نمایش مبدأ برای تقریب زاویه-کوچک

[[پرونده:Kleinwinkelnaeherungen.png|بندانگشتی|رفتار تقریباً برابر برخی از توابع (مثلثاتی) برای {{ریاضی|''x'' → ۰}}]]
از '''تقریب‌های زاویه-کوچک''' می‌توان برای تقریب‌زدن مقادیر [[توابع مثلثاتی]] اصلی استفاده کرد، به شرطی که زاویه مورد نظر کوچک باشد و با [[رادیان]] اندازه‌گیری شود:

: <math>
\begin{align}
\sin \theta &\approx \theta \\
\cos \theta &\approx 1 - \frac{\theta^2}{2} \approx 1\\
\tan \theta &\approx \theta
\end{align}
</math>

این تقریب‌ها در شاخه‌های از [[فیزیک]] و [[مهندسی]] از جمله [[مکانیک]]، [[الکترومغناطیس]]، [[نورشناسی]]، [[نقشه‌نگاری]]، [[اخترشناسی]] و [[علوم رایانه]] کاربردهای گسترده‌ای دارند. یک دلیل برای این امر این است که آنها می‌توانند [[معادله دیفرانسیل|معادلات دیفرانسیل]] را که نیازی به پاسخ با دقت مطلق ندارند، تا حد زیادی ساده کنند.

== توجیه‌ها ==
=== گرافیکی ===
دقت تقریبی‌ها در زیر در شکل ۱ و شکل ۲ دیده می‌شود. با نزدیک شدن میزان زاویه به صفر، تفاوت تقریب و تابع اصلی نیز به ۰ نزدیک می‌شود.<gallery widths="500" heights="۴۰۰">
پرونده:Small angle compair odd.svg|'''شکل ۱.''' مقایسه توابع مثلثاتی اصلی فرد با {{math|θ}} . مشاهده می‌شود که با نزدیک شدن زاویه به ۰ تقریب‌ها بهتر می‌شوند.
پرونده:Small angle compare even.svg|'''شکل ۲.''' مقایسه {{math|cos ''θ''}} با {{math|1 − {{sfrac|''θ''<sup>2</sup>|2}}}}
</gallery>

=== هندسی ===
بخش قرمز در سمت راست، {{ریاضی|d}} تفاوت بین طول وتر، {{Mvar|H}} و در سمت مجاور، {{Mvar|A}} می‌باشد. همان‌طور که نشان داده شده‌است، طول {{Mvar|H}} و {{Mvar|A}} تقریباً یکسان است، به این معنی که {{ریاضی|cos ''θ''}} نزدیک به ۱ و است<templatestyles src="Screen reader-only/styles.css" /> {{ریاضی|{{sfrac|''θ''<sup>2</sup>|2}}}} کمک می‌کند تا تر و تمیز دور قرمز.

: <math> \cos{\theta} \approx 1 - \frac{\theta^2}{2}</math>

=== حساب ===
با استفاده از [[قضیه فشردگی]]، می‌توانیم این را ثابت کنیم  <math>
\lim_{\theta\to 0} \frac{\sin(\theta)}{\theta} = 1
</math> ، که بیان رسمی تقریب <math>\sin(\theta) \approx \theta</math>  برای مقادیر کوچک θ است.

=== جبر ===
[[پرونده:Small-angle_approximation_for_sine_function.svg|بندانگشتی|300x300پیکسل| تقریب زاویه-کوچک برای تابع سینوسی.]]
[[بسط مکلورن|بسط مَکلورن]] ([[بسط تیلور]] در حدود ۰) از تابع مثلثاتی مربوطه<ref>{{cite book|authorlink=Mary L. Boas|last=Boas|first=Mary L.|title=[[Mathematical Methods in the Physical Sciences]]|year=2006|publisher=Wiley|page=[https://archive.org/details/mathematicalmeth00boas_097/page/26 26]|isbn=978-0-471-19826-0}}</ref>

: <math>\begin{align} \sin \theta &= \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \theta^{2n+1} \\
&= \theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \frac{\theta^7}{7!} + \cdots \end{align}</math>

که {{Mvar|θ}} زاویه در رادیان است. به عبارت واضح‌تر،

: <math>\sin \theta = \theta - \frac{\theta^3}{6} + \frac{\theta^5}{120} - \frac{\theta^7}{5040} + \cdots </math>

به راحتی مشاهده می‌شود که دومین جمله مهم (مرتبه سوم) به عنوان مکعب جمله اول سقوط می‌کند؛ بنابراین، حتی برای یک استدلال نه چندان کوچک مانند ۰٫۰۱، ارزش جمله دوم مهم‌تر در مرتبه {{Val|0.000001}}، یا {{Sfrac|{{val|10000}}}} اولین جمله است؛ بنابراین می‌توان با خیال راحت تخمین زد:

: <math>\sin \theta \approx \theta</math>

== خطای تقریب‌ها ==
[[پرونده:Small_angle_compare_error.svg|بندانگشتی| '''شکل ۳''' نمودار [[خطای تقریبی|خطاهای نسبی]] برای تقریب‌های با زاویه کوچک.]]
شکل ۳ خطاهای نسبی تقریب‌های زاویه کوچک را نشان می‌دهد. زاویه‌هایی که خطای نسبی بیش از ۱٪ است به شرح زیر است:
* {{ریاضی|cos ''θ'' ≈ ۱}} حدود ۰٫۱۴۰۸ رادیان (۸٫۰۷°)
* {{ریاضی|tan ''θ'' ≈ ''θ''}} حدود ۰٫۱۷۳۰ رادیان (۹٫۹۱°)
* {{ریاضی|sin ''θ'' ≈ ''θ''}} حدود ۰٫۲۴۴۱ رادیان (۱۳٫۹۹°)
* {{ریاضی|cos ''θ'' ≈ ۱ − {{sfrac|''θ''<sup>2</sup>|2}}}} حدود ۰٫۶۶۲۰ رادیان (۳۷٫۹۳°)

== جمع و تفاضل زاویه ==
[[فهرست اتحادهای مثلثاتی|قضیه‌های جمع و تفریق]] زاویه در صورت کوچک بودن یکی از زاویه‌ها (β ≈ ۰) به موارد زیر کاهش می‌یابد:
{|
| style="text-align:right;" |cos(α + β)
|≈ cos(α) - βsin(α),
|-
| style="text-align:right;" |cos(α - β)
|≈ cos(α) + βsin(α),
|-
| style="text-align:right;" |sin(α + β)
|≈ sin(α) + βcos(α),
|-
| style="text-align:right;" |sin(α - β)
|≈ sin(α) - βcos(α).
|}

== کاربردهای خاص ==
=== اخترشناسی ===
در [[اخترشناسی]]، [[قطر زاویه‌ای]] یا زاویه فرورفته با تصویر یک جسم دور اغلب فقط چند [[دقیقه و ثانیه قوسی|ثانیه قوسی]] است، بنابراین برای تقریب زاویه کوچک مناسب است. اندازه خطی ({{Mvar|D}}) با فرمول ساده به اندازه زاویه‌ای ({{Mvar|X}}) و فاصله از ناظر ({{Mvar|d}}) مربوط می‌شود:

: <math>D = X \frac{d}{206\,265}</math>

که {{Mvar|X}} در ثانیهٔ قوسی اندازه‌گیری می‌شود.

عدد {{Val|206265}} تقریباً برابر است با تعداد ثانیهٔ قوسی در یک [[دایره]] ({{Val|1296000}})، تقسیم بر {{ریاضی|۲π}}.

فرمول دقیق آن است

: <math>D = d \tan \left( X \frac{2\pi}{1\,296\,000} \right)</math>

و تقریب بالا هنگامی که {{Mvar|X}} با {{ریاضی|tan ''X''}} جایگزین می‌شود، دنبال می‌شود.

=== حرکت آونگ ===
تقریب کسینوس مرتبه دوم به ویژه در محاسبه [[انرژی پتانسیل]] [[آونگ]] بسیار مفید است، سپس می‌توان با استفاده از [[مکانیک لاگرانژی|لاگرانژی]] برای یافتن [[معادله حرکت]] غیر مستقیم (انرژی) استفاده کرد.

=== اپتیک ===
در اپتیک، تقریب‌های با زاویه کوچک اساس [[تقریب فوق‌محوری]] تشکیل می‌دهند.

=== تداخل موج ===
تقریب سینوس و تانژانت با زاویه-کوچک در رابطه با [[آزمایش دوشکاف]] یا یک [[توری پراش]] برای ساده‌سازی معادلات استفاده می‌شود، به عنوان مثال «فاصله کناره» = «[[طول موج]]» × «فاصله از شکاف‌ها تا صفحه» ÷ «جدایش شکاف».<ref>http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/phyopt/slits.html</ref>

== جستارهای وابسته ==
* [[مثلث لاغر]]
* [[آونگ (ریاضیات)|نوسانات بی‌نهایت آونگ]]
* [[ورساین|سهم و نیم‌سهم]]
* [[اکسیکانت|اکسیکانت و اکسکوسکانت]]

== منابع ==
{{چپ‌چین}}
{{پانویس|refs=<ref name=Holbrow2010>{{citation
 | title=Modern Introductory Physics | postscript=.
 | first1=Charles H. | last1=Holbrow | first2=James N. | last2=Lloyd
 | first3=Joseph C. | last3=Amato | first4=Enrique | last4=Galvez
 | first5=M. Elizabeth | last5=Parks | display-authors=1
 | edition=2nd | publisher=Springer Science & Business Media
 | year=2010 | isbn=0-387-79079-9 | pages=30–32
 | url=https://books.google.com/books?id=KLT_FyQyimUC&pg=PA30 }}</ref><ref name=Plesha2012>{{citation
 | title=Engineering Mechanics: Statics and Dynamics
 | first1=Michael | last1=Plesha | first2=Gary | last2=Gray
 | first3=Francesco | last3=Costanzo | display-authors=1
 | edition=2nd | publisher=McGraw-Hill Higher Education
 | year=2012 | isbn=0-07-757061-8 | page=12 | postscript=.
 | url=https://books.google.com/books?id=xWt6CgAAQBAJ&pg=PA12 }}</ref><ref name=Larson2006>{{citation
 | title=Calculus of a Single Variable: Early Transcendental Functions
 | first1=Ron | last1=Larson | first2=Robert P. | last2=Hostetler
 | first3=Bruce H. | last3=Edwards | display-authors=1
 | edition=4th | publisher=Cengage Learning
 | year=2006 | isbn=0-618-60625-4 | page=85 | postscript=.
 | url=https://books.google.com/books?id=E5V4vTqAgAIC&pg=PA85 }}</ref><ref name=Green1985>{{citation
 | title=Spherical Astronomy | postscript=.
 | first1=Robin M. | last1=Green
 | publisher=Cambridge University Press
 | year=1985 | isbn=0-521-31779-7 | page=19
 | url=https://books.google.com/books?id=wOpaUFQFwTwC&pg=PA19 }}</ref>}}
{{پایان چپ‌چین}}
[[رده:مثلثات]]