نمایش مبدأ برای توزیع هندسی

{{توزیع احتمال|
  name       =هندسی|
  type       =جرم|
pdf_image  =[[پرونده:Geometricpdf.jpg|200px]]|
  cdf_image  =[[پرونده:Geometric distribution CDF.svg|200px]]|
    parameters =<math>0<p \leq 1</math>{{سخ}}احتمال پیروزی ([[عدد حقیقی|حقیقی]])|
  support    =<math>k \in \{1,2,3,\dots\}\!</math>|
  pdf        =<math>(1 - p)^{k-1}\,p\!</math>|
  cdf        =<math>1-(1 - p)^k\!</math>|
  mean       =<math>\frac{1}{p}\!</math>|
  median     =<math>\left\lceil \frac{-\log(2)}{\log(1-p)} \right\rceil\!</math>  (در صورتی که <math>-\log(2)/\log(1-p)</math> عددی طبیعی باشد میانه یکتا نیست.)|
  mode       =1|
  variance   =<math>\frac{1-p}{p^2}\!</math>|
  skewness   =<math>\frac{2-p}{\sqrt{1-p}}\!</math>|
  kurtosis   =<math>6+\frac{p^2}{1-p}\!</math>|
  entropy    =<math>-\frac{1-p}{p}\ln(1-p)-\ln p\!</math>|
  mgf        =<math>\frac{pe^t}{1-(1-p) e^t}\!</math>|
  char       =<math>\frac{pe^{it}}{1-(1-p)\,e^{it}}\!</math>|
  parameters2 =<math>0<p \leq 1</math> success probability ([[real number|real]])|
  support2    =<math>k \in \{0,1,2,3,\dots\}\!</math>|
  pdf2        =<math>(1 - p)^{k}\,p\!</math>|
  cdf2        =<math>1-(1 - p)^{k+1}\!</math>|
  mean2       =<math>\frac{1-p}{p}\!</math>|
  median2     =|
  mode2       =0|
  variance2   =<math>\frac{1-p}{p^2}\!</math>|
  skewness2   =<math>\frac{2-p}{\sqrt{1-p}}\!</math>|
  kurtosis2   =<math>6+\frac{p^2}{1-p}\!</math>|
  entropy2    =|
  mgf2        =<math>\frac{p}{1-(1-p)e^t}\!</math>|
  char2      =<math>\frac{p}{1-(1-p)\,e^{it}}\!</math>|
}}

'''توزیع هندسی'''<ref>{{یادکرد فرهنگستان|مصوب=توزیع هندسی|بیگانه=geometric distribution|بیگانه در فارسی=|حوزه=آمار|دفتر=یازدهم|بخش=فارسی|سرواژه=توزیع هندسی}}</ref> {{به انگلیسی|Geometric distribution}} توزیعی است [[توزیع گسسته|گسسته]] که بیانگر احتمال اولین پیروزی پس از k-1 شکست در فرایند [[توزیع برنولی|برنولی]] می‌باشد
:<math>P_X(k) = \text{P}\{X = k\} = (1 - p)^{k-1}\,p</math>
که در آن p احتمال پیروزی در یک دفعه است.


== متغیر تصادفی هندسی ==
فرض کنید آزمایش‌های مستقلی با احتمال موفقیت p، آن قدر تکرار می‌شود تا یک موفقیت به دست آید. اگر X تعداد آزمایش‌های لازم باشد، آنگاه:

<math>P\{X=n\}=(1-p)^{n-1}p\qquad n=1,2,3\ldots</math>

== اثبات ==

می دانیم [[شرط لازم و کافی]] برای X=n آن است که ابتدا، n-1 آزمایش شکست و n اُمین آزمایش موفقیت باشد. از آنجا که برآمدهای متوالی آزمایش‌ها بنا به فرض مستقل هستند داریم <ref>A First Course In Probability 8 Edition-Sheldon Ross</ref> :
:<math>p_X(k) =  \text{P}\{X=n\}=p  (1-p)^{n-1} </math>

هر [[متغیر تصادفی]] که [[تابع جرم احتمال]] به صورت بالا باشد را یک متغیر (فرایند) تصادفی هندسی با پارامتر p می نامیم.
:<math>\sum_{n=1}^\infty \text{Pr}\{X=n\}=p \sum_{n=1}^\infty (1-p)^{n-1}=\frac{p}{1-(1-p)}=1</math>

در نتیجه با احتمال ۱، یک موفقیت بالاخره اتفاق می افتد. هر [[متغیر تصادفی]] که تابع جرم احتمال به صورت بالا باشد را یک متغیر تصادفی هندسی با پارامتر p می‌نامیم.

== چند مثال ساده ==
* فرض کنیم می خواهیم [[رمز عبور]] 8 کاراکتری یک کامپیوتر را حدس بزنیم. چند مرتبه باید این کار را تکرار کنیم؟
* فرض کنیم یک دارو به احتمال p سبب درمان شود، دارو روی چندمین بیمار مؤثر واقع می‌شود؟
* فرض کنیم احتمال برد یک تیم p باشد، چند مرتبه این تیم باید بازی کند تا  یک بازی  را ببرد ؟

== امید ریاضی متغیر تصادفی هندسی ==
'''قصیه:''' [[امید ریاضی]] متغیر تصادفی هندسی با پارامتر p برابر است با 
:<math>\text{E}[X]=\frac{1}{p}</math>

=== اثبات ===
می دانیم  <math>p_X(k)=(1-p)^{k-1}p</math>  بنابراین برای محاسبه امید ریاضی می‌بایست عبارت زیر را محاسبه کنیم
:<math>\text{E}[X]=\sum_{x}x p_X(x)</math>

پس با ترکیب دو رابطه ی بالا برای متغیر تصادفی هندسی داریم 
:<math>\text{E}[X]=\sum_{k=0}^\infty k(1-p)^{k-1}p</math>

حال اگر فرض کنیم 
:<math>F(p)=\sum_{k=0}^\infty (1-p)^{k}=\frac{1}{1-(1-p)}=\frac{1}{p}</math>

داریم 
:<math>\frac{dF(p)}{dp}=-\sum_{k=0}^\infty k(1-p)^{k-1}=-\frac{1}{p^{2}}</math>

در نتیجه 
:<math>\text{E}[X]=p\frac{1}{p^{2}}=\frac{1}{p}</math>

== واریانس متغیر تصادفی هندسی ==
'''قضیه:''' [[واریانس]] متغیر تصادفی هندسی با پارامتر p برابر است با

<math>\text{var}[X]=\frac{1-p}{p^{2}}</math>

=== اثبات ===
فرض می کنیم پیشامد <math>A= \{X=1\}</math> و پیشامد <math>B= \{X>1\}</math> 
با توجه به اینکه A و B افرازهای [[فضای نمونه]] ی ما هستند، داریم 
:<math>\text{E}[X^2]=\text{E}[X^2|A] \text{P}(A) + \text{E}[X^2|B] \text{P}(B)</math>

می‌دانیم 

<math> \text{E}[X^{2}|A]=\text{E}[X^{2}|X=1]=1</math>{{سخ}}

و 

:<math>\text{E}[X^{2}|B]=\text{E}[X^{2}|X>1]=\text{E}[(X+1)^{2}]=\text{E}[X^{2}+2X+1]=\text{E}[X^{2}]+\frac{2}{p}+1</math>

بنابراین

<math>\text{E}[X^{2}]=1\times p + \left( \text{E}[X^{2}]+\frac{2}{p}+1 \right)(1-p)</math>{{سخ}}

<math>\text{E}[X^{2}]=\frac{2-p}{p^{2}}</math>{{سخ}}

در نهایت از آنجا که   <math>\text{var}[X]=\text{E}[X^{2}]-(\text{E}[X])^{2}</math>   داریم

<math>\text{var}[X]=\frac{2-p}{p^{2}}-\frac{1}{p^{2}}=\frac{1-p}{p^{2}}</math>

== متغیر تصادفی هندسی بدون حافظه است ! ==
فرض کنیم می دانیم تعداد دفعاتی که سکه‌ای را اندخته ایم از n بیشتر است، احتمال اینکه سکه را بیش از n+m دفعه بی اندازیم تا شیر بیاید چقدر است ؟

<math>P(X>n+m|X>n)=\frac{P((X>n+m) \cap (X>n))}{P(X>n)}=\frac{P(X>n+m)}{P(X>n)}=\frac{(1-p)^{n+m}}{(1-p)^{n}}=(1-p)^{m}</math>{{سخ}}

پس تنها m بار پرتاب بعدی اهمیت دارد و n بار پرتاب اولیه بی‌ارزش می‌شود.

همچنین می‌توان ثابت کرد اگر یک متغیر تصادفی گسسته بی حافظه باشد، هندسی است. (عکس قضیه)



== امید ریاضی متغیر تصادفی هندسی ==
امید ریاضی متغیر تصادفی هندسی با پارامتر p برابر است با:

<math>E[X]=\frac{1}{p}</math>

=== اثبات ===
می‌دانیم:

<math>P_X(k)=(1-p)^{k-1}p</math>

و:

<math>E[X]=\sum_{x}xP_X(x)</math>

پس با ترکیب دو رابطهٔ بالا برای متغیر تصادفی هندسی داریم:

<math>E[X]=\sum_{k=0}^\infty k(1-p)^{k-1}p</math>

حال اگر فرض کنیم:

<math>F(p)=\sum_{k=0}^\infty (1-p)^{k-1}=\frac{1}{1-(1-p)}=\frac{1}{p}</math>

داریم:

<math>\frac{dF(p)}{dp}=-\sum_{k=0}^\infty k(1-p)^{k-1}=-\frac{1}{p^{2}}</math>

در نتیجه:

<math>E[X]=p\frac{1}{p^{2}}=\frac{1}{p}</math>

== واریانس متغیر تصادفی هندسی ==
واریانس متغیر تصادفی هندسی با پارامتر p برابر است با:

<math>Var[X]=\frac{1-p}{p^{2}}</math>

=== اثبات ===
فرض می‌کنیم پیشامد <math>A= \{X=1\}</math> و پیشامد <math>B= \{X>1\}</math> :

با توجه به اینکه A و B افرازهای [[فضای نمونه]] ی ما هستند، داریم:

<math>E[X]=E[X|A]P(A)+E[X|B]P(B)</math>

<math>E[X^{2}]=E[X^{2}|A]P(A)+E[X^{2}|B]P(B)</math>

در نتیجه:

<math>E[X^{2}|A]=E[X^{2}|X=1]=1</math>

و:

<math>E[X^{2}|B]=E[X^{2}|X>1]=E[(X+1)^{2}]=E[X^{2}+2X+1]=E[X^{2}]+\frac{2}{p}+1</math>

پس:

<math>E[X^{2}]=1*p+(E[X^{2}+\frac{2}{p}+1)(1-p)</math>

<math>E[X^{2}]=\frac{2-p}{p^{2}}</math>

در نهایت از آنجا که می‌دانیم <math>Var[X]=E[X^{2}]-(E[X])^{2}</math> :

<math>Var[X]=\frac{2-p}{p^{2}}-\frac{1}{p^{2}}=\frac{1-p}{p^{2}}</math>




== منابع ==
{{پانویس}}
* Wikipedia contributors, "Geometric distribution," Wikipedia, The Free Encyclopedia, http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometric_distribution&oldid=340890918 (accessed January 30, 2010).
* Introduction to probabilities models by Sheldon M.Ross 
*A First Course In Probability 8Edition-Sheldon Ross 
*Athanasios Papoulis-probability and statistics

{{توزیع‌های احتمالات}}

[[رده:توزیع‌های خانواده نمایی]]
[[رده:توزیع‌های گسسته|هندسی]]