نمایش مبدأ برای جبر دوری

{{تمیزکاری}}
{{ویکی‌سازی}}
== تعریف جبر دوری ==
<math> k </math>
را به عنوان [[میدان (ریاضی)|میدان]] پس‌زمینه بردارید. یک
<math> k </math>
-جبرِ 
<math> A </math>
را یک جبر دوری گوئیم هرگاه عنصر
<math> x\in A </math>
ای وجود داشته باشد که
<math> A=k[x] </math>
. به عنصری از جبر دوریِ
<math> A </math>
که با افزودن آن به میدان پس‌زمینه بتوانیم 
<math> A </math>
را تولید کنیم یک مولد برای این جبر دوری می‌گوئیم.<ref> Becker, Wormann, Radical of zero-dimensional ideals and real root counting, page 563 </ref>
[[حلقهٔ چندجمله‌ای‌های یک متغیره]] با ضرایب از
<math> k </math>
یک نمونهٔ بدیهی از 
<math> k </math>
جبرهای دوری است. 
به عنوان نمونهٔ سادهٔ دیگری می‌توان [[حلقه‌های خارج قسمتی]] از حلقهٔ چندجمله‌ای‌های تک متغیره را عنوان کرد. 

== ویژگی‌ها ==
توجه کنید که یک 
<math> k </math>
-جبر یک [[فضای برداری]] روی 
<math> k </math>
نیز است. بنابراین می‌توان عناصر یک 
<math> k </math>
-جبر را به چشم [[بردار]] نیز دید. با کمک گرفتن از این دید می‌توانید به سادگی ثابت کنید که؛

'''قضیه:''' هر [[ویژگی عمومی|عنصر عمومی]] از یک 
<math> k </math>
-جبر دوری متناهی بعد ([[بعد فضای برداری]])، یک مولد از آن می‌باشد.<ref> Becker, Wormann, Radical of zero-dimensional ideals and real root counting, Lemma 3.4. </ref>

نخست یادآور می‌شویم که یک عنصر را در [[جبر]]، عمومی می‌نامیم اگر عضو متمم صفرهای یک دستگاه از چندجمله‌ای‌ها باشد. در اثبات قضیهٔ بالا برای جبرمان که یک فضای برداری است یک پایه برمی‌داریم و یک عنصر دلخواه را با نمایش برداری‌اش بر حسب این پایه نمایش می‌دهیم. در جریان اثبات برای عنصر دلخواهی که ضرایب نمایشش بر حسب این پایه در یک [[دترمینان]] که از جنس چندجمله‌ای‌است مقدار صفر نمی‌دهند، مولد بودن را ثابت می‌کنیم بنابراین تا حد مفهوم [[ویژگی عمومی|عنصر عمومی]]، عنصرمان دلخواه است. اما این مطلب از ارزش این قضیه نمی‌کاهد چرا که اگر یک عنصر به‌طور تصادفی انتخاب کنیم با [[احتمال]] تقریباً ۱۰۰٪ یک عنصر عمومی خواهد بود. لذا سریع‌ترین راه برای بررسی اینکه آیا یک جبر، دوری است یا خیر این است که یک عنصر به‌طور تصادفی از آن برداریم و بررسی کنیم که آیا آن را تولید می‌کند یا خیر، پاسخ این آزمایش با اطمینان بالایی هم‌ارز دوری بودن و نبودن جبرمان است. زیبایی این ویژگی این است که یک مفهوم جبری و مجرد ویژگی‌ای آماری دارد و می‌توان برنامهٔ نرم‌افزاری ساده‌ای برای بررسی آن نوشت.

'''قضیه:''' هر 
<math> k </math>
-[[جبر کاهش‌یافته|جبر کاهش‌یافتهٔ]] با بعد متناهی (بعد فضای برداری)، یک جبر دوری است.<ref> Rouillier, Solving Zero-Dimensional Systems Through the Rational Univariate Representation, page 434 </ref><ref> Becker, Wormann, Radical of zero-dimensional ideals and real root counting, part (i) of Corollary 3.6. </ref>

== پانویس ==
{{پانویس}}

== منابع ==
{{چپ‌چین}}
* Fabrice Rouillier, Solving Zero-Dimensional Systems Through the Rational Univariate Representation, Applicable Algebra in Engineering,  
Communication and Computing 9 (1999) 433-461
* E. Becker, T. Wormann, Radical of zero-dimensional ideals and real root counting, Mathematics and Computers in Simulation 42 (1996) 561- 569
{{پایان چپ‌چین}}

[[رده:جبر|*]]
[[رده:ساختارهای ریاضیاتی]]