نمایش مبدأ برای ثابت کاتالان

در [[ریاضیات]]، '''ثابت کاتالان''' {{Mvar|G}} تعریف می‌شود با

: <math>G = \beta(2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \frac{1}{9^2} - \cdots,</math>

که {{Mvar|β}} [[تابع بتا دیریکله]] است. مقدار عددی آن<ref>{{Cite web|last=Papanikolaou|first=Thomas|title=Catalan's Constant to 1,500,000 Places|url=https://www.gutenberg.org/ebooks/812|website=Gutenberg.org|date=March 1997}}</ref> تقریباً {{OEIS|A006752}} است:

: {{ریاضی|''G'' {{=}} {{val|0.915965594177219015054603514932384110774}}…}}
{{unsolved|ریاضیات|آیا ثابت کاتالان گنگ است؟ اگر چنین است، آیا متعالی است؟}}

معلوم نیست که {{Mvar|G}} [[عدد گنگ]] باشد، چه رسد به [[اعداد متعالی|متعالی]].<ref>{{Citation|last=Nesterenko|first=Yu. V.|date=January 2016|doi=10.1134/s0081543816010107|number=1|journal=Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics|pages=153–170|title=On Catalan's constant|volume=292}}.</ref> {{Mvar|G}} «را بی‌شک اساسی‌ترین ثابتی خوانده‌اند که گنگ و تعالی بودن آن (اگرچه شدیداً مشکوک باشد) ثابت نشده‌است».<ref>{{Citation|last=Bailey|first=David H.|last2=Borwein|first2=Jonathan M.|last3=Mattingly|first3=Andrew|last4=Wightwick|first4=Glenn|doi=10.1090/noti1015|number=7|journal=[[Notices of the American Mathematical Society]]|mr=3086394|pages=844–854|title=The computation of previously inaccessible digits of <math>\pi^2</math> and Catalan's constant|volume=60|year=2013}}</ref>

ثابت کاتالان به نام [[اوژن شارل کاتالان]] نامگذاری شد، وی سری سریعاً-همگرا را برای محاسبه آن پیدا کرد<ref>{{Citation|last=Goldstein|first=Catherine|author-link=Catherine Goldstein|journal=Bulletin de la Société Royale des Sciences de Liège|mr=3498215|pages=74–92|title=The mathematical achievements of Eugène Catalan|url=https://popups.uliege.be/0037-9565/index.php?id=4830|volume=84|year=2015}}</ref> و در سال ۱۸۶۵ خاطرات آن را منتشر کرد.<ref>{{Citation|last=Catalan|first=E.|author-link=Eugène Charles Catalan|language=fr|place=Brussels|series=Mémoires de l'Académie royale des sciences, des lettres et des beaux-arts de Belgique|title=Mémoire sur la transformation des séries et sur quelques intégrales définies|volume=33|year=1865}}</ref>

== کاربرد ==
در [[توپولوژی بعد-پایین]]، ثابت کاتالان ۱/۴ حجم یک [[هشت‌وجهی|هشت وجهی]] [[ایده‌آل]] هذلولی و در نتیجه ۱/۴ [[حجم هذلولی]] مکمل [[پیوند وایتهد]] است.<ref>{{Citation|last=Agol|first=Ian|author-link=Ian Agol|doi=10.1090/S0002-9939-10-10364-5|number=10|journal=[[Proceedings of the American Mathematical Society]]|mr=2661571|pages=3723–3732|title=The minimal volume orientable hyperbolic 2-cusped 3-manifolds|volume=138|year=2010|arxiv=0804.0043}}.</ref> ۱/۸ حجم مکمل [[حلقه‌های بورومین]] است.<ref>{{Citation|last=William Thurston|author-link=William Thurston|date=March 2002|title=The Geometry and Topology of Three-Manifolds|url=http://library.msri.org/books/gt3m/|chapter=7. Computation of volume|chapter-url=http://library.msri.org/books/gt3m/PDF/7.pdf|page=165|accessdate=۲۹ آوریل ۲۰۲۱|archive-date=۲۷ ژوئیه ۲۰۲۰|archive-url=https://web.archive.org/web/20200727020107/http://library.msri.org/books/gt3m/|url-status=dead}}</ref>

در [[مکانیک آماری|مکانیک‌های آماری]] و [[ترکیبیات|ترکیبیاتی]]، این امر در ارتباط با شمارش [[کاشی‌کاری دومینو|کاشی‌کاری‌های دومینو]]،<ref>{{Citation|last=Temperley|first=H. N. V.|author1-link=Harold Neville Vazeille Temperley|last2=Fisher|first2=Michael E.|author2-link=Michael Fisher|date=August 1961|doi=10.1080/14786436108243366|number=68|journal=[[Philosophical Magazine]]|pages=1061–1063|title=Dimer problem in statistical mechanics—an exact result|volume=6}}</ref> [[درخت پوشا|درختان پوشا]]،<ref>{{Citation|last=Wu|first=F. Y.|doi=10.1088/0305-4470/10/6/004|number=6|journal=Journal of Physics|mr=489559|pages=L113–L115|title=Number of spanning trees on a lattice|volume=10|year=1977}}</ref> و [[مسیر همیلتونی|چرخه‌های همیلتونی]] [[نمودار شبکه|نمودارهای شبکه]] ایجاد می‌شود.<ref>{{Citation|last=Kasteleyn|first=P. W.|author-link=Pieter Kasteleyn|doi=10.1016/S0031-8914(63)80241-4|journal=[[Physica (journal)|Physica]]|mr=159642|pages=1329–1337|title=A soluble self-avoiding walk problem|volume=29|year=1963}}</ref>

در [[نظریه اعداد]]، ثابت کاتالان در یک فرمول حدس زده شده برای تعداد [[مجانب]] [[عدد اول|اعداد اول]] شکل <math>n^2+1</math> ظاهر می‌شود مطابق [[مارپیچ اولام|حدس هاردی و لیتل‌وود اف]]. با این حال، این که حتی بی‌نهایت از اعداد اول این شکل وجود دارد، این یک مسئله حل نشده‌است (یکی از [[مشکلات لاندائو]]).<ref>{{Citation|last=Shanks|first=Daniel|author-link=Daniel Shanks|journal=Mathematical Tables and other Aids to Computation|mr=105784|pages=78–86|title=A sieve method for factoring numbers of the form <math>n^2+1</math>|volume=13|year=1959}}</ref>

ثابت کاتالان همچنین در محاسبه [[توزیع جرم|پخش جرم]] [[کهکشان مارپیچی|کهکشانهای مارپیچی]] ظاهر می‌شود.<ref>{{Citation|last=Wyse|first=A. B.|last2=Mayall|first2=N. U.|bibcode=1942ApJ....95...24W|date=January 1942|doi=10.1086/144370|journal=[[ژورنال اخترفیزیکی|The Astrophysical Journal]]|pages=24–47|title=Distribution of Mass in the Spiral Nebulae Messier 31 and Messier 33.|volume=95}}</ref><ref>{{Citation|last=van der Kruit|first=P. C.|bibcode=1988A&A...192..117V|date=March 1988|journal=[[Astronomy & Astrophysics]]|pages=117–127|title=The three-dimensional distribution of light and mass in disks of spiral galaxies.|volume=192}}</ref>

== ارقام شناخته شده ==
در طول دهه‌های گذشته تعداد ارقام شناخته شده ثابت کاتالان {{Mvar|G}} به طرز چشمگیری افزایش یافته‌است. این امر هم به دلیل افزایش عملکرد رایانه‌ها و هم به دلیل پیشرفت‌های [[الگوریتم|الگوریتمی]] است.<ref>{{Cite web|last=Gourdon|first=X.|last2=Sebah|first2=P.|url=http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html|title=Constants and Records of Computation}}</ref>
{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto"
|+تعداد ارقام اعشار شناخته شده از ثابت کاتالان {{Mvar|G}}
! تاریخ
! رقم اعشار
! محاسبه انجام شده توسط
|-
| ۱۸۳۲
| align="right" | ۱۶
| توماس کلاوزن
|-
| ۱۸۵۸
| align="right" | ۱۹
| کارل یوهان دانیلسون تپه
|-
| ۱۸۶۴
| align="right" | ۱۴
| [[اوژن شارل کاتالان]]
|-
| ۱۸۷۷
| align="right" | ۲۰
| [[جیمز ویت برد لی گلیشر|جیمز دبلیوال گلیشر]]
|-
| ۱۹۱۳
| align="right" | ۳۲
| [[جیمز ویت برد لی گلیشر|جیمز دبلیوال گلیشر]]
|-
| ۱۹۹۰
| align="right" | {{Val|20000}}
| گِرِگ جی. فی
|-
| ۱۹۹۶
| align="right" | {{Val|50000}}
| گِرِگ جی. فی
|-
| ۱۴ اوت ۱۹۹۶
| align="right" | {{Val|100000}}
| گِرِگ جی. فی و [[سیمون پلوف]]
|-
| ۲۹ سپتامبر ۱۹۹۶
| align="right" | {{Val|300000}}
| توماس پاپانیکولائو
|-
| ۱۹۹۶
| align="right" | {{Val|1500000}}
| توماس پاپانیکولائو
|-
| ۱۹۹۷
| align="right" | {{Val|3379957}}
| پاتریک دمیشل
|-
| ۴ ژانویه ۱۹۹۸
| align="right" | {{Val|12500000}}
| خاویر گوردون
|-
| ۲۰۰۱
| align="right" | {{Val|100000500}}
| خاویر گوردون و پاسکال سبا
|-
| ۲۰۰۲
| align="right" | {{Val|201000000}}
| خاویر گوردون و پاسکال سبا
|-
| اکتبر ۲۰۰۶
| align="right" | {{Val|5000000000}}
| شیگرو کوندو و استیو پالیارلو<ref>{{Cite web|url=http://ja0hxv.calico.jp/pai/ecatalan.html|title=Shigeru Kondo's website|accessdate=2008-01-31|archiveurl=https://web.archive.org/web/20080211185703/http://ja0hxv.calico.jp/pai/ecatalan.html|archivedate=2008-02-11}}</ref>
|-
| اوت ۲۰۰۸
| align="right" | {{Val|10000000000}}
| شیگرو کوندو و استیو پالیارلو<ref>[http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html Constants and Records of Computation]</ref>
|-
| ۳۱ ژانویه ۲۰۰۹
| align="right" | {{Val|15510000000}}
| الکساندر جی و ریموند چان<ref name="yee_chan">[http://www.numberworld.org/nagisa_runs/computations.html Large Computations]</ref>
|-
| ۱۶ آوریل ۲۰۰۹
| align="right" | {{Val|31026000000}}
| الکساندر جی و ریموند چان
|-
| ۷ ژوئن ۲۰۱۵
| align="right" | {{Val|200000001100}}
| رابرت جی ستتی<ref name="setti"/>
|-
| ۱۲ آوریل ۲۰۱۶
| align="right" | {{Val|250000000000}}
| رون واتکینز<ref name="setti"/>
|-
| ۱۶ فوریه ۲۰۱۹
| align="right" | {{Val|300000000000}}
| تیزین هانسلمان<ref name="setti">[http://www.numberworld.org/digits/Catalan/ Catalan's constant records using YMP]</ref>
|-
| ۲۹ مارس ۲۰۱۹
| align="right" | {{Val|500000000000}}
| مایک آ و ایان کاترس<ref name="setti"/>
|-
| ۱۶ ژوئیه ۲۰۱۹
| align="right" | {{Val|600000000100}}
| سونگمین کیم<ref name="yee">[https://web.archive.org/web/20190722034426/http://www.numberworld.org/y-cruncher/ Catalan's constant records using YMP]</ref><ref name="kim">[https://ehfd.github.io/world-record/catalans-constant/ Catalan's constant world record by Seungmin Kim]</ref>
|-
| ۱۶ ژوئیه ۲۰۱۹
| align="right" | {{Val|600000000100}}
| رابرت رینولدز<ref name="rob">[[doi:10.3390/math7121148|A Definite Integral Involving the Logarithmic Function in Terms of the Lerch Function by Robert Reynolds and Allan Stauffer]]</ref>
|-
|}

== جستارهای وابسته ==
* [[مقادیر خاص تابع زتا ریمان]]
* [[ثابت ریاضی]]

== منابع ==
{{پانویس|۲|چپ‌چین=بله}}

== بیشتر خواندن ==
{{چپ‌چین}}
* {{Cite journal|last=Adamchik|first=Victor|year=2002|title=A certain series associated with Catalan's constant|url=http://www-2.cs.cmu.edu/~adamchik/articles/csum.html|journal=Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen|volume=21|issue=3|pages=1–10|doi=10.4171/ZAA/1110|mr=1929434|access-date=۲۹ آوریل ۲۰۲۱|archive-date=۱۶ مارس ۲۰۱۰|archive-url=https://web.archive.org/web/20100316074306/http://www-2.cs.cmu.edu/~adamchik/articles/csum.html|url-status=dead}}
* {{cite conference|last=Fee|first=Gregory J.|editor1-last=Watanabe|editor1-first=Shunro|editor2-last=Nagata|editor2-first=Morio|contribution=Computation of Catalan's Constant Using Ramanujan's Formula|doi=10.1145/96877.96917|isbn=0-201-54892-5|s2cid=1949187|pages=157–160|publisher=ACM|title=Proceedings of the International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, ISSAC '90, Tokyo, Japan, August 20-24, 1990|year=1990}}
* {{Cite journal|last=Bradley|first=David M.|year=1999|title=A class of series acceleration formulae for Catalan's constant|journal=The Ramanujan Journal|volume=3|issue=2|pages=159–173|arxiv=0706.0356|doi=10.1023/A:1006945407723|mr=1703281}}
* {{Cite journal|last=Bradley|first=David M.|year=2007|title=A class of series acceleration formulae for Catalan's constant|journal=The Ramanujan Journal|volume=3|issue=2|pages=159–173|arxiv=0706.0356|bibcode=2007arXiv0706.0356B|doi=10.1023/A:1006945407723}}

{{پایان چپ‌چین}}

== پیوند به بیرون ==
{{چپ‌چین}}
* {{Cite web|first=Victor|last=Adamchik|url=http://www-2.cs.cmu.edu/~adamchik/articles/catalan/catalan.htm|title=33 representations for Catalan's constant|archiveurl=https://web.archive.org/web/20160807111945/https://www.cs.cmu.edu/~adamchik/articles/catalan/catalan.htm|archivedate=2016-08-07}}
* {{Cite web|first=Simon|last=Plouffe|url=http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/IntegerRelations/identities3a.html|title=A few identities (III) with Catalan|year=1993|archiveurl=https://web.archive.org/web/20190626124124/https://lacim.uqam.ca/~plouffe/IntegerRelations/identities3a.html|archivedate=2019-06-26}} (Provides over one hundred different identities).
* {{Cite web|first=Simon|last=Plouffe|url=http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/IntegerRelations/identities3.html|title=A few identities with Catalan constant and Pi^2|year=1999|archiveurl=https://web.archive.org/web/20190626124128/https://lacim.uqam.ca/~plouffe/IntegerRelations/identities3.html|archivedate=2019-06-26}} (Provides a graphical interpretation of the relations)
* {{Cite web|first=Greg|last=Fee|url=https://www.gutenberg.org/ebooks/682|title=Catalan's Constant (Ramanujan's Formula)|year=1996}} (Provides the first 300,000 digits of Catalan's constant)
* {{Citation|first=David M.|last=Bradley|title=Representations of Catalan's constant|year=2001}}
* {{Cite web|first=Fredrik|last=Johansson|url=https://fungrim.org/ordner/0.915965594177219015054603514932/|title=0.915965594177219015054603514932|website=Ordner, a catalog of real numbers in Fungrim}}
* {{Cite web|title=Catalan's Constant|url=https://www.youtube.com/watch?v=e5wqw2_EkxQ&list=PLW1_9UnhaSkGqlwbQphLMGCx2JvaGu1HB&index=72|publisher=Let's Learn, Nemo!|date=10 August 2020|website=[[YouTube]]}}
* {{MathWorld|title=Catalan's Constant}}
* {{WolframFunctionsSite|title=Catalan constant: Series representations}}
* {{Springer|title=Catalan constant}}
{{پایان چپ‌چین}}

[[رده:ترکیبیات]]
[[رده:ثابت‌های ریاضی]]
[[رده:صفحات با ترجمه بازبینی‌نشده]]