نمایش مبدأ برای حالت خطی

'''حالت خطی''' {{به انگلیسی|linear form}} در [[ریاضیات]]، (که با نام‌های '''تابعی خطی'''،<ref>{{Harvard citation text|Axler|2015}} p. 101, §3.92</ref> '''[[:en:One-form|یک-حالت]]'''، یا '''کوبردار''' هم نامیده می‌شود) یک [[نگاشت خطی]] از یک [[فضای برداری]] به [[میدان (ریاضیات)|میدان]] [[اسکالر (ریاضی)|نرده‌ای‌هایش]] (معمولا [[عدد حقیقی|اعداد حقیقی]] یا [[عدد مختلط|اعداد مختلط]]) است.

اگر {{mvar|V}} یک فضای برداری روی میدان {{mvar|k}} باشد، مجموعه همه تابعی‌های خطی از {{mvar|V}} به {{mvar|k}} خودش یک فضای برداری با صورت جمع و ضرب نرده‌ای [[:en:Pointwise|نقطه‌به‌نقطه]] تعریف شده، روی {{mvar|k}} است. این فضا را [[:en:Dual_space|فضای دوگان]] {{mvar|V}} می‌نامند، همچنین موقعی که [[:en:Dual_space#Continuous_dual_space|فضای دوگان توپولوژیکی]] هم در نظر گرفته شود، آن را '''فضای دوگان جبری''' می‌نامند. این فضا را معمولاً توسط {{math|Hom(''V'', ''k'')}} نمایش می‌دهند،<ref name=":0">{{Harvard citation text|Tu|2011}} p. 19, §3.1</ref> یا وقتیکه میدان {{mvar|k}} را می‌شناسیم، به صورت <math>V^*</math> نشان داده می‌شود؛<ref>{{Harvard citation text|Katznelson|Katznelson|2008}} p. 37, §2.1.3</ref> نمادگذاری‌های دیگری هم استفاده می‌شود مثل <math>V'</math>,<ref>{{Harvard citation text|Axler|2015}} p. 101, §3.94</ref><ref>{{Harvtxt|Halmos|1974}} p. 20, §13</ref> یا <math>V^{\#}</math> یا <math>V^{\vee}</math>.<ref name=":0"/> وقتیکه بردارها توسط [[:en:Row_and_column_vectors|بردارهای ستونی]] نمایش یابند (که این موضوع موقعی که [[پایه (جبر خطی)|پایه]] ثابت است رواج دارد)، آنوقت تابعی‌های خطی به صورت [[:en:Row_and_column_vectors|بردارهای سطری]] نمایش می‌یابند، و مقادیر آن‌ها در بردارهای خاص توسط [[ضرب ماتریسی]] (با بردار سطری در سمت چپ) به دست می‌آید.

== مثال‌ها ==
«تابع صفر ثابت» که هر بردار را به صفر نگاشت می‌دهد، به صورت بدیهی یک تابعی خطی است. هر تابعی خطی دیگر (مثل موارد ذکر شده در زیر) [[تابع پوشا|پوشا]] است (یعنی، برد آن همه {{mvar|k}} است).

=== تابعی‌های خطی در R<sup>n</sup> ===
فرض کنید که بردارها در فضای مختصات حقیقی <math>\R^n</math> توسط بردارهای ستونی نمایش یابند
<math display=block>\mathbf{x} = \begin{bmatrix}x_1\\ \vdots\\ x_n\end{bmatrix}.</math>

برای هر بردار سطری <math>\mathbf{a} = \begin{bmatrix}a_1 & \cdots & a_n\end{bmatrix}</math> یک تابعی خطی <math>f_{\mathbf{a}}</math> وجود دارد که توسط <math display=block>f_{\mathbf{a}}(\mathbf{x}) = a_1 x_1 + \cdots + a_n x_n,</math> تعریف می‌شود و هر تابعی خطی را می‌توان به این حالت بیان نمود.

این را می‌توان هم به صورت ضرب ماتریسی و هم ضرب داخلی از بردار سطری <math>\mathbf{a}</math> و بردار ستونی <math>\mathbf{x}</math> تفسیر نمود:
<math display=block>f_{\mathbf{a}}(\mathbf{x}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{x} = \begin{bmatrix}a_1 & \cdots & a_n\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\ \vdots\\ x_n\end{bmatrix}.</math>

=== اثر یک ماتریس مربعی ===
[[اثر (جبر خطی)|اثر]] <math>\operatorname{tr} (A)</math> از یک ماتریس مربعی <math>A</math> برابر مجموع همه عناصر در [[قطر اصلی]] آن است. ماتریس‌ها را می‌توان در نرده‌ای‌ها ضرب کرد همچنین دو ماتریس که ابعاد مشابهی دارند را می‌توان با هم جمع نمود؛ این عملیات یک [[فضای برداری]] از مجموعه همه ماتریس‌های <math>n \times n</math> می‌سازد. اثر یک تابعی خطی در این فضا است زیرا <math>\operatorname{tr} (s A) = s \operatorname{tr} (A)</math> و <math>\operatorname{tr} (A + B) = \operatorname{tr} (A) + \operatorname{tr} (B)</math> برای همه نرده‌ای‌های <math>s</math> و همه ماتریس‌های <math>n \times n</math> <math>A \text{ and } B</math> برقرار است.

=== انتگرال (معین) ===
تابعی‌های خطی اولین بار در [[آنالیز تابعی]]، یعنی مطالعه [[:en:Function_space|فضاهای برداری توابع]]، پدیدار شدند. یک مثال رایج از تابعی خطی [[انتگرال]] است: تبدیل خطی که توسط [[انتگرال ریمان]] تعریف شده‌است
<math display=block>I(f) = \int_a^b f(x)\, dx</math>
یک تابعی خطی از فضای برداری <math>C[a, b]</math> از توابع پیوسته روی بازه <math>[a, b]</math> به اعداد حقیقی است. خطی‌بودن <math>I</math> از حقیقت‌های استاندارد دربارهٔ انتگرال به دست می‌آید:
<math display=block>\begin{align}
     I(f + g) &= \int_a^b[f(x) + g(x)]\, dx = \int_a^b f(x)\, dx + \int_a^b g(x)\, dx = I(f) + I(g) \\
  I(\alpha f) &= \int_a^b \alpha f(x)\, dx = \alpha\int_a^b f(x)\, dx = \alpha I(f).
\end{align}</math>

=== ارزیابی ===
فرض کنید که <math>P_n</math> به فضای برداری توابع چندجمله‌ای مقدار-حقیقی از درجه <math>\leq n</math> اشاره کند، که روی یک بازه <math>[a, b]</math> تعریف شده‌است. اگر <math>c \in [a, b],</math> باشد آنوقت فرض کیند <math>\operatorname{ev}_c : P_n \to \R</math> یک '''تابعی ارزیابی''' باشد.
<math display=block>\operatorname{ev}_c f = f(c).</math>
نگاشت <math>f \mapsto f(c)</math> به این دلیل خطی است که
<math display=block>\begin{align}
     (f + g)(c) &= f(c) + g(c) \\
  (\alpha f)(c) &= \alpha f(c).
\end{align}</math>
اگر <math>x_0, \ldots, x_n</math> برابر <math>n + 1</math> تا نقطه متمایز در <math>[a, b],</math> باشد، آنوقت تابعی ارزیابی <math>\operatorname{ev}_{x_i},</math> <math>i = 0, \ldots, n</math> یک [[پایه (جبر خطی)|پایه]] برای فضای دوگان <math>P_n</math> تشکیل می‌دهد ({{harvtxt|Lax|1996}} این واقعیت آخری را به کمک [[:en:Lagrange_polynomial|درون‌یابی لاگرانژ]] اثبات کرده‌است).

=== مثال غیر-تابعی خطی ===
یک تابع <math>f</math> که یک [[خط مستقیم|معادله خطی]] <math>f(x) = a + r x</math> با <math>r \neq 0</math> دارد (مثلا، <math>f(x) = 1 + 2 x</math>) روی <math>\R</math> یک «تابعی خطی» {{em|نیست}}، زیرا [[:en:Linear_function|خطی]] نیست.<ref group="nb">برای مثال، <math>f(1 + 1) = a + 2 r \neq 2 a + 2 r = f(1) + f(1).</math></ref> با این‌حال، این [[تبدیل آفین|آفین-خطی]] است.

=== تجسم ===
[[File:Gradient 1-form.svg|thumb|200px|
نمایش هندسی یک ۱-فرم '''α''' به صورت یک پشته از [[ابرصفحه]]‌های با مقدار ثابت، هر '''α''' با آن بردارهایی که با یک مقدار نرده‌ای معین‌اش نگاشت دارد متناظر شده، که درکنار آن، و در امتداد «حس» افزایش نشان داده شده‌است. صفحه صفر {{color box|purple}} از میان مبدأ می‌گذرد.]]

در ابعاد متناهی، یک تابعی خطی توسط [[:en:Level_set|مجموعه‌های هم‌مرحله]] تجسم پیدا می‌کند، یعنی مجموعه بردارهایی که به یک مقدار معین نگاشت دارند. در سه بعد، مجموعه‌های هم‌مرحله از یک تابعی خطی یک خانواده از صفحه‌های دوبه‌دو موازی اند؛ در ابعاد بالاتر، آن‌ها [[ابرصفحه]]‌های موازی اند. این روش تجسم تابعی‌های خطی گاهی در متون [[نسبیت عام]]، مثل [[گرانش (کتاب)|کتاب گرانش]] از {{harvtxt|Misner|Thorne|Wheeler|1973}} معرفی شده‌است.

== کابردها ==
=== کاربرد در مربع‌سازی ===
اگر <math>x_0, \ldots, x_n</math> برابر <math>n + 1</math> تا نقطه متمایز در {{closed-closed|''a'', ''b''}} باشد، آنوقت تابعی خطی <math>\operatorname{ev}_{x_i} : f \mapsto f\left(x_i\right)</math> که در بالا تعریف شده‌است، یک [[پایه (جبر خطی)|پایه]] از فضای دوگان {{math|''P<sub>n</sub>''}} می‌سازد، که فضای چندجمله‌ای‌های درجه <math>\leq n</math> است. تابعی انتگرال {{math|''I''}} هم یک تابعی خطی روی {{math|''P<sub>n</sub>''}} است، و بنابراین می‌تواند به صورت یک ترکیب خطی از این عناصر پایه بیان شود. در نمادها، ضرایب <math>a_0, \ldots, a_n</math> موجود است که برای آن
<math display="block">I(f) = a_0 f(x_0) + a_1 f(x_1) + \dots + a_n f(x_n)</math>
برای همه <math>f \in P_n</math> برقرار است. این موضوع مبنای نظریه [[انتگرال عددی|مربع‌سازی عددی]] است.<ref>{{harvnb|Lax|1996}}</ref>

=== در مکانیک کوانتمی ===
تابعی‌های خطی مخصوصاً در [[مکانیک کوانتمی]] مهم هستند. سامانه‌های مکانیکی کوانتمی توسط [[فضای هیلبرت|فضاهای هیلبرت]] نمایش می‌یابد، که برای فضاهای دوگان خودشان [[نگاشت غیرخطی|پادیکریخت]] اند. یک تعریف از سامانه مکانیکی کوانتمی را می‌توان توسط یک تابعی خطی شناسایی نمود. برای اطلاعات بیشار [[نشان‌گذاری برا-کت]] را ببنید.

=== توزیع‌ها ===
در نظریه [[:en:Generalized_function|توابع تعمیم‌یافته]]، انواع معینی از توابع تعمیم‌یافته را [[توزیع (ریاضیات)|توزیع]] می‌نامند، که توسط تابعی‌های خطی روی فضاهای [[توزیع (ریاضیات)|توایع آزمایشی]] تحقق می‌یابد.

== بردارهای دوگان و حالت دوخطی ==
[[File:1-form linear functional.svg|thumb|400px|تابعی‌های خطی (۱-فرم‌ها) '''α''' و '''β''' و جمع آن‌ها '''σ''' و بردارهای '''u''', '''v'''، '''w'''، در [[فضای اقلیدسی]] [[فضای سه‌بعدی|سه‌بعدی]]. تعداد (۱-فرم) [[ابرصفحه]]‌ها که توسط یک بردار قطع‌می‌شود برابر [[فضای ضرب داخلی|ضرب داخلی]] است.<ref>{{Harvard citation text|Misner|Thorne|Wheeler|1973}} p. 57</ref>]]

هر [[فرم دوخطی]] غیر-منحط روی یک فضای برداری متناهی-بعد {{mvar|V}} یک [[یکریختی]] {{math|''V'' → ''V''{{i sup|∗}}: ''v'' ↦ ''v''{{sup|∗}}}} را معرفی می‌کند، به این شیوه که
<math display="block"> v^*(w) := \langle v,  w\rangle \quad \forall w \in V ,</math>

که در آن حالت دوخطی روی {{mvar|V}} به صورت <math>\langle \,\cdot\, , \,\cdot\, \rangle</math> نمایش داده می‌شود (برای مثال، در [[فضای اقلیدسی]]، <math>\langle v, w \rangle = v \cdot w</math> برابر [[ضرب داخلی]] {{mvar|v}} و {{mvar|w}} است).

یکریختی معکوس برابر {{nowrap|''V''{{i sup|∗}} → ''V'': ''v''{{sup|∗}} ↦ ''v''}} است، که در آن {{mvar|v}} همان عنصر یکتای {{mvar|V}} است به این‌صورت که
<math display="block"> \langle v, w\rangle = v^*(w)</math>
برای همه <math>w \in V</math> برقرار است.

بردار تعریفی بالا {{nowrap|''v''{{sup|∗}} ∈ ''V''{{i sup|∗}}}} را '''بردار دوگان''' برای <math>v \in V</math> می‌نامند.

در یک [[فضای هیلبرت]] متناهی بعد، نتایج مشابهی توسط [[قضیه نمایش ریس]] برقرار است. یک نگاشت {{nowrap|''V'' ↦ ''V''{{i sup|∗}}}} از به{{em| فضای دوگان پیوسته}}‌اش یعنی ''V''{{i sup|∗}} برقرار است.

== ارتباط با پایه ==
{{hatnote|در زیر، ما فرض می‌کنیم که بعد متناهی است. برای بحث دربارهٔ نتایج مشابه در بعد نامتناهی، [[:en:Schauder basis|مبنای شودر]] را ببینید.}}

=== پایه فضای دوگان ===
فرض کنید که فضای برداری {{mvar|V}} یک پایه <math>\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2,\dots,\mathbf{e}_n</math> داشته باشد که الزاماً [[تعامد (جبر خطی)|متعامد]] نباشد. آنوقت [[:en:Dual_space|فضای دوگان]] <math>V^*</math> یک پایه به صورت <math>\tilde{\omega}^1,\tilde{\omega}^2,\dots,\tilde{\omega}^n</math> دارد که به آن [[:en:Dual_basis|پایه دوگان]] گفته می‌شود، که توسط این ویژگی خاص تعریف می‌شود که
<math display="block"> \tilde{\omega}^i (\mathbf e_j) = \begin{cases}
1 &\text{if}\ i = j\\
0 &\text{if}\ i \neq j.
\end{cases} </math>

یا به صورت کوتاه‌تر
<math display="block"> \tilde{\omega}^i (\mathbf e_j) = \delta_{ij} </math>

که در آن ''δ'' همان [[دلتای کرونکر]] است. در اینجا بالانویس تابعی‌های پایه معنی «نما» نمی‌دهد، بلکه برابر اندیس‌های [[:en:Covariance_and_contravariance_of_vectors|کوتراواریانس]] است.

یک تابعی خطی <math>\tilde{u}</math> که به یک فضای دوگان <math>\tilde{V}</math> تعلق دارد را می‌توان به صورت یک [[ترکیب خطی]] از تابعی‌های پایه بیان کرد، که در آن ضرایب («مولفه‌ها») {{math|''u<sub>i</sub>''}} به اینصورت هستند
<math display="block">\tilde{u} = \sum_{i=1}^n u_i \, \tilde{\omega}^i. </math>

آنوقت، با اعمال تابعی <math>\tilde{u}</math> به یک بردار پایه <math>\mathbf{e}_j</math> به این نتیجه می‌رسیم
<math display="block">\tilde{u}(\mathbf e_j) = \sum_{i=1}^n \left(u_i \, \tilde{\omega}^i\right) \mathbf e_j = \sum_i u_i \left[\tilde{\omega}^i \left(\mathbf e_j\right)\right] </math>

این موضوع به دلیل خطی‌بودن مضرب‌های نرده‌ای تابعی‌ها و خطی‌بودن نقطه‌به‌نقطه مجموع تابعی‌ها رخ می‌دهد. آنوقت
<math display="block">\begin{align}
  \tilde{u}({\mathbf e}_j)
&= \sum_i u_i \left[\tilde{\omega}^i \left({\mathbf e}_j\right)\right] \\&
= \sum_i u_i {\delta}_{ij} \\
&= u_j.
\end{align}</math>
بنابراین هر مولفه یک تابعی خطی را می‌توان توسط اعمال تابعی به بردار پایه متناظر استخراج نمود.

=== پایه دوگان و ضرب داخلی ===
وقتیکه فضای {{mvar|V}} یک [[فضای ضرب داخلی|ضرب داخلی]] را حمل می‌کند، آنوقت نوشتن صریح یم فرمول برای پایه دوگان یک پایه معین امکان‌پذیر می‌شود. فرض کنید {{mvar|V}} یک پایه <math>\mathbf{e}_1,\dots, \mathbf{e}_n</math> داشته باشد (که الزاماً متعامد نباشد). در سه بعد ({{math|1=''n'' = ۳}})، پایه دوگان را می‌توان به صورت صریح به این شیوه نوشت
<math display="block"> \tilde{\omega}^i(\mathbf{v}) = \frac{1}{2} \left\langle \frac { \sum_{j=1}^3\sum_{k=1}^3\varepsilon^{ijk} \, (\mathbf e_j \times \mathbf e_k)} {\mathbf e_1 \cdot \mathbf e_2 \times \mathbf e_3} , \mathbf{v} \right\rangle ,</math>
که برای <math>i = 1, 2, 3,</math> برقرار است که در آن ''ε'' [[نماد لوی-چیویتا]] است، و <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> همان [[ضرب داخلی|ضرب داخلی (یا ضرب نقطه‌ای)]] روی {{mvar|V}} است.

در ابعاد بالاتر، این موضوع به این شیوه تعمیم می‌یابد
<math display="block"> \tilde{\omega}^i(\mathbf{v}) = \left\langle \frac{\sum_{1 \le i_2 < i_3 < \dots < i_n \le n} \varepsilon^{ii_2\dots i_n}(\star \mathbf{e}_{i_2} \wedge \cdots \wedge \mathbf{e}_{i_n})}{\star(\mathbf{e}_1\wedge\cdots\wedge\mathbf{e}_n)}, \mathbf{v} \right\rangle ,</math>
که در آن <math>\star</math> همان [[:en:Hodge_star_operator|عملگر ستاره هودژ]] است.

== پانویس ==
{{پانویس|group=nb|۲}}

== منابع ==
{{یادکرد-ویکی|پیوند=https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_form|عنوان=Linear form|زبان=انگلیسی|بازیابی=۲۴ دسامبر ۲۰۲۱}}
[[رده:آنالیز تابعی]]
[[رده:جبر خطی]]
[[رده:عملگرهای خطی]]