نمایش مبدأ برای تصاعد حسابی

در [[ریاضی|ریاضیات]] '''دنباله حسابی''' یا '''تصاعد حسابی''' {{به انگلیسی|arithmetic progression}} به [[دنباله|دنباله‌ای]] از اعداد گفته می‌شود که اختلاف هر دو جمله متوالی آن مقداری ثابت، مثلاً <math>d</math> باشد. به عدد ثابت <math>d</math> [[قدر نسبت]] تصاعد گفته می‌شود. برای نمونه دنبالهٔ ۳، ۵، ۷، ۹، ۱۱، ۱۳، … یک تصاعد حسابی از اعداد با قدر نسبت ۲ می‌باشد.

اگر جمله اول یک دنباله حسابی<math>a_1</math> و قدر نسبت آن <math>d</math> باشد آنگاه جملهٔ <math>i</math> ام این تصاعد برابر خواهد بود با

{{وسط‌چین}}<math>a_i=a_1+(i-1)d</math>.{{پایان}}

در حالت کلی رابطهٔ دنباله حسابی برای جمله‌های <math>n</math> ام و <math>m</math> ام خواهد بود:
{{وسط‌چین}}<math>a_n=a_m+(n-m)d</math>{{پایان}}
مقدار <math>d</math> می‌تواند مثبت یا منفی باشد که در صورت مثبت بودن آن، دنباله به سمت [[بی‌نهایت (ریاضی)|بینهایت]] مثبت میل می‌کند و در صورت منفی بودن <math>d</math>، دنباله به سوی منفی بینهایت می‌رود. همچنین تعداد جملات در تصاعد حسابی اینگونه بدست می آید:((اولی-اخری)÷ فاصله) به علاوه دو

== تشخیص دنباله حسابی ==
برای تشخیص دنباله حسابی کافیست دو جمله متوالی از هم کم کنیم.

<math>a_4-a_3=a_3-a_2</math>

اگر به مقدار ثابتی رسیدیم، دنباله حسابی است.

'''مثال:''' آیا دنباله زیر حسابی است؟

<math>10,7.5,5,2.5,...</math>

== جواب ==
<math>a_4-a_3=2.5-5=-2.5</math>

<math>a_3-a_2=5-7.5=-2.5</math>

دو مقدار بالا ثابت است پس دنباله حسابی است.

== واسطه حسابی ==
اگر <math>a , b , c</math> سه جمله متوالی دنباله حسابی باشند. برای پیدا کردن جمله وسط (واسطه حسابی) کافیست از فرمول زیر استفاده کنیم:

<math>b=\frac{a+c}{2}</math>

'''مثال:''' <math>x</math> را بیابید؟ (سه جمله زیر جملات متوالی دنباله حسابی هستند)

<math>4x-1,x+2,2-x</math>

حل:

<math>x+2=\frac{4x-1+2-x}{2}</math>

<math>x=3</math>

== مجموع ==
مجموع اعضای یک دنبالهٔ محدود از اعداد با رابطهٔ '''تصاعد حسابی''' عبارت است از:
{{وسط‌چین}}<math> S_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+\cdots+(a_1+(n-2)d)+(a_1+(n-1)d)</math>{{پایان}}

{{وسط‌چین}}<math> S_n=(a_n-(n-1)d)+(a_n-(n-2)d)+\cdots+(a_n-2d)+(a_n-d)+a_n.</math>{{پایان}}

با جمع طرفین دو عبارت فوق:

{{وسط‌چین}}<math>\ 2S_n=n(a_1+a_n).</math>{{پایان}}

در نتیجه:

{{وسط‌چین}}<math> S_n=\frac{n(a_1 + a_n)}{2}=\frac{n[2a_1 + (n-1)d]}{2}.</math>{{پایان}}
برای نمونه اگر فرض کنیم که جملهٔ اول دنباله تصاعد حسابی ۳ و نسبت تصاعد آن ۵ است، آنگاه مجموع ۵۰ جملهٔ اول برابر با ۶۲۷۵ خواهد بود:
{{وسط‌چین}}<math>S_{50} = \frac{50}{2}[2(3) + (49)(5)] = 6,275.</math>{{پایان}}

== ضرب ==
اگر در نظر بگیریم که جملهٔ اول یک تصاعد حسابی <math>a_1</math> نام دارد و قدر نسبت تصاعد <math>d</math> است؛ آنگاه [[حاصل ضرب]] جمله‌های آن تصاعد در یکدیگر، عبارت است از:
{{چپ‌چین}}
:<math>a_1a_2\cdots a_n = d^n {\left(\frac{a_1}{d}\right)}^{\overline{n}} = d^n \frac{\Gamma \left(a_1/d + n\right)}{\Gamma \left(a_1 / d \right)},</math>
{{پایان چپ‌چین}}
که در آن <math>x^{\overline{n}}</math> نماد افزایش [[فاکتوریل]] و <math>\Gamma</math> نماد [[تابع گاما]] است. (هشدار: فرمول بدست آمده به ازای <math>a_1/d</math> کوچکتر مساوی صفر، نادرست خواهد بود)

فرمول بدست آمده در بالا، حالت کلی رابطهٔ حاصل ضرب <math>1 \times 2 \times \cdots \times n</math> است که آن را با <math>n!</math> فاکتوریل نمایش می‌دهیم و در صورتی که شروع ضرب از بجای یک از عدد دلخواه <math>m</math> باشد:
{{چپ‌چین}}
:<math>m \times (m+1) \times (m+2) \times \cdots \times (n-2) \times (n-1) \times n \,\!</math>
{{پایان چپ‌چین}}
در صورتی که <math>m</math> و <math>n</math> [[مجموعه اعداد طبیعی|اعداد طبیعی]] باشند، حاصل ضرب عبارت خواهد بود از:
{{چپ‌چین}}
:<math>\frac{n!}{(m-1)!}.</math>
{{پایان چپ‌چین}}
برای درک بهتر مطلب، مثال گفته شده در بالا را در نظر بگیرید، که در آن جملهٔ اول دنباله تصاعد حسابی ۳ و نسبت تصاعد آن ۵ است، آنگاه حاصل ضرب ۵۰ جملهٔ اول برابر خواهد بود با:
{{چپ‌چین}}
:<math>P_{50} = 5^{50} \cdot \frac{\Gamma \left(3/5 + 50\right)}{\Gamma \left(3 / 5 \right)} \approx 3.78438 \times 10^{98} </math>
{{پایان چپ‌چین}}
;نمونهٔ دیگر:
تصاعد حسابی زیر را در نظر بگیرید:
{{چپ‌چین}}
:::<math>a,(a+d),(a+2d),.................(a+(n-1)d)</math>
{{پایان چپ‌چین}}
حاصل ضرب سه جملهٔ اول این تصاعد عبارت است از:
{{چپ‌چین}}
:::<math>a(a+d)(a+2d)</math>
<math>=(a^{2}+ad)(a+2d)</math>
<math>=a^{3}+3a^{2}d+2ad^{2}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
حال از روی ظاهر عبارت بالا می‌توان پاسخ را برای <math>n</math> حدس زد:
{{چپ‌چین}}
:::<math> a^{n} + na^{n-1} d^{n-2} + (n-1)a^{n-2}d^{n-1}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
مطالب گفته شده در بالا، به عنوان اثبات قابل پذیرش نیست و تنها برای درک بهتر بیان شد.

== جمع‌بندی دنباله حسابی ==
مطالب بالا را در عکس زیر می‌توانید دوره کنید.
{{Image frame
|width=210
|align=center
|content=جمله عمومی دنباله حسابی
:<math>
\begin{array}{|c|}
\hline a_n = a + (n - 1) d \\
\hline
\end{array}
</math>
واسطه حسابی
:<math>
\begin{array}{|c|}
\hline a,\ b,\ c \\
b = \frac{a + c}{2} \\
\hline
\end{array}
</math>
|caption=جمله عمومی دنباله حسابی و واسطه حسابی
}}

== پانویس ==
[https://riazica.com/arithmetic-progression/ آموزش دنباله حسابی] «سیده فاطمه موسوی نطنزی»

== جستارهای وابسته ==
* [[دنباله]]
* [[تصاعد هندسی]]

== منابع ==
{{پانویس}}
* ریاضیات ۲، اسماعیل بابلیان، میرزا جلیلی، رضا شهریاری اردبیلی، [[علیرضا مدقالچی]]، [[اداره کل]] چاپ و توزیع [[کتاب‌های درسی]]، ۱۳۸۰ ''(کتاب رسمی [[وزارت آموزش و پرورش جمهوری اسلامی ایران]] برای سال دوم [[آموزش متوسطه]] در رشته نظری)
''
* {{cite book
 | title = Fibonacci's Liber Abaci
 | url = https://archive.org/details/fibonaccislibera00sigl_706
 | author = Sigler, Laurence E. (trans.)
 | publisher = Springer-Verlag
 | year = 2002
 | isbn = 0-387-95419-8
 | pages = [https://archive.org/details/fibonaccislibera00sigl_706/page/n261 259]–۲۶۰}}

== پیوند به بیرون ==
* ویدیوهای آموزشی تصاعد حسابی به [[زبان فارسی]] https://web.archive.org/web/20120920021841/http://kelasedars.org/?p=1611

{{چپ‌چین}}
* {{MathWorld|urlname=ArithmeticProgression|title=Arithmetic progression}}
* {{MathWorld|urlname=ArithmeticSeries|title=Arithmetic series}}
{{پایان چپ‌چین}}
{{سری‌ها (ریاضیات)}}
[[رده:تصاعد حسابی| ]]
[[رده:دنباله اعداد صحیح]]
[[رده:دنباله‌ها و سری‌ها]]
[[رده:ریاضیات مقدماتی]]
[[رده:سری‌های ریاضی]]