نمایش مبدأ برای جدول‌های مثلثات

{{مثلثات}}

در ریاضیات، جدول‌های [[تابع‌های مثلثاتی]] کاربردهای گوناگونی دارند. پیش از وجود ماشین‌حساب جیبی، جدول‌های مثلثاتی برای ناوبری، علوم و مهندسی ضروری بودند. محاسبهٔ جدول‌های ریاضی، موضوع مهمی برای مطالعه بود که منجر به توسعهٔ نخستین دستگاه‌های محاسب مکانیکی شد.

رایانه‌ها و ماشین‌حساب‌های کنونی، با به کار گرفتن کتابخانه‌های خاص شامل کدهای ریاضی، مقدار [[توابع مثلثاتی]] را در لحظه، محاسبه می‌کنند. این کتابخانه‌ها معمولاً از جدول‌های درونی از پیش محاسبه‌شده بهره می‌برند و مقدار مورد نیاز را با [[درون‌یابی|درونیابی]] می‌یابند. درونیابی با استفاده از جدول‌های سادهٔ توابع مثلثاتی هنوز در [[گرافیک رایانه‌ای]] که دقت متوسطی لازم است و سرعت محاسبه اهمیت بیشتری دارد، انجام می‌شود.

یک کاربرد دیگر جدول‌های مثلثاتی که اهمیت دارد، در زمینهٔ الگوریتم‌های [[تبدیل فوریهٔ سریع]] است. در این الگوریتم، در یک تبدیل بارها مقادیر یک تابع مثلثاتی باید محاسبه شوند. در چنین حالتی، فراخوانی چندبارهٔ کتابخانه، سرعت محاسبه را به شدت کاهش می‌دهد. به جای آن، می‌توان کتابخانه را یک‌بار فراخوانی کرد که جدول مقادیر مثلثاتی مورد نظر را ایجاد کند. این فرایند نیاز به حجم زیادی از حافظه دارد. روش دیگر، بهره گرفتن از [[رابطهٔ بازگشتی]] برای محاسبهٔ مثادیر مثلثاتی است.

<!--== On-demand computation ==
[[پرونده:Bernegger Manuale 137.jpg|بندانگشتی|راست|200px|A page from a 1619 book of [[mathematical table]]s.]]

Modern computers and calculators use a variety of techniques to provide trigonometric function values on demand for arbitrary angles (Kantabutra, 1996). One common method, especially on higher-end processors with [[Floating point|floating-point]] units, is to combine a [[polynomial]] or [[rational function|rational]] [[approximation theory|approximation]] (such as [[Chebyshev approximation]], best uniform approximation, and [[Padé approximant|Padé approximation]], and typically for higher or variable precisions, [[Taylor series|Taylor]] and [[Laurent series]]) with range reduction and a table lookup &mdash; they first look up the closest angle in a small table, and then use the polynomial to compute the correction. Maintaining precision while performing such interpolation is nontrivial, however; and methods like [[Gal's accurate tables]], Cody and Waite reduction, and Payne and Hanek reduction algorithms can be used for this purpose.  On simpler devices that lack a [[multiplication ALU|hardware multiplier]], there is an algorithm called [[CORDIC]] (as well as related techniques) that is more efficient, since it uses only [[shift operator|shift]]s and additions. All of these methods are commonly implemented in [[computer hardware|hardware]] for performance reasons.

For [[arbitrary-precision arithmetic|very high precision]] calculations, when series-expansion convergence becomes too slow, trigonometric functions can be approximated by the [[arithmetic-geometric mean]], which itself approximates the trigonometric function by the ([[complex number|complex]]) [[elliptic integral]] (Brent, 1976).

Trigonometric functions of angles that are [[rational number|rational]] multiples of 2π are [[algebraic number]]s, related to [[roots of unity]], and can be computed with a [[polynomial]] [[root-finding algorithm]] in the [[complex plane]].  For example, the cosine and sine of 2π&nbsp;⋅&nbsp;5/37 are the [[real part|real]] and [[imaginary part]]s, respectively, of a 37th root of unity, corresponding to a root of a [[degree of a polynomial|degree]]-37 polynomial ''x''<sup>37</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;1.  Root-finding algorithms such as [[Newton's method]] are much simpler than the arithmetic-geometric mean algorithms above while converging at a similar asymptotic rate; the latter algorithms are required for [[transcendental number|transcendental]] trigonometric constants, however.
-->

== روابط نصف زاویه و جمع دو زاویه ==

نخستین روش تهیهٔ جدول‌های مثلثاتی از نظر تاریخی و متداول‌ترین روش تا پیش از توسعهٔ رایانه‌ها، اعمال پیاپی اتحادهای نصف زاویه و جمع دو زاویه با آغاز از یک مقدار معلوم (مانند مقادیر [[زاویه قائمه|زاویهٔ قائمه]]) بود. نخستین فردی که این اتحادها را در ساخت جدول مثلثاتی به کار برد، بطلمیوس بود. رابطه‌هایی که به این منظور به کار می‌روند، شامل اتحادهای زیر هستند:

:<math>\cos\left(\frac{x}{2}\right) =  \pm \sqrt{\tfrac{1}{2}(1 + \cos x)}</math>

:<math>\sin\left(\frac{x}{2}\right) =  \pm \sqrt{\tfrac{1}{2}(1 - \cos x)}</math>

:<math>\sin(x \pm y) = \sin(x) \cos(y) \pm \cos(x) \sin(y)\,</math>

:<math>\cos(x \pm y) = \cos(x) \cos(y) \mp \sin(x) \sin(y)\,</math>

== یک روش سریع و نادقیق برای تخمین ==
[[پرونده:Sinvsapprs.jpg|بندانگشتی|350px|اختلاف مقدار دقیق <span style="color:#00009F;">سینوس</font> با تقریب‌های آن، <span style="color:#9F0000;">تقریب اول</font> و <span style="color:#009F00;">تقریب دوم</font>.]]
یک [[الگوریتم تقریبی]] برای ساختن جدول‌های مثلثاتی توابع سسینوس و کسینوس، استفاده پیاپی از رابطه‌های زیر است:
{{چپ‌چین}}
:''s''<sub>0</sub> = 0
:''c''<sub>0</sub> = 1
:''s''<sub>''n''+1</sub> = ''s''<sub>''n''</sub> + ''d'' &times; ''c''<sub>''n''</sub>
:''c''<sub>''n''+1</sub> = ''c''<sub>''n''</sub> &minus; ''d'' &times; ''s''<sub>''n''</sub>
{{پایان چپ‌چین}}
که در آن‌ها ''n'' [[عدد صحیح|عددی صحیح]] بین صفر و ''N''-۱ است. ''c'' و ''s'' به ترتیب نشان دهنده کسینوس و سینوس، ''N'' تعداد مقدارهای محاسبه شده و ''d'' = ۲π/''N'' هستند. این روش تقریبی، بر پایه روش اویلر برای حل [[معادله دیفرانسیل]] به صورت انتگرالی:

{{چپ‌چین}}
:<math>ds/dt = c</math>
:<math>dc/dt = -s</math>
{{پایان چپ‌چین}}
با شرایط اولیه ''s''(0) = 0 و ''c''(0) = 1 انجام می‌شود.

این الگوریتم روش مناسبی برای ساختن جدول سینوس نیست. زیرا خطای قابل توجهی دارد که متناسب با {{math|{{sfrac|۱|N}}}} است. برای نمونه، اگر ''N'' برابر ۲۵۶ باشد، بیشینه خطای تخمین سینوس حدود ۰٫۰۶۱ و اگر ۱۰۲۴ باشد، بیشینه خطا حدود ۰٫۰۱۵ است.

== یک روش بازگشتی دقیق‌تر ==
یک [[رابطه بازگشتی]] برای تولید جدول‌های مثلثاتی بر پایه [[فرمول اویلر]] و رابطه
{{چپ‌چین}}
:<math>e^{i(\theta + \Delta\theta)} = e^{i\theta} \times e^{i\Delta\theta}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
به صورت زیر تعریف می‌شود:
{{چپ‌چین}}
:''c''<sub>0</sub> = 1
:''s''<sub>0</sub> = 0
:''c''<sub>''n''+1</sub> = ''w''<sub>''r''</sub> ''c''<sub>''n''</sub> - ''w''<sub>''i''</sub> ''s''<sub>''n''</sub>
:''s''<sub>''n''+1</sub> = ''w''<sub>''i''</sub> ''c''<sub>''n''</sub> + ''w''<sub>''r''</sub> ''s''<sub>''n''</sub>
{{پایان چپ‌چین}}
که در آن‌ها ''n'' عددی صحیح بین صفر و ''N''-۱ است. هم‌چنین {{math|w<sub>r</sub>{{=}}cos{{sfrac|۲π|N}}}} و {{math|w<sub>i</sub>{{=}}sin{{sfrac|۲π|N}}}} هستند. این دو مقدار اولیه معمولاً با استفاده از تابع‌های کتابخانه‌ای موجود، محاسبه می‌شوند. با افزایش تعداد جملات، خطا نیز افزایش می‌یابد.

برای بهبود روش بالا، اصلاحات زیر انجام می‌شود.

{{چپ‌چین}}
:''c''<sub>0</sub> = 1
:''s''<sub>0</sub> = 0
:''c''<sub>''n''+1</sub> = ''c''<sub>''n''</sub> - (α''c''<sub>''n''</sub> + β''s''<sub>''n''</sub>)
:''s''<sub>''n''+1</sub> = ''s''<sub>''n''</sub> + (β''c''<sub>''n''</sub> - α''s''<sub>''n''</sub>)
{{پایان چپ‌چین}}
که در آن {{math|α{{=}}sin<sup>۲</sup> {{sfrac|۲π|N}}}} و {{math|β{{=}}sin{{sfrac|۲π|N}}}}. خطای این روش، بسیار کمتر است. ولی هم‌چنان به اندازه‌ای هست که دقت روش‌های سریع مانند [[تبدیل فوریه سریع]] را در اندازه‌های بزرگ، کاهش دهد.

== جستارهای وابسته ==
* [[تحلیل عددی]]
* [[مقدارهای دقیق مثلثاتی]]

== منابع ==
{{چپ‌چین}}
* Carl B. Boyer, ''A History of Mathematics'', 2nd ed. (Wiley, New York, 1991).
* Manfred Tasche and Hansmartin Zeuner, "Improved roundoff error analysis for precomputed twiddle factors," ''J. Computational Analysis and Applications'' '''4''' (1), 1&ndash;18 (2002).
* James C. Schatzman, "Accuracy of the discrete Fourier transform and the fast Fourier transform," ''SIAM J. Sci. Comput.'' '''17''' (5), 1150&ndash;1166 (1996).
* Vitit Kantabutra, "On hardware for computing exponential and trigonometric functions," ''IEEE Trans. Computers'' '''45''' (3), 328–339 (1996).
* R. P. Brent, "[http://doi.acm.org/10.1145/321941.321944 Fast Multiple-Precision Evaluation of Elementary Functions]", ''J. ACM'' '''23''', 242&ndash;251 (1976).
* Singleton, Richard C. (1967). On computing the fast Fourier transform. ''Comm. ACM'', vol. 10, 647–654.
* Gal, Shmuel and Bachelis, Boris. An accurate elementary mathematical library for the IEEE floating point standard, ACM Transaction on Mathematical Software (1991).
{{پایان چپ‌چین}}

[[رده:مثلثات]]
[[رده:محاسبات عددی]]
[[رده:ویکی‌سازی رباتیک]]