نمایش مبدأ برای جانشینی مثلثاتی

{{حساب دیفرانسیل و انتگرال|موضوع=دیفرانسیل}}
{{مثلثات}}
'''جانشینی مثلثاتی'''{{انگلیسی|Trigonometric substitution}} در [[ریاضی|ریاضیات]] و در محاسبه [[انتگرال]] توابع به منظور ساده‌تر کردن توابع به کار می‌رود.مثلاً برای تبدیل عبارات [[ریشه عدد|رادیکالی]] و نمایی می‌توان از این تبدیل‌ها استفاده کرد<ref>{{cite book | last=Stewart | first=James | authorlink=James Stewart (mathematician) | title=Calculus: Early Transcendentals |publisher= Brooks/Cole  | edition=6th | year=2008 | isbn=0-495-01166-5}}</ref><ref>{{cite book | last1 = Thomas | first1 = George B. | last2=Weir | first2= Maurice D. | last3=Hass | first3=Joel | authorlink=George B. Thomas | title=Thomas' Calculus: Early Transcendentals | url = https://archive.org/details/thomascalculusea0000weir_s0z8 | publisher=[[ادیسون-وزلی|Addison-Wesley]] | year=2010 | edition=12th | isbn=0-321-58876-2}}</ref>.
*اگر انتگرال شامل عبارت ''a''<sup>2</sup>&nbsp;−&nbsp;''x''<sup>2</sup> باشد:
:: <math>x = a \sin \theta\,</math>
و از [[فهرست اتحادهای مثلثاتی|اتحاد مثلثاتی]] زیر استفاده می کنیم:
:: <math>1-\sin^2 \theta = \cos^2 \theta.\,</math>
<!-- extra blank line -->
* اگر انتگرال شامل عبارت ''a''<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;''x''<sup>2</sup>, باشد:
:: <math>x = a \tan \theta\,</math>
:  از [[فهرست اتحادهای مثلثاتی|اتحاد مثلثاتی]] زیر استفاده می کنیم:
:: <math>1+\tan^2 \theta = \sec^2 \theta.\,</math>
<!-- extra blank line -->
* گر انتگرال شامل عبارت ''x''<sup>2</sup>&nbsp;−&nbsp;''a''<sup>2</sup>, باشد:
:: <math>x = a \sec \theta\,</math>
:  از [[فهرست اتحادهای مثلثاتی|اتحاد مثلثاتی]] زیر استفاده می کنیم:
:: <math>\sec^2 \theta-1 = \tan^2 \theta.\,</math>
== چند نمونه ==
''' انتگرال‌های شامل g ''a''<sup>2</sup> − ''x''<sup>2</sup> '''
در انتگرال زیر:
:<math>\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}</math>
می توان از روابط مثلثاتی زیر استفاده کرد:
:<math>x=a\sin(\theta),\quad dx=a\cos(\theta)\,d\theta, \quad \theta=\arcsin\left(\frac{x}{a}\right)</math>

:<math>
\begin{align}
\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} & = \int\frac{a\cos(\theta)\,d\theta}{\sqrt{a^2-a^2\sin^2(\theta)}} = \int\frac{a\cos(\theta)\,d\theta}{\sqrt{a^2(1-\sin^2(\theta))}} \\[8pt]
& = \int\frac{a\cos(\theta)\,d\theta}{\sqrt{a^2\cos^2(\theta)}} = \int d\theta=\theta+C=\arcsin\left(\frac{x}{a}\right)+C
\end{align}
</math>
باید توجه داشت که در نمونه فوق باید همواره ''a''> 0 

نکته دیگر تغییر حدود انتگرال برای  انتگرال‌های معین است.مثلاً اگر x از 0 تا ''a''/2 تغییر کند،sin(θ) از 0 تا 1/2 تغییر می‌کند ،در نتیجه θ از 0 تا π/6 تغییر می‌کند:
: <math>\int_0^{a/2}\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}
=\int_0^{\pi/6} d\theta = \frac{\pi}{6}.</math>

== منابع ==
{{پانویس}}
{{Wikiversity|Trigonometric Substitutions}}
{{Wikibooks|Calculus/Integration techniques/Trigonometric Substitution}}
{{موضوعات حسابان}}
{{انتگرال‌ها}}
[[رده:حساب انتگرال]]
[[رده:ریاضیات]]
[[رده:مثلثات]]