi-access=free}} Available from the [http://hirzebruch.mpim-bonn.mpg.de/151/1/29_Analytic%20cycles%20on%20complex%20manifolds.pdf Hirzebruch collection] (pdf).
* {{Citation | last1=Cattani | first1=Eduardo |author1-link=Eduardo Cattani | last2=Deligne | first2=Pierre | author2-link=Pierre Deligne | last3=Kaplan | first3=Aroldo |author3-link=Aroldo Kaplan | title=On the locus of Hodge classes | mr=1273413 | year=1995 | journal=[[Journal of the American Mathematical Society]] | volume=8 | issue=2 | pages=483–506 | doi=10.2307/2152824 | jstor=2152824 | arxiv=alg-geom/9402009}}.
* {{citation|last=Grothendieck|first=A.|author-link=Alexander Grothendieck|title=Hodge's general conjecture is false for trivial reasons|journal=[[Topology (journal)|Topology]]|volume=8|year=1969|pages=299–303|doi=10.1016/0040-9383(69)90016-0|issue=3|doi-access=free}}.
* {{citation|last=Hodge|first=W. V. D.|author-link=W. V. D. Hodge|title=The topological invariants of algebraic varieties|journal=Proceedings of the International Congress of Mathematicians|location=Cambridge, MA|year=1950|volume=1|pages=181–192}}.
* {{Citation |last=Kollár |first=János |author-link=János Kollár |chapter=Trento examples |title=Classification of irregular varieties |page=134 |editor1-last=Ballico |editor1-first=E. |editor2-first=F. |editor2-last=Catanese |editor3-first=C. |editor3-last=Ciliberto |series=Lecture Notes in Math. |volume=1515 |publisher=Springer |year=1992 |isbn=978-3-540-55295-6}}.
* {{Citation | last1=Lefschetz | first1=Solomon |author-link=Solomon Lefschetz | title=L'Analysis situs et la géométrie algébrique | publisher=Gauthier-Villars | language=fr | series=Collection de Monographies publiée sous la Direction de M. Émile Borel | location=Paris | year=1924}} Reprinted in {{Citation | last1=Lefschetz | first1=Solomon | title=Selected papers | publisher=Chelsea Publishing Co. | location=New York | isbn=978-0-8284-0234-7 | mr=0299447 | year=1971}}.
* {{citation |last=Moonen |first=Ben J. J. |author1-link=Ben Moonen |last2=Zarhin |first2=Yuri G. |author2-link=Yuri Zarhin |year=1999 |title=Hodge classes on abelian varieties of low dimension |journal=[[Mathematische Annalen]] |volume=315 |issue=4 |pages=711–733 |doi=10.1007/s002080050333 |arxiv=math/9901113|mr=1731466}}.
[[رده:حدس‌ها]]
[[رده:مسائل هزاره]]
[[رده:نظریه همولوژی]]
[[رده:هندسه جبری]]