نمایش مبدأ برای توزیع پارتو

{{توزیع احتمال|
  name       =توزیع پارتو نوع I|
  type       =چگالی|
  pdf_image  =[[پرونده:Probability density function of Pareto distribution.svg|325px| ''k'']]{{سخ}}<small> [[تابع توزیع احتمالی]] پارتو برای مقادیر مختلف <math>\alpha</math> و <math>x_\mathrm{m} = 1</math>. وقتی که [[حد (ریاضی)|حد]] ''k'' به [[بی‌نهایت (ریاضی)|بی‌نهایت]] میل می‌کند تابع توزیع احتمالی به (δ(''x'' − ''x''<sub>m</sub> میل می‌کند که δ [[تابع دلتای دیراک]] می‌باشد.</small>|
  cdf_image  =[[پرونده:Cumulative distribution function of Pareto distribution.svg|325px|Pareto cumulative distribution functions for various ''k'']]{{سخ}}<small>[[تابع توزیع تجمعی]] پارتو برای مقادیر مختلف <math>\alpha</math> و <math>x_\mathrm{m} = 1</math>.</small>|
  parameters =<math>x_\mathrm{m}>0\,</math> [[پارامتر مکان|مکان]] ([[اعداد حقیقی|حقیقی]]){{سخ}}[[پارامتر شکل|شکل]] ([[اعداد حقیقی|حقیقی]]) <math>k>0\,</math> |
  support    =<math>x \in [x_\mathrm{m}; +\infty)\!</math>|
  pdf        =<math>\frac{k\,x_\mathrm{m}^k}{x^{k+1}}\!</math>|
  cdf        =<math>1-\left(\frac{x_\mathrm{m}}{x}\right)^k\!</math>|
  mean       =<math>\frac{k\,x_\mathrm{m}}{k-1}\!</math> for <math>k>1</math>|
  median     =<math>x_\mathrm{m} \sqrt[k]{2}</math>|
  mode       =<math>x_\mathrm{m}\,</math>|
  variance   =<math>\frac{x_\mathrm{m}^2k}{(k-1)^2(k-2)}\!</math> for <math>k>2</math>|
  skewness   =<math>\frac{2(1+k)}{k-3}\,\sqrt{\frac{k-2}{k}}\!</math> for <math>k>3</math>|
  kurtosis   =<math>\frac{6(k^3+k^2-6k-2)}{k(k-3)(k-4)}\!</math> for <math>k>4</math>|
  entropy    =<math>\ln\left(\frac{k}{x_\mathrm{m}}\right) - \frac{1}{k} - 1\!</math>|
  mgf        =تعریف نشده|
  char       =<math>k(-ix_\mathrm{m}t)^k\Gamma(-k,-ix_\mathrm{m}t)\,</math>|
 | fisher     =<math>\mathcal{I}(x_\mathrm{m},\alpha) = \begin{bmatrix}
                   \dfrac{\alpha}{x_\mathrm{m}^2} & -\dfrac{1}{x_\mathrm{m}} \\
                   -\dfrac{1}{x_\mathrm{m}} & \dfrac{1}{\alpha^2}
               \end{bmatrix}</math>

  Right: <math>\mathcal{I}(x_\mathrm{m},\alpha) = \begin{bmatrix}
                   \dfrac{\alpha^2}{x_\mathrm{m}^2} & 0 \\
                   0 & \dfrac{1}{\alpha^2}
               \end{bmatrix}</math>

}}

'''توزیع پارتو''' {{به انگلیسی|Pareto distribution}} نوعی [[توزیع احتمال]] [[قانون توان|قانون-توانی]] است، که در توصیف پدیده‌های قابل مشاهده، از نوع [[علوم اجتماعی|اجتماعی]]، [[علم|علمی]]، [[ژئوفیزیک|ژئوفیزیکی]]، و [[بیم‌سنجی]] و بسیاری موارد دیگر استفاده می‌شود. این توزیع در اصل برای توصیف [[توزیع درآمد|توزیع ثروت]] در یک جامعه استفاده شده بود، و با این گرایش توزیع ثروت که «بخش زیادی از ثروت توسط بخش اندکی از جمعیت نگهداری می‌شود»، هماهنگ است.<ref>{{Cite journal|last=Pareto|first=Vilfredo|date=1898|title=Cours d'economie politique|url=|journal=Journal of Political Economy|volume=6|pages=|via=}}</ref> به صورت محاوره‌ای به این توزیع «[[اصل پارتو]]» یا «قاعده ۸۰–۲۰» هم می‌گویند، همچنین گاهی به آن «[[اثر متیو|اصل میتو]]» گفته می‌شود. این قاعده می‌گوید: برای مثال، «۸۰ درصد از ثروت یک جامعه توسط ۲۰ درصد از جمعیت آن نگهداری می‌شود». با این حال، نباید توزیع پارتو را با [[اصل پارتو]] یکسان دانست، زیرا توزیع پارتو فقط برای مقدار <math>\alpha</math> خاصی این نتیجه را تولید می‌کند (''α'' = log<sub>4</sub>5 ≈ ۱٫۱۶). با اینکه <math>\alpha</math> یک [[پارامتر|پراسنجه]] است، مشاهدات تجربی نشان داده‌اند که توزیع ۸۰–۲۰، هماهنگی خوبی با نمونه‌های متنوع و گسترده دارد، که این نمونه‌ها از نوع پدیده‌های طبیعی<ref>{{Cite journal|last=VAN MONTFORT|first=M.A.J.|date=1986|title=The Generalized Pareto distribution applied to rainfall depths|journal=Hydrological Sciences Journal|volume=31|issue=2|pages=151–162|doi=10.1080/02626668609491037|doi-access=free}}</ref> و فعالیت‌های انسانی<ref>{{Cite journal|last=Oancea|first=Bogdan|date=2017|title=Income inequality in Romania: The exponential-Pareto distribution|journal=Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications|volume=469|pages=486–498|bibcode=2017PhyA..469..486O|doi=10.1016/j.physa.2016.11.094}}</ref> می‌باشند.

توزیع پارتو از نام [[مهندس عمران]]، [[اقتصاددان]] و [[جامعه‌شناس]] ایتالیایی، [[ویلفردو پارتو]] گرفته شده‌است. واژه Pareto در انگلیسی به صورت «پِرِیتو» ({{IPAc-en|US|p|ə|ˈ|r|eɪ|t|oʊ}} {{respell|pə|RAY|toh}}) تلفظ می‌شود.

== تاریخچه ==
در سال [[۱۸۹۷ (میلادی)|۱۸۹۷]]، اقتصاددان ایتالیایی [[ویلفردو پارتو|ویلفردوپارتو]] (۱۹۲۳–۱۸۴۸) که شاگرد [[لئون والراس]] بود و پس از او به احراز کرسی [[اقتصاد سیاسی]] [[دانشگاه لوزان]] دست یافت، باعث ایجاد نظم خاصی در توزیع درآمدها در کشورهای [[سرمایه‌داری]] و نیز کشورهایی که در شرایط [[فئودالی]] و سرمایه‌داری اولیه بودند شد. پارتو قصد داشت براساس این قانون نتایجی با ماهیت اقتصادی و اجتماعی به‌دست‌آورد.

پارتو دومین نفر از مکتب لوزان است؛ مکتب لوزان توسط [[لئون والراس]] (۱۸۳۴–۱۹۱۰) پایه‌گذاری شد؛ این مکتب علاوه بر بحث دربارهٔ مقوله مطلوبیت، به هزینه و عرضه نیز پرداخته‌است؛ با این بیان که اگر قیمت، بالاتر از هزینه تولید قرار گیرد، عرضه افزایش پیدا می‌کند تا قیمت را پایین آورد و بالعکس؛ اگر هزینه از قیمت پیشی گیرد، عرضه کاهش پیدا کرده و قیمت‌ها بالا می‌روند. پارتو یکی از بنیانگذاران اقتصاد ریاضی نیز شناخته شده‌است. دیدگاه او در مقوله تعادل عمومی در اقتصاد رفاه، جایگاه اساسی دارد.

پارتو بر مبنای آمارهای کشورهای مختلف، توزیع‌های فراوانی بدست آورد که معرف تعداد افرادی بودند که درآمدشان برابر مقداری معین یا بیشبر از آن بود. آنگاه نمودارهای این توزیع‌های فراوانی را رسم کرد. محور افقی این نمودارها معرف درآمد و محور عمودی، تعداد افراد با درآمد x یا بیشتر را نشان می‌داد.

پارتو دریافت که دراغلب حالات مورد بررسی، منحنی‌های نشان دهندهٔ این نوع توزیع‌های درآمد شکلی مشابه دارند؛ یعنی منحنی‌هایی هستند که معادله آنها با فرمول زیر مشخص می‌شود:

<math display="inline">y = {A \over (x - b) ^ b}</math>

که در آنها b کمترین حد درآمدی است که منحنی از آن شروع می‌شود، درحالی که A, پارامترهای معین مثبت هستند. نمودار این منحنی، منحنی پارتو نام دارد.<ref>{{یادکرد ژورنال|عنوان=پایان‌نامه تحصیلی دورهٔ کارشناسی ارشد|ژورنال=رضا پورطاهری|ناشر=|تاریخ=شهریور 70|زبان=فارسی|شاپا=|doi=|پیوند=http://library.sbu.ac.ir/islandora/object/thesis%3A18826|تاریخ دسترسی=}}</ref>

== تعریف ==
=== تابع چگالی احتمال ===
[[تابع چگالی احتمال]] یک توزیع پارتو چنین است.

<math>f_X(x)= \begin{cases} \frac{\alpha x_\mathrm{m}^\alpha}{x^{\alpha+1}} & x \ge x_\mathrm{m}, \\ 0 & x < x_\mathrm{m}. \end{cases} \qquad  \alpha > 0
</math>

== ویژگی‌ها ==
=== تابع توزیع تجمعی ===
[[تابع توزیع تجمعی]] در توزیع پارتو برابر است با:

<math>F_X(x) = \begin{cases}
1-\left(\frac{x_\mathrm{m}}{x}\right)^\alpha & x \ge x_\mathrm{m}, \\
0 & x < x_\mathrm{m}.
\end{cases}
\qquad \alpha > 0
</math>

و همچنین معکوس آن برابر است با:

<math>F ^{-1}(\rho) = {x_m\over(1 - \rho)^{1\over \alpha}}\qquad 0 \leq \rho < 1
</math>

=== میانه ===
[[میانه (آمار)|میانه]] در توزیع پارتو برابر است با:

<math>M = \sqrt[\alpha]{2}x_m</math>

=== مد ===
[[مد (آمار)|مد]] در توزیع پارتو برابر است با:

<math>\mod = x_m</math>

=== امید ریاضی ===
[[مقدار چشم‌داشتی|امید ریاضی]] یک توزیع پارتو برابر است با:

<math>\operatorname{E}(X)= \begin{cases} \infty & \alpha\le 1, \\
\frac{\alpha x_\mathrm{m}}{\alpha-1} & \alpha>1.
\end{cases}</math>

<math>\operatorname{E}(X^2)= \begin{cases} \infty & \alpha\le 2, \\
\frac{\alpha {x_m}^2}{\alpha-2} & \alpha>2.
\end{cases}</math>

<math>\operatorname{E}(X^n)= \begin{cases} \infty & \alpha\le n, \\
\frac{\alpha {x_m}^n}{\alpha-n} & \alpha>n.
\end{cases}</math>

=== واریانس ===
[[واریانس]] یک توزیع پارتو برابر است با:

<math>\operatorname{Var}(X)= \begin{cases}
\infty & \alpha\in(1,2], \\
\left(\frac{x_\mathrm{m}}{\alpha-1}\right)^2 \frac{\alpha}{\alpha-2} & \alpha>2.
\end{cases}</math>

برای <math>\alpha < 2</math>واریانس تعریف نشده‌است.

=== انحراف معیار ===
[[انحراف معیار]] یک توزیع پارتو برابر است با:

<math>\operatorname{\sigma}(X)= \begin{cases}
\infty & \alpha\in(1,2], \\
\left(\frac{x_\mathrm{m}}{\alpha-1}\right)\sqrt{\frac{\alpha}{\alpha-2}} & \alpha>2.
\end{cases}</math>

== توزیع پارتو تعمیم‌یافته ==
۵ نوع توزیع تعمیم یافته وجود دارد که توزیع پارتو را تعمیم می‌دهد.<ref>{{یادکرد کتاب|نشانی=https://www.worldcat.org/oclc/7792137|عنوان=Analysis with standard contagious distributions|نام خانوادگی=B.|نام=Douglas, J.|تاریخ=1980|ناشر=International Co-operative Pub. House|شابک=089974012X|مکان=Fairland, Md.|oclc=7792137}}</ref><ref>{{یادکرد کتاب|نشانی=http://dx.doi.org/10.1002/0471667196|عنوان=Encyclopedia of Statistical Sciences|تاریخ=2004-07-15|ناشر=John Wiley & Sons, Inc.|شابک=0471667196|نام خانوادگی ویراستار=Kotz|نام ویراستار=Samuel|مکان=Hoboken, NJ, USA}}</ref>
{| class="wikitable"
|+توزیع‌های پارتو
!
!<math> F(x)</math>
! colspan="2" |شرایط
! colspan="2" |<math>\operatorname{E}[X]</math>
! colspan="2" |<math>\operatorname{E}[X^\delta]</math>
|-
|نوع ۱
|<math>1 - \left[\frac x \sigma \right]^{-\alpha}</math>
|<math>x \ge \sigma</math>
|<math>\sigma > 0, \alpha</math>
|<math>\frac{\sigma \alpha}{\alpha-1}</math>
|<math>\alpha > 1</math>
|<math>\frac{\sigma^\delta \alpha}{\alpha-\delta}</math>
|<math> \delta < \alpha</math>
|-
|نوع ۲
|<math>1 - \left[1 + \frac{x-\mu} \sigma \right]^{-\alpha}</math>
|<math>x \ge \mu</math>
|<math>\mu \in \mathbb R, \sigma > 0, \alpha</math>
|<math>\frac{\sigma \alpha}{\alpha-1}</math>
|<math>\alpha > 1</math>
|<math> \frac{ \sigma^\delta \Gamma(\alpha-\delta)\Gamma(1+\delta)}{\Gamma(\alpha)}</math>
|<math>-1 < \delta < \alpha</math>
|-
|نوع Lomax
|<math>1-\left[1 + \frac{x-\mu} \sigma \right]^{-\alpha}</math>
|<math>x \ge 0</math>
|<math>\sigma > 0, \alpha</math>
|
|
|
|
|-
|نوع ۳
|<math>1-\left[1 + \left(\frac{x-\mu} \sigma \right)^{1/\gamma}\right]^{-1} </math>
|<math>x \ge \mu</math>
|<math> \mu \in \mathbb R, \sigma, \gamma > 0</math>
|<math>\sigma\Gamma(1-\gamma)\Gamma(1 + \gamma)</math>
|<math> -1<\gamma<1</math>
|<math>\sigma^\delta\Gamma(1-\gamma \delta)\Gamma(1+\gamma \delta)</math>
|<math>-\gamma^{-1}<\delta<\gamma^{-1}</math>
|-
|نوع ۴
|<math>1-\left[1 + \left(\frac{x-\mu} \sigma \right)^{1/\gamma}\right]^{-\alpha}</math>
|<math>x \ge \mu</math>
|<math>\mu \in \mathbb R, \sigma, \gamma > 0, \alpha</math>
|<math>\frac{\sigma\Gamma(\alpha-\gamma)\Gamma(1+\gamma)}{\Gamma(\alpha)}</math>
|<math> -1<\gamma<\alpha</math>
|<math>\frac{\sigma^\delta\Gamma(\alpha-\gamma \delta)\Gamma(1+\gamma \delta)}{\Gamma(\alpha)}</math>
|<math>-\gamma^{-1}<\delta<\alpha/\gamma </math>
|}

: <math> P(IV)(\sigma, \sigma, 1, \alpha) = P(I)(\sigma, \alpha),</math>
: <math> P(IV)(\mu, \sigma, 1, \alpha) = P(II)(\mu, \sigma, \alpha),</math>
: <math> P(IV)(\mu, \sigma, \gamma, 1) = P(III)(\mu, \sigma, \gamma).</math>
:

== کاربردها ==
=== [[اصل پارتو]] ===
:پارتو در ابتدا از این توزیع برای توصیف تخصیص ثروت در میان افراد استفاده می‌کرد، زیرا به نظر می‌رسید که بخش بزرگی از ثروت هر جامعه متعلق به درصد کمتر از مردم در آن جامعه است. او همچنین برای توصیف توزیع درآمد از آن استفاده کرد.<ref>{{یادکرد کتاب|نشانی=http://dx.doi.org/10.3917/droz.paret.1964.01|عنوان=Cours d'économie politique|نام خانوادگی=Pareto|نام=Vilfredo|تاریخ=1964|ناشر=Librairie Droz|شابک=9782600040143}}</ref> این ایده گاهی به سادگی به عنوان اصل پارتو یا "حکم ۸۰–۲۰" بیان می‌شود که می‌گوید ۲۰ درصد از جمعیت ۸۰ درصد ثروت را کنترل می‌کنند.<ref>{{Cite journal|last=Notestein|first=Frank W.|date=1974-01|title=The World Population Year|url=http://dx.doi.org/10.2307/2733536|journal=Population Index|volume=40|issue=1|pages=18|doi=10.2307/2733536|issn=0032-4701}}</ref> با این وجود، قواعد ۸۰–۲۰ به ارزش خاص <math>\alpha</math> مربوط می‌شود و در واقع، اطلاعات پارتو دربارهٔ مالیات بر درآمد [[بریتانیا]] در سیاست‌های اقتصادی خود نشان می‌دهد که حدود ۳۰ درصد از جمعیت حدود ۷۰ درصد درآمد داشته‌است. نمودار [[تابع چگالی احتمال]] (PDF) نشان می‌دهد که احتمال یا کسری از جمعیت که دارای مقدار کمی ثروت در هر فرد است نسبتاً بالا است و پس از آن به‌طور ثابتی به عنوان افزایش ثروت کاهش می‌یابد. (توجه داشته باشید که توزیع پارتو برای ثروت برای انتهای پایین واقع‌گرایانه نیست. در حقیقت، ارزش خالص ممکن است حتی منفی باشد).
: «انجام هر کدام از کارهای موجود در لیست شما ممکن است به یک اندازه وقت شما را بگیرد ولی انجام یک یا دو تای آنها چند برابر هر یک از سایر موارد برای شما سودمند خواهد بود. گاهی پیش می‌آید که ارزش یکی از ده کار یا فعالیتی که شما در لیست خود دارید به تنهایی می‌تواند بیش از مجموع سایر فعالیت‌ها در موفقیت شما ارزشمند باشد. این کار بی تردید همان قورباغه ای است که باید اول از همه قورت بدهید. می‌توانید حدس بزنید که یک فرد معمولی احتمالاً در انجام چه کارهایی بیشتر تنبلی می‌کند؟ واقعیت تاسف بار این است که اکثر مردم در مورد انجام همان ده یا بیست درصد از فعالیت‌هایی که در صدر قرار دارند و بیشترین ارزش و اهمیت را دارند تنبلی می‌کنند یعنی در مورد همان اقلیت بسیار مهم. در عوض وقت خود را صرف هشتاد درصد فعالیت‌هایی می‌کنند که در موفقیت آنها اهمیت بسیار کمی دارد و تأثیر ناچیزی در دست یابی به نتایج ارزشمند می‌گذارد؛ یعنی همان اکثریت کم‌اهمیت.»<ref>{{Cite journal|last=Sardana|first=G.D.|date=2007-07|title=Eat That Frog! Brian Tracy|url=http://dx.doi.org/10.1177/0971890720070213|journal=Paradigm|volume=11|issue=2|pages=83–84|doi=10.1177/0971890720070213|issn=0971-8907}}</ref>

=== دیگر کاربردهای آن ===
:بسیاری از پدیده‌های اجتماعی، علمی و ژئوفیزیکی توسط توزیع پارتو توصیف می‌شوند. این توزیع در مباحث [[طول عمر]] و قابلیت اعتماد دارای اهمیت فراوان است.
:از دیگر کاربردهای آن می‌توان به موارد زیر اشاره کرد:
:* اندازه شهرک‌های انسانی (چند شهر بزرگ دربرابر بسیاری از شهرهای کوچک و روستاها)<ref name=":0">{{Cite journal|last=Reed|first=William J.|last2=Jorgensen|first2=Murray|date=2004-12-31|title=The Double Pareto-Lognormal Distribution—A New Parametric Model for Size Distributions|url=https://www.tandfonline.com/action/captchaChallenge?redirectUri=%2Fdoi%2Fabs%2F10.1081%2FSTA-120037438|journal=Communications in Statistics - Theory and Methods|language=en|volume=33|issue=8|pages=1733–1753|doi=10.1081/sta-120037438|issn=0361-0926}}</ref>
:* توزیع حجم فایل ترافیک اینترنتی که از [[پروتکل TCP/IP|پروتکل TCP]] استفاده می‌کند (چند عدد بزرگ دربرابر بسیاری از عددهای کوچک)<ref name=":0"/>
:* نرخ خطا در [[درایو دیسک سخت|هارد دیسک]]<ref>{{Cite journal|last=Schroeder|first=Bianca|last2=Damouras|first2=Sotirios|last3=Gill|first3=Phillipa|date=2010-09-01|title=Understanding latent sector errors and how to protect against them|url=http://dx.doi.org/10.1145/1837915.1837917|journal=ACM Transactions on Storage|volume=6|issue=3|pages=1–23|doi=10.1145/1837915.1837917|issn=1553-3077}}</ref>
:* خوشه‌های معادله [[چگالش بوز-اینشتین|بوز-اینشتین]] نزدیک صفر مطلق
:* ارزش ذخایر نفت در [[میدان‌های نفتی جهان|میدان‌های نفتی]] (چند میدان بزرگ دربرابر بسیاری از میدان‌های کوچک)<ref name=":0"/>
:* توزیع طولی در مشاغل [[ابررایانه|سوپر کامپیوترها]] (چند عدد بزرگ دربرابر بسیاری از عددهای کوچک)
:* قیمت استاندارد شده بر روی سهام فردی<ref name=":0"/>
:* اندازه ذرات شن و ماسه<ref name=":0"/>
:* اندازه [[شهاب‌سنگ|شهاب سنگ]]<nowiki/>‌ها
:* بارندگی سالانه حداکثر یک روزه و تخلیه رودخانه<ref>{{یادکرد کتاب|نشانی=http://dx.doi.org/10.1117/3.898495.ch3|عنوان=Random Variables and Cumulative Distribution|ناشر=SPIE|شابک=9780819487018|مکان=1000 20th Street, Bellingham, WA 98227-0010 USA|صفحات=3–3}}</ref>

== نمونه‌ای از توزیع پارتو ==
=== درآمد یک جمعیت خاص ===
فرض کنید که درآمد یک جمعیت خاص دارای توزیع پارتو با  <math>\alpha = 3</math> و  <math>x_m = 1000</math> است.<ref>{{یادکرد وب|کد زبان=en|وبگاه=wiki.stat.ucla.edu|نشانی=http://wiki.stat.ucla.edu/socr/index.php/AP_Statistics_Curriculum_2007_Pareto|عنوان=AP Statistics Curriculum 2007 Pareto - Socr|بازبینی=2018-10-29}}</ref>

حال می‌خواهیم نسبت جمعیت افراد با درآمد ۲۰۰۰ تا ۴۰۰۰ را بدست آوریم.

<math>\int_{2000}^{4000} {{3 * 1000 ^ 3\over x ^ 4} dx} = {1000 ^ 3 \over 2000 ^ 3} - {1000 ^ 3 \over 4000 ^ 3} = 0.109375
</math>

حال می‌خواهیم درآمد آن‌ها را بدست آوریم.

<math>\int_{2000}^{4000} {{3 * 1000 ^ 3\over x ^ 4} x \, dx} = {3 * 1000 \over 2} [({1000 \over 2000}) ^ 2 - ({1000 \over 4000}) ^ 2] = 281.25
</math>

درآمد کل نیز برابر است با:

<math>\int_{1000}^{\infty} {{3 * 1000 ^ 3\over x ^ 4} x \, dx} = {3 * 1000 \over 2} = 1500
</math>

بنابراین ۱۰٫۹۳۷۵ درصد افراد دارای درآمدی بین ۲۰۰۰ تا ۴۰۰۰ هستند که ۱۸٫۷۵ درصد درآمد کل را دارند.

==== کد در زبان R ====
<syntaxhighlight lang="r" line="1">
library("EnvStats") # Package for Environmental Statistics

pareto <- rpareto(n = 10000000, location = 1000, shape = 3) # Get 10000000 numbers of Pareto distribution
pareto <- pareto[pareto > 1000] # Get numbers greater than 1000
number <- 0 # Number of people with income from 2000 to 4000

for (i in pareto) {
  if (i <= 4000 && i >= 2000) {
    number = number + 1
  }
}
cat("proportion of people with income from 2000 to 4000:", number / length(pareto))

paretoPlot <- pareto[pareto < 5000] # Get numbers less than 5,000 to draw charts
hist(paretoPlot, breaks = 150) # Draw charts

</syntaxhighlight>

== منابع ==
{{پانویس|۲}}
* {{یادکرد-ویکی|پیوند=http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Pareto_distribution&oldid=259648369|عنوان =Pareto distribution|بازیابی =۲۹ می ۲۰۱۱}}
{{توزیع‌های احتمالات}}

[[رده:بیم‌سنجی]]
[[رده:توزیع‌های احتمال با واریانس نامحدود]]
[[رده:توزیع‌های پیوسته|پارتو]]
[[رده:توزیع‌های خانواده نمایی]]
[[رده:قوانین قدرت]]
[[رده:وابسته به اقتصاد اجتماعی]]
[[رده:ویلفردو پارتو]]
[[رده:علم مدیریت]]