نمایش مبدأ برای توزیع برنولی

{{نامفهوم}}
{{توزیع احتمال|
  name       =برنولی|
  type       =چگالی|
  pdf_image  =|
  cdf_image  =|
  parameters =<math>p>0\,</math> شانس موفقیت

([[عدد حقیقی|حقیقی]])|
  support    =<math>k=\{0,1\}\,</math>|
  pdf        =<math>
    \begin{matrix}
    q & \mbox{for }k=0 \\p~~ & \mbox{for }k=1
    \end{matrix}
    </math>|
  cdf        =<math>
    \begin{matrix}
    0 & \mbox{for }k<0 \\q & \mbox{for }0\leq k<1\\1 & \mbox{for }k\geq 1
    \end{matrix}
    </math>|
  mean       =<math>p\,</math>|
  median     =N/A|
  mode       =<math>\begin{matrix}
0 & \mbox{if } q> p\\
0, 1 & \mbox{if } q=p\\
1 & \mbox{if } q <p
\end{matrix}</math>|
  variance   =<math>pq\,</math>|
  skewness   =<math>\frac{q-p}{\sqrt{pq}}</math>|
  kurtosis   =<math>\frac{6p^2-6p+1}{p(1-p)}</math>|
  entropy    =<math>-q\ln(q)-p\ln(p)\,</math>|
  mgf        =<math>q+pe^t\,</math>|
  char       =<math>q+pe^{it}\,</math>|
|چگالی احتمال=p^x(1-p)^1-x}}
'''توزیع برنولی'''، توزیعی گسسته است که نام آن از نام [[دانشمند]] [[سوئیسی]] [[ژاکوب برنولی]] گرفته شده‌است. توزیع برنولی یک [[توزیع گسسته]] است که مقادیر یک (در صورت موفقیت آزمایش ) و صفر را (در صورت شکست) می‌گیرد. احتمال موفقیت آزمایش برابر ''p'' است و احتمال شکست آن برابر ''q=1-p'' است. بنابراین اگر ''X'' یک [[متغیر تصادفی]] با توزیع برنولی باشد داریم:

<math> \Pr(X=1)\!</math>&nbsp;<math>\; 1 - \Pr(X=0) =\!</math>&nbsp;<math> 1 - q = p.\!</math>

و تابع توزیع (pmf) آن به صورت زیر خواهد بود:

:<math> f(k;p) = \left\{\begin{matrix} p & \mbox {if }k=1, \\
1-p & \mbox {if }k=0, \\
0 & \mbox {otherwise.}\end{matrix}\right.</math>

[[امید ریاضی]] این توزیع برابر ''p'' و [[واریانس]] آن برابر ''(p(1-p'' است.

کشیدگی این توزیع برای مقادیر ''p'' نزدیک به صفر یا یک، به سمت بی‌نهایت میل می‌کند و برای ''p=۰٫۵'' کمترین مقدار کشیدگی را خواهیم داشت.

توزیع برنولی جزء [[خانواده نمایی]] طبقه‌بندی می‌شود.

== توزیع‌های مرتبط ==
اگر <math> X_1,..,X_n </math> [[متغیرهای تصادفی]] با توزیع برنولی با پارامتر یکسان و مستقل باشند، آنگاه متغیر تصادفی <math>Y = \sum_{k=1}^n X_k \sim \mathrm{Binomial}(n,p)</math> یک [[توزیع دوجمله‌ای]] خواهد بود. در واقع توزیع برنولی همان توزیع دوجمله‌ای با پارامتر ''n=۱'' یعنی  <math>\mathrm{Binomial}(1,p)</math> خواهد بود.
در واقع، تابع جرم توزیع دوجمله ای به صورت زیر می‌باشد.

<math> P(x)= \binom{n}{x}p^x (1-p)^{n-x} </math>
== منابع ==
{{پانویس}}
{{چپ‌چین}}
* Bernoulli distribution. (2007, December 1). In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Retrieved 07:54, July 4, 2011, from http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Bernoulli_distribution&oldid=431746352
{{پایان چپ‌چین}}
{{توزیع‌های احتمال|discrete-finite}}
{{آمار}}
{{توزیع‌های احتمالات}}

{{آمار-خرد}}

[[رده:توزیع مزدوج پیشین]]
[[رده:توزیع‌های خانواده نمایی]]
[[رده:توزیع‌های گسسته|برنولی]]