نمایش مبدأ برای توزیع بتا

{{توزیع احتمال|
  name       =بتا|
  type       =چگالی|
  pdf_image  =[[پرونده:Beta distribution pdf.png|325px|Probability density function for the Beta distribution]]|
  cdf_image  =[[ صاحب پرونده پادشاه جهان دکتررحمت الله نادعلی]]:Beta distribution cdf.png|325px|Cumulative distribution function for the Beta distribution]]|
 parameters = <math>\alpha> 0</math> [[پارامتر شکل|شکل]] ([[حقیقی]]){{سخ}}[[پارامتر شکل|شکل]] ([[عدد حقیقی|حقیقی]]) <math>\beta> 0</math> |
  support    =<math>x \in [0; 1]\!</math>|
    pdf        =<math>\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}} {\mathrm{B}(\alpha,\beta)}\!</math>|
  cdf        =<math>I_x(\alpha,\beta)\!</math>|
  mean       =<math>\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\!</math>|
  median     =|
  mode       =<math>\frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}\!</math> for <math>\alpha>1, \beta>1</math>|
  variance   =<math>\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\!</math>|
  skewness   =<math>\frac{2\,(\beta-\alpha)\sqrt{\alpha+\beta+1}}{(\alpha+\beta+2)\sqrt{\alpha\beta}}</math>|
  kurtosis   =''see text''|
  entropy    =''see text''|
  mgf        =<math>1  +\sum_{k=1}^{\infty} \left( \prod_{r=0}^{k-1} \frac{\alpha+r}{\alpha+\beta+r} \right) \frac{t^k}{k!}</math>|
  char       =<math>{}_1F_1(\alpha; \alpha+\beta; i\,t)\!</math>|
}}
'''توزیع بتا'''، [[توزیع احتمالی|توزیع احتمال]] پیوسته‌ای است که بر بازه [۱و۰] تعریف می‌گردد و به [[توزیع گاما]] مرتبط می‌باشد.توزیع بتا دارای دو پارامتر آزاد است که این دو پارامتر شامل <math>\alpha</math> و <math>\beta</math> می‌شوند.تابع چگالی احتمال این توزیع در زیر آورده‌شده ‌است.

<math>f(x) = \frac{x^{\alpha-1}(1+x)^{-\alpha-\beta}}{B(\alpha,\beta)}</math>

== کاربردها ==

=== آماره ترتیبی ===
توزیع‌ بتا نقش مهمی در تئوری [[آماره ترتیبی]] دارد.نتیجه بدین‌گونه است که توزیع kمین کوچک‌ترین مقدار از یک [[فضای نمونه]] nتایی از یک [[توزیع یکنواخت پیوسته]] معادل با یک توزیع بتا می‌باشد.نتیجه به صورت زیر خلاصه می‌گردد.

<math>U(k) \sim Beta(k,n+1-k)</math>

=== آنالیز موجکی ===
[[موجک]] یک نوسان موج‌مانند با دامنه‌ای است  که از صفر شروع می‌گردد، افزایش می‌یابد و سپس به صفر تقلیل می‌یابد.به‌طور معمول موجک‌ها را می‌توان به عنوان نوسان مختصری که به سرعت در حال فروپاشی هستند تجسم کرد.موجک‌ها می‌توانند برای استخراج اطلاعات از انواع مختلف داده استفاده گردند.از جمله این داده‌ها می‌توان به سیگنال‌ها و تصاویر صوتی اشاره نمود.به این ترتیب، موجک‌ها با این هدف ساخته می‌شوند تا ویژگی‌های خاصی داشته باشند که آن‌ها را قادر به [[پردازش سیگنال]] سازد.نکته‌ای که موجک‌ها را برجسته می‌سازد این است که آن‌ها هم در زمان و هم در فرکانس موضعی می‌باشند در حالی که تبدیل استاندارد فوریه تنها در فرکانس موضعی است.بنابراین، تبدیل استاندارد فوریه فقط برای فرایندهای ثابت قابل استفاده است در حالی که موجک‌ها برای فرآیندهای غیرثابت نیز قابل استفاده می‌باشند.موجک‌ها را می‌توان بر اساس توزیع‌ بتا ساخت.موجک ساخته‌شده توسط توزیع‌  بتا را می‌توان به عنوان یک طیف نرم از موج‌های هار مشاهده کرد که شکل آن با دو پارامتر α و β مشخص می‌گردد.<ref>{{یادکرد وب|نام خانوادگی=Weisstein|نام=Eric W.|کد زبان=en|وبگاه=mathworld.wolfram.com|نشانی=http://mathworld.wolfram.com/BetaDistribution.html|عنوان=Beta Distribution|بازبینی=2018-12-27}}</ref>

=== آنالیز بیزی ===
یکی از مهم‌ترین کاربردهای توزیع بتا استفاده از آن در آنالیز آماری بیزی [[توزیع دوجمله‌ای]] است.درواقع توزیع بتا به عنوان یک مدل برای احتمال موفقیت یک توزیع دوجمله‌ای استفاده می‌گردد،به این صورت که توزیع‌ بتا به عنوان یک [[توزیع پیشین]] یا پسین برای آنالیز مورد استفاده قرار می‌گیرد.<ref>{{یادکرد وب|وبگاه=Mathematics Stack Exchange|نشانی=https://math.stackexchange.com/questions/2398634/applications-of-beta-distribution|عنوان=probability - Applications of Beta Distribution|بازبینی=2018-12-27}}</ref>

== مشخصات ==

=== تابع چگالی احتمال(PDF) ===
<math>f(x;\alpha,\beta) = \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{\int_{0}^{3} u^{\alpha-1}(1-u)^{\beta-1}du}</math>

<math>=\frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}</math>

<math>= \frac{1}{B(\alpha,\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}</math>

=== تابع توزیع تجمعی احتمال(CDF) ===
<math>F(x;\alpha,\beta) = \frac{B(x;\alpha,\beta)}{B(\alpha,\beta)} = I_x(\alpha,\beta)</math>

== ویژگی‌ها ==

=== مد ===
<math>\frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}</math>

=== میانه ===
<math>median \approx \frac{\alpha- \frac{1}{3}}{\alpha + \beta - \frac{2}{3}} \ for \ \alpha,\beta\geq1 </math>

=== میانگین ===
<math>\mu = \operatorname{E}[X] = \int_0^1 x f(x;\alpha,\beta)\,dx </math>

<math>= \int_0^1 x\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta}dx</math>

<math>= \frac{\alpha}{\alpha+\beta}</math>

<math>= \frac{1}{1 + \frac{\beta}{\alpha}}</math>

== توزیع‌های مرتبط ==

=== توزیع بتا‌پریم ===
اگر X از توزیع بتا پیروی نماید آنگاه با استفاده از تبدیل (T = X/(1-X به  توزیعی با چگالی‌احتمال زیر دست می‌یابیم.

<math>P_T(y) = 1/B(\alpha,\beta)(\frac{t}{t+1})^{\alpha-1}(\frac{t}{t+1})^{\beta-1}
</math>

<math>= \frac{1}{B(\alpha,\beta)}\frac{t^{\alpha-1}}{({1+t})^{\alpha+\beta}} for(t>0)</math>

این توزیع یک فرم استاندارد از توزیع پیرسون نوع ۶ که گاهی اوقات به نام توزیع بتاپریم شناخته می‌شود می‌باشد.

=== توزیع یکنواخت ===
اگر <math>X\thicksim Beta(\alpha,\beta)</math>با این فرض که <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> مقادیر صحیح مثبتی هستند که جمع این دو برابر با مقدار ثابت s می‌باشد(<math>\alpha+\beta = s(\geq2)</math>).با این فرض <math>\alpha</math>مقادیر 1 تا s-1  را می‌تواند به خود اختصاص دهد. [[تابع چگالی احتمال]] X با فرض‌های ذکر از رابطه زیر به دست می‌آید.

<math>P_X(x,s) = \frac{(s-1)\sum_{p-1=0}^{s-2}C_{p-1}x^{p-1}({1-x})^{s-2-(p-1)}}{(s-1)} = 1;(0<x<1)</math>

این توزیع شرطی از [[توزیع یکنواخت پیوسته]] پیروی می‌نماید.اگر شروط ذکرشده در بالا برقرار باشند.[http://www.kaliaborcollege.org/pdf/Mathematical_Excursion_to_Beta_Distribution.pdf]

== منابع ==
{{پانویس}}
* {{یادکرد-ویکی|پیوند=http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Beta_distribution&oldid=329150095|عنوان =Beta distribution|بازیابی =۲۹ می ۲۰۱۱}}
*
{{توزیع‌های احتمالات}}

[[رده:توزیع مزدوج پیشین]]
[[رده:توزیع‌های پیوسته|بتا]]
[[رده:توزیع‌های خانواده نمایی]]
[[رده:موضوعات فاکتوریل و دوجمله‌ای]]
[[رده:آمار بیزی]]