نمایش مبدأ برای توزیع خی دو نامرکزی

{{توزیع احتمال|
name = توزیع خی دو نامرکزی |
pdf_image = [[پرونده:wikiPlot.jpg|200px]]|
cdf_image =[[پرونده:wikiPlot3.jpg|200px]]|
parameters = k>0 درجهٔ آزادی
<math>\lambda > 0</math>
مؤلفه میزان نامرکزی بودن|
support = <math>x \in [0 ,+\infty]</math>|
pdf=<math>\frac{e^{-1/2(x + \lambda)}}{2^{k/2}}
\sum_{j=0}^\infty \frac{x^{k/2 + j -1}}{\Gamma (k/2 + j) 2^{2j}j!}
</math>|
cdf =<math>
\sum_{i=0}
^\infty
\frac{
exp(-k/2)(k/2)^i}
{i!}
P(\chi^{2}(k + 2i,\lambda) \le x )

</math>|
mean=<math>k + \lambda</math>|
median=|
mode=|
variance=<math>2(k + 2\lambda)</math>|
skewness=<math>\frac{2^{3/2}(k+3\lambda)}{(k+2\lambda)^{3/2}}</math>|
kurtosis=<math>\frac{12(k+4\lambda)}{(k+2\lambda)^2}</math>|
entropy=|
mgf=<math>\frac{\exp\left(\frac{\lambda t}{1-2t }\right)}{(1-2 t)^{k/2}} \text{ for }2t<1</math>|
char=<math>\frac{\exp\left(\frac{i\lambda t}{1-2it}\right)}{(1-2it)^{k/2}}</math>|
}}

'''توزیع خی دو نامرکزی''' {{انگلیسی|Noncentral chi-squared distribution}} تعمیمی از توزیع خی دو است؛ در حقیقت توزیع خی دو (یا [[توزیع کی‌دو]] یا <math> \chi ^{2}</math>) حالت خاصی از توزیع خی دو نامرکزی است.<ref>https://www.mathworks.com/help/stats/noncentral-chi-square-distribution.html</ref>
درشاخهٔ [[آمار چندمتغیره]] و دیگر آمارها توزیع خی دو نامرکزی بسیار پرکاربرد است. این توزیع را معمولاً زمانی که [[فرض صفر]] در [[آزمون فرض آماری]] درست نباشد، می‌بینیم.<ref>Muirhead, R. (2005) Aspects of Multivariate Statistical Theory (2nd Edition). Wiley. ISBN 0-471-76985-1</ref>

== تعریف ==
اگر (<math>X_1,X_2,...,X_k</math>)
k تا [[متغیر تصادفی مستقل]] باشند، به طوری که:

<math display="block"> X_i \sim N(\mu_i,\sigma_i)</math>

آنگاه متغیر تصادفی

<math display="block">\quad \sum_{i=1}^k \left({\frac{X_i}{\sigma}}\right)^2 </math>

از توزیع خی دو نامرکزی پیروی می‌کند:

<math display="block">\quad \sum_{i=1}^k \left({\frac{X_i}{\sigma}}\right)^2\sim \chi ^{2}(k,\lambda)</math>

k [[درجه آزادی (آمار)|درجه آزادی]] است که برابر تعداد <math>X_i</math> هاست و <math>\lambda</math> مؤلفه میزان نامرکزی بودن (به انگلیسی :Noncentrality paramete) است که تعریفی به شکل زیر دارد:

<math display="block">\lambda =\sum _{i=1}^{k}\frac{\mu _{i}^{2}}{\sigma ^{2}}</math>

با این تعریف وقتی <math>\lambda = 0</math> باشد، توزیع همان [[توزیع کی‌دو|توزیع خی دو]] خواهد بود.<ref name="b">Hisashi Tanizaki (2004) , Computational Methods in Statistics and Econometrics , ISBN 0-203-02202-5</ref>

=== نمونه‌گیری ===
برای تولید یک نمونه تصادفی از این توزیع می‌توانید فرایند [[شبه‌کد|شبه کد]] زیر را دنبال کنید:
<blockquote>
برای k و <math> \lambda </math> مشخص <math> \left( k >= 1 \right) </math> :

قرار بده <math> u = sqrt ( \lambda )</math>

متغیر تصادفی <math>z_1 \sim N(u,1) </math> را نمونه‌گیری کن

متغیر تصادفی <math>y \sim gamma(\frac{\left( k-1 \right)}{2},2) </math> را نمونه‌گیری کن

<math>x = z_1 ^2 + y </math> را برگردان

</blockquote>

x یک متغیر تصادفی از توزیع <math>\chi ^{2} \left (k,\delta \right) </math> خواهد بود.<ref name="a">K. Krishnamoorthy (2006) , Handbook of Statistical Distributions with Applications ,ISBN 1-58488-635-8</ref>

== تابع چگالی احتمال ==
[[تابع چگالی احتمال]] توزیع خی دو نامرکزی با درجهٔ آزادی k و میزان نامرکزی بودن
<math>\lambda</math> که با <math>\chi ^{2} \left (k ,\lambda \right)</math> آن را نشان می‌دهیم، به صورت زیر است:<ref name="b"/>

<math display="block">
f(x) =
\begin {cases}
\frac{e^{-1/2(x + \lambda)}}{2^{k/2}}
\sum_{j=0}^\infty \frac{x^{k/2 + j -1}\lambda^j}{\Gamma (k/2 + j) 2^{2j}j!}
& 0 <x <\infty
\\ \\
0 & \text{otherwise}
\end {cases}

</math>

این تابع را به شکل‌های دیگر نیز می‌توان نوشت، همچون :
<math display ="block">
f_x(k,\lambda) =
1/2
e^{-(x + k)/2}
(\frac{x}{\lambda}
)
^{k/4-1/2}
I_{k/2-1}
(
\sqrt
{\lambda x}
)
</math>

که <math>I_v(y)</math> در آن [[تابع بسل]] نوع اول است که برابر است با :
<math display="block">
I_v(y) =
(y/2)^{v}
\sum_{j=0}^{\infty}
\frac{(y^2/4)^j}
{j!\Gamma(v+j+1)}
</math>

=== نمودار چگالی احتمال ===
می‌توانید نمودار چگالی احتمال این توزیع را در شکل‌های زیر ببینید:

<gallery heights= 500 widths=500 style="text-align:center">
wikiPlot.jpg|نمودار چگالی احتمال برای پنج توزیع با درجه‌های آزادی برابر و مقدار <math>\lambda</math> متفاوت
wikiPlot2.jpg|نمودار چگالی احتمال برای پنج توزیع با مقدار <math>\lambda</math> برابر و درجه‌های آزادی متفاوت
</gallery>

== تابع توزیع تجمعی ==
[[تابع توزیع تجمعی]] این توزیع را می‌توان اینگونه نوشت:<ref name="a"/>

<math display="block">
F(x) =
P(\chi^{2}\left(k,\lambda\right)
\le x
)
=
\sum_{i=0}
^\infty
\frac{
exp(-k/2)(k/2)^i}
{i!}
P(\chi^{2}(k + 2i,\lambda) \le x )
</math>

=== نمودار توزیع تجمعی ===
<gallery heights= 500 widths=500 style="text-align:center">
wikiPlot3.jpg|نمودار توزیع تجمعی برای شش توزیع دلخواه

</gallery>

== تابع مولد گشتاور ==
اگر[[تابع مولد گشتاور]] را با <math>\phi_x(\theta)</math> نشان دهیم، طبق تعریف تابع مولد گشتاور داریم:

<math display="block">
\phi_x(\theta)

= E[e^{\theta x}] =
E[e^{\theta
 \sum_{i=1}^k ({\frac{X_i}{\sigma}})^2
}]
=
\prod_{i=1}^k
E[
e^{\theta
({\frac{X_i}{\sigma}})^2
}]
</math>

که برای این توزیع برابر است با :
<math display="block">
\phi_x(\theta)
=
\frac
{
exp(\frac
{\lambda \theta}{1-2\theta})}{(1-2\theta)^{k/2}}
</math>

== امید ریاضی و واریانس ==
مقدار [[امید ریاضی]] برای این توزیع برابر است با حاصل جمع درجهٔ آزادی و میزان نامرکزی بودن (noncentrality parameter):

<math display="block">
E[x] = k + \lambda
</math>

[[واریانس]] آن هم تابعی از <math> \lambda ,k </math> است:

<math display = "block">
 V[x] =
2(k + 2\lambda
)
 </math>

== توزیع‌های مشابه این خانواده ==
از خانوادهٔ توزیع‌های خی و خی دو علاوه بر توزیع خی دو نامرکزی می‌توان به [[توزیع کی|توزیع خی]]٬[[توزیع کی‌دو|توزیع خی‌دو]] ٬[[:en:Noncentral chi distribution|توزیع خی نامرکزی]] نیز اشاره کرد.
توزیع خی دو را که پیش تر گفتیم که همان توزیع خی دو نامرکزی است زمانی که <math>\lambda = 0</math> باشد. می‌توان اینگونه نوشت که

اگر (<math>X_1,X_2,...,X_k</math>)
k تا متغیر تصادفی مستقل باشند، به طوری که:

<math display="block"> X_i \sim N(\mu_i,\sigma_i)</math>

آنگاه:
* <math>
\sum_{i=0}^k
(\frac{x_i-\mu_i}{\sigma_i})
^{2}
</math> از توزیع خی دو پیروی می‌کند.
* <math>
\sqrt{
\sum_{i=0}^k
(\frac{x_i-\mu_i}{\sigma_i})^2}
</math>از توزیع خی پیروی می‌کند.
* <math>
\sqrt{
\sum_{i=0}^k
(\frac{x_i}{\sigma_i})^2}
</math>از توزیع خی نامرکزی پیروی می‌کند.

== جستارهای وابسته ==
{{جستارهای وابسته|توزیع اف|توزیع کی|توزیع کی دو}}

== منابع ==
{{پانویس|چپ‌چین=بله|۲}}

[[رده:آمار چندمتغیره]]
[[رده:توزیع‌های پیوسته]]