نمایش مبدأ برای تعامد (جبر خطی)

[[پرونده:Perpendicularite.png|بندانگشتی|نماد تعامد]]
در [[ریاضیات]]، دو [[بردار]] را '''متعامد'''<ref>{{یادکرد فرهنگستان|مصوب=بُردارهای متعامد|بیگانه=orthogonal vectors|بیگانه در فارسی=|حوزه=ریاضی|دفتر=پنجم|بخش=فارسی|سرواژه=بُردارهای متعامد}}</ref> {{به انگلیسی|Orthogonal}} گویند هرگاه برهم قائم باشند. به عبارت دیگر دو بردار متعامدند اگر و تنها اگر [[ضرب داخلی]] آنها برابر با صفر باشد یا با هم [[زاویهٔ راست]] (۹۰ درجه) ساخته باشند.

== تعریف‌ها ==
[[پرونده:Perpendicular-coloured.svg|بندانگشتی|250px|AB و CD نسبت به هم متعامد هستند.]]

* در [[هندسه]]، دو [[بردار اقلیدسی]] عمود بر هم هستند اگر به بکدیگر قائم باشن؛ یعنی هم [[زاویه قائم]] بسازند.

* دو [[بردار]] <math>x</math> و <math>y</math> را در یک [[فضای ضرب داخلی]] <math>V</math> برهم ''عمودند'' اگر ضرب داخلی <math>\langle x, y \rangle</math> صفر باشد. این رابطه تعامد را با <math>x \perp y</math> نشان می‌دهند.

* دو زیرفضای برداری <math>A</math> و <math>B</math> از یک فضای ضرب داخلی <math>V</math> را زیرفضاهای متعامد می‌گوییم اگر هر بردار از <math>A</math> به هر بردار از <math>B</math> عمود باشد. بزرگ‌ترین زیرفضایی که به یک زیرفضا عمود باشد، [[:en:Orthogonal complement|متمم عمود]] آن نامیده می‌شود.

* یک [[نگاشت خطی]] <math>T: V \rightarrow V</math> را ''نگاشت خطی متعامد'' می‌گوییم اگر [[ضرب داخلی]] را پایسته نگه دارد. یعنی برای هر جفت بردار <math>x</math> و <math>y</math> در فضای ضرب داخلی <math>V</math> داشته باشیم:
:<math>\langle Tx, Ty \rangle = \langle x, y \rangle.</math>
این یعنی <math>T</math> [[زاویه|زاویهٔ]] بین <math>x</math> و <math>y</math> را ثابت نگه می‌دارد و طول <math>Tx</math> و <math>x</math> برابر است.

دسته‌ای از بردارهای دوبه‌دو عمود برهم را که طول واحد داشته باشند (بردار یکّه باشند) بردارهای ''یکّه راست‌هنجار'' (''متعامد یکه'') می‌نامیم.

== توابع متعامد ==
مرسوم است که برای [[تابع|توابع]] <math>f</math> و <math>g</math> [[ضرب داخلی]] زیر را تعریف کنیم:<div align="left">
<math>\langle f, g\rangle_w = \int_a^b f(x)g(x)w(x)\,dx.</math>
</div>که در آن <math>w(x)</math> تابع وزن نامنفی برای ضرب داخلی است. در ساده ترین حالت {{nowrap|1=''w''(''x'') = 1}}. در این صورت، اگر [[حاصل‌ضرب|حاصل ضرب]] داخلی‌شان صفر باشد می‌گوییم دو تابع برهم '''عمودند''':<div align="left">
<math>\int_a^b f(x)g(x)w(x)\,dx = 0.</math>
</div>با استفاده از ضرب داخلی، ما [[نرم (ریاضیات)|نُرم]] به صورت زیر تعریف میکنیم که عبارت است از ضرب داخلی بردار در خودش. نُرم، طول بردارها (تابع‌ها) را به دست می‌د:<div align="left">
<math>\|f\|_w = \sqrt{\langle f, f\rangle_w}</math>
</div>اعضای یک دنباله از توابع {{چپ به راست|{{nowrap|1={''f''<sub>''i''</sub> : ''i'' = 1, 2, 3, ...}{{null}}}}}} متعامد هستند اگر<div align="left">
<math>\langle f_i, f_j \rangle=\int_{-\infty}^\infty f_i(x) f_j(x) w(x)\,dx=\|f_i\|^2\delta_{i,j}=\|f_j\|^2\delta_{i,j}</math>
</div>و راست‌هنجار (متعامد یکه) هستند اگر:<div align="left">
<math>\langle f_i, f_j \rangle=\int_{-\infty}^\infty f_i(x) f_j(x) w(x)\,dx=\delta_{i,j}</math>
</div>در رابطهٔ بالا<div align="left">
<math>\delta_{i,j}=\left\{\begin{matrix}1 & \mathrm{if}\ i=j \\ 0 & \mathrm{if}\ i\neq j\end{matrix}\right.</math>
</div>[[دلتای کرونکر]] نام دارد. به زبان دیگر هر دو عضوی از این دنباله برهم عمودند و طول‌شان (برای توابع راست‌هنجار) ۱ است. [[چندجمله‌ای‌های متعامد]] را ببینید.

== مثال‌ها ==
* بردارهای (۱, ۳, ۲)، (۳, −۱, ۰) و (۱/۳, ۱, −۵/۳) برهم عمودند، زیرا 
[[پرونده:Function (2t + 3) (45t2+9t−17).svg|بندانگشتی|مساحت قسمت {{Font color|#73ae7d|مثبت}} و {{Font color|#d87c79|منفی}} در بازه <math>[-1,1]</math> با هم برابر و نتیجه انتگرال در این بازه برابر صفر می شود. {{font color|#cc5653|تابع درجه اول}}، {{font color|#fa8b30|تابع درجه دوم}}، و {{font color|#427eba|ضرب دو تابع}}.]]
{{چپ به راست|1=‎(۱)(۳) + (۳)(−۱) + (۲)(۰) = ۰}}

{{چپ به راست|1=(۳)(۱/۳) + (−۱)(۱) + (۰)(−۵/۳) = ۰}}

{{چپ به راست|1=(۱)(۱/۳) + (۳)(۱) − (۲)(۵/۳) = ۰}}
* دو تابع 2''t'' + ۳ و 5''t''<sup>2</sup> + ''t'' − ۱۷/۹ را در نظر بگیرید. این تابع‌ها در بازهٔ <math>[-1,1]</math> و با تابع وزن <math>w(x)=1</math> برهم عمودند. ضرب این دو تابع برابر است با 10''t''<sup>3</sup> + 17''t''<sup>2</sup> − 7/9 ''t'' − ۱۷/۳ و ضرب داخلی‌شان می‌شود:
{{چپ‌چین}}
::<math>\int_{-1}^{1} \left(10t^3+17t^2-{7\over 9}t-{17\over 3}\right)\,dt = \left[{5\over 2}t^4+{17\over 3}t^3-{7\over 18}t^2-{17\over 3}t\right]_{-1}^{1}</math>

::<math>=\left({5\over 2}(1)^4+{17\over 3}(1)^3-{7\over 18}(1)^2-{17\over 3}(1)\right)-\left({5\over 2}(-1)^4+{17\over 3}(-1)^3-{7\over 18}(-1)^2-{17\over 3}(-1)\right)</math>

::<math>={19\over 9}-{19\over 9}=0.</math>
{{پایان چپ‌چین}}
* چندجمله‌ای‌های متعامد بسیاری هستند که در ریاضیات، علوم و مهندسی کاربردهای بی‌شماری دارند. مانند:
** [[:en:Hermite polynomials|چندجمله‌ای‌های هرمیت]]
** [[چندجمله‌ای‌های لژاندر]]
** [[:en:Laguerre polynomials|چندجمله‌ای‌های لاگر]]
** [[چندجمله‌ای‌های چبیشف]]
* در [[مکانیک کوانتومی]]، دو ویژه‌حالت یک [[تابع موج]] <math> \psi_m </math> و <math> \psi_n </math> متعامد هستند اگر مربوط به [[ویژه‌مقدار|ویژه‌مقدارهای]] متفاوتی باشند. به زبان [[نشان‌گذاری برا-کت|نمادگذاری دیراک]]، <math> \langle \psi_m | \psi_n \rangle = 0 </math> مگر این که <math> \psi_m </math> و <math> \psi_n </math> متعلق به یک ویژه‌مقدار باشند.

== در آرایه‌شناسی ==
در آرایه‌شناسی یک طبقه‌بندی متعامد است که در آن در هیچ موردی، هیچ عضوی در بیش از یک گروه عضو نباشد، این به معنی منحصر به فرد بودن متقابل طبقه‌بندی‌ها و عضوها است.

== جستارهای وابسته ==
* [[عدد موهومی]]
* [[ماتریس متعامد]]
* [[چندجمله‌ای‌های متعامد]]
* [[مکمل متعامد]]
* [[الگوریتم گرام اشمیت]]

== منابع ==
{{پانویس}}
* {{یادکرد-ویکی|پیوند =https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Orthogonality&oldid=678998799|عنوان = Orthogonality|زبان =انگلیسی|بازیابی =۲ مه ۲۰۱۵}}

=== کتاب‌های رایگان برخط ===
* {{یادکرد وب| نشانی = http://www.mamwad.org/xb/xb-001.pdf| عنوان = جبر خطی| تاریخ بازدید = ۲۹ مارس ۲۰۰۹| نویسنده = [http://www.mamwad.org محمد خرمی]| تاریخ = تابستان ۲۰۰۳| قالب = PDF| زبان = فارسی| archiveurl = https://web.archive.org/web/20120131192921/http://mamwad.org/xb/xb-001.pdf| archivedate = ۳۱ ژانویه ۲۰۱۲| dead-url = yes}}
{{چپ‌چین}}
* Beezer, Rob, [http://linear.ups.edu/index.html ''A First Course in Linear Algebra'']
* Connell, Edwin H. , ''[http://www.math.miami.edu/~ec/book/ Elements of Abstract and Linear Algebra]''
* Hefferon, Jim, ''[http://joshua.smcvt.edu/linalg.html/ Linear Algebra] excellent textbook with complete solutions manual''
{{پایان چپ‌چین}}
{{جبر خطی}}
[[رده:طرح آزمایش]]
[[رده:جبر خطی]]
[[رده:جبر مجرد]]
[[رده:تعامد (جبر خطی)]]