نمایش مبدأ برای توسیع جبری

در [[جبر مجرد]]، [[توسیع میدانی]] چون <math>L/K</math> را '''جبری''' گویند اگر هر عضو از ''L'' روی ''K'' [[عضو جبری|جبری]] باشد، یعنی هر عضو از ''L''، [[ریشه تابع|ریشه]] [[چندجمله‌ای]] ناصفری است که ضرایب آن از ''K'' گرفته شده. توسیعات میدانی که جبری نباشند، دارای اعضای متعالی بوده و به آن '''توسیع متعالی''' می‌گویند.

به عنوان مثال، توسیع میدانی <math>\R/\Q</math>، یعنی [[میدان (ریاضیات)|میدان]] [[اعداد حقیقی]] به عنوان توسیعی از میدان [[اعداد گویا]]، متعالی است، در حالی که توسیعات میدانی <math>\Complex/\R</math> و <math>\Q(\sqrt{2})/\Q</math> جبری اند که در آن <math>\Complex</math> نمایانگر میدان [[اعداد مختلط]] است.

تمام توسیعات متعالی، از [[درجه یک توسیع میدانی|درجه]] [[مجموعه نامتناهی|نامتناهی]] اند. این به نوبه خود ایجاب می‌کند که تمام توسیعات متناهی جبری اند.<ref>See also Hazewinkel et al. (2004), p. 3.</ref> با این حال عکس این حالت صحیح نیست: یعنی توسیعات نامتناهی وجود دارند که جبری اند. به عنوان مثال، میدان تمام [[اعداد جبری]]، توسیع جبری نامتناهی از اعداد گویاست.

اگر ''a'' پوشش جبری روی ''K'' باشد، آنگاه ''K[a]''، یعنی مجموعه تمام چندجمله‌ای‌های برحسب ''a'' که ضرایبشان در ''K'' اند، نه تنها [[حلقه (ریاضیات)|حلقه]]، بلکه [[میدان (ریاضیات)|میدان]] است: توسیعی جبری از ''K'' که درجه متناهی روی ''K'' داشته باشد. عکس آن هم صحیح است، اگر ''K[a]'' میدان باشد، آنگاه ''a'' روی ''K'' جبری است. در حالت خاص که <math>K=\Q</math> باشد، <math>\Q[a]</math> مثالی از [[میدان جبری اعداد|میدان عددی]] جبری خواهد بود.

میدانی که هیچ توسیع محضی نداشته باشد را [[میدان بسته جبری]] نامند. مثالی از چنین میدانی، اعداد مختلط اند. هر میدان دارای توسیع جبری بسته‌ای است (به آن [[بستار جبری]] گویند). اما اثبات آن در حالت کلی نیازمند شکلی از [[اصل انتخاب]] است.

توسیع <math>L/K</math> جبری است [[اگر و تنها اگر]] هر زیر ''K''-جبر از ''L'' [[میدان (ریاضیات)|میدان]] باشد.

== ارجاعات ==
{{پانویس|چپ‌چین=بله}}

* {{یادکرد-ویکی|پیوند=https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Algebraic_extension&oldid=1003579609|عنوان=Algebraic Extension|زبان=انگلیسی|بازیابی=۴ مهٔ ۲۰۲۱}}

== منابع ==
{{چپ‌چین}}
* {{citation|first1=Michiel|last1=Hazewinkel|author-link1=Michiel Hazewinkel|first2= Nadiya|last2= Gubareni|first3= Nadezhda Mikhaĭlovna |last3= Gubareni| first4=Vladimir V.|last4= Kirichenko|title= Algebras, rings and modules|volume=1|year=2004|publisher= Springer|isbn= 1-4020-2690-0}}
* {{Lang Algebra|edition=3|chapter=V.1:Algebraic Extensions|pages=223ff}}
* {{citation | last=McCarthy | first=Paul J. | title=Algebraic extensions of fields | zbl=0768.12001 | location=New York | publisher=Dover Publications | year=1991|orig-year=corrected reprint of 2nd edition, 1976|isbn=0-486-66651-4}}
* {{citation|first=Steven|last=Roman|title=Field Theory|series=GTM 158|year=1995|publisher=Springer-Verlag|isbn=978-0-387-94408-1}}
* {{citation|first=Joseph J.|last=Rotman|title=Advanced Modern Algebra|year=2002|publisher=Prentice Hall|isbn=978-0-13-087868-7}}
{{پایان چپ‌چین}}

[[رده:توسیعات میدانی]]