نمایش مبدأ برای توزیع نرمال

{{بهبود منبع}}
{{جعبه اطلاعات توزیع احتمال
  | name       = توزیع نرمال
  | type       = density
  | pdf_image  = Normal Distribution PDF.svg
  | pdf_caption = منحنی قرمز ''توزیع نرمال استاندارد'' است.
  | cdf_image  = Normal Distribution CDF.svg
  | cdf_caption = 
  | notation   = <math>\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)</math>
  | parameters = <math>\mu\in\R</math> = میانگین ([[پارامتر مکان|مکان]])<br /><math>\sigma^2>0</math> = واریانس ([[پارامتر مقیاس|مقیاس]] بتوان دو)
  | support    = <math>x\in\R</math>
  | pdf        = <math>\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)^2}</math>
  | cdf        = <math>\frac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\left( \frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right] </math>
  | quantile   = <math>\mu+\sigma\sqrt{2} \operatorname{erf}^{-1}(2p-1)</math>
  | mean       = <math>\mu</math>
  | median     = <math>\mu</math>
  | mode       = <math>\mu</math>
  | variance   = <math>\sigma^2</math>
  | mad        = <math>\sigma\sqrt{2/\pi}</math>
  | skewness   = <math>0</math>
  | kurtosis   = <math>0</math> <!-- DO NOT REPLACE THIS WITH THE OLD-STYLE KURTOSIS WHICH IS 3. -->
  | entropy    = <math>\frac{1}{2} \log(2\pi e\sigma^2)</math>
  | mgf        = <math>\exp(\mu t + \sigma^2t^2/2)</math>
  | char       = <math>\exp(i\mu t - \sigma^2 t^2/2)</math>
  | fisher     = <math>\mathcal{I}(\mu,\sigma) =\begin {pmatrix} 1/\sigma^2 & 0 \\ 0 & 2/\sigma^2\end{pmatrix}</math> 
<math>\mathcal{I}(\mu,\sigma^2) =\begin {pmatrix} 1/\sigma^2 & 0 \\ 0 & 1/(2\sigma^4)\end{pmatrix}</math>
  | KLDiv      = <math>{ 1 \over 2 } \left\{ \left( \frac{\sigma_0}{\sigma_1} \right)^2 + \frac{(\mu_1 - \mu_0)^2}{\sigma_1^2} - 1 + 2 \ln {\sigma_1 \over \sigma_0} \right\}</math>
}}

'''توزیع نُرمال''' {{به انگلیسی|Normal distribution}}، '''توزیع گاوسی '''{{به انگلیسی|Gaussian}} یا '''توزیع به‌هنجار'''<ref>{{یادکرد فرهنگستان|مصوب=توزیع بهنجار دومتغیره، توزیع نرمال دومتغیره|بیگانه=bivariate normal distribution|بیگانه در فارسی=|حوزه=آمار، ریاضی|دفتر=چهارم|بخش=فارسی|سرواژه=توزیع بهنجار دومتغیره}}</ref> ، یکی از مهم‌ترین [[توزیع احتمال|توزیع‌های احتمال]] [[پیوسته]] در [[نظریه احتمالات]] است.<ref>{{harvtxt|Casella|Berger|2001|p=102}}</ref><ref>[http://www.encyclopedia.com/topic/Normal_Distribution.aspx#3 ''Normal Distribution''], Gale Encyclopedia of Psychology</ref> دلیل این نام‌گذاری، نیز اهمیت این توزیع، این است که اُفت‌وخیز بسیاری از کمیت‌های طبیعی (فیزیکی) حول یک مقدار ثابت، از این توزیع پیروی می‌کند. دلیل آن هم، [[قضیه حد مرکزی|قضیهٔ حد مرکزی]] است.

بر پایه [[قضیهٔ حد مرکزی]]، مجموع [[متغیر تصادفی مستقل|متغیرهای تصادفی مستقل]]، که هر یک، میانگین و واریانس متناهی دارند، با افزایش شمار متغیرها، دارای توزیعی بسیار نزدیک به توزیع نرمال می‌شود. برای نمونه، بااین‌که چندین عامل بر خطای اندازه‌گیریِ یک کمیت اثر می‌گذارند (مانند خطای وسیله اندازه‌گیری، خطای خواندن، شرایط محیط و …)، اما خطای اندازه‌گیری در اندازه‌گیری‌های پشت‌سرهم، دارای توزیع نرمال می‌شود، که حول مقدار ثابتی، که همان میانگین خطاست، پراکنده شده‌است. نمونه‌های دیگر، قد، وزن یا [[بهره هوشی|بهرهٔ هوشی]] افراد است.

توزیع نرمال، گاهی به‌سبب استفادهٔ [[کارل فردریک گاوس|گاوس]] از آن در کارهایش،  توزیع گاوسی ([[به انگلیسی]]: Gaussian) هم نامیده‌می‌شود. همچنین، این توزیع، به‌دلیل شکل [[تابع توزیع احتمال|تابع چگالی احتمال]] آن، به توزیع زنگوله‌ای (زنگ‌دیس) نیز معروف است.

تابع چگالی احتمال این توزیع، دو پارامتر دارد که یکی، [[میانگین]] (''<math>\mu</math>'') و دیگری [[انحراف معیار]] (''<math>\sigma</math>'') توزیع هستند. منحنی تابع چگالی احتمال این توزیع، حول میانگین آن، متقارن است. وقتی ''<math>\mu=0</math>'' و ''<math>\sigma=1</math>'' باشد، این توزیع، '''نرمال استاندارد''' نامیده‌می‌شود.

== مشخصات ==
یک توزیع احتمال، با تابع توزیع (یا چگالی) احتمال، [[تابع توزیع تجمعی]]، گشتاورها، [[تابع مشخصه]] و [[تابع مولد]] گشتاور مشخص می‌شود. در جدول چپ، این مشخصات برای توزیع نرمال آمده‌اند.

=== تابع چگالی احتمال ===
تابع چگالی احتمال توزیع نرمال با پارامترهای ''<math>\mu</math>'' و ''<math>\sigma^2</math>''، چنین است:
{{وسط‌چین}}
: <math>
    f(x;\,\mu,\sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \, e^{-(x-\mu)^2\!/(2\sigma^2)},
    \qquad x\in\mathbb{R}.
  </math>
{{پایان وسط‌چین}}
* <math>f(x)</math>، تابعی متقارن حول ''<math>x=\mu</math>'' است؛ همچنین <math>\mu</math>، میانگین، مد و میانهٔ توزیع است.
* نقاط عطف این منحنی، ''<math>x=\mu-\sigma</math>'' و ''<math>x=\mu+\sigma</math>'' است.
* این تابع، بارها و نامحدود، [[مشتق پذیر|مشتق‌پذیر]] است.

=== گشتاورها ===
گشتاورهای توزیع نرمال از هر مرتبه‌ای تعریف شده‌اند. یعنی برای هر ''<math>p</math>'' که {{nowrap|Re[''p'']> −۱}}، ''<math>E[|X|^p]</math>'' هست.
{{وسط‌چین}}
* <math>
    \mathrm{E}\big[(X-\mu)^p\big] =
      \begin{cases}
        0 & \text{if }p\text{ is odd,} \\
        \sigma^p\,(p-1)!! & \text{if }p\text{ is even.}
      \end{cases}
  </math>
{{پایان وسط‌چین}}
در اینجا !!n نشان دهنده [[فاکتوریل دوبل]] است.

(تمام گشتاورهای مرکزی مرتبه فرد صفرند.)
{{وسط‌چین}}
* <math>
    \operatorname{E}\big[|X-\mu|^p\big] =
      \sigma^p(p-1)!! \cdot \begin{cases}
        \sqrt{2/\pi} & \text{if }p\text{ is odd}, \\
        1 & \text{if }p\text{ is even}.
      \end{cases}
  </math>
{{پایان وسط‌چین}}

=== ترکیبات خطی ===
اگر <math>X \sim N(\mu, \sigma^2)\,\!</math> و a,b هر دو [[اعداد حقیقی|حقیقی]] باشند، آنگاه <math>a X + b \sim N(a \mu + b, (a \sigma)^2)\,\!</math>{{سخ}}
اگر <math>X \sim N(\mu_X, \sigma^2_X)</math> و <math>Y \sim N(\mu_Y, \sigma^2_Y)</math> [[متغیرهای تصادفی]] نرمال مستقل باشند آنگاه:
* مجموع آنها دارای توزیع نرمال است: <math>U = X + Y \sim N(\mu_X + \mu_Y, \sigma^2_X + \sigma^2_Y)</math>.
* اختلاف آنها نیز دارای توزیع نرمال است: <math>V = X - Y \sim N(\mu_X - \mu_Y, \sigma^2_X + \sigma^2_Y)</math>.
* اگر واریانس <math>X</math> و <math>Y</math> یکی باشد، آنگاه <math>U</math> و <math>V</math>، مستقل هستند.

== خصوصیات ==
[[پرونده:Standard deviation diagram.svg|انگشتی|300پیکسل|قسمت آبی تیره در فاصلهٔ یک برابر انحراف معیار از میانگین توزیع قرار دارد و قسمت آبی روشن و آبی تیره به‌طور توأم، در فاصلهٔ دو برابر انحراف معیار از میانگین توزیع قرار دارند. در توزیع نرمال، اولی برابر با ۶۸٪ سطح زیر نمودار و دومی برابر با ۹۵٪ سطح زیر نمودار است.]]
تقریباً ۶۸٪ از نمونه‌هایی که از توزیع نرمال گرفته‌شوند، فاصله‌ای برابر یا کمتر از [[انحراف معیار]] توزیع نسبت به میانگین  دارند. تقریباً ۹۵٪ از نمونه‌هایی که از یک توزیع نرمال گرفته شوند، فاصله‌ای برابر یا کمتر از دو برابر انحراف معیار توزیع نسبت به میانگین دارند. تقريبا 99/7 % نمونه‌ها نیز در فاصله كمتر از سه برابر انحراف معيار توزيع نسبت به ميانگين قرار می‌گيرند.

== محاسبهٔ احتمال متغیرهای نرمال  نااستاندارد ==
اگر X یک توزیع نرمال نااستاندارد با انحراف معیار σ و [[امید ریاضی]] μ باشد، تبدیل زیر از X یک توزیع نرمال استاندارد می‌سازد:<ref>{{یادکرد کتاب | عنوان=آمار و احتمال مقدماتی | ناشر=دانشگاه امام رضا (ع)-مشهد | تاریخ بازبینی = ۹ ژانویه ۲۰۱۲ | شابک=964-6582-02-8 | فصل=چند توزیع مهم و ارتباط آن‌ها با هم | مکان=محاسبه احتمال برای متغیرهای غیر استاندارد | نام=جواد | نام خانوادگی=بهبودیان | صفحه=۲۰۴}}</ref>
{{وسط‌چین}}
<math>Z=\frac{X-\mu}{\sigma}
</math>
{{پایان وسط‌چین}}

=== مثال ===
{{وسط‌چین}}
<math>X\sim N(2,9)</math>

<math>P(X<3)=?</math>
{{پایان وسط‌چین}}
جواب به این صورت محاسبه‌پذیر است:
{{وسط‌چین}}
<math>P(X<3)=P(\frac{X-\mu}{\sigma}<\frac{3-2}{3})\approx P(Z<0.33)=0.6293</math>
{{پایان وسط‌چین}}
({{چر}}<math>P(Z<0.33)</math>{{چر}} از روی جداول چگالی توزیع نرمال استاندارد یا با محاسبهٔ مستقیم سطح زیر نمودار آن از بازهٔ منفی بی‌نهایت تا ۰٫۳۳ بدست می‌آید.)

== منابع ==
{{پانویس}}
* [[:w:en:Normal distribution|ویکی‌پدیای انگلیسی]]

{{پاک‌کن}}
{{توزیع‌های احتمالات}}
{{آمار}}
{{ویکی‌انبار-رده|Normal distribution}}

[[رده:توزیع مزدوج پیشین]]
[[رده:توزیع نرمال]]
[[رده:توزیع‌های پیوسته|نرمال]]
[[رده:توزیع‌های خانواده نمایی]]
[[رده:توزیع‌های احتمال خانواده مکان-مقیاس]]