نمایش مبدأ برای تصاعد هندسی

[[پرونده:Geometric progression convergence diagram.svg|بندانگشتی|350px|چپ|نمایش تصویری تصاعد هندسی ۱ + ۱/۲ + ۱/۴ + ۱/۸ + ... که قدر نسبت آن ۱/۲'' است.]]
در [[ریاضی|ریاضیات]]، '''دنبالهٔ هندسی''' یا '''تصاعد هندسی''' {{به انگلیسی|geometric progression}} به [[دنباله|دنباله‌ای]] از [[عدد|اعداد]] گفته می‌شود که از جملهٔ اول به بعد، هر جمله برابر است با حاصل‌ضرب جملهٔ قبلی در یک عدد ثابتِ مخالف صفر و یک. به این عدد ثابت ''[[قدر نسبت]] تصاعد'' گفته می‌شود. برای نمونه دنبالهٔ ۲، ۶، ۱۸، ۵۴، … یک دنباله از اعداد با قدر نسبت ۳ است. مجموع اعداد یک دنبالهٔ هندسی را '''سری هندسی''' می‌نامند.

شکل کلی دنباله‌های هندسی به‌صورت زیر نوشته می‌شود:
<center>
:<math>a,\ ar,\ ar^2,\ ar^3,\ ar^4,\ \ldots</math>
</center>
بنابراین شکل کلی سری هندسی به‌صورت زیر خواهد بود:
<center>
:<math>a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + \cdots</math>
</center>
در رابطه‌های بالا <math>a</math> جملهٔ اول دنباله و ''r'' ≠ ۰ قدر نسبت تصاعد می‌باشد.

== ویژگی‌های اولیه ==
''n'' امین جملهٔ تصاعد هندسی با قدر نسبت ''r'' و جملهٔ اول <math>a</math> به صورت زیر نوشته می‌شود:
{{چپ‌چین}}
:<math>a_n = a\,r^{n-1}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
همچنین طبق [[معادله تفاضل|معادلهٔ تفاضل]] برای تمامی <math>n\geq 1</math> می‌توان گفت:
{{چپ‌چین}}
:<math>a_n = r\,a_{n-1}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
رفتار جمله‌های یک دنبالهٔ هندسی تنها به قدر نسبت آن تصاعد وابسته‌است؛ چنانچه قدر نسبت تصاعد:
* مثبت باشد، جمله‌های بعدی دنباله همگی هم علامت جملهٔ اول خواهد بود.
* منفی باشد، جمله‌های بعدی دنباله به صورت یک در میان علامت مخالف خواهند داشت.
* بزرگتر از ۱ باشد، جمله‌های دنباله [[رشد نمایی]] به سمت مثبت [[بی‌نهایت (ریاضی)|بی‌نهایت]] خواهند داشت.
* ۱ باشد، دنباله ثابت خواهد بود.
* میان ۱ و ۱- باشد به‌جزء صفر، جمله‌های بعدی دنباله به صفر ''میل'' می‌کند. (اعداد سری هندسی به ترتیب کاهش می‌یابند و به صفر نزدیک می‌شوند؛ ولی هیچ‌گاه صفر نمی‌شود)
* ۱- باشد، جمله‌های بعدی تشکیل یک [[دنباله متناوب|دنبالهٔ متناوب]] را خواهند داد. (اعداد به ترتیب یک در میان با تعویض علامت همراه هستند)
* کوچکتر از ۱- باشد، قدر مطلق جمله‌های دنباله [[رشد نمایی]] خواهند داشت و هر یک از آن‌ها بسته به علامت به سمت مثبت یا منفی [[بی‌نهایت (ریاضی)|بی‌نهایت]] میل خواهند کرد.
در صورتی که در دنباله‌های هندسی، قدر نسبت برابر با ۰ یا ۱ یا ۱- نباشد، در حالت کلی شاهد [[رشد نمایی]] به سمت مثبت یا منفی [[بی‌نهایت (ریاضی)|بی‌نهایت]] (بسته به علامت جمله‌ها) یا به [[ثابت واپاشی|سمت صفر]] خواهیم بود.<!-- جمله‌های آخر را ترجمه نکرده‌ام -->

== تشحیص دنباله هندسی ==
برای تشخیص دنباله هندسی دو جمله متوالی از دنباله هندسی را به هم تقسیم کنیم. {{چپ‌چین}}
:<math>\frac{a_4}{a_3},\frac{a_3}{a_2}</math>
{{پایان چپ‌چین}}اگر به مقدار ثابتی رسیدیم. دنباله ما هندسی هست.

'''مثال:''' آیا دنبال زیر هندسی است؟{{چپ‌چین}}
:<math>20,10,5,2.5,1.25,...</math>
{{پایان چپ‌چین}}'''جواب:'''{{چپ‌چین}}
:<math>\frac{a_4}{a_3}=\frac{2.5}{5}=0.5</math>
{{پایان چپ‌چین}}{{چپ‌چین}}
:<math>\frac{a_3}{a_2}=\frac{5}{10}=0.5</math>
{{پایان چپ‌چین}}پس دنباله بالا هندسی است.

== واسطه هندسی ==
اگر سه جمله a , b , c ، سه جمله متوالی دنباله هندسی باشد. آنگاه رابطه زیر برقرار است:

<math>b^2 = ac</math>

'''مثال:''' مقدار x را طوری تعیین کنید که دنباله زیر هندسی باشد.

<math>x , x-3 , x+1</math>

== حل ==

<math>(x-3)^2=x(x+1)</math>

<math>x=\frac{9}{7}</math>

== سری‌های هندسی ==
{{نوشتار اصلی|سری هندسی}}
'''سری هندسی''' به ''مجموع'' جمله‌های یک دنبالهٔ هندسی گفته می‌شود.
{{چپ‌چین}}
:<math>\sum_{k=0}^{n} ar^k = ar^0+ar^1+ar^2+ar^3+\cdots+ar^n. \,</math>
{{پایان چپ‌چین}}
اگر دو سوی تساوی را در <math>1-r</math> ضرب کنیم به رابطهٔ ساده‌تری می‌رسیم و خواهیم داشت:
{{چپ‌چین}}
:<math>\begin{align}
(1-r) \sum_{k=0}^{n} ar^k & = (1-r)(ar^0 + ar^1+ar^2+ar^3+\cdots+ar^n) \\
 & = ar^0 + ar^1+ar^2+ar^3+\cdots+ar^n \\
 & {\color{White}{} = ar^0} - ar^1-ar^2-ar^3-\cdots-ar^n - ar^{n+1} \\
 & = a - ar^{n+1}
\end{align}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
برای یک سری هندسی در صورتی که ''r'' ≠ ۱ باشد رابطهٔ مجموع به صورت زیر نوشته می‌شود:
{{چپ‌چین}}
:<math>\sum_{k=0}^{n} ar^k = \frac{a(1-r^{n+1})}{1-r}.</math>
{{پایان چپ‌چین}}
اگر مجموع را از شمارشگری بزرگتر از ۰ مانند ''m'' شروع کنیم:
{{چپ‌چین}}
:<math>\sum_{k=m}^n ar^k=\frac{a(r^m-r^{n+1})}{1-r}.</math>
{{پایان چپ‌چین}}
[[مشتق]] این رابطه نسبت به ''r'' باعث می‌شود تا به رابطه‌ای برای مجموع برسیم:
{{چپ‌چین}}
:<math>\sum_{k=0}^n k^s r^k.</math>
{{پایان چپ‌چین}}
برای نمونه:
{{چپ‌چین}}
:<math>\frac{d}{dr}\sum_{k=0}^nr^k = \sum_{k=1}^n kr^{k-1}=
\frac{1-r^{n+1}}{(1-r)^2}-\frac{(n+1)r^n}{1-r}.</math>
{{پایان چپ‌چین}}
یک سری هندسی که تنها توان‌های زوج ''r'' را دارد را باید در <math>1-r^2</math>: ضرب کرد:
{{چپ‌چین}}
:<math>(1-r^2) \sum_{k=0}^{n} ar^{2k} = a-ar^{2n+2}.</math>
{{پایان چپ‌چین}}
آنگاه
{{چپ‌چین}}
:<math>\sum_{k=0}^{n} ar^{2k} = \frac{a(1-r^{2n+2})}{1-r^2}.</math>
{{پایان چپ‌چین}}
و برای سری که توان‌های فرد ''r'' را دارد:
{{چپ‌چین}}
:<math>(1-r^2) \sum_{k=0}^{n} ar^{2k+1} = ar-ar^{2n+3}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
و
{{چپ‌چین}}
:<math>\sum_{k=0}^{n} ar^{2k+1} = \frac{ar(1-r^{2n+2})}{1-r^2}.</math>
{{پایان چپ‌چین}}

=== سری‌های هندسی نامتناهی ===
{{نوشتار اصلی|سری هندسی}}
یک '''سری هندسی نامتناهی''' یک [[سری (ریاضیات)|سری نامتناهی ریاضی]] است که جمله‌های پشت هم آن قدر نسبت ثابتی داشته باشند. چنین سری‌های همگرا خواهند بود [[اگر و فقط اگر|اگر و تنها اگر]] [[قدر مطلق (ریاضی)|قدر مطلق]] قدر نسبت آن کوچکتر از ۱ باشد ۱> |''r''|. مقدار آن‌ها را می‌توان بوسیله رابطهٔ بدست آمده برای مجموع سری در حالت متناهی بدست آورد:
{{چپ‌چین}}
:<math>\sum_{k=0}^\infty ar^k = \lim_{n\to\infty}{\sum_{k=0}^{n} ar^k} = \lim_{n\to\infty}\frac{a(1-r^{n+1})}{1-r}= \lim_{n\to\infty}\frac{a}{1-r} - \lim_{n\to\infty}{\frac{ar^{n+1}}{1-r}} </math>
{{پایان چپ‌چین}}
از آنجایی که:
{{چپ‌چین}}
:<math> r^{n+1} \to 0 \mbox{ as } n \to \infty \mbox{ when } |r| <1.</math>
{{پایان چپ‌چین}}
آنگاه
{{چپ‌چین}}
:<math>\sum_{k=0}^\infty ar^k = \frac{a}{1-r} - 0 = \frac{a}{1-r}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
برای سری که تنها توان‌های زوج <math>r</math> را دارد:
{{چپ‌چین}}
:<math>\sum_{k=0}^\infty ar^{2k} = \frac{a}{1-r^2}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
و برای توان‌های فرد:
{{چپ‌چین}}
:<math>\sum_{k=0}^\infty ar^{2k+1} = \frac{ar}{1-r^2}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
در صورتی که مجموع از شمارشگر ''k'' = ۰ شروع نشود:
{{چپ‌چین}}
:<math>\sum_{k=m}^\infty ar^k=\frac{ar^m}{1-r}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
رابطه‌ای که در بالا بدست آمد تنها برای ۱> |''r''| معتبر است. در حالتی که یک مجموع متناهی داشته باشیم، می‌توانیم از مشتق‌گیری برای بدست آوردن مجموع استفاده کنیم. برای نمونه:
{{چپ‌چین}}
:<math>\frac{d}{dr}\sum_{k=0}^\infty r^k = \sum_{k=0}^\infty kr^{k-1}=
\frac{1}{(1-r)^2}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
رابطهٔ بالا تنها برای ۱> |''r''| کار می‌کند. همچنین برای۱> |''r''| می‌توان نوشت:
{{چپ‌چین}}
:<math>\sum_{k=0}^{\infty} k r^k = \frac{r}{\left(1-r\right)^2} \,;\, \sum_{k=0}^{\infty} k^2 r^k = \frac{r \left(1+r \right)}{\left(1-r\right)^3} \, ; \, \sum_{k=0}^{\infty} k^3 r^k = \frac{r \left(1+4 r + r^2\right)}{\left(1-r\right)^4}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
سری‌های نامتناهی مانند '''۱/۲ + ۱/۴ + ۱/۸ + ۱/۱۶ + · · ·''' وجود دارند که [[مطلقاً همگرا]] هستند. در این سری جملهٔ اول و قدر نسبت هر دو ۱/۲ هستند؛ مجموع این سری خواهد بود:
{{چپ‌چین}}
:<math>\frac12+\frac14+\frac18+\frac{1}{16}+\cdots=\frac{1/2}{1-(+1/2)} = 1.</math>
{{پایان چپ‌چین}}
وارون سری بالا '''۱/۲ − ۱/۴ + ۱/۸ − ۱/۱۶ + · · ·''' خود یک نمونه از سری‌های متناوب است که [[مطلقاً همگرا]] است. در این سری هندسی جملهٔ اول ۱/۲ است و مجموع آن عبارت است از:
{{چپ‌چین}}
:<math>\frac12-\frac14+\frac18-\frac{1}{16}+\cdots=\frac{1/2}{1-(-1/2)} = \frac13.</math>
{{پایان چپ‌چین}}

=== اعداد مختلط ===
رابطه‌هایی که برای مجموع سری‌های هندسی بدست آمد حتی در مجموعهٔ [[عدد مختلط|اعداد مختلط]] نیز معتبر است. با این تفاوت که شرط «قدر مطلق ''r'' کوچکتر از ۱ باید باشد»، با «[[قدر مطلق (ریاضی)#اعداد مختلط|اندازهٔ]] [[عدد مختلط]] ''r'' کوچکتر از ۱ باید باشد» جایگزین می‌شود. با کمک مفهوم [[اعداد مختلط]] برخی سری‌هایی که به ظاهر هندسی نیستند به سری هندسی تبدیل می‌شوند. برای نمونه:
{{چپ‌چین}}
: <math> \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\sin(kx)}{r^k} = \frac{r \sin(x)}{1 + r^2 - 2 r \cos(x)} </math>
{{پایان چپ‌چین}}
چون:
{{چپ‌چین}}
: <math>\sin(kx) = \frac{e^{ikx} - e^{-ikx}}{2i} , </math>
{{پایان چپ‌چین}}
که این از نتایج [[فرمول اولر]] است. با جایگزینی آن در رابطهٔ اصلی خواهیم داشت:
{{چپ‌چین}}
: <math> \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\sin(kx)}{r^k} = \frac{1}{2 i} \left[ \sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{e^{ix}}{r} \right)^k - \sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{e^{-ix}}{r}\right)^k\right]</math>.
{{پایان چپ‌چین}}
که این خود برابر است با تفاضل دو سری هندسی.

== ضرب ==
'''ضرب یک تصاعد هندسی''' به معنی ضرب تمامی جمله‌های آن در یکدیگر است. اگر تمامی جمله‌های آن مثبت باشد، می‌توان آن را به آسانی به کمک رابطهٔ [[میانگین هندسی]] و جمله‌های اول و آخر دنباله، محاسبه کرد. (این رابطه به مجموع [[تصاعد حسابی]] بسیار شبیه‌است)
{{چپ‌چین}}
:<math>\prod_{i=0}^{n} ar^i = \left(\sqrt{a_1 \cdot a_{n+1}}\right)^{n+1}</math> (if <math>a,r> 0</math>).
{{پایان چپ‌چین}}
اثبات:
اگر ضرب را را با علامت P نمایش دهیم:
{{چپ‌چین}}
:<math>P=a \cdot ar \cdot ar^2 \cdots ar^{n-1} \cdot ar^{n}</math>.
{{پایان چپ‌چین}}
پس از انجام عمل ضرب خواهیم داشت:
{{چپ‌چین}}
:<math>P=a^{n+1} r^{1+2+3+ \cdots +(n-1)+(n)}</math>.
{{پایان چپ‌چین}}
با استفاده از مجموع [[تصاعد حسابی]] خواهیم داشت:
{{چپ‌چین}}
:<math>P=a^{n+1} r^{\frac{n(n+1)}{2}}</math>.

:<math>P=(ar^{\frac{n}{2}})^{n+1}</math>.
{{پایان چپ‌چین}}
دو سوی تساوی را به توان ۲ می‌رسانیم:
{{چپ‌چین}}
:<math>P^2=(a^2 r^{n})^{n+1}=(a\cdot ar^n)^{n+1}</math>.
{{پایان چپ‌چین}}
در نتیجهٔ این کار:
{{چپ‌چین}}
{{پایان چپ‌چین}}
اثبات شد.

== رابطه‌های دیگر ==
چگونه جملهٔ بین دو جمله را پیدا کنیم؟{{سخ}}
در اینجا می‌خواهیم جملهٔ بین یعنی x را بدست آوریم:
{{چپ‌چین}}
<math>4,x,16</math>
{{پایان چپ‌چین}}
برای این کار از رابطه زیر استفاده می‌کنیم:
{{چپ‌چین}}
<math>x=\sqrt {4\times16}=8</math>
{{پایان چپ‌چین}}

== جمع‌بندی ==
در شکل زیر جمله عمومی دنباله هندسی و واسطه هندسی نمایش داده شده.
{{Image frame
|width=210
|align=center
|content=جمله عمومی دنباله هندسی
:<math>
\begin{array}{|c|}
\hline a_n = ar^{n - 1} \\
\hline
\end{array}
</math>
واسطه هندسی
:<math>
\begin{array}{|c|}
\hline a,\ b,\ c \\
b^2 = ac \\
\hline
\end{array}
</math>
|caption=جمله عمومی دنباله هندسی و واسطه هندسی
}}

== جستارهای وابسته ==
* [[دنباله]]
* [[سری هندسی]]
* [[توماس مالتوس]]
* [[تابع نمایی]]
* [[تصاعد حسابی]]

== منابع ==
{{پانویس}}
{{چپ‌چین}}
* Hall & Knight, ''Higher Algebra'', p. &nbsp;۳۹، ISBN 81-8116-000-2
* {{mathworld|urlname=GeometricSeries|title=Geometric Series}}
{{پایان چپ‌چین}}
* ریاضیات ۲، اسماعیل بابلیان، میرزا جلیلی، رضا شهریاری اردبیلی، [[علیرضا مدقالچی]]، [[اداره کل]] چاپ و توزیع [[کتاب‌های درسی]]، ۱۳۸۰ ''(کتاب رسمی [[وزارت آموزش و پرورش جمهوری اسلامی ایران]] برای سال دوم [[آموزش متوسطه]] در رشتهٔ نظری)

== پیوند به بیرون ==
* [https://web.archive.org/web/20120920021823/http://kelasedars.org/?p=1625 ویدیوهای آموزشی تصاعد هندسی] در [https://web.archive.org/web/20120508030040/http://kelasedars.org/ کلاس درس]
* [https://web.archive.org/web/20111212014956/http://www.mathalino.com/reviewer/derivation-of-formulas/sum-of-finite-and-infinite-geometric-progression Derivation of رابطه‌های مربوط به مجموع سری‌های هندسی متناهی و نامتناهی] در [https://web.archive.org/web/20110812215439/http://www.mathalino.com/ Mathalino]
* [https://web.archive.org/web/20081227084752/http://www.calculadoraonline.com.br/en/view/geometric-progression.php شمارشگر تصاعدهای هندسی]
* [https://web.archive.org/web/20100921093400/http://sputsoft.com/blog/2008/10/nice-geometric-progression-proof.html اثبات زیبایی برای مجموع تصاعد هندسی] در [https://web.archive.org/web/20091027173100/http://sputsoft.com/ sputsoft.com]

{{سری‌ها (ریاضیات)}}
[[رده:دنباله‌ها و سری‌ها]]
[[رده:ریاضیات مقدماتی]]
[[رده:سری‌های ریاضی]]