نمایش مبدأ برای توابع مثلثاتی

{{مقاله برگزیده}}
{{مثلثات}}
در [[ریاضیات]]، منظور از '''توابع مثلثاتی''' شش [[تابع]] [[سینوس (ریاضیات)|سینوس]]، [[کسینوس]]، [[تانژانت]]، [[کتانژانت]]، [[سکانت]] و [[کسکانت]] است که این توابع رابطهٔ میان [[زاویه]]‌ها و ضلع‌های یک [[مثلث قائم‌الزاویه]] را نشان می‌دهند و به همین دلیل توابع مثلثاتی نامیده می‌شوند.
<!--تاریخچه-->
قدمت اولین متن‌های به‌جامانده از توابع مثلثاتی به دوران [[پیش از میلاد]] در مصر و یونان بازمی‌گردد. [[قضیه تالس|قضیهٔ تالس]] توسط [[تالس]] در سدهٔ ششم پیش از میلاد در مصر مطرح شد، همچنین از [[قضیه فیثاغورس|قضیهٔ فیثاغورس]] به عنوان سنگ بنای مثلثات یاد می‌شود.
علاوه بر مصر و یونان، کشورهای دیگری از جمله چین، هند، کشورهای اسلامی و کشورهای اروپایی پیشبردهای مطرحی در زمینهٔ مثلثات داشتند که می‌توان به افرادی چون [[محمد بن موسی خوارزمی|خوارزمی]]، [[بتانی]]، [[ابوالوفا محمد بوزجانی]]، شن کو، گو شوجینگ و [[گئورگ یواخیم رتیکوس|رتیکوس]] اشاره کرد.

<!--تعریف-->
تعاریف متفاوتی از توابع مثلثاتی بیان شده‌است، ساده‌ترین آن‌ها بر پایهٔ [[دایره واحد|دایرهٔ واحد]] است که در این تعریف دایره‌ای با شعاع ۱ ترسیم می‌شود و شعاعی با زاویهٔ مشخص نسبت به محور افقی روی آن رسم شده و یک مثلث را تشکیل می‌دهد. هر یک از توابع مثلثاتی را می‌توان با پاره‌خطی در این دایره نشان داد. تعاریف دیگری از توابع مثلثاتی نیز بر پایهٔ [[انتگرال]]، [[سری توانی]] و [[معادله دیفرانسیل|معادلهٔ دیفرانسیل]] بیان شده‌است که هر یک از آن‌ها کاربرد خاص خود را دارند. برای نمونه در تعریف بر پایهٔ سری توانی، از [[سری مکلورن]] استفاده می‌شود که در محاسبهٔ مقدار تقریبی آن‌ها توابع مثلثاتی استفاده فراوان دارد.

<!--کاربرد-->
توابع مثلثاتی بر روی یک زاویه عملیات انجام می‌دهند و یک [[عدد حقیقی]] را برمی‌گردانند و هر یک از آن‌ها ویژگی‌های خاص خود را دارند، از جمله زوج یا فرد بودن، متناوب بودن، پیوسته بودن، متعامد بودن. کاربرد اصلی این تابع‌ها در محاسبهٔ اندازهٔ ضلع‌ها و زاویه‌های یک [[مثلث]] و سایر عوامل مرتبط با آن‌ها است. این کاربرد، در دانش‌های مختلفی مانند [[نقشه‌برداری]]، [[ناوبری]] و زمینه‌های گوناگون [[فیزیک]] مورد استفاده قرار می‌گیرد. در نقشه‌برداری، با استفاده از اندازه‌گیری زاویهٔ یک نقطه نسبت به دو نقطه معین، مختصات آن نقطه را محاسبه می‌کنند که امروزه از این روش برای اندازه‌گیری سه‌بعدی نوری استفاده می‌شود یا در ناوبری، تنظیم خط سیر کشتی‌ها و سایر شناورها بر پایهٔ اجسام ثابت مانند فانوس دریایی با بهره‌گیری از توابع مثلثاتی انجام می‌شود. همچنین به علت خاصیت تناوبی بودن این تابع‌ها، از آن‌ها در مدل‌سازی فرایندهای نوسانی مانند [[نور]] و [[موج]] استفاده می‌شود. برای نمونه [[قانون اسنل]] بنیادی‌ترین کاربرد توابع مثلثاتی است که در پدیدهٔ [[شکست نور]] به کار می‌رود. از دیگر کاربردهای توابع مثلثاتی می‌توان به استفاده آن در [[صنعت برق]] و مخابرات اشاره کرد. از جمله کاربرد [[موج سینوسی|امواج سینوسی]] در [[جریان‌های متناوب]] و همچنین انواع [[مدولاسیون]] که برپایه همین امواج سینوسی انجام می‌شود.

== تاریخچه ==
{{اصلی|تاریخ مثلثات}}
[[پرونده:Corpus Christ College MS 283 (1).png|بندانگشتی|نمونه‌ای از جداول نجومی خوارزمی]]

<!--; ریاضیات یونان باستان -->
شواهد به‌کارگیری توابع مثلثاتی در زمینه‌های گوناگون، به ویژه در نجوم، در بسیاری از متون به جا مانده از دوران [[پیش از میلاد]] از جمله در یونان و مصر وجود دارد. یکی از کهن‌ترین مطالب مرتبط با مثلثات که در متون تاریخی بیان شده، [[قضیه تالس]] است. [[تالس]] که در سده ششم پیش از میلاد در مصر تحصیل می‌کرد، برای حل مسئلهٔ محاسبهٔ ارتفاع [[هرم خئوپس]]، روشی تازه را ارائه نمود که بعداً با عنوان قضیه تالس شناخته شد. می‌توان قضیهٔ فیثاغورس را سنگ بنای مثلثات دانست.<ref>{{یادکرد کتاب | عنوان=میراث یونان | نویسنده=دانتزیگ، توبیاس | سال=۱۳۵۶ | ترجمه=عباس گرمان | ناشر=توکا}}</ref> در بسیاری از متون یونان باستان، کاربردهای مثلثات مورد توجه قرار گرفته‌اند. ابرخس، نخستین جدول مثلثاتی را ایجاد نمود و به همین دلیل، او را پدر مثلثات می‌نامند. منلائوس [[مثلثات کروی]] را پایه‌گذاری کرد.<ref name="بویر"/> [[بطلمیوس]] در [[المجسطی]]، رابطهٔ سینوس و کسینوس مجموع و تفاضل دو زاویه را بیان کرد.<ref>{{پک|استرویک|۱۳۶۶|ک=تاریخ فشرده ریاضیات|ص=۷۵}}</ref>

<!--; ریاضیات هند-->
مطالعه در زمینهٔ توابع مثلثاتی در هند نیز رواج داشته‌است. از جمله، در کتاب [[سوریا سیدهانتا]] در سدهٔ چهارم میلادی از جدول سینوس به جای جدول وتری در [[اخترشناسی|نجوم]] استفاده شده‌است.<ref>{{پک|استرویک|۱۳۶۶|ک=تاریخ فشرده ریاضیات|ص=۸۶}}</ref> همچنین به نظر می‌رسد که نام‌های سینوس و کسینوس، تغییر یافتهٔ توابع جیا و کوتیجیا در نجوم [[امپراتوری گوپتا|دوره گوپتای هند]] باشند. مدهاوه در سدهٔ چهاردهم [[بسط تیلور|سری تیلور]] تابع‌های سینوس، کسینوس و تانژانت را به دست آورد.<ref name="بویر">{{یادکرد کتاب | عنوان=تاریخ حسابان | ناشر=علمی و فرهنگی | نویسنده=بویر، کارل | سال=۱۳۸۴ | شابک=964-445-698-X | ترجمه=عبدالحسین مصحفی}}</ref>

<!--; ریاضیات دوران اسلامی-->
[[دوران طلایی اسلام]]، تأثیر قابل توجهی بر پیشرفت علوم ریاضی و از جملهٔ آن‌ها مثلثات داشت. [[محمد بن موسی خوارزمی|خوارزمی]]، جدول‌های نجومی و مثلثاتی (مربوط به سینوس و تانژانت) را تهیه کرد.<ref>{{پک|استرویک|۱۳۶۶|ک=تاریخ فشرده ریاضیات|ص=۹۲}}</ref> [[مروزی]] جدول کتانژانت را تهیه کرد. در آثار [[بتانی]] در سدهٔ سوم شمسی (سدهٔ نهم میلادی)، مثلثات به‌طور وسیعی به کار رفته‌است که از جمله می‌توان به جدول کسکانت اشاره کرد. [[ابوالوفا محمد بوزجانی]] در سدهٔ چهارم شمسی (سدهٔ دهم میلادی)، قانون سینوس‌ها را به دست آورد.<ref>{{پک|استرویک|۱۳۶۶|ک=تاریخ فشرده ریاضیات|ص=۹۳}}</ref> [[ابوریحان بیرونی]] مثلث‌سازی را برای تهیهٔ نقشه به کار گرفت. در پایان سدهٔ یازدهم، [[عمر خیام]] [[معادله درجه سه|معادلات درجهٔ سوم]] را با حل عددی تقریبی که از درونیابی جداول مثلثاتی به دست می‌آمد، حل کرد. همچنین [[غیاث‌الدین جمشید کاشانی]] در سدهٔ پانزدهم میلادی، سینوس زاویهٔ ۱ درجه را با حل معادلهٔ درجهٔ ۳ برحسب زاویهٔ ۳ درجه تا ۱۷ رقم اعشار محاسبه کرد.<ref>{{پک|قربانی|۱۳۷۵|ک=زندگینامهٔ ریاضیدانان دورهٔ اسلامی از سدهٔ سوم تا سدهٔ یازدهم هجری|ص=۳۶۸}}</ref>

<!--; ریاضیات چین-->
دانشمندان چینی چندان به مطالعهٔ مثلثات نمی‌پرداختند. دو ریاضی‌دان چینی با نام شن کو و گو شوجینگ مطالعاتی را در زمینه توابع مثلثاتی انجام دادند. برای نمونه، شن کو یک رابطهٔ تقریبی برای محاسبهٔ طول کمان برحسب قطر دایره، زه و طول وتر به دست آورد.<ref dir=ltr>{{یادکرد ژورنال |پیوند=http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0315086087900644 |عنوان=The calculus of the trigonometric functions |نویسنده=Victor J. Katz |ژورنال=Historia Mathematica |تاریخ=November 1987 |جلد=14 |صفحات=311–324 |doi=10.1016/0315-0860(87)90064-4|زبان=en| پیوند بایگانی = http://www.webcitation.org/6YZtQWQta | تاریخ بایگانی = 16 May 2015}}</ref>

<!--; ریاضیات اروپا-->
احتمالاً [[گئورگ یواخیم رتیکوس|رتیکوس]] نخستین شخص اروپایی بود که در سدهٔ شانزدهم میلادی، توابع مثلثاتی را به جای دایره برحسب زاویهٔ قائمه تعریف کرد و جدول‌های هر شش تابع را تهیه نمود. مقالهٔ اویلر در ۱۷۴۸ میلادی به عنوان پایه‌گذار اصلی رفتار تحلیلی با توابع مثلثاتی در اروپا دانسته می‌شود. اویلر توابع مثلثاتی را به صورت [[سری (ریاضیات)|سری نامتناهی]] تعریف کرد و فرمول اویلر را ارائه نمود.<ref name="بویر"/>

== نام‌گذاری ==
در متون سانسکریت، از نام‌های جیوا (به معنی وتر) و کوجیوا برای نام‌گذاری دو تابع اصلی مثلثاتی (سینوس و کسینوس) استفاده می‌شد. در برگرداندن به زبان عربی، جیوا به جیب تبدیل شد<ref name="بویر"/> که البته در فارسی هم مورد استفاده قرار گرفت.<ref>{{یادکرد-دهخدا|عنوان = جیب | بازیابی = ۱۵ مه ۲۰۱۵}}</ref>
دانشمندان مسلمان، سایر توابع مثلثاتی را نیز می‌شناختند و آن‌ها را نام‌گذاری کرده‌بودند. جدول زیر، نام‌های به کار رفته برای توابع مثلثاتی در متون دانشمندان مسلمان را نشان می‌دهد:<ref name="نوری">{{یادکرد کتاب | عنوان=سهم ارزشمند ایران در فرهنگ جهان | ناشر=انجمن آثار و مفاخر فرهنگی | نام خانوادگی=نوری |نام = نیر | سال=۱۳۷۵–۱۳۷۷ | مکان=تهران | صفحات=۲۴۰ | شابک=9646278205}}</ref>
{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto;text-align:center;"
|-
!نام قدیم در فارسی
!معنی نام
!نام امروزی
|-
|جَیْب ||گریبان||سینوس
|-
|جَیْبِ تمام ||گریبان پُر||کُسینوس
|-
|ظِلّ، ظِلِّ معکوس ||سایه||تانژانت
|-
|ظِلِّ تمام، ظِلِّ مُسْتَوی ||سایهٔ پُر||کُتانژانت
|-
|قاطع، قطر ظِلّ||بُرنده||سِکانت
|-
|قاطع تمام||بُرندهٔ پُر||کُسکانت
|}
دانشمندان اروپایی که متن‌های عربی را به لاتین ترجمه می‌کردند، جیب را به صورت جَیب می‌خواندند (که به معنی خلیج است). بنابراین آن را به سینوس (که واژه‌ای لاتینی به معنی خلیج است) برگرداندند.<ref name="بویر"/>

== تعریف بر پایهٔ مثلث قائم‌الزاویه ==
شکل روبرو، یک [[مثلث قائم‌الزاویه]] را نشان می‌دهد که از سه ضلع a و b و c و زاویه‌های A و B و C تشکیل شده‌است. زاویهٔ C برابر ۹۰ درجه است و دو زاویهٔ دیگر، [[زاویهٔ تند]] و متمم هستند، به عبارت دیگر، مجموع دو زاویه برابر ۹۰ درجه است. ضلع روبرو به زاویهٔ C را [[وتر]] می‌نامند (که در شکل روبرو با نماد c نشان داده شده‌است). دو ضلع دیگر که [[زاویهٔ قائمه]] را تشکیل می‌دهند نیز شامل ضلع مجاور زاویهٔ A (و مقابل زاویهٔ B که با حرف b نشان داده می‌شود) و ضلع مقابل زاویهٔ A (و مجاور زاویهٔ B که با حرف a نشان داده می‌شود) هستند. به این ترتیب، توابع اصلی مثلثاتی برای زاویهٔ A به صورت زیر تعریف می‌شوند:<ref>{{پک|کاکسفورد|۱۳۷۰|ک=اصول و کاربردهای مثلثات|ص=۵۳}}</ref><ref>{{پک|آدامز|۱۳۸۸|ک=حساب دیفرانسیل و انتگرال، جلد اول|ص=۱۴۶}}</ref>
[[پرونده:سه‌گوش راست‌پای.svg|بندانگشتی|یک مثلث قائم‌الزاویه را نشان می‌دهد که از سه ضلع a و b و c و زاویه‌های A و B و C تشکیل شده‌است|200px]]
* [[سینوس (ریاضیات)|سینوس]] زاویهٔ A برابر است با نسبت ضلع مقابل آن به وتر. به بیان ریاضی:
{{چپ‌چین}}
:<math>\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{a}{\,c\,}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
* [[کسینوس]] زاویهٔ A برابر است با نسبت ضلع مجاور آن به وتر. به بیان ریاضی:
{{چپ‌چین}}
:<math>\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{b}{\,c\,}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
* [[تانژانت]] زاویهٔ A نیز به صورت نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور این زاویه محاسبه می‌شود:
{{چپ‌چین}}
:<math>\tan A=\frac{a}{\,b\,}=\frac{a}{\,c\,}\times\frac{c}{\,b\,}=\frac{a}{\,c\,} / \frac{b}{\,c\,}=\frac{\sin A}{\cos A}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
بر پایه قضیهٔ تشابه هندسی، اگر دو مثلث دارای زاویه‌های برابر باشند، نسبت ضلع‌هایشان با یکدیگر برابر است. در نتیجه، توابع مثلثاتی که نسبت میان ضلع‌های مثلث را نشان می‌دهند، وابسته به اندازهٔ ضلع‌ها نیستند و مقدار آن‌ها با تغییر اندازهٔ ضلع‌ها تغییر نمی‌کند.

می‌توان برای زاویهٔ B نیز توابع مثلثاتی را به همین ترتیب محاسبه نمود. ضلع مجاور زاویهٔ B (ضلع a) همان ضلع مقابل زاویهٔ A است و ضلع مقابل زاویهٔ B (ضلع b) نیز ضلع مجاور زاویهٔ A می‌باشد؛ بنابراین می‌توان چنین گفت که سینوس زاویهٔ B برابر با کسینوس زاویهٔ A است و برعکس. رابطه سینوس و کسینوس دو زاویهٔ متمم به زبان ریاضی، به صورت زیر است:
{{چپ‌چین}}
:<math>\sin A=\cos B=\cos \left(\frac{\pi}{2} - A \right)</math>
:<math>\cos A=\sin B=\sin \left(\frac{\pi}{2} - A \right)</math>
{{پایان چپ‌چین}}
با افزایش مقدار زاویهٔ A از صفر تا ۹۰ درجه، به تدریج اندازهٔ ضلع مجاور آن کاهش و اندازهٔ ضلع مقابل، افزایش می‌یابد. هنگامی که این مقدار به ۹۰ درجه نزدیک شود، مقدار ضلع مجاور به صفر نزدیک می‌شود. در نتیجه کسینوس زاویهٔ A (نسبت ضلع مجاور به وتر) به صفر میل می‌کند. از سوی دیگر، مقدار ضلع مقابل به وتر نزدیک می‌شود. (البته بر پایهٔ [[قضیه فیثاغورس|قضیهٔ فیثاغورس]]، وتر همواره از دو ضلع دیگر بزرگ‌تر است) در نتیجه، سینوس زاویهٔ A (نسبت ضلع مقابل به وتر) به ۱ میل می‌کند. به‌طور کلی، مقدار سینوس و کسینوس یک زاویه در مثلث قائم‌الزاویه، عددی در بازه صفر و یک است. تغییرات تانژانت زاویهٔ A را نیز به همین ترتیب می‌توان دنبال کرد. در نزدیکی ۹۰ درجه، تانژانت A (که نسبت سینوس به کسینوس زاویهٔ A است) به سمت [[بی‌نهایت (ریاضی)|بی‌نهایت]] میل می‌کند و با نزدیک شدن به صفر، مقدار آن به صفر نزدیک می‌شود؛ بنابراین مقدار تانژانت یک زاویه، عددی مثبت (از صفر تا بی‌نهایت) خواهد بود.

سه تابع دیگر مثلثاتی را می‌توان به عنوان عکس سه تابع بالا تعریف نمود:
{|
|-
| [[سکانت]] (معکوس کسینوس): || {{آغاز چپ‌چین}}<math>\sec A=\frac{1}{\cos A}=\frac{c}{b}</math>
|-
| [[کسکانت]] (معکوس سینوس): || {{آغاز چپ‌چین}}<math>\csc A=\frac{1}{\sin A}=\frac{c}{a}</math>
|-
| [[کتانژانت]] (معکوس تانژانت): || {{آغاز چپ‌چین}}<math>\cot A=\frac{1}{\tan A}=\frac{\cos A}{\sin A}=\frac{b}{a}</math>
|}
رابطه میان دو زاویهٔ متمم، مانند آنچه که بالاتر در مورد سینوس و کسینوس گفته شد، در مورد سایر توابع مثلثاتی نیز برقرار است.
{{چپ‌چین}}
:<math>\tan A=\cot B=\cot \left(\frac{\pi}{2} - A \right)</math>
:<math>\cot A=\tan B=\tan \left(\frac{\pi}{2} - A \right)</math>
:<math>\sec A=\csc B=\csc \left(\frac{\pi}{2} - A \right)</math>
:<math>\csc A=\sec B=\sec \left(\frac{\pi}{2} - A \right)</math>
{{پایان چپ‌چین}}
به‌طور خلاصه، رابطهٔ میان توابع مثلثاتی و ضلع‌های مثلث قائم‌الزاویه را می‌توان در جدول زیر نشان داد:<ref>برای نمونه:{{پک|سیلورمن|۱۳۸۶|ک=حساب دیفرانسیل و انتگرال با هندسه تحلیلی|ص=۸۶–۸۷}} و {{پک|توماس|۲۰۰۹|ک=حسابان|ص=۵۰}}</ref>
{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto;"
|-
! نام !! تعریف !! رابطه
|-
| سینوس || سینوس یک زاویه برابر است با نسبت ضلع مقابل آن زاویه به وتر || {{math|sin A {{=}} {{sfrac|ضلع مقابل|وتر}}}}
|-
| کسینوس || کسینوس یک زاویه برابر است با نسبت ضلع مجاور آن زاویه به وتر || {{math|cos A {{=}} {{sfrac|ضلع مجاور|وتر}}}}
|-
| تانژانت || تانژانت یک زاویه برابر است با نسبت ضلع مقابل آن زاویه به ضلع مجاور || {{math|tan A {{=}} {{sfrac|ضلع مقابل|ضلع مجاور}}}}
|-
| کتانژانت || کتانژانت یک زاویه برابر است با نسبت ضلع مجاور آن زاویه به ضلع مقابل (عکس تانزانت) || {{math|cot A {{=}} {{sfrac|ضلع مجاور|ضلع مقابل}}}}
|-
| سکانت || سکانت یک زاویه برابر است با نسبت وتر به ضلع مجاور آن زاویه (عکس کسینوس) || {{math|sec A {{=}} {{sfrac|وتر|ضلع مجاور}}}}
|-
| کسکانت || کسکانت یک زاویه برابر است با نسبت وتر به ضلع مقابل آن زاویه (عکس سینوس) || {{math|csc A {{=}} {{sfrac|وتر|ضلع مقابل}}}}
|}

=== مقدار توابع مثلثاتی برای زاویه‌های خاص ===
[[پرونده:Unit circle angles color.svg|300px|بندانگشتی|مقادیر سینوس و کسینوس برای زوایای خاص روی دایرهٔ واحد.]]
برای بعضی زاویه‌ها می‌توان به سادگی مقدار توابع مثلثاتی را به دست آورد.<ref>{{پک|سیلورمن|۱۳۸۶|ک=حساب دیفرانسیل و انتگرال با هندسه تحلیلی، جلد اول|ص=۹۱}}</ref><ref>{{پک|توماس|۲۰۰۹|ک=حسابان|ص=۵۰}}</ref>

در زاویهٔ صفر، سینوس برابر صفر و کسینوس برابر ۱ است؛ در زاویهٔ ۹۰ درجه اما، کسینوس برابر صفر و سینوس برابر ۱ می‌شود؛ بنابراین:
{{چپ‌چین}}
:<math>\sin 0^\circ=\cos 90^\circ=0</math>
:<math>\sin 90^\circ=\cos 0^\circ=1</math>
{{پایان چپ‌چین}}

مثلث قائم‌الزاویه‌ای که یک زاویهٔ °۴۵ داشته باشد، زاویهٔ تند دیگر آن نیز °۴۵ است و مثلث قائم‌الزاویهٔ متساوی‌الساقین نامیده می‌شود. در این مثلث، بر پایه [[قضیهٔ فیثاغورس]] اندازه وتر، <math>\sqrt{2}</math> برابر اندازهٔ هر یک از دو ساق است؛ بنابراین:
{{چپ‌چین}}
:<math>\sin 45^\circ=\cos 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}</math>
:<math>\tan 45^\circ=\cot 45^\circ=1</math>
{{پایان چپ‌چین}}

[[پرونده:30-60-90.svg|بندانگشتی|نشان دادن نحوهٔ محاسبهٔ سینوس زاویهٔ ۳۰ درجه با استفاده از [[مثلث متساوی‌الاضلاع]].]]
با استفاده از ویژگی‌های مثلث متساوی‌الاضلاع (شکل روبرو) می‌توان نشان داد که ضلع روبرو به زاویهٔ ۳۰ درجه، نصف وتر است؛ بنابراین:
{{چپ‌چین}}
:<math>\sin 30^\circ=\cos 60^\circ=\frac{1}{2}</math>
{{پایان چپ‌چین}}

به همین ترتیب، اندازهٔ ضلع دیگر نیز با استفاده از قضیهٔ فیثاغورس برابر <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> به دست می‌آید. در نتیجه:
{{چپ‌چین}}
:<math>\sin 60^\circ=\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
سایر توابع مثلثاتی این زاویه‌ها نیز با استفاده از رابطه‌های داده‌شده، محاسبه می‌شوند.

مقدار توابع مثلثاتی در زاویه‌های تند در جدول زیر خلاصه شده‌است:
{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto;"
|-
! تابع !! ۰° !! ۱۵° (π/۱۲) !! ۳۰° (π/۶) !! ۴۵° (π/۴) !! ۶۰° (π/۳) !! ۹۰° (π/۲)
|-
| سینوس || <math>0</math> || <math>\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}</math> || <math>\frac{1}{2}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || <math>1</math>
|-
| کسینوس || <math>1</math> || <math>\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\frac{1}{2}</math> || <math>0</math>
|-
| تانژانت || <math>0</math> || <math>2-\sqrt{3}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || <math>1</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>+\infty</math>
|-
| کتانژانت || <math>+\infty</math> || <math>2+\sqrt{3}</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>1</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math> || <math>0</math>
|-
| سکانت || <math>1</math> || <math>\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)</math> || <math>2</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{6}</math> || <math>+\infty</math>
|-
| کسکانت || <math>+\infty</math> || <math>\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)</math> || <math>2</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> || <math>1</math>
|}

=== یکای اندازه‌گیری ===
{|class = wikitable style="float:left"
! واحد !! colspan=8 | مقدار
|- valign="top"
|style = "background:#eaecf0" | '''[[درجه (زاویه)|درجه]]'''
|style = "width:3em; text-align:center" | ۰°
|style = "width:3em; text-align:center" | ۳۰°
|style = "width:3em; text-align:center" | ۴۵°
|style = "width:3em; text-align:center" | ۶۰°
|style = "width:3em; text-align:center" | ۹۰°
|style = "width:3em; text-align:center" | ۱۸۰°
|style = "width:3em; text-align:center" | ۲۷۰°
|style = "width:3em; text-align:center" | ۳۶۰°
|- valign="top"
|style = "background:#eaecf0" | '''[[رادیان]]'''
|style = "text-align:center" | ۰
|style = "text-align:center" | {{math|{{sfrac|π|۶}}}}
|style = "text-align:center" | {{math|{{sfrac|π|۴}}}}
|style = "text-align:center" | {{math|{{sfrac|π|۳}}}}
|style = "text-align:center" | {{math|{{sfrac|π|۲}}}}
|style = "text-align:center" | {{math|π}}
|style = "text-align:center" | {{math|{{sfrac|۳π|۲}}}}
|style = "text-align:center" | {{math|۲π}}
|- valign="top"
|style = "background:#eaecf0" | '''[[گراد (زاویه)|گراد]]'''
|style = "text-align:center" | ۰<sup>g</sup>
|style = "text-align:center" | {{math|{{sfrac|۱۰۰|۳}}}}<sup>g</sup>
|style = "text-align:center" | ۵۰<sup>g</sup>
|style = "text-align:center" | {{math|{{sfrac|۲۰۰|۳}}}}<sup>g</sup>
|style = "text-align:center" | ۱۰۰<sup>g</sup>
|style = "text-align:center" | ۲۰۰<sup>g</sup>
|style = "text-align:center" | ۳۰۰<sup>g</sup>
|style = "text-align:center" | ۴۰۰<sup>g</sup>
|- valign="top"
|style = "background:#eaecf0" | '''[[دور (هندسه)|دور]]'''
|style = "width:3em; text-align:center" | ۰
|style = "width:3em; text-align:center" | {{math|{{sfrac|۱|۱۲}}}}
|style = "width:3em; text-align:center" | {{math|{{sfrac|۱|۸}}}}
|style = "width:3em; text-align:center" | {{math|{{sfrac|۱|۶}}}}
|style = "width:3em; text-align:center" | {{math|{{sfrac|۱|۴}}}}
|style = "width:3em; text-align:center" | {{math|{{sfrac|۱|۲}}}}
|style = "width:3em; text-align:center" | {{math|{{sfrac|۳|۴}}}}
|style = "width:3em; text-align:center" | ۱
|}
چند یکای بی‌بعد برای اندازه‌گیری زاویه وجود دارد.
* '''[[درجه (زاویه)|درجه]]:''' [[یکا]]<nowiki/>یی است که از گذشتهٔ دور مورد استفاده قرار گرفته‌است. مقدار این یکا با تقسیم‌بندی یک دایره به ۳۶۰ قسمت مساوی به دست می‌آید. به بیان دیگر، یک درجه برابر با زاویهٔ روبرو به کمانی است که اندازهٔ آن، ۱/۳۶۰ محیط دایره باشد.
* '''[[رادیان]]:''' یکای مورد استفاده در محاسبات مربوط به مثلثات است. یک رادیان برابر با زاویهٔ روبرو به کمانی است که طول آن برابر با طول شعاع دایره متناظر باشد. طبق این تعریف، یک دایرهٔ کامل برابر ۲π رادیان (۶٫۲۸۳۲ رادیان) است.<ref>{{پک|توماس|۲۰۰۹|ک=حسابان|ص=۴۸}}</ref><ref>{{پک|سیلورمن|۱۳۸۶|ک=حساب دیفرانسیل و انتگرال با هندسه تحلیلی|ص=۸۹}}</ref>
* '''[[گراد (زاویه)|گراد]]:''' یک دایرهٔ کامل ۴۰۰ گراد است. به بیان دیگر، گراد یک‌صدم ربع دایره است. کاربرد عمدهٔ گراد در محاسبات نقشه‌برداری است.<ref dir=ltr>{{citation|title=Civil Engineering Reference Manual for the PE  Exam|first=Michael R.|last=Lindeburg|publisher=Professional Publications, Inc.|year=2012|isbn=978-1-59126-380-7|page=78-7}}</ref>
* '''[[دور (هندسه)|دور]]:''' یک دور معادل یک دایرهٔ کامل و برابر با ۳۶۰ درجه یا ۲π رادیان است.

در محاسبات ریاضی که شامل توابع مثلثاتی هستند (مانند معادلات دیفرانسیل و انتگرال)، از یکای رادیان استفاده می‌شود.<ref>{{پک|توماس|۲۰۰۹|ک=حسابان|ص=۵۰}}</ref><ref>{{پک|سیلورمن|۱۳۸۶|ک=حساب دیفرانسیل و انتگرال با هندسه تحلیلی|ص=۸۹}}</ref>

== تعریف بر پایهٔ دایرهٔ واحد ==
[[پرونده:Circle-trig6.svg|بندانگشتی|350px|نمایش توابع مثلثاتی زاویه θ روی دایرهٔ واحد مثلثاتی]]
[[پرونده:Trigonometric functions.svg|بندانگشتی|350px|توابع مثلثاتی در [[مختصات دکارتی]]: <span style="color:#00009F;">سینوس</font>، <span style="color:#009F00;">کسینوس</font>، <span style="color:#9F0000;">تانژانت</font>، <span style="color:#00009F;">کسکانت (خط‌چین)</font>، <span style="color:#009F00;">سکانت (خط‌چین)</font> و <span style="color:#9F0000;">کتانژانت (خط‌چین)</font>]]
{{اصلی|دایرهٔ واحد}}
شکل روبرو، یک دایرهٔ واحد را نشان می‌دهد که توابع مثلثاتی زاویهٔ θ روی آن رسم شده‌اند. هنگامی که شعاع OA با زاویهٔ θ نسبت به محور افقی روی دایره زده شود، می‌توان مقدار توابع مثلثاتی را به صورت اندازهٔ [[پاره‌خط]]<nowiki/>‌هایی مشخص به دست آورد. مقدار توابع سینوس و کسینوس با پاره‌خط‌هایی (به ترتیب به رنگ قرمز و آبی) روی دو محور اصلی مختصات رسم شده‌اند. به بیان دیگر، تصویر پاره‌خط OA روی محور افقی برابر با کسینوس θ و تصویر آن روی محور عمودی برابر با سینوس θ است. اندازهٔ پاره‌خطی (به رنگ قهوه‌ای کمرنگ) که [[مماس]] بر دایره از نقطه A تا محور افقی امتداد دارد، تانژانت θ است. امتداد همین پاره‌خط از نقطه A تا محور عمودی (به رنگ نارنجی) نیز کتانژانت θ را نشان می‌دهد. به همین ترتیب، می‌توان مقدار سکانت و کسکانت زاویهٔ θ را نیز محاسبه کرد.<ref>{{پک|کاکسفورد|۱۳۷۰|ک=اصول و کاربردهای مثلثات|ص=۲۸۵}}</ref>

در دایرهٔ واحد، امکان محاسبهٔ توابع مثلثاتی برای زاویه‌های بزرگتر از ۹۰ درجه نیز وجود دارد. مقدار توابع مثلثاتی برای هر زاویه‌ای، به شکلی مشابه بالا تعیین می‌شود. علامت یک تابع بر پایهٔ مقدار زاویه در دایرهٔ واحد بر پایه جدول زیر به دست می‌آید:<ref>{{پک|توماس|۲۰۰۹|ک=حسابان|ص=۵۰}}</ref><ref>{{پک|آبراموویچ|استگان|۱۹۷۲|ک=راهنمای توابع ریاضی با روابط، نمودارها و جدول‌های ریاضی|ص=۷۳}}</ref>
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! تابع !! ربع اول !! ربع دوم !! ربع سوم !! ربع چهارم
|-
| سینوس{{سخ}}کسکانت || + || + || – || –
|-
| کسینوس{{سخ}}سکانت || + || – || – || +
|-
| تانژانت{{سخ}}کتانژانت || + || – || + || –
|}

=== دوران ===
توابع مثلثاتی برای زاویه‌های بزرگتر از ۹۰ درجه را می‌توان با استفاده از روابط دوران پیرامون مرکز دایره به دست آورد. همچنین زاویه‌های کوچکتر از صفر با دوران پیرامون محور افقی قابل محاسبه هستند. جدول زیر، نشان‌دهنده این رابطه‌ها است:
{| class="wikitable"
|-
! دوران حول محور افقی<ref>{{پک|توماس|۲۰۰۹|ک=حسابان|ص=۵۳}}</ref> !! دوران با زاویهٔ π/۲<ref>{{پک|آبراموویچ|استگان|۱۹۷۲|ک=راهنمای توابع ریاضی با روابط، نمودارها و جدول‌های ریاضی|ص=۷۳}}</ref> !! دوران با زاویهٔ π<ref>{{پک|آبراموویچ|استگان|۱۹۷۲|ک=راهنمای توابع ریاضی با روابط، نمودارها و جدول‌های ریاضی|ص=۷۳}}</ref> !! دوران با زاویهٔ ۲π<ref>{{پک|توماس|۲۰۰۹|ک=حسابان|ص=۵۲}}</ref>
|-
| <math>\sin(-\theta)= -\sin \theta</math> || <math>\sin(\theta + \tfrac{\pi}{2})= +\cos \theta</math> || <math>\sin(\theta + \pi) = -\sin \theta</math> || <math>\sin(\theta + 2\pi) = +\sin \theta</math>
|-
| <math>\cos(-\theta)= +\cos \theta</math> || <math>\cos(\theta + \tfrac{\pi}{2})= -\sin \theta</math> || <math>\cos(\theta + \pi) = -\cos \theta</math> || <math>\cos(\theta + 2\pi) = +\cos \theta</math>
|-
| <math>\tan(-\theta)= -\tan \theta</math> || <math>\tan(\theta + \tfrac{\pi}{2})= -\cot \theta</math> || <math>\tan(\theta + \pi) = +\tan \theta</math> || <math>\tan(\theta + 2\pi) = +\tan \theta</math>
|-
| <math>\cot(-\theta)= -\cot \theta</math> || <math>\cot(\theta + \tfrac{\pi}{2})= -\tan \theta</math> || <math>\cot(\theta + \pi) = +\cot \theta</math> || <math>\cot(\theta + 2\pi) = +\cot \theta</math>
|-
| <math>\sec(-\theta)= +\sec \theta</math> || <math>\sec(\theta + \tfrac{\pi}{2})= -\csc \theta</math> || <math>\sec(\theta + \pi) = -\sec \theta</math> || <math>\sec(\theta + 2\pi) = +\sec \theta</math>
|-
| <math>\csc(-\theta)= -\csc \theta</math> || <math>\csc(\theta + \tfrac{\pi}{2})= +\sec \theta</math> || <math>\csc(\theta + \pi) = -\csc \theta</math> || <math>\csc(\theta + 2\pi) = +\csc \theta</math>
|}
[[پرونده:Sine and cosine animation.gif|300px|بندانگشتی|پویانمایی نشان‌دهندهٔ تولید توابع سینوس و کسینوس در مختصات دکارتی با استفاده از دایرهٔ واحد.]]

== تعریف بر پایهٔ انتگرال ==
تعریف تابع سینوس توسط مثلث قائم الزاویه از نظر ریاضی دقیق نیست، چرا که مفهوم زاویه (یا همان طول کمان در دایرهٔ واحد) به صورت دقیق بیان نشده‌است. تعریف دیگری را می‌توان براساس طول دقیق کمان یک دایره به دست آورد. با در نظر گرفتن معادلهٔ دایره <math>y = \sqrt{1-x^2}</math> و پیدا کردن طول قوس، می‌توان رابطهٔ بین یک زاویه <math>\theta</math> و <math>\sin \theta</math> را برحسب معادلهٔ ضمنی زیر نوشت:<ref name="گوورز" dir=ltr>{{یادکرد کتاب |نام خانوادگی=Gowers |نام=T. |نام خانوادگی۲=Barrow-Green |نام۲=J. |نام خانوادگی۳=Leader |نام۳=I. |عنوان=The Princeton Companion to Mathematics |ناشر=Princeton University Press |سال=2010 |صفحه=۳۰۷–۳۰۸ |شابک=978-1-4008-3039-8 |پیوند=http://books.google.com/books?id=ZOfUsvemJDMC&pg=PA307 |زبان=en |تاریخ بازبینی=2015-05-05| پیوند بایگانی = http://www.webcitation.org/6YZtQlWrP | تاریخ بایگانی = 16 May 2015}}</ref><ref dir=ltr>[http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Trigonometric_functions&oldid=14919 Trigonometric functions]. V.I. Bityutskov (originator), Encyclopedia of Mathematics.</ref>
{{چپ‌چین}}
<math>
\int_0^{\sin \theta} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \theta
</math>
{{پایان چپ‌چین}}
که در آن θ زاویه‌ای در محدودهٔ <math>0\leq \theta \leq \pi/2</math> است.

== تعریف بر پایهٔ سری توانی ==
با استفاده از [[سری مکلورن]] هر تابع پیوسته‌ای را می‌توان به صورت یک [[سری توانی]] حول نقطه صفر (به شکل رابطه زیر) نوشت:<ref>{{پک|توماس|۲۰۰۹|ک=حسابان|ص=۸۰۶}}</ref>
{{چپ‌چین}}
:<math>f(x)=f(0)+\frac {f'(0)}{1!} x+ \frac{f''(0)}{2!} x^2+\frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3+ \cdots </math>
{{پایان چپ‌چین}}
ضریب‌های رابطهٔ بالا با معلوم بودن مقدار تابع و مشتق‌های آن در نقطه صفر، قابل محاسبه هستند؛ بنابراین می‌توان مقدار تقریبی یک تابع را به صورت مجموع یک سری نامتناهی به دست آورد. در محاسبات ریاضی، از جمله‌های مرتبه بالا (که مرتبه بر اساس دقت محاسبه تعیین می‌شود) چشم‌پوشی می‌کنند.

=== سری توانی توابع مثلثاتی ===
سری توانی توابع مثلثاتی برای محاسبهٔ مقدار تقریبی آن‌ها مورد استفاده قرار می‌گیرد. در ادامه، سری‌های توانی توابع مثلثاتی آورده می‌شوند.<ref>{{پک|آبراموویچ|استگان|۱۹۷۲|ک=راهنمای توابع ریاضی با روابط، نمودارها و جدول‌های ریاضی|ص=۷۴–۷۵}}</ref>
[[پرونده:Sinvsseries.jpg|بندانگشتی|300px|سری تیلور تابع سینوس (قرمز، تا درجه ۷) تقریب خوبی برای تابع سینوس (آبی) در یک تناوب کامل (متقارن نسبت به مبدأ) است.]]
;سری توانی سینوس و کسینوس
شکل روبرو، [[نمودار تابع]] سینوس و بسط مکلورن متناظر با آن را نشان می‌دهد. مقدار تابع سینوس در نقطه صفر برابر صفر است؛ بنابراین جمله‌های زوج سری توانی سینوس (که شامل خود تابع و مشتقات مرتبه زوج آن می‌شوند) صفر هستند. در نتیجه، سری توانی سینوس تنها دارای جمله‌های با توان فرد خواهد بود.
{{چپ‌چین}}
:<math>\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math>
{{پایان چپ‌چین}}

به‌طور مشابه، جمله‌های فرد سری توانی کسینوس صفر هستند و این سری تنها دارای جمله‌های با توان زوج است.
{{چپ‌چین}}
:<math>\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
تعریف براساس سری توانی این مزیت را دارد که قابل استفاده در [[اعداد مختلط]] است و امکان مطالعهٔ [[تابع هولومورفیک|خواص تحلیلی بودن]] این توابع را فراهم می‌سازد.<ref name="گوورز"/>

;سری توانی سایر توابع مثلثاتی
توابع دیگر مثلثاتی، دارای [[نقطه تکین|نقطهٔ تکین]] در دامنه خود هستند؛ بنابراین نمی‌توان سری توانی مکلورن آن‌ها را برای هر مقداری تعریف نمود. برای توابع تانژانت و سکانت که در π/۲ (یا °۹۰) تعریف نمی‌شوند، دامنه تعریف سری توانی بین π/۲- تا π/۲ است. همچنین برای توابع کتانژانت و کسکانت که در صفر درجه تعریف نمی‌شوند، دامنه تعریف سری توانی بین صفر تا π می‌باشد.
{{چپ‌چین}}
: <math>\tan x =\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}=x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \frac{17}{315}x^7 + \cdots, \qquad \text{for } |x| <\frac{\pi}{2}</math>

: <math>\cot x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}= x^{-1} - \frac{1}{3}x - \frac{1}{45}x^3 - \frac{2}{945}x^5 - \cdots, \qquad \text{for } 0 <|x| <\pi</math>

: <math>\sec x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_{2n} x^{2n}}{(2n)!} = 1 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{24}x^4 + \frac{61}{720}x^6 + \cdots, \qquad \text{for } |x| <\frac{\pi}{2}</math>

: <math>\csc x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1} 2 (2^{2n-1}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} = x^{-1} + \frac{1}{6}x + \frac{7}{360}x^3 + \frac{31}{15120}x^5 + \cdots, \qquad \text{for } 0 <|x| <\pi</math>
{{پایان چپ‌چین}}

=== استفاده از سری‌های توانی ===
تعداد جملات سری‌های توانی که برای تقریب توابع به کار می‌روند، نامتناهی است؛ ولی در محاسبات ریاضی از تعداد محدودی از این جملات (بسته به دقت مورد نیاز) استفاده می‌شود. سایر جملات که محاسبه نمی‌شوند، جملهٔ باقی‌مانده یا جملهٔ خطا نامیده می‌شوند. جملهٔ خطای مرتبهٔ ''n'' برای یک سری به صورت زیر تعریف می‌شود:<ref>{{پک|توماس|۲۰۰۹|ک=حسابان|ص=۸۱۲}}</ref>
:<math>R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1},a<c<x</math>
با افزایش مقدار ''x''، تعداد بیشتری از جملات برای رسیدن به یک دقت مشخص، مورد نیاز خواهند بود و در نتیجه، سرعت همگرایی کاهش می‌یابد. افزون بر این، توابع تانژانت، کتانژانت، سکانت و کسکانت دارای نقاط ناپیوستگی هستند و سری‌های توانی این توابع تنها برای یک بازهٔ پیوسته تعریف شده‌اند.

برای جلوگیری از کند شدن همگرایی و رفع ناپیوستگی توابع، بایستی پیش از بهره گرفتن از سری‌ها زاویه را تا حد امکان کوچک کنیم. با به کار گرفتن اتحادهای مثلثاتی تبدیل زاویه، می‌توان زاویه را تا بازهٔ (۰،{{math|{{sfrac|π|۲}}}}) و با استفاده از اتحادهای زاویه متمم تا (۰،{{math|{{sfrac|π|۴}}}}) کاهش داد. به این ترتیب، سرعت همگرایی سری و کارایی محاسبه، افزایش می‌یابد.<ref dir=ltr name ="گر">{{cite web | author= Robin Green | url= http://www.ue.eti.pg.gda.pl/~wrona/lab_dsp/cw04/fun_aprox.pdf | title= Faster Math Functions | pages= 6-7 | access-date= April 10, 2015 | archiveurl= https://www.webcitation.org/6YZtU126H?url=http://www.ue.eti.pg.gda.pl/~wrona/lab_dsp/cw04/fun_aprox.pdf | archivedate= 16 مه 2015}}</ref>

== تعریف توسط معادله دیفرانسیل ==
یک [[معادله دیفرانسیل|معادلهٔ دیفرانسیل]] مرتبهٔ دوم با ضرایب ثابت، به صورت زیر نوشته می‌شود:
{{چپ‌چین}}
:<math>ay''+by'+cy=0</math>
{{پایان چپ‌چین}}
پاسخ این معادله، تابع نمایی به صورت <math>y=A_1e^{m_1x}+A_2e^{m_2x}</math> است که در آن، ''<math>m_1</math>'' و ''<math>m_2</math>'' ریشه‌های معادلهٔ مشخصهٔ معادله (یعنی <math>am^2+bm+c=0</math>) هستند. همچنین ''<math>A_1</math>'' و ''<math>A_2</math>'' ثابت‌های انتگرال‌گیری است که بر پایهٔ شرایط اولیه به دست می‌آیند.

اگر معادلهٔ مشخصه دارای ریشه‌های مختلط باشد، پاسخ عمومی آن شامل تابع نمایی با توان مختلط است:
{{چپ‌چین}}
:<math>y=A_1.e^{(\alpha+i \beta)x}+A_2.e^{(\alpha-i \beta)x}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
که در آن، ''<math>\alpha</math>'' جزء حقیقی و ''<math>\beta</math>'' جزء موهومی ریشهٔ معادلهٔ مشخصه هستند. بر پایهٔ فرمول اویلر، تابع نمایی مختلط به توابع سینوس و کسینوس تبدیل می‌شود؛ بنابراین در صورت داشتن ریشه‌های مختلط، پاسخ معادلهٔ دیفرانسیل شامل توابع مثلثاتی خواهد بود:<ref>{{پک|بویس|دیپریما|۱۳۸۴|ک=معادلات دیفرانسیل مقدماتی و مسائل مقدار مرزی|ص=۱۸۷–۱۸۸}}</ref>
{{چپ‌چین}}
:<math>y=A_1.e^ {\alpha x} \cos \beta x+A_2.e^ {\alpha x} \sin \beta x</math>
{{پایان چپ‌چین}}
برای نمونه، هر دو تابع سینوس و کسینوس در [[معادله دیفرانسیل]] <math>y''+y=0</math> (با معادله مشخصه <math>m^2+1=0</math> که ریشه‌های آن ''i±'' هستند) صدق می‌کنند.<ref>{{پک|سیلورمن|۱۳۸۶|ک=حساب دیفرانسیل و انتگرال با هندسه تحلیلی|ص=۲۲۷}}</ref> یعنی هر دو، قرینهٔ [[مشتق دوم]] خود هستند. به بیان دیگر، این معادلهٔ دیفرانسیل، خانوادهٔ منحنی توابع سینوس و کسینوس را تعریف می‌کند.<ref>{{پک|کرایه‌چیان|۱۳۸۶|ک=معادلات دیفرانسیل و کاربرد آن‌ها|ص=۱۹–۲۰}}</ref>

در فضای دوبعدی ''V''، نوع تابع بر پایه شرایط اولیه به صورت زیر تعیین می‌شود:
* اگر <math> \left( y'(0), y(0) \right) = (1, 0)</math>؛ سینوس، پاسخ یکتای معادله است؛
* اگر <math> \left( y'(0), y(0) \right) = (0, 1)</math>؛ کسینوس، پاسخ یکتای معادله است.
از آن‌جایی که سینوس و کسینوس، دو تابع مستقل خطی هستند، با یکدیگر تابع پایهٔ ''V'' را تشکیل می‌دهند. این روش تعریف توابع سینوس و کسینوس، معادل با استفاده از [[فرمول اویلر]] است.

همچنین تابع تانژانت، پاسخ یکتای معادلهٔ دیفرانسیل غیرخطی <math>y' = 1 + y^2</math> با شرط اولیه <math>y(0)=0</math> است.

== ویژگی‌های توابع مثلثاتی ==
;زوج و فرد بودن
{{اصلی|توابع زوج و فرد}}
بر پایهٔ تعریف توابع مثلثاتی و دایرهٔ واحد، می‌توان زوج یا فرد بودن هر تابع مثلثاتی را تعیین نمود. به‌طور خلاصه:<ref>{{پک|توماس|۲۰۰۹|ک=حسابان|ص=۵۳}}</ref>
* کسینوس و سکانت، تابع زوج هستند. (برای نمونه، <math>\cos(-x)=\cos(x)</math>)
* سینوس، تانژانت، کتانژانت و کسکانت، تابع فرد هستند. (برای نمونه، <math>\sin(-x)=-\sin(x)</math>)

;تناوب
{{اصلی|تابع متناوب}}
از تعریف دایرهٔ مثلثاتی و همچنین در جدول بالا مشاهده می‌شود که توابع مثلثاتی با یک تناوب مشخص، تکرار می‌شوند. این تناوب برای توابع تانژانت و کتانژانت، °۱۸۰ و برای سایر توابع مثلثاتی، °۳۶۰ است.<ref>{{پک|توماس|۲۰۰۹|ک=حسابان|ص=۵۳}}</ref><ref>{{پک|آدامز|۱۳۸۸|ک=حساب دیفرانسیل و انتگرال، جلد اول|ص=۱۳۸}}</ref> برای نمونه، تناوب توابع سینوس و تانژانت به صورت رابطهٔ زیر است:
{{چپ‌چین}}
:<math>\sin(2\pi+x)=\sin(x)</math>
:<math>\tan(\pi+x)=\tan(x)</math>
{{پایان چپ‌چین}}
در [[تبدیل فوریه]]<ref>{{پک|توماس|۲۰۰۹|ک=حسابان|ص=۸۳۳–۸۳۵}}</ref> و [[معادله موج|معادلات موج]]<ref>{{پک|توماس|۲۰۰۹|ک=حسابان|ص=۹۹۶}}</ref> از این خاصیت تناوبی توابع مثلثاتی در حل [[معادلات دیفرانسیل]] استفاده می‌کنند.

;پیوستگی
توابع سینوس و کسینوس همواره [[تابع پیوسته|پیوسته]] و مشتق‌پذیر هستند. این مطلب، با تعریف بر پایهٔ مثلث قائم‌الزاویه و تعریف بر پایهٔ دایره واحد، به روشنی قابل ملاحظه است.
سایر تابع‌ها که در مخرجشان یکی از دو تابع سینوس یا کسینوس قرار دارد، همواره پیوسته نیستند؛ زیرا مقدار توابع سینوس و کسینوس در برخی نقاط برابر صفر است. نقاط ناپیوستگی توابع مثلثاتی به صورت زیر هستند (<math>k</math> یک [[عدد صحیح]] دلخواه است):<ref>{{پک|توماس|۲۰۰۹|ک=حسابان|ص=۵۰}}</ref>
* کتانژانت و کسکانت: <math>k\pi</math>
* تانژانت و سکانت: <math>k\pi+\frac{\pi}{2}</math>

;تعامد
توابع سینوس و کسینوس برهم عمود هستند و در [[معادله اشتورم-لیوویل]] صدق می‌کنند.
{{چپ‌چین}}
<math>
\int_{0}^{2\pi} \cos n\theta \sin m\theta\,d\theta = 0.
</math>
{{پایان چپ‌چین}}
همچنین داریم:
{{چپ‌چین}}
<math>
\frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} \cos n\theta \cos m\theta\, d \theta = \left\{
  \begin{array}{l l}
    0 & \quad n\neq m\\
    1 & \quad n=m
  \end{array} \right.
</math>

<math>
\int_{0}^{2\pi} \sin m\theta \sin n\theta\, d\theta = 0 \quad (n\neq m).
</math>
{{پایان چپ‌چین}}
از این خواص در محاسبهٔ ضرایب [[سری فوریه]] استفاده می‌شود.<ref name="گوورز" dir=ltr/><ref dir=ltr>{{پک | Olver | 2010 | ک=NIST Handbook of Mathematical Functions |ص=۱۲۲| زبان=en}}</ref>

;مشتق و انتگرال توابع مثلثاتی
{{اصلی|مشتق توابع مثلثاتی|فهرست انتگرال توابع مثلثاتی}}
مشتق دو تابع مثلثاتی اصلی (سینوس و کسینوس) با استفاده از تعریف مشتق، به دست می‌آید. برای مشتق‌گیری سایر توابع مثلثاتی می‌توان از [[قواعد مشتق‌گیری|قاعدهٔ مشتق‌گیری]] تابع کسری بهره برد. مشتق اول و دوم توابع مثلثاتی به همراه تابع اولیه (انتگرال) آن‌ها به صورت زیر است:
{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto; text-align: center"
|-
! تابع !! مشتق اول<ref>{{پک|سیلورمن|۱۳۸۶|ک=حساب دیفرانسیل و انتگرال با هندسه تحلیلی، جلد اول}} تابع سینوس و کسینوس: ص. ۱۷۹؛ سایر تابع‌ها: صص. ۲۱۰–۲۱۱</ref> !! مشتق دوم !! مشتق n-ام<ref>{{پک|آبراموویچ|استگان|ک=راهنمای توابع ریاضی با روابط، نمودارها و جدول‌های ریاضی|ص=۷۷}}</ref> !! انتگرال<ref>{{پک|توماس|۲۰۰۹|ک=حسابان|ص=۵۵۴}}</ref>
|-
| <math>\sin(x)</math> || <math>\cos(x)</math> || <math>-\sin(x)</math> || <math>(-1)^n.\sin (x+ \frac{n \pi}{2})</math> || <math>-\cos(x)</math>
|-
| <math>\cos(x)</math> || <math>-\sin(x)</math> || <math>-\cos(x)</math> || <math>(-1)^n.\cos (x+ \frac{n \pi}{2})</math> || <math>\sin(x)</math>
|-
| <math>\tan(x)</math> || <math>\sec^2(x)</math> || <math>2\sec^2(x).\tan(x)</math> || پیچیده<ref name="NASA" dir=ltr>{{یادکرد ژورنال|نویسنده = EG Wintucky|پیوند = http://ntrs.nasa.gov/archive/nasa/casi.ntrs.nasa.gov/19710020296.pdf |عنوان = FORMULAS FOR nth ORDER DERIVATIVES OF HYPERBOLIC. AND TRIGONOMETRIC FUNCTIONS | ناشر = [[ناسا|NASA]] |تاریخ = Jul 19, 1971 |تاریخ بازدید = May 18, 2015}}</ref> || <math>-\ln |\cos(x)|</math>
|-
| <math>\cot(x)</math> || <math>-\csc^2(x)</math> || <math>2\csc^2(x).\cot(x)</math> || پیچیده<ref name="NASA"/> || <math>\ln |\sin(x)|</math>
|-
| <math>\sec(x)</math> || <math>\sec(x).\tan(x)</math> || <math>\sec(x)(\sec^2(x)+\tan^2(x))</math> || پیچیده<ref name="NASA"/> || <math>\ln |\sec(x)+\tan(x)|</math>
|-
| <math>\csc(x)</math> || <math>-\csc(x).\cot(x)</math> || <math>\csc(x)(\csc^2(x)+\cot^2(x))</math> || پیچیده<ref name="NASA"/> || <math>-\ln |\csc(x)+\cot(x)|</math>
|}

;تبدیل‌های لاپلاس و فوریه
[[تبدیل لاپلاس]] یکی از روش‌های حل معادلات دیفرانسیل است. تبدیل لاپلاس توابع سینوس و کسینوس به صورت زیر است:<ref>{{پک|بویس|دیپریما|۱۳۸۴|ک=معادلات دیفرانسیل مقدماتی و مسائل مقدار مرزی|ص=۳۷۶}}</ref>
* تبدیل سینوس:
{{چپ‌چین}}
:<math>\mathcal{L}\{\sin (at)\} = \frac{a}{s^2+a^2} </math>
{{پایان چپ‌چین}}
* تبدیل کسینوس:
{{چپ‌چین}}
:<math>\mathcal{L}\{\cos (at)\} = \frac{s}{s^2+a^2} </math>
{{پایان چپ‌چین}}

[[تبدیل فوریه]]ٔ تابع‌های سینوس و کسینوس نیز به صورت زیر است:<ref dir=ltr>{{یادکرد کتاب |نام خانوادگی=Kammler |نام=D.W. |عنوان=A First Course in Fourier Analysis |ناشر=Cambridge University Press |سال=2008 |شابک=978-1-139-46903-6 |پیوند=http://books.google.com/books?id=znP-ADtE8ZQC |زبان=en |تاریخ بازبینی=2015-05-12 |پیوند بایگانی=https://web.archive.org/web/20181017194847/https://books.google.com/books?id=znP-ADtE8ZQC |تاریخ بایگانی=۱۷ اکتبر ۲۰۱۸ |url-status=dead }}</ref>
* تبدیل سینوس:
{{چپ‌چین}}
:<math>\mathcal{F}\{\sin (at)\} = \frac{\displaystyle\delta\left(\omega-\frac{a}{2\pi}\right)-\delta\left(\omega+\frac{a}{2\pi}\right)}{2i} </math>
{{پایان چپ‌چین}}
* تبدیل کسینوس:
{{چپ‌چین}}
:<math>\mathcal{F}\{\cos (at)\} = \frac{\delta\left(\omega - \frac{a}{2\pi}\right)+\delta\left(\omega+\frac{a}{2\pi}\right)}{2} </math>
{{پایان چپ‌چین}}
که در این روابط <math>\delta(\cdot)</math> نشان‌دهندهٔ [[تابع دلتای دیراک]] است.

;تابع ویژه
توابع سینوس و کسینوس یک [[تابع ویژه]] برای [[لاپلاسین]] هستند. به عنوان مثال، اگر <math>\nabla^2</math> بیانگر عملگر لاپلاس یک بعدی باشد، توابع سینوس و کسینوس در معادلهٔ <math>\nabla^2f = \lambda f</math> صدق می‌کنند که با توجه به [[#تعریف توسط معادله دیفرانسیل|تعریف توسط معادله دیفرانسیل]] توابع مثلثاتی قابل بررسی است.<ref dir=ltr>{{یادکرد کتاب |نام خانوادگی=Pivato |نام=M. |عنوان=Linear Partial Differential Equations and Fourier Theory |ناشر=Cambridge University Press |سال=2010 |شابک=978-0-521-19970-4 |پیوند=http://books.google.com/books?id=wDeiXGw-k3sC&pg=PA243 |زبان=en |تاریخ بازبینی=2015-05-10 |صفحه=243| پیوند بایگانی = http://www.webcitation.org/6YZtRB4sr | تاریخ بایگانی = 16 May 2015}}</ref>

== روش‌های محاسبه ==
{{اصلی|مقدارهای دقیق مثلثاتی}}
محاسبهٔ مقدار توابع مثلثاتی به صورت دستی، پیچیده‌است؛ ولی امروزه به دلیل در دسترس بودن رایانه‌ها و ماشین حساب‌های مهندسی، که مقدار مورد نیاز را برای هر زاویه‌ای به سادگی به دست می‌آورند، پیچیدگی آن از بین رفته‌است. سه روش متداول برای محاسبهٔ مقدار توابع مثلثاتی مورد استفاده است که عبارتند از بهره‌گیری از مقدارهای دقیق، روش سنتی جدول‌های مثلثاتی و روش نوین بهره‌گیری از رایانه.

برای بعضی از زاویه‌ها می‌توان مقدار دقیق توابع مثلثاتی را به دست آورد. برای نمونه، برای همه زاویه‌های ضریب °۳ مقدار توابع سینوس، کسینوس و تانژانت به صورت دقیق وجود دارد. نسبت‌های مثلثاتی زاویه °۳ با اعمال رابطه تفاضل دو زاویه برای زاویه‌های °۱۸ و °۱۵ محاسبه می‌شوند (۳=۱۵–۱۸). نسبت‌های مثلثاتی °۱۸ درجه با بهره‌گیری از پنج‌ضلعی منتظم به دست می‌آیند. برای محاسبه نسبت‌های مثلثاتی °۱۵ نیز می‌توان از اعمال رابطه نصف زاویه برای زاویه °۳۰ استفاده کرد. پس از محاسبه نسبت‌های مثلثاتی زاویه °۳، می‌توان مقادیر مربوط به زاویه‌هایی که ضریب آن هستند را با استفاده از روابط جمع دو زاویه و زاویه دو برابر، به دست آورد.

برای محاسبهٔ مقدار تابع برای هر زاویه‌ای، نخست باید زاویه را به یک بازه مشخص (مثلاً صفر تا π/۲) کاهش داد. این کار با استفاده از خاصیت تناوب و تقارن توابع مثلثاتی انجام می‌شود.<ref name="گر"/>

پیش از رایانه‌ها، مردم عموماً مقدار توابع مثلثاتی را با [[درون‌یابی]] از داده‌های موجود در [[جدول‌های مثلثات|جدول‌های مثلثاتی]] به دست می‌آوردند. این جدول‌ها پیشینه‌ای به دیرینگی تاریخ مثلثات دارند. معمولاً مقدارهای موجود در جدول‌ها با استفادهٔ پیاپی از اتحادهای نصف زاویه و مجموع دو زاویه، با آغاز از یک مقدار معلوم (مانند sin(π/۲) = ۱) به دست می‌آمدند. برای نمونه، می‌توان جداول مثلثاتی سینوس و کسینوس خوارزمی را نام برد.<ref>{{پک|استرویک|۱۳۶۶|ک=تاریخ فشرده ریاضیات|ص=۹۲}}</ref>

[[رایانه]]‌های نوین، شیوه‌های گوناگونی را به کار می‌گیرند.<ref dir=ltr>{{cite journal | title=On hardware for computing exponential and trigonometric functions | author=Kantabutra, Vitit | journal=IEEE Trans. Computers |  issue=3 | year=1996 | volume=45 | pages=328–339}}</ref> یک روش متداول، به ویژه روی پردازنده‌های سطح بالا، ترکیب یک تقریب چندجمله‌ای یا کسری (مانند [[تقریب چبیشف]]، [[تقریب پد]] و معمولاً برای دقت‌های بالاتر، سری تیلور و مکلورن) با کاهش بازه و نگاه به جدول است. (با استفاده از جدول، نزدیک‌ترین زاویه انتخاب می‌شود، سپس تصحیح با بهره‌گیری از چندجمله‌ای انجام می‌شود) دستگاه‌های دارای دقت پایین‌تر، معمولاً از الگوریتم CORDIC سود می‌برند که تنها از جمع، تفریق، [[عملیات بیتی|شیفت بیتی]] و نگاه به جدول استفاده می‌کند.

برای محاسبات بسیار دقیق، که سری‌ها به کندی همگرا می‌شوند، می‌توان از میانگین حسابی-هندسی برای تقریب استفاده کرد که تابع مثلثاتی را با انتگرال بیضوی تقریب می‌زند.<ref dir=ltr>{{cite journal | title=Fast Multiple-Precision  Evaluation of Elementary Functions | author=Brent, Richard P. | url=http://doi.acm.org/10.1145/321941.321944 | journal=J. ACM | issue=2 | date=April 1976 | volume=23 | pages=242-251 | archiveurl=https://www.webcitation.org/6YZtURpdD?url=http://doi.acm.org/10.1145/321941.321944 | archivedate=16 مه 2015 | access-date=2 آوریل 2015}}</ref>

== اتحادهای مثلثاتی ==
{{اصلی|فهرست اتحادهای مثلثاتی}}
بعضی از رابطه‌های مثلثاتی برای هر زاویهٔ دلخواهی برقرار هستند. این رابطه‌ها را اتحاد مثلثاتی می‌نامند. نمونه‌هایی از این اتحادها در زیر آورده می‌شوند.

;قضیهٔ فیثاغورس
ساده‌ترین شکل قضیهٔ فیثاغورس در مثلثات به صورت زیر است:<ref>{{پک|سیلورمن|۱۳۸۶|ک=حساب دیفرانسیل و انتگرال با هندسه تحلیلی، جلد اول|ص=۸۸}}</ref>
{{چپ‌چین}}
: <math> \cos^{2} a + \sin^{2} a = 1 </math>
{{پایان چپ‌چین}}

;جمع و تفاضل دو زاویه
کسینوس حاصل جمع:<ref>{{پک|کاکسفورد|۱۳۷۰|ک=اصول و کاربردهای مثلثات|ص=۱۵۲–۱۵۴}}</ref>
{{چپ‌چین}}
: <math>\cos (a \pm b) = \cos a. \cos b \mp \sin a. \sin b \,</math>{{پایان چپ‌چین}}

سینوس حاصل جمع:<ref>{{پک|کاکسفورد|۱۳۷۰|ک=اصول و کاربردهای مثلثات|ص=۱۵۸–۱۵۹}}</ref>
{{چپ‌چین}}
: <math>\sin (a \pm b) = \sin a. \cos b \pm \cos a. \sin b \,</math>{{پایان چپ‌چین}}

;زاویهٔ دو برابر
رابطه‌های زیر برای محاسبهٔ سینوس و کسینوس زاویه‌ای دو برابر زاویهٔ معلوم به کار می‌روند:<ref>{{پک|کاکسفورد|۱۳۷۰|ک=اصول و کاربردهای مثلثات|ص=۱۶۷–۱۶۸}}</ref>
{{چپ‌چین}}
: <math>\cos 2a = 1 - 2 \sin^2 a </math>
: <math>\sin 2a = 2\sin a. \cos a </math>
{{پایان چپ‌چین}}

;قضیهٔ فشردگی سینوس
یک نابرابری مهم مثلثاتی، در محاسبهٔ حدهای مبهم و مشتق توابع مثلثاتی کاربرد دارد. این نابرابری که در بازهٔ {{math|{{sfrac|-π|۲}}<θ<{{sfrac|π|۲}}}} معتبر است، به صورت زیر است:<ref>{{پک|سیلورمن|۱۳۸۶|ک=حساب دیفرانسیل و انتگرال با هندسه تحلیلی، جلد اول|ص=۱۰۵–۱۰۶}}</ref>
{{چپ‌چین}}
: <math> \cos \theta < \frac{\sin \theta}{\theta}< 1 </math>
{{پایان چپ‌چین}}
با کمک این نابرابری و استفاده از [[قضیهٔ فشردگی]]، حد مبهم <math>\lim_{\theta \to 0}{\frac{\sin \theta}{\theta}}</math> محاسبه می‌شود.<ref>{{پک|سیلورمن|۱۳۸۶|ک=حساب دیفرانسیل و انتگرال با هندسه تحلیلی، جلد اول|ص=۱۳۸}}</ref> این حد در محاسبهٔ مشتق توابع مثلثاتی مورد استفاده قرار می‌گیرد.<ref>{{پک|سیلورمن|۱۳۸۶|ک=حساب دیفرانسیل و انتگرال با هندسه تحلیلی، جلد اول|ص=۱۷۹–۱۸۰}}</ref>

نابرابری‌هایی مشابه به شرح زیرند:<ref dir=ltr>{{پک | Olver | 2010 | ک=NIST Handbook of Mathematical Functions |ص=۱۱۶| زبان=en}}</ref>

{{چپ‌چین}}
<math>
\frac{2}{\pi}x \leq \sin x \leq x \qquad 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}.
</math>

<math>
x \leq \tan x \qquad 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}.
</math>

<math>
x <\frac{\sin(\pi x)}{x(1-x)}\leq 4 \qquad 0 \leq x \leq 1.
</math>
{{پایان چپ‌چین}}

;قانون سینوس‌ها
با استفاده از [[قانون سینوس‌ها]] در هر مثلث دلخواه، می‌توان با معلوم بودن اندازه یک ضلع و دو زاویهٔ مجاور آن، اندازهٔ دو ضلع دیگر را محاسبه نمود. همچنین می‌توان مساحت مثلث (Δ) و شعاع [[دایره محیطی|دایرهٔ محیطی]] آن (R) را به دست آورد:<ref>{{پک|کاکسفورد|۱۳۷۰|ک=اصول و کاربردهای مثلثات|ص=۱۸۹–۱۹۰}}</ref>
{{چپ‌چین}}
:<math>\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R = \frac{abc}{2\Delta}</math>
{{پایان چپ‌چین}}

بر اساس اتحاد بالا، مساحت مثلث با معلوم بودن اندازهٔ دو ضلع و زاویهٔ میان آن‌ها از رابطهٔ زیر، قابل محاسبه است:
{{چپ‌چین}}
:<math>\Delta = \frac{1}{2}a b\sin C</math>
{{پایان چپ‌چین}}

;قانون کسینوس‌ها
با استفاده از [[قانون کسینوس‌ها]] در هر مثلث دلخواه، با معلوم بودن اندازهٔ دو ضلع و زاویهٔ میان آن‌ها، اندازهٔ ضلع سوم به صورت زیر تعیین می‌شود:<ref>{{پک|کاکسفورد|۱۳۷۰|ک=اصول و کاربردهای مثلثات|ص=۱۹۴–۱۹۵}}</ref>
{{چپ‌چین}}
:<math>c^2=a^2+b^2-2ab\cos C</math>
{{پایان چپ‌چین}}
همچنین با این قانون می‌توان با داشتن اندازهٔ سه ضلع مثلث، اندازهٔ زاویه‌های آن را به دست آورد.

;رابطه توابع مثلثاتی با [[توابع خاص]]
بعضی از توابع خاص را می‌توان به صورت ترکیبی از توابع از جمله توابع مثلثاتی نوشت.
* ''تابع بسل مرتبهٔ ۱/۲'': [[تابع بسل]]، پاسخ معادلهٔ دیفرانسیل مرتبهٔ دوم زیر است:
{{چپ‌چین}}
:<math>x^2 y''+xy'+(x^2-a^2)y=0</math>
{{پایان چپ‌چین}}
که ''a'' مرتبهٔ آن را نشان می‌دهد. حل این معادله، به صورت سری توانی است. می‌توان یکی از حالت‌های خاص تابع بسل ({{math|a{{=}}{{sfrac|۱|۲}}}}) را برحسب توابع مثلثاتی به صورت زیر نوشت:<ref>{{پک|کرایه‌چیان|۱۳۸۶|ک=معادلات دیفرانسیل و کاربرد آن‌ها|ص=۲۳۴–۲۳۵}}</ref>
{{چپ‌چین}}
:<math>J_{1/2} = \sqrt \frac{2}{\pi x} \sin x </math>
:<math>J_{-1/2} = \sqrt \frac{2}{\pi x} \cos x </math>
{{پایان چپ‌چین}}
* ''چندجمله‌ای چبیشف'': [[چندجمله‌ای چبیشف]]، پاسخ معادلهٔ دیفرانسیل مرتبهٔ دوم زیر است:
{{چپ‌چین}}
:<math> (1-x^2)y'' - xy' + n^2 y = 0 </math>
{{پایان چپ‌چین}}
که ''n'' مرتبهٔ آن را نشان می‌دهد. می‌توان چندجمله‌ای چبیشف مرتبهٔ ''n'' را برحسب توابع مثلثاتی به صورت زیر نوشت:<ref>{{پک|نووسلو|۱۳۶۵|ک=مثلثات مستقیم‌الخط و کروی|ص=۳۲۲–۳۲۳}}</ref>
{{چپ‌چین}}
:<math>T_n = \cos (n \arccos x) </math>
{{پایان چپ‌چین}}

== تابع معکوس ==
{{اصلی|توابع معکوس مثلثاتی}}
[[توابع معکوس مثلثاتی]] به عنوان قرینهٔ توابع مثلثاتی نسبت به خط ''y=x'' تعریف می‌شوند. این تابع‌ها را با افزودن آرک به ابتدای نام تابع اصلی، معرفی می‌کنند. این تابع‌ها یک عدد حقیقی را می‌گیرند و یک زاویه را برمی‌گردانند.

توابع مثلثاتی در همهٔ دامنهٔ خود، [[تابع یک‌به‌یک|یک‌به‌یک]] و معکوس‌پذیر نیستند. برای آن که بتوان [[تابع وارون|تابع معکوس]] برای این توابع تعریف نمود، باید تابع به دامنه‌ای که در آن معکوس‌پذیر است، محدود شود. این دامنه، برای توابع مختلف به صورت جدول زیر است. افزون بر این، مشتق توابع معکوس مثلثاتی که با روش [[مشتق ضمنی|مشتق‌گیری ضمنی]] به دست می‌آید، در جدول آورده شده‌است.<ref>{{پک|سیلورمن|۱۳۸۶|ک=حساب دیفرانسیل و انتگرال با هندسه تحلیلی، جلد اول|ص=۴۶۵–۴۷۴}}</ref>
{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto;"
|-
! تابع اصلی !! دامنهٔ تابع اصلی !! تابع معکوس !! دامنهٔ تابع معکوس !! مشتق تابع معکوس<ref>{{پک|کاکسفورد|۱۳۷۰|ک=اصول و کاربردهای مثلثات|ص=۲۴۴، ۲۴۵، ۲۵۱}}</ref>
|-
| <math> \sin y = x \, </math>
| <math> -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2} \, </math>
| <math> \arcsin x = y \, </math>
| <math> -1 \le x \le 1 \, </math>
| <math>\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>
|-
| <math> \cos y = x \, </math>
| <math> 0 \le y \le \pi \, </math>
| <math> \arccos x = y \, </math>
| <math> -1 \le x \le 1 \, </math>
| <math>\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}</math>
|-
| <math> \tan y = x \, </math>
| <math> -\frac{\pi}{2} <y <\frac{\pi}{2} \, </math>
| <math> \arctan x = y \, </math>
| اعداد حقیقی
| <math>\frac{1}{1+x^2}</math>
|-
| <math> \csc y = x \, </math>
| <math> -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}, y \ne 0 \, </math>
| <math> \arccsc x = y \, </math>
| اعداد حقیقی
| <math>\frac{-1}{1+x^2}</math>
|-
| <math> \sec y = x \, </math>
| <math> 0 \le y \le \pi, y \ne \frac{\pi}{2} \, </math>
| <math> \arcsec x = y \, </math>
| <math> 1 \le x\, or \, x \le -1 \, </math>
| <math>\frac{1}{x^2 \sqrt{1 - x^{-2}}}</math>
|-
| <math> \cot y = x \, </math>
| <math> 0 <y <\pi \, </math>
| <math> \arccot x = y \, </math>
| <math> 1 \le x\, or \,x \le -1 \, </math>
| <math> \frac{-1}{x^2 \sqrt{1 - x^{-2}}}</math>
|}

== کاربرد ==
توابع مثلثاتی کاربردهای قابل توجهی در بسیاری از علوم پایه و مهندسی دارند.

=== فضای برداری ===
در ریاضیات و فیزیک، از [[بردار اقلیدسی|بردارها]] برای نشان دادن یک [[کمیت برداری]] (که دارای اندازه و جهت است) استفاده می‌شود. بسیاری از کمیت‌های اصلی فیزیک مانند مکان، نیرو و میدان دارای ماهیت برداری هستند. در برخی محاسبات [[فضای برداری]] از توابع مثلثاتی استفاده می‌شود. برای نمونه، [[ضرب داخلی]] دو بردار '''''x''''' و '''''y''''' متعلق به {{math|ℝ<sup>''۳''</sup>}} را می‌توان به کمک قانون کسینوس‌ها به صورت زیر محاسبه کرد:<ref>{{پک|هالیدی|رسنیک|کرین|۱۳۸۲|ک=فیزیک}}</ref>
{{چپ‌چین}}
:<math>\mathbf x \cdot \mathbf y = \cos\left(\angle (\mathbf x, \mathbf y)\right) \cdot |\mathbf x| \cdot |\mathbf y|</math>
{{پایان چپ‌چین}}
همچنین برای محاسبهٔ [[ضرب خارجی]] آن‌ها نیز می‌توان رابطهٔ زیر را به کار بست:
{{چپ‌چین}}
:<math>\mathbf x \times \mathbf y = \sin\left(\angle (\mathbf x, \mathbf y)\right) \cdot |\mathbf x| \cdot |\mathbf y|</math>
{{پایان چپ‌چین}}

=== مختصات قطبی، استوانه‌ای و کروی ===
[[پرونده:CircularCoordinates.svg|بندانگشتی|نمایش دو نقطه در دستگاه مختصات قطبی]]
توابع مثلثاتی، پایهٔ تعریف [[دستگاه مختصات قطبی]] هستند که در ساده‌سازی بسیاری از مسائل ریاضیات و فیزیک از جمله برخی انتگرال‌ها مؤثر است. در این دستگاه مختصات، به جای طول و عرض ''(x,y)'' یک نقطه (که در دستگاه مختصات دکارتی به کار می‌رود)، فاصلهٔ آن با مرکز و زاویهٔ بردار گذرنده از مرکز و آن نقطه نسبت به خط افقی ''(r,θ)'' به عنوان مختصات یک نقطه در نظر گرفته می‌شوند.<ref>{{پک|توماس|۲۰۰۹|ک=حسابان|ص=۷۱۴}}</ref> تبدیل مختصات دکارتی به مختصات قطبی و برعکس با استفاده از توابع مثلثاتی انجام می‌شود:<ref>{{پک|توماس|۲۰۰۹|ک=حسابان|ص=۷۱۶}}</ref>
{{چپ‌چین}}
:<math>x = r \cos \theta , y = r \sin \theta</math>
{{پایان چپ‌چین}}
دستگاه‌های مختصات [[دستگاه مختصات استوانه‌ای|استوانه‌ای]]<ref>{{پک|آدامز|۱۳۸۸|ک=حساب دیفرانسیل و انتگرال، جلد دوم|ص=۳۹۴–۳۹۶}}</ref> و [[دستگاه مختصات کروی|کروی]]<ref>{{پک|آدامز|۱۳۸۸|ک=حساب دیفرانسیل و انتگرال، جلد دوم|ص=۳۹۶–۴۰۱}}</ref> که تعمیم‌یافتهٔ مختصات قطبی در سه‌بعد هستند نیز بر مبنای توابع مثلثاتی شکل گرفته‌اند. از این دستگاه‌ها در مسائلی مانند انتگرال‌های سه‌بعدی که دارای تقارن استوانه‌ای یا کروی هستند استفاده می‌شود.

=== اعداد مختلط ===
[[پرونده:Euler's formula.svg|بندانگشتی|نمایش یک عدد مختلط در مختصات قطبی]]
با استفاده از تعریف [[مختصات قطبی]] می‌توان [[اعداد مختلط]] را به صورت توابع مثلثاتی بیان کرد:<ref>{{پک|توماس|۲۰۰۹|ک=حسابان|ص=AP-17}}</ref>
{{چپ‌چین}}
:<math> z= |z|(\cos\theta + i\sin\theta) </math>
{{پایان چپ‌چین}}
که در آن، ''|z|'' اندازهٔ بردار ''z'' (فاصله از مبدأ)، ''θ'' زاویهٔ آن با محور افقی، و ''i'' بیانگر [[یکه موهومی|یکهٔ موهومی]] است. افزون بر این، رابطهٔ میان [[تابع نمایی]] و تابع مثلثاتی توسط [[فرمول اویلر]] برقرار می‌شود:<ref>{{پک|آبراموویچ|استگان|۱۹۷۲|ک=راهنمای توابع ریاضی با روابط، نمودارها و جدول‌های ریاضی|ص=۱۶}}</ref>
{{چپ‌چین}}
:<math> e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta </math>
{{پایان چپ‌چین}}
که بر پایهٔ آن، توابع سینوس و کسینوس به شکل توابع فرد و زوج متناظر بر حسب تابع نمایی نوشته می‌شوند:
{{چپ‌چین}}
: <math> \sin\theta = \frac{e^{i \theta} - e^{-i \theta}}{2i}</math>
: <math> \cos\theta = \frac{e^{i \theta} + e^{-i \theta}}{2}</math>
{{پایان چپ‌چین}}

مشاهده می‌شود که می‌توان کسینوس را به عنوان جزء حقیقی و سینوس را به عنوان جزء مجازی تابع نمایی مختلط در نظر گرفت. به بیان ریاضی:
{{چپ‌چین}}
: <math>\cos \theta = \operatorname{Re}(e^{i \theta})</math>
: <math>\sin \theta = \operatorname{Im}(e^{i \theta})</math>
{{پایان چپ‌چین}}

شکل توسعه‌یافتهٔ فرمول اویلر، به عنوان فرمول دموآور شناخته می‌شود:<ref>{{پک|آبراموویچ|استگان|۱۹۷۲|ک=راهنمای توابع ریاضی با روابط، نمودارها و جدول‌های ریاضی|ص=۷۴}}</ref>
{{چپ‌چین}}
:<math>e^{in \theta} =(\cos \theta + i  \sin \theta)^n = \cos (n \theta) + i \sin (n \theta)</math>
{{پایان چپ‌چین}}

همچنین با استفاده از تعریف بسط مکلورن برای [[تابع هذلولوی|توابع هذلولوی]] و مثلثاتی، می‌توان رابطه‌های زیر را که معادل با رابطه‌های بالا هستند، به دست آورد:

{{چپ‌چین}}
: <math>\sin z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1} = \frac{e^{i z} - e^{-i z}}{2i} = \frac{\sinh \left( i z\right)}{i} </math>
: <math>\cos z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}z^{2n} = \frac{e^{i z} + e^{-i z}}{2} = \cosh \left(i z\right) </math>
{{پایان چپ‌چین}}

که در آن‌ها ''i<sup>2</sup>=−۱''. می‌توان توابع سینوس و کسینوس مختلط را برحسب اجزای حقیقی و مجازی آن‌ها نیز نوشت:<ref dir=ltr>{{یادکرد کتاب | نام خانوادگی=Mathews | نام=J.H. | نام خانوادگی۲=Howell | نام۲=R.W. | عنوان=Complex Analysis for Mathematics and Engineering | ناشر=Jones and Bartlett | سال=2006|صفحه=۱۷۸–۱۷۹ | شابک=978-0-7637-3748-1 | پیوند=http://books.google.com/books?id=JZeO6VTRaIsC | زبان=en | تاریخ بازبینی=2015-05-18}}</ref>
{{چپ‌چین}}
: <math>\sin (x + iy) = \sin x \cosh y + i \cos x \sinh y</math>
: <math>\cos (x + iy) = \cos x \cosh y - i \sin x \sinh y</math>
{{پایان چپ‌چین}}

این اتحاد، رابطهٔ میان توابع سینوس و کسینوس مختلط و [[تابع حقیقی|توابع حقیقی]] (سینوس و کسینوس) و حقیقی هذلولوی (سینوس هذلولوی و کسینوس هذلولوی) آن‌ها را نشان می‌دهد.

=== نقشه‌برداری ===
مثلثات، پایهٔ بیشتر شیوه‌های نقشه‌برداری است. زاویه‌یابی با دستگاه یا بدون دستگاه، امتدادیابی با روش ژیزمان، سیستم تصویر برای تبدیل تصویر از سطح بیضوی به سطح مستوی، ارتفاع‌یابی با دستگاه ترازیاب، پیمایش باز و بسته، طراحی قوس‌ها در راهسازی و تبدیل‌های دوبعدی در نقشه‌برداری هوایی، بخشی از کاربردهای توابع مثلثاتی در نقشه‌برداری هستند.

برای نمونه، در مثلث‌سازی که یکی از روش‌های قدیمی نقشه‌برداری است، با استفاده از اندازه‌گیری زاویهٔ یک نقطه نسبت به دو نقطه معین، مختصات آن نقطه را محاسبه می‌کنند که امروزه از این روش برای اندازه‌گیری سه‌بعدی نوری استفاده می‌شود. در مثلث‌سازی از قانون کسینوس‌ها و قانون سینوس‌ها برای محاسبهٔ زاویهٔ مثلث‌ها و تعیین دقیق موقعیت هر نقطه استفاده می‌شود.

[[پیمایش در نقشه‌برداری|پیمایش]] روشی برای نقشه‌برداری یک محدودهٔ باز یا بسته با استفاده از اندازه‌گیری زاویه‌ها و فاصله‌ها است. از توابع مثلثاتی برای محاسبهٔ موقعیت ایستگاه‌ها استفاده می‌شود.<ref>{{یادکرد کتاب |نام خانوادگی=عاصی |نام=محمدرضا |کتاب=نقشه‌برداری (ژئوماتیک)|ویرایش = چهارم | ناشر=انتشارات علمی دانشگاه ضنعتی شریف |سال= ۱۳۸۸|شابک=978-964-208-008-3}}</ref>

=== ناوبری ===
از توابع مثلثاتی در زمینه‌های مختلف ناوبری استفاده می‌شود. برای نمونه، تنظیم خط سیر کشتی‌ها و سایر شناورها بر پایهٔ اجسام ثابت مانند فانوس دریایی با بهره‌گیری از توابع مثلثاتی انجام می‌شود.<ref>{{پک|کاکسفورد|۱۳۷۰|ک=اصول و کاربردهای مثلثات|ص=۶۶–۶۷}}</ref> همچنین این توابع برای تعیین فاصلهٔ میان دو نقطه روی زمین با در نظر گرفتن کرویت زمین به کار می‌روند. رابطهٔ زیر برای محاسبهٔ این فاصله مورد استفاده قرار می‌گیرد:
{{چپ‌چین}}
:<math>s=R \arccos (\sin \alpha_1 \sin \alpha_2 + \cos \alpha_1 \cos \alpha_2 \cos \phi)</math>
{{پایان چپ‌چین}}
که در آن، α<sub>۱</sub> و α<sub>۲</sub> عرض جغرافیایی دو نقطهٔ مورد نظر و φ اختلاف [[طول جغرافیایی]] میان دو نقطه است.<ref>{{پک|کاکسفورد|۱۳۷۰|ک=اصول و کاربردهای مثلثات|ص=۲۵۶–۲۵۷}}</ref>

=== فیزیک نور ===
[[پرونده:Snells law2.svg|بندانگشتی|شکست نور در هنگام عبور از یک محیط مادی به محیط مادی دیگر]]
بنیادی‌ترین کاربرد توابع مثلثاتی در [[نورشناسی]]، [[قانون اسنل]] است. این قانون که در پدیدهٔ [[شکست نور]] به کار می‌رود، رابطهٔ میان زاویهٔ نور در یک محیط و زاویهٔ آن پس از وارد شدن به یک محیط دیگر با [[ضریب شکست]] متفاوت را بیان می‌کند:
{{چپ‌چین}}
:<math>\frac{\sin \theta}{\sin \theta^\prime}=\frac{n^\prime}{n}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
که در آن، n و 'n ضریب شکست و θ و 'θ زاویهٔ پرتو نور محیط اول و دوم هستند. قانون اسنل، در تعیین زاویهٔ حد شکست و نیز در شکست نور در [[منشور]]ها و [[عدسی]]‌ها به کار می‌رود. مسیر حرکت نور در عبور از یک عدسی با استفاده از قانون اسنل تعیین می‌شود.

افزون بر شکست نور، از توابع مثلثاتی در زمینه‌های دیگری از نورشناسی مانند تحلیل [[تداخل امواج]]، [[قطبیدگی]] و [[پراش]] در دو شکاف استفاده می‌شود.<ref>{{یادکرد کتاب |نام خانوادگی=جنکینز |نام=فرانسیس ای. |نام خانوادگی۲=وایت|نام۲=هاردی ای. | مترجم= بابک حقیقی|کتاب=مبانی اپتیک | ناشر=نشر مرندیز |سال=۱۳۸۹|شابک=978-600-106-056-4}}</ref>

=== سری فوریه و تبدیل فوریه ===
توابع سینوس و کسینوس مانند چندجمله‌ای‌ها متعامد هستند و استقلال خطی دارند. از این رو می‌توان هر تابع (عموماً متناوب) را بر حسب یک سری از این توابع به صورت رابطهٔ زیر نوشت<ref>{{پک|توماس|۲۰۰۹|ک=حسابان|ص=۸۳۳–۸۳۵}}</ref> که [[سری فوریه]] نامیده می‌شود:<ref dir=ltr>{{پک|Bary|1964|ک=A Treatise on Trigonometric Series|ص=43}}</ref>
{{چپ‌چین}}
:<math>f(x)=\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cos nx + b_n \sin nx)</math>
{{پایان چپ‌چین}}
برای توابع فرد، تنها جملات تابع سینوس و برای توابع زوج، تنها جملات تابع کسینوس و ضریب ثابت در نظر گرفته می‌شوند.<ref dir=ltr>{{پک|Bary|1964|ک=A Treatise on Trigonometric Series|ص=50}}</ref>

[[تبدیل فوریه]]، نوعی [[تبدیل انتگرالی]] است که شکل توسعه یافتهٔ سری فوریه است. این تبدیل به صورت زیر تعریف می‌شود:<ref dir=ltr>{{یادکرد وب |نویسنده=Weisstein, Eric W. |نشانی=http://mathworld.wolfram.com/FourierTransform.html |عنوان=Fourier Transform |ناشر=Mathworld |تاریخ= |تاریخ بازبینی=May 16, 2015 |پیوند بایگانی=https://www.webcitation.org/6YZtRMRJf?url=http://mathworld.wolfram.com/FourierTransform.html |تاریخ بایگانی=16 مه 2015 |کد زبان=en}}</ref>
{{چپ‌چین}}
:<math>F(\omega)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty f(t) e^{-\mathrm{i} \omega t} \,dt </math>
{{پایان چپ‌چین}}
که تابع نمایی با نمای مختلط توسط فرمول اویلر به توابع مثلثاتی تبدیل می‌شود. از تبدیل فوریه در حل معادلات دیفرانسیل جزئی از جمله معادلهٔ موج، تحلیل طیفی و [[پردازش سیگنال]] بهره می‌برند.<ref dir=ltr>{{cite book |author=Gerald B  Folland |title=Fourier Analysis and its Applications |publisher=American Mathematical Society |edition=Reprint of Wadsworth & Brooks/Cole 1992 |url=http://books.google.com/books?id=idAomhpwI8MC&pg=PA225 |page=225-234 |chapter=Convergence and completeness |year=2009 |isbn=0-8218-4790-2 |archiveurl=https://www.webcitation.org/6YZtXvhdS?url=http://books.google.com/books?id=idAomhpwI8MC |archivedate=16 مه 2015 |access-date=10 مه 2015}}</ref>

همچنین در ذخیره‌سازی تصویر با قالب [[JPEG]] از [[تبدیل فوریه گسسته|تبدیل کسینوس گسسته]] برای کاهش حجم تصویر با وجود حفظ نسبی کیفیت آن استفاده می‌کنند. در این روش، تصویر به بلوک‌هایی با ابعاد یکسان تقسیم می‌شود و در هر بلوک، ضرایب چند جملهٔ نخست تبدیل فوریه (که تعداد جمله‌ها بر پایهٔ دقت تبدیل، انتخاب می‌شود) بر پایهٔ رنگ همهٔ نقطه‌های درون بلوک محاسبه می‌شوند.<ref dir=ltr>{{cite web | url= http://www.dspguide.com/ch27/6.htm | title= (JPEG (Transform Compression | author= | website= The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing | access-date= March 29, 2015 | archiveurl= https://www.webcitation.org/6YZtY7dIM?url=http://www.dspguide.com/ch27/6.htm | archivedate= 16 مه 2015}}</ref>

=== حرکت نوسانی ===
[[پرونده:Synthesis square.gif|بندانگشتی|300px|نمایش ساخته شدن موج مربعی با برهم‌نهی توابع نوسانی]]
فیزیک‌دانان برای توصیف حرکت هماهنگ ساده، از توابع سینوس و کسینوس استفاده می‌کنند. این حرکت، بسیاری از پدیده‌های فیزیکی مانند حرکت جرم متصل به فنر،<ref>{{پک|بویس|دیپریما|۱۳۸۴|ک=معادلات دیفرانسیل مقدماتی و مسائل مقدار مرزی|ص=۲۳۰–۲۳۹}}</ref> حرکت آونگی جسم معلق با یک طناب (پاندول ساده)،<ref>{{پک|کرایه‌چیان|۱۳۸۶|ک=معادلات دیفرانسیل و کاربرد آن‌ها|ص=۱۶۶–۱۶۹}}</ref> تحلیل مدار الکتریکی<ref>برای نمونه {{پک|بویس|دیپریما|۱۳۸۴|ک=معادلات دیفرانسیل مقدماتی و مسائل مقدار مرزی|ص=۲۴۰–۲۴۱}}</ref> و حرکت دایره‌ای یکنواخت یک‌بعدی را مدل می‌کند. همچنین توابع مثلثاتی در مطالعهٔ [[تابع متناوب|توابع متناوب]] به کار می‌روند. ساختار موجی‌شکل توابع متناوب برای مدل‌سازی پدیده‌های رفت و برگشتی مانند نور، صدا و موج دریا، مورد استفاده قرار می‌گیرد.

در شرایط عمومی، می‌توان یک تابع متناوب ''(f(x'' را با [[سری فوریه]] به صورت مجموع موج‌های سینوسی یا موج‌های کسینوسی بیان کرد. اگر تابع سینوس یا کسینوس را با ''φ<sub>k</sub>'' نشان دهیم، بسط تابع متناوب ''(f(t'' به صورت زیر خواهد بود (از آن‌جایی که توابع متناوب عموماً بر حسب زمان تعریف می‌شوند، در این‌جا به جای متغیر مکانی (''x'') از متغیر زمانی (''t'') استفاده می‌شود):

{{چپ‌چین}}
:<math>f(t) = \sum _{k=1}^\infty c_k \varphi_k(t)</math>
{{پایان چپ‌چین}}
برای نمونه، [[موج مربعی]] را می‌توان با سری فوریه زیر نشان داد:
{{چپ‌چین}}
:<math> f_\text{square}(t) = \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^\infty {\sin \left ( (2k-1)t \right ) \over 2k-1}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
همان گونه که در شکل روبرو دیده می‌شود، چند جملهٔ اول سری می‌توانند تقریب نسبتاً خوبی را ایجاد کنند.

=== فیزیک مکانیک ===
در فیزیک مکانیک، توابع مثلثاتی در معادلات حرکت دوبعدی و سه‌بعدی کاربرد دارند. برای نمونه، در تحلیل تغییرات تناوبی در سینماتیک و دینامیک دورانی، معادلات تکانه و [[تکانه زاویه‌ای|تکانهٔ زاویه‌ای]] و پدیدهٔ [[برخورد]]، توابع مثلثاتی کاربرد دارند.<ref>{{پک|هالیدی|رسنیک|کرین|۱۳۸۲|ک=فیزیک}}</ref>

[[پرونده:Ferde hajitas1.svg|بندانگشتی|حرکت پرتابی یک ذره از مبدأ مختصات]]
یکی از آشناترین کاربردهای توابع مثلثاتی در مکانیک، پدیدهٔ حرکت پرتابی است که معادلات حرکت افقی و قائم آن به صورت زیر نوشته می‌شود:
{{چپ‌چین}}
:<math>x(t)= v_0.t \cos \theta</math>
:<math>y(t)=-\frac{1}{2}gt^2+v_0.t \sin \theta</math>
{{پایان چپ‌چین}}
که در آن، ''x'' و ''y'' مختصات موقعیت ذره در مدت ''t'' ثانیه پس از پرتاب با سرعت اولیهٔ ''v<small>0</small>'' هستند.

همچنین مسیر و سرعت دو ذره پس از [[برخورد#.D8.A8.D8.B1.D8.AE.D9.88.D8.B1.D8.AF .D9.85.D8.A7.DB.8C.D9.84 .28.D8.AF.D9.88 .D8.A8.D8.B9.D8.AF.DB.8C.29|برخورد کشسان مایل]]، با استفاده از توابع مثلثاتی به دست می‌آید.
{{-}}

=== برق و مخابرات ===
[[پرونده:Sumafasores.gif|بندانگشتی|مجموع چند موج سینوسی را می‌توان با استفاده از جمع فازورها (بردارهای فاز) محاسبه کرد.]]
امروزه [[جریان‌های متناوب]] در صنعت برق کاربرد گسترده‌ای دارند و شکل رایج آن‌ها به صورت [[موج سینوسی]] است. از دلایل اصلی محبوبیت جریان‌های متناوب نسبت به [[جریان مستقیم]] در صنعت بر می‌توان به امکان تبدیل سطح ولتاژِ جریان‌های متناوب با استفاده از [[ترانسفورماتور]]ها که به واسطهٔ آن می‌توان تلفات را برای انتقال در مسافت‌های طولانی کاهش داد و نیز عدم نیاز به استفاده از [[کموتاتور]] در ژنراتورهای القایی اشاره کرد.<ref>{{پک | سعادت | 1392 | ک=بررسی سیستم‌های قدرت (جلد اول) | زبان=fa | ص=1}}</ref>

نیروگاه‌ها اغلب توان را در به صورت [[سه‌فاز]] (سه ولتاژ سینوسی با اختلاف زاویهٔ {{چر}}۱۲۰°) تولید می‌کنند. شکل موج‌های ولتاژ و جریان به منظور سادگی اغلب ایدئال و به صورت <math>V_m=\sin(\omega t + \theta_v)</math> و <math>I_m=\sin(\omega t + \theta_i)</math> فرض می‌شوند و به تبع آن روابط مختلف، مثل توان لحظه‌ای، توان اکتیو، توان راکتیو، و… یا مفاهیمی مانند پیش‌فازی، پس‌فازی، زاویهٔ توان و [[ضریب قدرت]] و … با تحلیل توابع مثلثاتی محاسبه و تعریف می‌شوند.<ref>{{پک | سعادت | 1392 | ک=بررسی سیستم‌های قدرت (جلد اول) | ف=اصول مقدماتی | زبان=fa | ص=19–60}}</ref> برق ارائه‌شده به مشترکان خانگی با شکل موج سینوسی و عموماً در فرکانس‌های ۵۰ یا ۶۰ هرتز ارائه می‌شود.<ref>{{پک | سعادت | 1392 | ک=بررسی سیستم‌های قدرت (جلد اول) | زبان=fa | ص=1–2}}</ref>

در مدل‌سازی خطوط بلند انتقال نیرو، پارامترهای خط را [[تابع هذلولوی|توابع هذلولی مثلثاتی]] مدل‌سازی می‌کنند.<ref>{{پک | سعادت | 1392 | ک=بررسی سیستم‌های قدرت (جلد اول) | زبان=fa | ص=198}}</ref>

کاربرد موج‌های سینوسی در برق به قدری گسترده‌است که برای تحلیل آن‌ها روش‌های خاصی که مؤثرتر هستند ابداع شده‌است.<ref>{{پک | دسور | کوه | 1392 | ک=نظریه اساسی مدارها و شبکه‌ها - جلد اول | زبان=fa | ص=411}}</ref> تحلیل [[فازور]] روشی است که در آن با استفاده از این خاصیت که مجموع جبری هر تعداد موج سینوسی با [[فرکانس زاویه‌ای]] یکسان و مشتق‌های مرتبه‌های مختلف آن‌ها همواره یک موج سینوسی با همان فرکانس زاویه‌ای خواهد بود، برای نمایش و تحلیل موج سینوسی تنها از دامنه و فاز آن استفاده می‌شود. با این کار برای به دست آوردن پاسخ حالت دائمی سینوسی، به جای حل معادلهٔ دیفرانسیل، تنها به حل معادلات جبری ساده نیاز خواهد بود. با استفاده از این مفهوم می‌توان پاسخ حالت دائمی سینوسی یک مدار خطی تغییرناپذیر با زمان را مستقیماً با حل شبکهٔ معادلی که بر حسب فازورهای ورودی، خروجی و فازور متغیرهای دیگر بیان شده‌است با استفاده از روش‌های جبری به دست آورد.<ref>{{پک | دسور | کوه | 1392 | ک=نظریه اساسی مدارها و شبکه‌ها - جلد اول | زبان=fa | ص=414–431}}</ref>

در سیستم‌های مخابراتی، معمولاً [[کانال مخابراتی|کانال ارتباطی]] تنها در یک گسترهٔ فرکانسی خاص سیگنال‌ها را به خوبی منتقل می‌کند که در خارج از این گستره انتقال سیگنال ناممکن یا همراه با افت شدید کیفیت است. به همین دلیل برای فرستادن یک سیگنال در مسافت‌های طولانی معمولاً آن را روی یک سیگنال فرکانس بالای دیگر سوار می‌کنند که به این کار [[مدولاسیون]] گفته می‌شود.<ref>{{پک | اوپنهایم | ویلسکی | نواب | 1384 | ک=سیگنالها و سیستم‌ها | زبان=fa | ف=سیستم‌های مخابراتی | ص=527}}</ref> [[سیگنال حامل]] در روش‌های مختلف مدولاسیون اغلب ذاتاً یک موج سینوسی است.<ref dir=ltr>{{پک | Mahalik | 2007 | ک=Sensor Networks and Configuration: Fundamentals, Standards, Platforms, and Applications | زبان=en | ص=487}}</ref> برای مثال در [[مدولاسیون دامنه]]ٔ سینوسی، سیگنال حاوی اطلاعات در سیگنال حامل سینوسی ضرب (مدوله) می‌شود.<ref>{{پک | اوپنهایم | ویلسکی | نواب | 1384 | ک=سیگنالها و سیستم‌ها | زبان=fa | ف=سیستم‌های مخابراتی | ص=528}}</ref>
{{-}}

== پانویس ==
{{پانویس|۲}}

== منابع ==
{{آغاز منابع|30em}}
* {{یادکرد کتاب | نام خانوادگی= آدامز | نام= رابرت | عنوان= حساب دیفرانسیل و انتگرال، جلد اول | ناشر= انتشارات دانشگاه فردوسی مشهد | ترجمه= سید حسین اورعی | سال= ۱۳۸۸ | شابک= 964-386-015-9}}
* {{یادکرد کتاب | نام خانوادگی= آدامز | نام= رابرت | عنوان= حساب دیفرانسیل و انتگرال، جلد دوم | ناشر= انتشارات دانشگاه فردوسی مشهد | ترجمه= سید حسین اورعی | سال= ۱۳۸۸ | شابک= 964-386-068-X}}
* {{یادکرد کتاب | نام خانوادگی= استرویک | نام= درک | عنوان= تاریخ فشرده ریاضیات | ناشر= نشر نو | ترجمه= غلامرضا برادران خسروشاهی، حشمت‌الله کامرانی | سال=۱۳۶۶ |شابک=}}
* {{یادکرد کتاب |نام خانوادگی=بویس |نام=ویلیام ای. |نام خانوادگی۲=دیپریما|نام۲= ریچارد سی.|کتاب=معادلات دیفرانسیل مقدماتی و مسائل مقدار مرزی | جلد=اول|ویرایش=هفتم|ناشر=انتشارات علمی و فنی |سال=۱۳۸۴|ترجمه=علی‌اکبر عالم‌زاده|شابک=۹۷۸-۹۶۴-۶۲۱۵-۳۵-۱}}
* {{یادکرد کتاب | نام خانوادگی= سیلورمن | نام= ریچارد | عنوان= حساب دیفرانسیل و انتگرال با هندسه تحلیلی، جلد اول | ناشر=انتشارات ققنوس | ترجمه= علی‌اکبر عالم‌زاده | سال= ۱۳۸۶ | شابک= 978-964-311-005-5}}
* {{یادکرد کتاب | نام خانوادگی= قربانی | نام =ابوالقاسم | عنوان =زندگینامهٔ ریاضیدانان دورهٔ اسلامی از سدهٔ سوم تا سدهٔ یازدهم هجری | سال= ۱۳۷۵ | ناشر= [[مرکز نشر دانشگاهی]] | مکان= تهران | شابک= 964-01-0817-0}}
* {{یادکرد کتاب | نام خانوادگی= کاکسفورد | نام= آرتور | عنوان= اصول و کاربردهای مثلثات | ناشر= انتشارات رسا | ترجمه= عادل ارشقی | سال= ۱۳۷۰}}
* {{یادکرد کتاب |نام خانوادگی= کرایه‌چیان|نام= علی‌اصغر|کتاب=معادلات دیفرنسیل و کاربرد آن‌ها | ناشر=انتشارات دانشگاه فردوسی مشهد |سال=۱۳۸۶|شابک=964-6335-13-6}}
* {{یادکرد کتاب | نام خانوادگی= لیت‌هولد | نام= لوئیس | عنوان = حساب دیفرانسیل و انتگرال با هندسه تحلیلی | ترجمه= علی‌اکبر عالم‌زاده | ناشر= علوم نوین | شهر= تهران | سال= ۱۳۸۷ | شابک= 978-964-6133-03-7}}
* {{یادکرد کتاب |نام خانوادگی= نووسلو|نام=سرگی ایوسیفویچ |کتاب= مثلثات مستقیم‌الخط و کروی| ترجمه=پرویز شهریاری|ناشر=انتشارات امیرکبیر |سال=۱۳۶۵}}
* {{یادکرد کتاب |نام خانوادگی= هالیدی|نام=دیوید|نام۲=رابرت|نام خانوادگی۲=رسنیک|نام۳=کنت اس.|نام خانوادگی۳=کرین |کتاب=فیزیک|جلد=اول، مکانیک | ویرایش=پنجم|ناشر=مرکز نشر دانشگاهی |سال=۱۳۸۸|ترجمه=محمد موسوی بایگی|شابک=964-5777-55-0}}
* {{یادکرد کتاب | نام خانوادگی=سعادت | نام=هادی | ترجمه=احد کاظمی، شهرام جدید و حیدرعلی شایانفر | عنوان=بررسی سیستم‌های قدرت (جلد اول) | ناشر=دانشگاه علم و صنعت ایران | سال=۱۳۹۲ | شابک=964-454-394-7 | زبان=fa}}
* {{یادکرد کتاب | نام خانوادگی=دسور | نام=چارلز | نام خانوادگی۲=کوه | نام۲=ارنست | ترجمه=پرویز جبه دارمارالانی | عنوان=نظریه اساسی مدارها و شبکه‌ها - جلد اول | ناشر=دانشگاه تهران | سال=۱۳۹۲ | شابک=978-964-03-4248-0 | زبان=fa}}
* {{یادکرد کتاب | نام خانوادگی=اوپنهایم | نام=آلن | نام خانوادگی۲=ویلسکی | نام۲=آلن | نام خانوادگی۳=نواب | نام۳=حمید | ترجمه=محمود دیانی | عنوان=سیگنالها و سیستم‌ها | ناشر=نص | سال=۱۳۸۴ | شابک=964-6264-28-X | زبان=fa}}
{{چپ‌چین}}
* {{یادکرد کتاب | عنوان = Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing| ناشر=Dover |مکان= New York| نویسنده=Abramowitz, M. and Stegun, I. A. | سال=1972|صفحه=16|شابک=978-0486612720|زبان=en}}
* {{یادکرد کتاب | عنوان = A Treatise on Trigonometric Series| ناشر= The Macmillan Company|مکان= New York|جلد=I| نام خانوادگی= Bary |نام=N. K.| سال=1964|صفحه=|شابک=|زبان=en}}
* {{یادکرد کتاب |نشانی=https://archive.org/details/Pearson.Thomas.Calculus.12th.Edition.0321587995 |عنوان=Calculus|ناشر=Pearson |نویسنده=Thomas, George B. Jr |سال=2009 |شابک=0-321-58799-5|زبان=en| پیوند بایگانی = https://web.archive.org/web/20201027175354/https://www.webcitation.org/6YZtRYyE6 | تاریخ بایگانی = 16 May 2015}}
* {{یادکرد کتاب |نام خانوادگی=Olver |نام=F.W.J. |عنوان=NIST Handbook of Mathematical Functions |ناشر=Cambridge University Press |سال=2010 |شابک=978-0-521-19225-5 |پیوند=http://books.google.com/books?id=3I15Ph1Qf38C |زبان=en |تاریخ بازبینی=2015-05-10| پیوند بایگانی =https://web.archive.org/web/20201027185854/https://www.webcitation.org/6YZtSzMQ1 | تاریخ بایگانی = 16 May 2015}}
* {{یادکرد کتاب |نام خانوادگی=Mahalik |نام=N.P. |عنوان=Sensor Networks and Configuration: Fundamentals, Standards, Platforms, and Applications |ناشر=Springer Berlin Heidelberg |سال=2007 |شابک=978-3-540-37366-7 |پیوند=http://books.google.com/books?id=ChkR77PM5K0C&pg=PA487 |زبان=en |تاریخ بازبینی=2015-05-16| پیوند بایگانی =https://web.archive.org/web/20201024211347/https://www.webcitation.org/6YZtTAkdm | تاریخ بایگانی = 16 May 2015}}
{{پایان چپ‌چین}}
{{پایان منابع}}

== پیوند به بیرون ==
{{ویکی‌کتاب|توابع مثلثاتی}}
{{رده انبار|Trigonometric functions|توابع مثلثاتی}}

{{ستاره‌شناسی اسلامی}}
{{توابع ریاضی}}

[[رده:توابع مثلثاتی]]
[[رده:اعداد بدون بعد]]
[[رده:تابع تحلیلی]]
[[رده:توابع ریاضی]]
[[رده:زاویه]]
[[رده:مثلثات]]
[[رده:نسبت‌ها]]

{{درگاه|ریاضیات}}